Ứng dụng sai phân giải bài toán biên của phương trình eliptic

Emxinchânthànhcám ơnPhòngsauĐaihoc;Cácthaygiáo,côgiáotrongKhoaToáncùngtoànthecácanhch %emhocviênkhóa13chuyênngànhToángiáitíchTrưòngĐaihocSưphamHàN ®i2,đãđ®ngviêngiúpđõđetácgiácóđieuki¾nt

Emxinchânthànhcám ơnPhòngsauĐaihoc;Cácthaygiáo,côgiáotrongKhoaToáncùngtoànthecácanhch

%emhocviênkhóa13chuyênngànhToángiáitíchTrưòngĐaihocSưphamHàN

®i2,đãđ®ngviêngiúpđõđetácgiácóđieuki¾ntotnhattrongsuotquátrìnhthnchi¾nđetàinghiêncúukhoahoc.Đ¾cbi¾t,emxinbàytólòngcámơnsâusact

óiT S NguyenVănHùngđãđ

%nhhưóngchonđetàivàt¾ntìnhchíbáogiúpđõem hoànthànhLu¾nvănnày.DothòigianvàkienthúccóhannênLu¾nvănkhôngtránhkhóinhunghanchevàc

Emxincam đoan,dưóisn hưóngdancnaTS NguyenVănHùng,Lu¾nvă

nT h a c s y chuyênngànhToángiáitíchvóiđetài" Ú N G DUNG SAIPH

ÂNGIÁIBÀITOÁNBIÊNCÚAPHƯƠNG

TRÌNHELIPTIC"đưochoànthànhbóichínhsnnh¾nthúccnabánthântá

cgiá,khôngtrùngvóibatcúLu¾nvănnàokhác

Trongquátrìnhnghiênc ú u thnchi¾nLu¾nvăn,tácgiáđãkethùanhungthànhtnuc n a c á c nhàkhoahocvóis n trântrongvàbietơ n !

