Một số phương pháp giải hệ phương trình trong chương trình toán Trung học phổ thông

M¾cdùcónhieucogang,nhưngdothòigianvàtrìnhđ®cònhanchenênlu¾nvănk hótránhkhóinhungthieusót.Vìv¾ytácgiáratmongnh¾nđưocsngópýcnacácthaycô vàcácbanđelu¾nvănđưochoànthi¾nhơn... H¾phươngtrìnhlà

ĐAIHOCQUOCGIAHÀN®ITRƯèNG ĐAIHOCKHOAHOCTUNHIÊN

-VŨTH±KIMNGAN

M®TSOPHƯƠNGPHÁPG I Á I HfiPHƯƠNGT R Ì N H TRONGCHƯƠNGT R Ì N H T

OÁNTRUNGHOCPHOT H Ô N G

Chuyênngành:PHƯƠNGPHÁPTOÁNSƠCAP

Mãso:60460113

LU¼NVĂNTHACSYKHOAHOC

Ngưàihưángdankhoahoc:TS.PHAMVĂNQUOC

HÀN®I-2015

Mnclnc

1.1 H¾phươngtrìnhcơbán 4

1.1.1 H¾phươngtrìnhb¾cnhathaian 4

1.1.2 H¾phươngtrìnhđoixúng 4

1.1.3 H¾phươngtrìnhđangcap 6

1.1.4 H¾phươngtrìnhdanghoánv%vòngquanh 7

1.2 Phươngphápcơbán 9

1.2.1 Phươngphápc®ngđaiso 9

1.2.2 Phươngphápthe 10

2 M®tsophươngphápgiáih¾phươngtrình 13 2.1 Phươngphápđ¾tanphu 13

2.2 Phươngphápphântíchthànhnhântú 20

2.3 Phươngphápsúdunghangđangthúc 28

2.4 Phươngphápsúdungtínhđơnđi¾ucnahàmso 34

2.5 Phươngphápkhác 43

2.5.1 Phươngphápđánhgiá 43

2.5.2 Phươngpháplưonggiáchóa 47

2.5.3 Phươngphápsúdungsophúc 49

3 M®tsophươngphápxâydNngh¾phươngtrình 54 3.1 Xâydnngh¾phươngtrìnhbangphươngphápđ¾tanphu 54

3.2 Xâydnngh¾phươngtrìnhtùcácđangthúc 58

3.3 Súdungtínhđơnđi¾ucnahàmsođexâydnngh¾phươngtrình 64 3.4 Xâydnngh¾phươngtrìnhbangphươngphápđánhgiá 67

3.5 Súdungsophúcđexâydnngh¾phươngtrình 71

Lòiđautiên,tôi xinbàytólòngbietơnchânthànhvàsâusacnhat tóiTS.P h a m

VănQuoc-ngưòithayđãtruyenchotôiniemsaymênghiêncúuToánhoc.Thayđãt¾ntìnhhưón gdan,giúpđõtácgiátrongsuotquátrìnhhoct¾pvàhoànthi¾nlu¾nvăn

TácgiáxinchânthànhcámơnBangiámhi¾u,PhòngĐàotaoSauđaihoc,K h o a T

oán-Cơ-Tinhoc,cácthaycôgiáođãtaođieuki¾nthu¾nloichotôihoànthànhbánlu¾nvănnà y

M¾cdùcónhieucogang,nhưngdothòigianvàtrìnhđ®cònhanchenênlu¾nvănk hótránhkhóinhungthieusót.Vìv¾ytácgiáratmongnh¾nđưocsngópýcnacácthaycô vàcácbanđelu¾nvănđưochoànthi¾nhơn

Emxinchânthànhcámơn!

H¾phươngtrìnhlàm®tn®idungcođienvàquantrongcnaToánhoc.Ngaytùđau, snrađòivàpháttriencnah¾phươngtrìnhđãđ¾tdauanquantrongtrongToánhoc.C húngcósúchútmanhmeđoivóinhungngưòiyêuToán,luônthôithúcngưòilàmToánp háitìmtòi,sángtao.Bàitoánveh¾phươngtrìnhthưòngxuyênxuathi¾ntrongcáckỳ thihocsinhgiói,OlympiccũngnhưkỳthituyensinhĐaihoc,Caođang.H¾phươngtrìn hđưocđánhgiálàbàitoánphânloaihocsinhkhágiói,nóđòihóikythu¾txúlýnhanhvà chínhxácnhat.Làm®tgiáoviênTrunghocphothông,tôimuonnghiêncúusâuhơnveh

