Phương pháp giải tích Fourier trong tổ hợp cộng tính

Nótương tn như phương pháp xác suat nhưng vói m®t thành phan móiquan trong, đó là các đai lưong đưoc tính giá tr% trung bình se đưoc "xoan" ho¾c "đưoc bien đi¾u" bói m®t so hàm pha giá t

LèI CÁM ƠN

Trong quá trình hoc t¾p và nghiên cúu khoa hoc, tác giá đã

nh¾n đưoc sn hưóng dan nhi¾t tâm cna TS Tran Văn Vuông đưoc sn đ%nh hưóng cna thay mà tác giá thnc hi¾n đe tài "Phương pháp giái tích Fourier trong to hap c®ng tính" Tác giá xin

bày tó lòng cám ơn sâu sac nhat đen ngưòi thay quá co cna mình

Tác giá xin đưoc gúi lòi cám ơn chân thành tói TS Tran Văn Bang ngưòi đã giúp tác giá hoàn thành lu¾n văn Cám ơn các thay

cô giáo đã nhi¾t tình cung cap các tri thúc khoa hoc giúp tác giánâng cao trình đ® tư duy, hoàn thành tot quá trình hoc t¾p và làmlu¾n văn

Tác giá rat biet ơn tói BGH Trung tâm giáo duc thưòng hưóng nghi¾p Đoan Hùng- Phú Tho và các đong nghi¾p đã quantâm giúp đõ, tao moi đieu ki¾n thu¾n loi cho tác giá thnc hi¾n kehoach hoc t¾p cna mình

xuyên-Tác giá xin đưoc cám ơn tói gia đình, ban bè đã giúp đõ, đ®ngviên tác giá trong quá trình hoàn thành lu¾n văn Do thòi gian vàkien thúc có han nên Lu¾n văn không tránh khói nhung han che vàcòn nhung thieu sót nhat đ%nh Tác giá mong đưoc nhung ý kienđóng góp cna các thay giáo, cô giáo và các ban hoc viên

Hà N®i, tháng 10 năm 2011

Tác giá

LèI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan Lu¾n văn là công trình nghiên cúu cna riêng

tôi dưói sn đ%nh hưóng cna TS Tran Văn Vuông và đưoc hoàn thành dưói sn hưóng dan cna TS Tran Văn Bang.

Trong khi nghiên cúu lu¾n văn, tôi đã ke thùa thành quá khoahoc cna các nhà khoa hoc và đong nghi¾p vói sn trân trong và bietơn

Hà N®i, tháng 10 năm 2011

Tác giá

Mnc lnc

Má

1 M®t so kien th N c chuan b% 8

1.1 T ¾p hop c®ng tính và cau trúc c®ng tính 8

1.2 M®t so ký h i¾u 13

1.2.1 Ve t¾p hop và hàm 13

1.2.2 Ve h¾ thong so 14

1.2.3 Ký hi¾u ti¾m c¾n Landau 14

1.2.4 Ve cap c®ng 15

1.3 Bien đoi Fourier 18

1.4 Không gian L p , 1 ≤ p ≤ ∞ trong to hop c®ng tính 24 2 Ph ư ơng phá p giá i tí c h F ourie r tron g t o ha p c®n g tín h 28 2.1 Đ® l¾c h tuyen tính 28

2.2 T ¾p hop Bohr 34

2.3 Các Λ( p ) - hang so, B h - t¾p hop và các t¾p phân ly 43 2.4 Pho cna t¾p hop c®ng tính 52

2.5 Cap c®ng trong cá c t¾p tong 59

3

Mé ĐAU

1 Lí do chon đe tài

To hop c®ng tính là m®t trong nhung lĩnh vnc nghiên cúu ve cautrúc c®ng tính cna các t¾p hop, đã và đang rat phát trien Nó cóliên h¾ ch¾t che vói nhieu ngành như: giái tích đieu hòa, hình hocloi, lý thuyet đo th%, lý thuyet xác suat, hình hoc đai so, lý thuyetegodic Các bài toán cna To hop c®ng tính đòi hói phái sú dungcác công cu cna m®t ho¾c m®t so ngành nói trên, th¾m chí là cnacác ngành khác nua (xem [3]-[6]) Phương pháp xác suat rat quantrong trong lý thuyet to hop c®ng tính, trong đó cau trúc c®ng cnam®t đoi tưong ngau nhiên đưoc hieu thông qua vi¾c tính toán cácgiá tr% trung bình ho¾c các moment cna đoi tưong đó Lu¾n vănnày tìm hieu ve m®t công cu khác có tam quan trong không kém,