HàN®i,tháng11năm2011

Tácgiá

BùiVănLương

Mnclnc

Làinóiđau 4

Chương1.Cáckháini¾mcơbánvephươngtrìnhđaohàmriêng 6

1.1 Cáckíhi¾uvàđ%nhnghĩachung 6

1.1.1. Vem ie n trongRn 6

1.1.2 Veđaohàm 6

1.1.3 Vecáckhônggian 7

1.1.4 Đ%nhnghĩaphươngtrìnhđa o hàmriêng 7

1.1.5 Cácphươngtrìnhđ ¾c bi¾t 8

1.2 Phânloaiphươngtrìnhđaohàmriêng 9

1.3 CácbàitoánbiêncnaphươngtrìnhEliptic 10

Chương2.Phươngtrìnhsaiphân 11

2.1 Cáckháini¾mcơbán 12

2.1.1 Đ%nhnghĩa 12

2.1.2 Tínhchatcna saiphân 14

2.2 Phươngtrìnhsaiphântuyentính 17

2.2.1 Đ%nhnghĩa 17

2.2.2 Nghi¾m 18

2.2.3 Tuyentínhhóa 23

2.3 Phươngtrìnhsaiphântuyentínhcapm®t 25

2.3.1 Đ%nhnghĩa 25

2.3.2 Nghi¾m 25

2

2.3.3 M®tsophươngpháp

tìmnghi¾mriêngx ∗cnaphươngtrìnhsaiphântuyentínhcap m®tkhôngthuannhat 26

2.3.4 Phươngtrìnhsaiphântuyentínhcapm®tvóih¾sobienthiên 29

2.4 Phươngtrìnhsaiphântuyentínhcaphai 31

2.4.1 Đ%nhnghĩa 31

2.4.2 Nghi¾m 32

2.4.3 Phươngtrìnhsaiphântuyentínhcaphaivóih¾sobienthiên 35

Chương3.GiáibàitoánbiênphươngtrìnhE l i p t i c bangphươn gphápsaiphân 38

3.1 SaiphânhóabàitoánbiêncnaphươngtrìnhEliptic 38

3.1.1 BàitoánbiênĐirichlê 38

3.1.2 Nhungbưócđichínhtrongvi¾csaiphânhóabàitoánbiênĐirichlê 39

3.1.3 Thídu 44

3.1.4 BàitoánbiênNơman.Saiphânhóabiênki¾n∂u/∂n 45

3.2 Phươngphápgiáih¾phươngtrìnhs a i phânc n a bàitoánbiênphươngt rìnhEliptic 48

3.2.1 Vàiđieuchúý 48

3.2.2 Vevi¾cgiáil¾pc á c h¾phươngtrìnhđ a i so tuyentính 52

3.2.3 Phépl¾pIacôbivàphépl¾pZayđen 55

3.2.4 Phépgiámdưquáhanketiep(phépl¾pSOR) 57

3.2.5 Phépl¾pluânhưóng(phépl¾pADI) 60

3.2.6 Cácphépl¾pkhoi 64

3.3 Snh®itucnabàitoánbiênsaiphânphươngtrìnhEliptic 66 3.3.1 Đưòngloichungđechúngminhsn h®itu 66

3.3.2 Cáchchúngminhcuthe 67

Ketlu¾n 70

Tàili¾uthamkháo 71

Phươngtrìnhđaohàmriêngđưocnghiêncúulanđautiênvàogiuatheký18trongcáccôngtrìnhcnanhungnhàtoánhocnoitiengnhưƠle,Đalambe,LagrăngvàLaplaxơnhưlàm®tcông

cuquantrongđemôtácácmôhìnhcnav¾tlývàcơhoc.Nhungbàitoáncón®idungtươngtnvancònđưocnghiêncúuđent¾nngàynayvàlàm®ttrongcácn®idungcơbáncnalýthuyetphươngtrìnhđaohàmriêng.Chíđengiuatheký19vàđ¾cbi¾tlàtrongcáccôngtrìnhcnaRiemann,phươngtrìnhđaohàmriêngmóitróthànhcông

cumanhtrongnhunglĩnhvnckháccnatoánhoclýthuyet.Phươngtrìnhđaohàmriêngthưòngxuyênxuathi¾ntrongcácbàitoánúngdungcnalýthuyetthuýđ®nghoc,cơhoclưongtú,đi¾nhoc,đi¾n–tùtrưòng

Đas o c á c bàitoánnàyratphúctap,khôngc ó phươngphápgiáiđúng.Nhieubàitoánkhôngcónghi¾mtheonghĩacođien.Vanđetìmnghi¾mđúngcnacácphươngtrìnhđaohàmriêngnhieukhikhôngthevàcũngkhôngcanthnchi¾ntrongmoitrưònghop.Bóiv¾ytrongnhieutrưònghoptachítìmđưocnghi¾mganđúngcnacácphươngtrìnhđaohàmriêngvàcũngtùđóxuathi¾ncác phươngphápđegiáiganđúngcácphươngtrìnhđó

Phươngpháps a i phân(hayc ò n goilàphươngpháplưói)làm®ttrongnhungphươngphápđưocápdungr®ngrãitrongnhieulĩnhvnckhoahoc,kythu¾t.N

®idungcnanólàdanđoitưongcanxétvevi¾cgiáiphươngtrìnhs a i phân.M ®

t trongnhungúngdungc n a phương

phápnàylàgiáibàitoánbiênphươngtrìnhđaohàmriêng,trongđócóphươngtrìnhElipticlàm®ttrongnhungphươngtrìnhđaohàmriêngquantrong.Vóimongmuonđưoctìmhieukyhơnc á c úngdungc n a s a i phân,cùngvóis

n giúpđõvàhưóngdant¾ntìnhc n a T i e n s ĩ NguyenVănHùng,tôixingióithi

¾uđetài:

“ÚNGD U N G SAIPHÂNG I Á I BÀITOÁNBIÊNCÚAPHƯƠ

NGTRÌNHELIPTIC”

x

Chương1 Cáckháini¾mcơbánvephươngtrình

VóiA ∈R n+1 ,kíhi¾uC k,m (A)t¾ptatcácáchàmu(x,t)xácđ%nhtrên

Asaochou (x,t)vàD α D β u (x,t)liêntuctrênA0vàcóthetháctrien

1

1

2 2

riêngc a p m

Phươngtrìnhđaohàmriêngđ ưocgoilàtuyentínhneunótuyentínhđoivóitatcácáchàmanvàcácđaohàmriêngcnachúng.Cũngvìv¾ymàphươngtrìnhđaohàmriêngtuyentínhchíchúac á c đaohàmhàmanb¾cm®t

Thídn:M®tnghi¾mcnaphươngtrình

cos(ax+y)+e −ax+y

1.1.5. Cácphươngtrìnhđ¾cbi¾t

∂2u

∂x2

+···+

+···+

PhươngtrìnhPoison:∆u=f(x).Khif(x)=0trênΩtacóphươngtrìnhLaplace

Phươngtrìnhtruyennhi¾t:u t −∆u=f(x,t);(x,t)∈Q T ,óđâyu=

.B

C

=

AC

.∂

x

∂ψ ƒ

u|Γ=ϕ,( x,y)∈Γ.

2) BàitoánNơman: ∂u L (u)=f,(x,y)∈G

Chương2Phương trìnhsaiphân

Phươngphápsaiphânlàphươngphápđưocápdungr®ngrãitrongnhieulĩnhvnckhoahoc,kĩthu¾t.N®idungcnanólàđưabàitoáncanxétvevi¾cgiáiphươngtrìnhsaiphânho¾ch¾phươngtrìnhsaiphân(túclàh¾thúcho¾ccách¾thúcliênh¾cácgiátr

%cnacáchàmsotaicácđiemkhácnhaunhưnhunghàmsoc na đoisonguyên).Thídu,đetìmnghi¾mcnaphươngtrìnhđaisoho¾csiêuvi¾t

Tac ũ n g c ó theviet(2.1)dưóidang:

saocho|ϕ r (x)|≤q≤ 1,∀ x∈(a,b)vàtìmnghi¾mc n a (2.3)(cũngc ó

x (n) 1 3 4 7 6

.∆(

kk)!

=(n+1) (n+1)!

−1.

k=1

( n + 1)

n

;2

1.

x2∆cos k−2 x,

nx xsin

xsi n

nx

2, xƒ=2kπ,k∈Z.

sin2

đâylàbangk)làc a p c n a phươngtrìnhs a i phântuyentính.

Dotínhchat1 c n a s a i phân,s a i phânc á c c a p đeuc ó thebieudienquacácgiátr%cnahàmso,nênngưòitathưòngdùngđ

%nhnghĩadưóiđâytươngđươngvóiđ

%nhnghĩatrên,nhưngthu¾nti¾nhơn

úctuyentínhgiuac á c giátr%c n a hàmx ntaic á c điemkhácnhau:

soho¾ccáchàmsocnan,đưocgoilàcách¾socnaphươngtrìnhsaiphân;f nlà m®thàmsocnan,đưocgoilàvephái;x nlàgiátr%cantìm,đưocgoilàan

Phươngtrình(2.6)đưocgoilàphươngtrìnhsaiphântuyentínhcapk(còngoi làb¾ck),vìđetínhđưoctatc á cá c giátr%x nta pháichot r ư ó c kgiátr

%liêntiepcnax n ,roitínhcácgiátr%cònlaicnax ntheocôngthúctruyhoi(2.6)

x n =C1x n1 + C2x n2 + ···+C k x nk , trongđóC1,C2, ,C k làcáchangsotùyý.

n n

Sauđâylàm®tsotrưònghopđ¾cbi¾t,cóthex ∗ tìmđơngiánhơn

vànhanhhơn.Các dangđ¾cbi¾tnàycn ax ∗

làchuyentươngúngtùcácdangđ¾cbi¾tcnaphươngtrìnhviphânthưòng.Đexácđ

%nhcácthamsotrongcácdangnghi¾mnày,ngưòitadùngphươngpháph¾so

batđ%nh(còngoilàphươngphápchon)

a) Trưànghapf n làđathÚcb¾cmc ía n:f n =P m (n),m∈N.