¾phươngtrìnhnhamnângcaochuyênmôn,phucvuchoquátrìnhgiángdayvàboidư õnghocsinhgióicnamình

Vóinhunglýdotrên,

tôilnachonnghiêncúuđetài"M®tsophươngphápgiáih¾phươngtrìnhtrongchươn gtrìnhtoánTrunghocphothông"làmlu¾nvănthacsĩcnamình

Lu¾nvănđưocchialàmbachương:Chư ơ ng 1

M®tsokienthúccơbán

Chương2.M®tsophươngphápgiáih¾phươngtrìnhChương3

M®tsophươngphápxâydnngh¾phươngtrình

HàN®i,ngày01tháng8năm2015Tá

cgiálu¾nvăn

VũTh%KimNgan

.

Chương1

M®tsokienthNccơbán

1.1 H¾phươngtrìnhcơbán

1.1.1 H¾phươngtrìnhb¾cnhathaian

H¾phươngtrìnhb¾cnhathaianlàh¾códang

.a

1x +b1y =c1a2

x +b2y =c2.

Phươngphápgiái:

Đegiáih¾phươngtrìnhnày,tathưòngsúdungcácphươngphápsau:

- Phươngphápthe,

- Phươngphápc®ngđaiso,

- Phươngphápdùngđ%nhthúc.. . . . . .

Kýhi¾u:D=.a1

b1

.;

D x=.c1

b1

.;

D y=.a1 c1..

a2 b2

Trưònghop1: Dƒ=0.

.c

2

b2



x=

a2 c2

D x

H¾phươngtrìnhcónghi¾mduynhat  D

y=D y



D

Trưònghop2: D =D x =D y = 0.

H¾phươngtrìnhcóvôsonghi¾mdang{(x0;y0)|a1x0+b1y0=c1}.

Trưònghop3: D =0;D x ƒ=0ho¾cD =0;D y ƒ=0ho¾cD =0;D x ƒ=0;D y ƒ=0.

H¾phươngtrìnhvônghi¾m

1.1.2 H¾phươngtrìnhđoixNng

1 H¼phươngtrìnhđoixNngloaiI

H¾phươngtrìnhđoi xúng loaiIđoivóihai bienxvàylàh¾ phươngtrìnhmàneutathayxbóiy,thayybóixthìh¾khôngthayđoi

⇒

Phươngphápgiái:.x

+y=S

- Đ¾t

xy =P ,đieuki¾nS2≥4P.

- TìmS,P,

- Khiđó,x,y lànghi¾mcnaphươngtrình u2− Su +P=0.

Vídn1.1.(TríchđethiHocvi¾nAnninhnăm2001)

Giáih¾phươngtrình .

x

+y=1−2xy

Giái.Đ¾t

.x

+y=S

xy =P ,đieuki¾n.S S2≥4P.

=1−2P

Tađưoch¾phươngtrình

⇔

S2−2P=1

.S

=1−2P (1−2P)2− 2P=1 ⇔

.S

=1−2P4P

2 −6P=0

S

=1−2P

.P

=0

.S

=1;P=0

3

VóiS =1;P=0⇒

 P=

.x

+y=1

xy =0.

Khiđó(x,y)lànghi¾mcnaphươngtrình:

u2− u =0⇔

3

.u

=0

u=1 ⇒

.x

=0;y=1

x =1;y=0.

2

VóiS =−2;P=

2taloaitrưònghopnàyvìkhôngthóamãnđieuki¾nS V¾yh¾phươngtrìnhcóhainghi¾mlà(x;y)=(0;1);(1;0).

2 H¼phươngtrìnhđoixNngloaiII

≥4P.

H¾phươngtrìnhđoixúngloaiIIđoivóixvàylàh¾phươngtrìnhmàneutathayxbói

y,thayybóixthìphươngtrìnhnàybienthànhphươngtrìnhkiavàngưoclai

Phươngphápgiái:

- Trùtheovehaiphươngtrìnhcnah¾,tađưocm®tphươngtrìnhtíchdang:

(x−y)f(x;y)=0.

- Sauđólanlưotthayx =y;f(x,y)=0,vàom®ttronghaiphươngtrìnhcnah¾,tađưocm

®tphươngtrìnhđãbietcáchgiáivàgiáitieptìmnghi¾mcnah¾



Vídn1.2.(TríchđethiđaihockhoiBnăm2003)

Giáih¾phươngtrình



3y=



3x=

y2+2

x2

x2+2

y2

(x,y∈ R ).

Giái.Đieuki¾n: x> 0;y>0.