đó là giái tích Fourier Đây là m®t cách khác đe tính các giá tr%trung bình và các moment cna các đoi tưong có cau trúc c®ng Nótương tn như phương pháp xác suat nhưng vói m®t thành phan móiquan trong, đó là các đai lưong đưoc tính giá tr% trung bình se đưoc

"xoan" ho¾c "đưoc bien đi¾u" bói m®t so hàm pha giá tr% phúc, goi

là đ¾c trưng Đieu này dan tói khái ni¾m h¾ so Fourier cna m®t t¾pho¾c cna m®t hàm- là cái đo đ® l¾ch cna đoi tưong đó vói m®t đ¾ctrưng Các h¾ so Fourier cho phép ta đat đưoc 2 muc đích:

Thú nhat, ta khai thác tính trnc giao giua các đ¾c trưng khác

nhau đe nh¾n đưoc các c¾n (không tam thưòng) cna các h¾ so đó;tính trnc giao này có vai trò tương tn như tính đ®c l¾p trong lýthuyet xác suat

Thú hai, các h¾ so Fourier rat tot đe đieu khien tích ch¾p cnacác hàm, tương tn như phép toán tong các t¾p hop

Vì the, giái tích Fourier là m®t công cu huu hi¾u đe nghiên cúucác đai lưong so hoc, đáng chú ý nhat là năng lưong c®ng tính

Sú dung giái tích Fourier, ta có the phân chia các t¾p hop c®ng

tính A theo hai thái cnc:

Thái cnc thú nhat, bao gom các t¾p hop giá ngau nhiên, là cáct¾p có bien đoi Fourier rat nhó (trù ra tai điem 0) Vói các t¾p nàychúng ta se can tói khái ni¾m đ® l¾ch tuyen tính "A" u và các Λ(p)-hang so đe đo tính giá ngau nhiên Các t¾p hop như v¾y rat "l®nx®n" đoi vói phép c®ng t¾p hop (cũng như vi¾c xác đ%nh các capc®ng có đ® dài 3) và các thu¾t ngu trên cũng cho thay, ít nhieuchúng giong như các t¾p hop ngau nhiên

Thái cnc thú hai, bao gom các t¾p hau tuan hoàn, gom các capc®ng, các t¾p hop Bohr và các t¾p hop khác có hang so kép nhóho¾c có năng lưong c®ng tính lón Dáng đi¾u cna các t¾p hop nàyđoi vói phép c®ng và các cap so có đ® dài 3 đưoc mô tá hau đay

đn bói m®t pho nhó Spec α (A)- là t¾p hop các tan so, ó đó bien đoi

Fourier cna hàm đ¾c trưng 1A là lón

Giái tích Fourier có the đưoc thnc hi¾n trên m®t nhóm c®ng tính

Z bat kỳ (th¾m chí cá vói các nhóm không giao hoán) Tuy nhiên,

lu¾n văn này chí xét trên các nhóm huu han, ó đó lý thuyet đơn

gián hơn m®t chút ve m¾t ky thu¾t Các trưòng hop Z = ZN , Z

= R/Z, Z = R cũng rat quan trong trong to hop c®ng tính (đ¾c

bi¾t là đe dan đen phương pháp vòng Hardy-Littlewood trong lýthuyet

so giái tích), nhưng ta cũng chí ra rang lý thuyet Fourier trên cácnhóm huu han có the đưoc thay cho lý thuyet Fourier trên cácnhóm vô han trong các úng dung cna chúng ta.

Bưóc đau tìm hieu ve Giái tích to hop, đưoc sn đ%nh hưóng cna thay

TS Tran Văn Vuông, em chon đe tài

“Phương pháp giái tích Fourier trong to hap c®ng tính”

Đây là m®t trong ba công cu cơ bán đe nghiên cúu To hop c®ngtính đã đưoc trình bày trong cuon sách Additive Combinatoric cnaTerence Tao và Vũ Hà Văn

2 Mnc đích nghiên cNu

Nghiên cúu m®t so van đe cna to hop c®ng tính bang phươngpháp giái tích Fourier

3 Nhi¾m vn nghiên cNu

• Nghiên cúu m®t so khái ni¾m trong to hop c®ng tính.