1. Neuc á c nghi¾mλ1,λ2,λ klàc á c nghi¾mthnckhác1 c n a phương

trìnhđ¾ctrưng(2.8),thìx ∗ =Q m (n),m∈ N,vóiQ m (n)làđathúc

n1 + x n2 + ···+x ns (dotínhtuyentínhc n a phươngtrìnhs a i phân).

c n a phươngtrìnhs a i phân.Sauđâytalaym®ts o víduđeminhhoachoýnóitrên.

Giáih¾nàytađ ư o ca1=10,a2=−1,b=0vàx n+1 =10x n − x n−1.

2.3 Phươngtrìnhsaiphântuyentínhcapm®t

Cácbàitoánthnctienthưòngdanvephươngtrìnhsaiphântuyentínhcapm

®t,ho¾cdanvedangchínhtac,màthncchatcũnglàphươngtrìnhsaiphântuyentínhcapm®tvóianlàm®tvectơ.Bóiv¾y,taxétkĩbàitoáncapm®t

n n

n

x

n n

Đetìmnghi¾mcna(2.10),tadnavàođ%nhlísauđây:

x n +x ∗ =C(n−1)!+ n− (n−1)!

Neu(2.13)cónghi¾mđơnλ =1thìx ∗ =nQ

k (n).

Neuα =cosβ±isinβ,vóii2=−1,khônglànghi¾mcnaphươngtrình

đ¾ctrưng(2.13),thìtìmx ∗dưói dang:x ∗ =T k (n)cosβn+R k (n)sinβn,

trongđóT k (n),R k (n)làcácđathúcb¾ckcnan.

Neuα =cosβ±isinβn,vóii2=−1,lànghi¾mcnaphươngtrìnhđ¾c

trưng(2.13),thìtìmx ∗ dưóidang:x ∗ =nT k (n)cosβn+nR k (n)sinβn, trongđóT k (n),R k (n)làcácđathúcb¾ckcnan.

−

x n+2 =p n x n+1 +q n x n +f n ;n=0,1,2,

trongđóA,Blàhaihangsotùyý.

Vídn2.14.Gi ái phươngtrìnhsaiphân:

n+2

tađưoc

n+3

n+2 n

x n+2 − 2

n+1 n+2

x n+1 − 3

nn +1

Chương3 GiáibàitoánbiênphươngtrìnhElipti

cbangphươngphápsaiphân

3.1 SaiphânhóabàitoánbiêncúaphươngtrìnhEliptic3.1.1 BàitoánbiênĐirichlê

TaxétbàitoánbiênĐirichlê:T ì m hàmu (x,y)thóamãntrênG

m vàn lànhungs o nguyênnàođó.C á c đưòngthangaytaonênm®tlưóichunh

¾tđeu.C á c giaođiemc n a đưòngthangayđưocgoilànhungđiemlưói.Đieml ưóidoc á c đưòngthangx =mh,y= nltaonêngoilàđiemmn.Tagoicácđiemm

±1,nvàm,n±1lànhungđiemkec n a điemmn.Tachíxétcácđiemlưóithu®c Gvàkíhi¾ut¾pđiemaylàG h TrênG hta phânbi¾tnhungđiem-

trong,lànhungđiemmàcábonđiemkeđeuthu®cG h ,vànhungđiem

biên,lànhungđiemcnaG hmà

khôngpháilàđiem-trong.Takíhi¾ut¾pđiemtronglàG h,t¾pđiembiênlàΓh. G h∪ Γ h= G h

Côngvi¾cvùalàmketrêngoilàvi¾cròirachóamienG.NótaoratrênG t¾pđi emròiracG h Hình3.1chothaymienG đãđưocròirachóa,cácđiembiênđưocđá

NeuQ khôngó trênΓ thìtachontrênΓ điemQ rgannhat(ho¾c

khágan)vóiQvàlay:

U(Q)=u(Q r )=ϕ(Q r ). (3.5)