H¾phươngtrìnhtươngđươngvói.3

x2y =y2+2

3y2x =x2+2

.3

xy (x−y)=(y−x)(y+x)

⇔ 3y2x =x2+2

.(

x−y)(x+y+3xy)=0

⇔ 3y2x =x2+2



 x =y

.x

=y

3

y2x =x2+2.

.x

=y

Vó

i

Vó

i

3y2x =x2+2⇔

.x

+y+3xy=03y

2x =x2+2.

3x3− x2−2=0⇔x=y=1.

Vìx +y+3xy>0;∀x>0;y>0nêntrưònghopnàyvônghi¾m

V¾yh¾phươngtrìnhcónghi¾mduynhat(x;y)=(1;1).

1.1.3 H¾phươngtrìnhđangcap.f

(x,y)=a

H¾phươngtrình

g (x,y)=b đưocgoilàh¾đangcapb¾ck neu f (x,y);g(x,y)

làcácbieuthúcđangcapb¾ck

Chúý:Bieuthúc f(x,y)đưocgoilàđangcapb¾ck neu f(mx,my)=m k f (x,y).

Phươngphápgiái:

- Xéty =0(ho¾cx=0)thayvàoh¾phươngtrìnhtìmnghi¾m

- Xétyƒ=0.Đ¾tx =ty,khiđótacó.f

(ty,y)=y k f (t,1)

g (ty,y)=y k g (t,1) ⇒

.y

k f (t,1)=a

y k g (t,1)=b.

Chiatheovehaiphươngtrìnhcnah¾tađưoc:f(t,1)=a g (t,1).

b

Giáiphươngtrìnhtìmtroithayngưoclaitatìmđưocnghi¾m(x,y).



Vídn1.3.(Tríchđethiđengh%Olympic30/4/2009)

Giáih¾phươngtrình.x

3+8y3−4xy2=1

2x4+8y4−2x−y=0 (x,y∈ R ).

Giái.

- Xéty=0.Thayvàoh¾phươngtrìnhtađưoc:.x

3=1

2x4−2x=0⇔x=1.

Suyra(1;0)làm®tnghi¾mcnah¾

- Xétyƒ=0.Đ¾t.t x =ty,khiđótacó:

3y3+8y3−4ty3=12t4y4

+8y4−2ty−y=0

y3

t3+8−4t.=1

⇔

y3

2t4+8.=2t+1(Doyƒ=0)

Chiatheovehaiphươngtrìnhcnah¾tađưoc:

t3+8−4t 1

2t4+8 =2t+1

⇔t3.−8t t 2+12t=0

=0

⇔ t=2

t =6.

Vóit=0tacó(x;y)=.0;1..

2

Vóit=2tacó(x;y)=.1;1..

2

Vóit=6tacó(x;y)= √25;2√25 .

V¾yh¾phươngtrìnhcóbonnghi¾mlà

(x;y)=(1;0);.0;1.;.1;1.;.3; 1

2 2 √325 2√325

1.1.4 H¾phươngtrìnhdanghoánv%vòngquanh

H¾phươngtrìnhdanghoánv%vòngquanhlàh¾códang:



f (x1)=g(x2)

f (x2)=g(x3)

f (x n1 )=g(x n)

f

(x n )=g(x1).

%vòngquanhcácbienthìh¾phươngtrìnhkhôngđoi).Cuthe,taxéth¾hoánv

%vòngquanhbaansauđây

Phươngphápgiái:

.x

=f(y)

y =f(z)

z =f(x).

Giásúflàhàmsoxácđ%nhtrênt¾pDvàcót¾pgiátr%làT,T⊆Dvàflà

hàmsođongbientrênD

- Cách1:Đoánnghi¾mvàchúngminhnghi¾mduynhat.Đechúngminhh¾cónghi¾

mduynhattathưòngc®ngtheovebaphươngtrìnhcnah¾,sauđósuyrax =y =z.

- Cách2:Tù T⊆ D tasuyra f(x),f (f(x))vàf (f(f(x)))thu®cD.Đe(x,y,z)là

nghi¾mcnah¾thìx∈T.

Neux>f (x)thìdof tăngtrên D nên f (x)>f(f(x)).Dođó,f (f(

x))>f (f(f(x))).Suyra:

x>f (x)>f(f(x))>f(f(f(x)))=x.

Đieunàymâuthuan.Chúngtókhôngthecóx>f (x)

Tươngtntacũngchúngminhđưocrangkhôngthecóx<f(x).Dođó,x =f

(x)

Vi¾cgiáih¾phươngtrìnhbanđauđưocquyvevi¾cgiáiphươngtrìnhx =f(x)

Hơnnuatacó:.x

=f(y)

y =f(z)

z =f(x)

.x

=f(y)

⇔ y =f(z)

z =f(f(y))

.x

=f(y)

⇔ y =f(z)

z =f(f(f(z)))

.x

=f(y)

⇔ y =f(z)

z =f(z)

.x

=f(y)

⇔ z =y

z =f(z)

.x

=y=z

⇔ z =f(z).

Vídn1.4.(TríchđethiHSGQG2006)

Giáih¾phươngtrình

√

 , x2−2x+6log3(6−y)=x

y2−2y+6log3(6−z)=y (x,y,z∈ R ).

Giái

.

√

z2−2z+6log3(6−x)=z

Đe(x,y,z)lànghi¾mcnah¾phươngtrìnhthìđieuki¾nlàx,y,z<6.H¾phương

trìnhđãchotươngđươngvói

−

,





log( 6 −y)=√

x2 y 2x+6



log3(6−z)=

y2−2y+6

log3(6−x)=√

z2

z

−2z+6

hay

.log

3(6−y)=f(x)log3

(6−z)=f(y)log3(6

−x)=f(z).

vóif (x)=√ x2−2x+6 ;g(x)=log x 3 (6−x).

Tacóf t(x)= 6−x

(x2−2x+6) √ x2−2x+6 > 0;∀x<6.

Suyraf(x)làhàmtăngcòng(x)làhàmgiámvóix<6

Neu(x,y,z)làm®tnghi¾mcnah¾phươngtrình,tachúngminhx =y=z.

Khôngmat tínhtongquát,giásúx =max(x,y,z).Taxéthaitrưònghopsau:

Trưònghop1: x≥y≥z.

Dof (x)làhàmtăngnênf (x)≥f(y)≥f(z).

Suyralog3(6−y)≥log3(6−z)≥log3(6−x).

Dog(x)giámnên

6−y≤6−z≤6−x⇔x≤z≤y⇒x=y=z.

Trưònghop2: x≥z≥y.

Tươngtnnhưtrêntasuyrax =y=z.

Phươngtrìnhf(x)=g(x)cónghi¾mduynhatx=3

V¾yh¾phươngtrìnhcónghi¾mduynhat(x,y,z)=(3,3,3).

1.2 Phươngphápcơbán

1.2.1 Phươngphápc®ngđaiso

Đegiáih¾phươngtrìnhbangphươngphápc®ngđaiso,tacóthekethophaiphươ ngtrìnhtrongh¾bangcácphéptoánc®ng,trù,nhân,chiađethuđưocphươngtrìnhh¾ quáđơngiánhơn,degiáihơn

Vídn1.5.(Tríchđethiđaihocanninhnhândânnăm1999)

Giáih¾phươngtrình.,

x2+x+y+1+x+,y2+x+y+1+y=18

,

x2+x+y+1−x+,y2+x+y+1−y=2

C®ng,trùtheovehaiphươngtrìnhcnah¾tađưoc

(x,y∈ R ).

Tàili¾uthamkháo

[1]NguyenTàiChung(2015),Sángtaovàgiáiphươngtrình,h¾phươngtrình,batp hươngtrình,NXBTonghopTPHCM.

[2]HàVănChương(2012),Tuyenchonvàgiáih¾phươngtrình,h¾batphươngtrình,ph ươngtrình,batphươngtrìnhkhôngmaumnc,NXBĐHQGHN.

[3]NguyenVănL®c(2012),Tuyenchoncácbàithivôđ%chToánócácđ

%aphương,NXBĐHQGHN.

[4]NguyenVũLương(Chnbiên)-PhamVănHùng-NguyenNgocThang(2006),H¾phươngtrìnhvàphươngtrìnhchúacănthúc,NXBĐH

QGHN

[5]NguyenVănM¾u,Phươngphápgiáiphươngtrìnhvàbatphươngtrình,NXBG D [6]Đ¾ngThànhNam(2014),Nhungđieucanbietluy¾nthiĐaihockythu¾tgiáinhan hh¾phươngtrình,NXBĐHQGHN.

[7]LêXuânSơn(2014),PhươngpháphàmsotronggiáiToán,NXBĐHQGHN.

[8]MaiXuânVinh(Chnbiên)-PhamKimChung-PhamChíTuân-Đào

VănChung-DươngVănSơn(2015),Tưduylogictìmtòilòigiáih¾phươngtrình,NXBĐHQGHN [9]Bantochúckỳthi,Tuyent¾pđethiOlympic30tháng4,NXBGD.