L h U mn =a mn

h2(U m−1,n −2U mn +U m+1 ,n)1

+b mn

l2(U m,n−1 −2U mn +U m,n+1)1

m n

Tagoi(3.14)làphươngtrìnhsaiphânhaysơđosaiphânc n a điemmn.Sơđos a i phân(3.14)c ò n goilàsơđonămđiem,bóivìngưòitađãhuyđ®ngvàođaygiátr

%bangsoU = {U mn }đethaychohàmu (x,y),nhưngchítìmđưocnótrênt¾p

điemròiracG hc n a mienG.Vìh,lchonkhábé,chonênt¾pđiemG hkhádàyđ¾cđet¾pgiátr

%U mnc hota“hìnhdungđưocm®tcáchtamđn”hàmu (x,y)trênG

H¾phươngtrìnhsaiphân(3.15)làm®th¾phươngtrìnhđaisotuyentínhmàs

o phươngtrìnhvùav¾nbangs o an.Vìs o ayratlón(hàngchucđenhàngvanan)chonênvi¾cgiáic á c h¾phươngtrìnhaymatnhieucôngsúc,ngaycávóimáytínhđi¾ntú.Vanđegiáicách¾ayseđưocnóirõóphan3.2

2

µ (x,y)>0,vàcótrênbiênΓcnaGgiátr%chotrưóc

u (x,y)=ϕ(x,y),[(x,y)∈Γ] (3.19)GiásúX,Ycóưócchungh (X=ph,Y=qh)vàtadùnglưóivuôngx m

BàitoánbiênNơmancũngđưocphátbieunhưbàitoánbiênĐirichlê(3.2),(3.3)nhưngchíkhácrangtrênbiênΓ c n a mienG ngưòitacho

2.VìQkháganQ rchonêntachoganđúng

η= ltanα,ν=

h

h (h−ltanx).

• Chúý:Giá súđiem biênQkhôngótrênΓ.Neutaquyđ%nhU(Q)

hh +δh U(Q= 1)

hh +δh U(P)+

hh +δh ϕU(Q1).

(3.24)

VìuliêntuctrênGvàtadùngphépn®isuytuyentính,chonêncách

đ%nhU (Q)nhưtrênmacsaiso

m®tcáchtùyý,miensaochoti¾n.Changhan,cũngvóicácđiemnhưtrongHình3.4,nhưngcá cđiemse đưocđánhso1-

NtheoHình3.5,ho¾c3.6,ho¾c3.7tùytheotadùngthútnđánhso“trái-phái,dưói-trên”,ho¾c“dưói-trên,trái-phái”,ho¾c“chéo-xenke”

Chúý rangđ

%nhnghĩađiemkevangiunguyênnhưó phan3.1.Changhan,trongHình3.5điem7kevóiđiem2,6,8,12;trongHình

Hình3.7:

Tavieth ¾ phươngtrìnhs a i phânc n a bàitoánbiêntheodangma

Hình3.10:

BâygiòtanóivevepháiBc n a h¾phươngtrình(3.27).Tavietlai

m n

m n

m n

N

m, n

trênΓh );hơnnuaU m,n−1lúcaykhôngpháilàthànhphanc n a vectơ

l¾pchươngtrìnhtrênmáytínhđi¾ntúchocá c phépgiáil¾pcũngđơngiánhơncácphépgiáiđúng.

Tathưòngchonthu¾ttínhl¾ps a o cho(3.29)đưocthóamãnđoivóinghi¾m

U =A −1 Bc n a (3.27),túclàA −1 B= C k A −1 B+G k ,hayG k = (I−C k )A −1 B ( I−Matr¾nđơnv%N×N).Tađ¾t

M k :=(I−C k )A −1

Tađòihóiphépl¾ppháih®itu,túclàU (k) → U(k→∞),haycũngthe,ε (k) → 0(k→ ∞).Neuđưocthe,thìvóik đnlón,ε (k) ,ε (k+1) ,

đeuđnnhó.Khiaytangùngphépl¾pvàlayU (k)làm U.Đebietmúcđ®nhócnacá

cε (k)ta canđ%nhchuanchocácvectơN- chieu.Khicác

vectơayđãđưocđ%nhchuan,thìc á c matr¾nN ×N,vóitưcáchlà

sauk lanl¾pc n a m®tphépl¾ph®ituε(0) đãđưocnh¾nvóih¾so

thunhó"φ k ".V¾ytrungbìnhsaumoilanl¾p,chuanc nasaiso đưoc

cnaphépl¾pφ k,vàgoi

lim

làsuath®itnti¾mc¾ncnaphépl¾pφ k.Suath®ituti¾mc¾nlàm®ttrongnhungtiêuchuanthưòngdùngđes o s á n h c á c phépl¾pvem¾ttocđ®h®itu.Takíhi

DU= (E+F)U+BhayU= D −1 (E+F)U+D −1 B, (3.40)

tu,nhưngh®ituratch¾m.R ∞ (J)≈O . h .Đoivóih¾(3.27)phép

l¾pSh®itu nhanh gapđôiphépl¾pJ (R ∞( S )=2R ∞( J))

(3.44)

này,c á c thànhphanc n a U˜ đưocs ú a ketiepnhautù U˜1đe

¾pZayđenbangcáchthaylưongs ú a( −r i /a ii) cna nóbanglưongsúaω (−r i /

a ii) ,ωlàthams o Roihochongiátr

%ω = ω ∗đechophépl¾ph®itunhanhnhat.K e t quálàđoivóic á c h¾phươngtrìn

hs a i phânc n a phươngtrìnhe l i p t i c ω ∗> 1 :lưongs ú a đãvưotquámúcthưò

Theo(3.50)thìµ(1)=λ2.V¾yđoivóicách¾phươngtrìnhsaiphâncnaphươngtrìnhe l i p t i c , phépl¾pZayđenh®itunhanhgapđôiphépl¾pIacôbitươngúng.

m n

vàphépl¾pS,phépl¾pSOR(vóiω =ω ∗ )giámđưockhoángO(h −1)

lanthòigiansúdungmáytínhđegiáil¾ph¾(3.27).Đólàm®tsntietki¾mthòigiòratđángke

U m+1,n ,

m n

Neuđánhso1-Ncácđiemmntheothútn“trái-phái,dưói-trên”,

Trong(3.53)thayA bangA1+A2vàthnchi¾nphépl¾pbanghainúabưóc:

2)

chéo(3.56)giáiđưocbangphươngphápkhúđuoinhưsau.KhúU ( k+

óphươngtrìnhđaucnah¾vàthayvàophươngtrìnhthúhai.Nhưv¾y,

tađưocphươngtrìnhthúhaimói.Phươngtrìnhaychícònhaianlà

Nư1 , ,U ( k+1 1

Đegiáih¾(3.55)tađưaU (k+1)sangtrái:

(I+α k A2)U (k+1)=(Iưα k A1)U( k+2)+α k B. (3.57)

Bâygiòtađánhs o 1 - N theothútn“ d ư ó i -

trên,trái-phái”đechomatr¾nI +α k A2c ódangbađưòngchéo.Vàtagiáih¾(3.57)bangphépkhúđuoitươngtnnhưtrên

(Neuchúýrangvi¾cđoithútnđánhsocácđiemmnchídùngtrongthnchành;cò

ntronglílu¾ntapháico

đ%nhm®tcáchđánhso,đechocácvectơU (k) ,U( k+1 ,U (k+

1) đưocdienđattheocùngm®th¾vectơcơsóđãđ%nh.)

Dedàngnh¾nthayvectơsaisoε (k): = UưU (k)thóamãnh¾phươngtrình

ε (k+1) = P(α k )ε (k) , P(α k ):=(I+α k A2)ư1(Iưα k A1)(I+α k A1)ư1(Iưα k A2).

VìA1,A2c ótínhgiaohoán( A1A2=A2A1)chonênc á c thùas o trongP (α

k)cũnggiaohoánđưocvàtacótheviet

P(α k )=(Iưα k A1)(I+α k A2)ư1(Iưα k A2)(I+α k A2)ư1 .

φ k = P(α k )×P(α k−1 )× ×P(α0),ρ(φ k )=ρ [P(α k )]×ρ[P(α k−1 )]× ×ρ[P(α0)].

Pixơman,Rêchfođãgiáibàitoán:chondãyα0,α1, ,α ks a o choρ(φ k)cógiátr

%bénhat.Ketquálàvóicácα0,α1, ,α kchonnhưv¾yphépl¾pluânhưóngh®itunhanhhơnrõr¾tsovóiphépl¾pSOR

%,khienchophépl¾pkhôngh®itu

−E2 D2 −F2

· A=

Cácphépl¾pkhoih®itunhanhhơncácphépl¾pđiemtươngúng.Ngoàiracácphépl¾pkhoic ũ n g ti¾ndùngchomáytínhđi¾ntúkhi

giáinhungbàitoánratlón.Đólàvìđoivóinhungbàitoánnhưv¾yc á c giátr

%trunggianpháilưuób®nhóngoài.Kh iđưachúngtùb®nhóngoàivàob®nhótrong,ho¾ctùb®nhótrongrab®nhóngoài,vóiphépl¾pkhoitaseđưachúngtùngloatm®t(úngvóitùngkhoim®t).Làmnhưthenhanhhơnđoivóiphépl¾pđiem,vìóphépl¾pđiemtapháiđưacácgiátr%trunggiantùngcáim®t

%nhtrênG h⊂ G.B à i toánbiêns a i phânayđưađenh¾phươngtrìnhđais o tuy

entínhA U = Bmàcáchgiáiđãđưocxétó phan3.2.

Vìu xácđ%nhtrênG chonênnóc ũ n g xácđ%nhtrênG h.V¾ytrên

chúngminhsnh®ituay.Trưóckhiđivàochitiet,taphácquađưòngloichúngminh.

m n

,α ,α ,α

h2L h u mn =h2f mn + h2O (h2+l2).

Trùvói(3.64):

h2L h ε mn = h2O (h2+l2),[ ( mn)∈G h ]. (3.67)M¾tkhác,trênΓh ,ε mns e bang0,ho¾cbangO(h+l),ho¾cbangO(h2+l2),tùytheotas a i phânhóabiênki¾nbang(3.4),(3.5)ho¾c(3.24)

h,lđnbé,cách¾soóvepháiđeudương.Dotínhđưòngchéotr®icna

Lu¾nvănđãtrìnhbàym®tsovanđesauđây:

1 Cáckháini¾mc ơ bánvephươngtrìnhđaohàmriêng,phânloaiphươngtrìnhđaohàmriêng,vàgióithi¾um®ts o bàitoánbiêncnaphươngtrìnhE l i p

t i c

2 Cáckháini¾mvàtínhchatcănbáncnasaiphân;Đ%nhnghĩavàm®tsođ

%nhlývenghi¾mcnaphươngtrìnhsaiphântuyentính,đ¾cbi¾tlàphươngtrìnhsaiphântuyentínhcapm®tvàcaphai

3 Phươngpháps a i phânhóac á c bàitoánbiênc n a phươngtrìnhEliptic

4 Cácphépl¾pgiáih¾phươngtrìnhs a i phânc n a bàitoánbiênphươngtrìnhElipticnhư:phépl¾pIacôbi,phépl¾pZayđen,phépl¾pSOR(phépgiámdưquáhanketiep),phépl¾pluânhưóng,phépl¾pkhoi

5 Chúngminhsnh®itucnabàitoánbiênsaiphâncnaphươngtrìnhEliptic

[7]M C o s t a b e l , M

Dauge(1993),Generaledgeasymtoticsofsolu-tionsofsecondorderEllipticboundaryvalueproblemsI,Proc.Toy.Soc.E

dinburgh

[8]Y.EgorovandV.A.Kondratiev(1996),OnspectraltheoryofEl

-lipticoperators,B i r k h a u s e r , B a s e l - B o s t o n - B e r l i n

[9]B A.Plamenevskii(1999),OntheDirichletproblemforthewaveequa

tioninthecylinderwithedges,St.PeterburgMath.J.10(1999).