• Nghiên cúu m®t so khái ni¾m trong giái tích Fourier.

• V¾n dung phép bien đoi Fourier đe giái quyet m®t so van đe

trong to hop c®ng tính

4 Đoi tưang và pham vi nghiên cNu

Úng dung phép bien đoi Fourier trong nghiên cúu to hop c®ngtính

5 Phương pháp nghiên cNu

• Nghiên cúu tài li¾u tham kháo.

• Tong hop, phân tích, h¾ thong lai các khái ni¾m, tính chat.

• Hói ý kien chuyên gia.

6 NhÑng đóng góp cúa đe tài

M®t cách úng dung phép bien đoi Fourier trong to hop c®ng tính

Tù nay ve sau ta luôn giá thiet Z là m®t nhóm c®ng, còn vành so

nguyên, trưòng so thnc, trưòng so phúc lan lưot là Z, R, C

Đ%nh nghĩa 1.1.2 T¾p hop c®ng tính là m®t c¾p (A,Z), trong

đó A ƒ= ∅ là m®t t¾p con huu han cna Z Ta thưòng ký hi¾u đơn

Ví dn 1.1.3 Các ví du đien hình ve nhóm c®ng là t¾p các so nguyên

Z, nhóm xyclic ZN , không gian Euclide Rn ho¾c m®t trưòng hình

hoc huu han F n

Tù ký hi¾u và khái ni¾m nêu trên, ta có the hình dung các t¾pc®ng tính như là nhung đoi tưong chính can xem xét và chúng cóthe đưoc nhúng trong m®t so nhóm khác nhau Các t¾p hop c®ngtính ít nhieu có "cau trúc c®ng"

Ví dn 1.1.4 M®t ví du đien hình ve t¾p hop c®ng tính có “cau trúc

c®ng ít” là các t¾p con đưoc chon m®t cách ngau nhiên cna m®tnhóm c®ng huu han vói lnc lưong đã cho

Ví dn 1.1.5 Đoi l¾p vói t¾p hop c®ng tính có cau trúc c®ng ít là

t¾p hop c®ng tính có “cau trúc c®ng cao” là “ cap c®ng ”

a + [0, N ) · r := {a, a + r, , a + (N − 1)r},

trong đó a, r ∈ Z và N ∈ Z+; ho¾c các “cap c®ng tong quát

d-chieu” a + [0, N ) · v := {a + n1 v1 + + n d v d : 0 ≤ n j ≤ N j , ∀1 ≤ j ≤ d}, trong đó a ∈ Z, v = (v1, , v d ) ∈ Z d , N =

(N1 , , N d ) ∈ (Z+)d ; ho¾c các “h®p l¾p phương d- chieu”

ra nhung cách đo (đ%nh lưong) ve cau trúc c®ng cna m®t t¾p hop

và nghiên cúu xem đoi vói nhung đoi tưong nào thì nhung ket quá đ

%nh lưong đó tương đương vói nhau Chang han m®t trong các

khang đ%nh sau đây đeu là m®t cách khang đ%nh “A có cau trúc

• Bien đoi Fourier ˆ1 A t¾p trung cao trong m®t h®p l¾p phương;

• A có m®t giao lón vói m®t cap c®ng suy r®ng có cõ so sánh

đưoc vói A;

• A chúa trong m®t cap c®ng suy r®ng có cõ so sánh đưoc vói A;

• A (ho¾c A− A ho¾c 2A− 2A) chúa m®t cap c®ng suy r®ng

lón

Sau đây ta nghiên cúu m®t kieu đ¾c bi¾t cna nhóm c®ng trongkhông gian Euclide:

Đ%nh nghĩa 1.1.6 [Dàn] M®t dàn Γ trong Rd là m®t nhóm conc®ng tính trong Rd , trong đó Γ là ròi rac (nghĩa là moi điem thu®c

Γ đeu là điem cô l¾p)

Neu không gian tuyen tính sinh bói dàn Γ có so chieu bang k thì ta

nói Γ có hang k, do v¾y 0 ≤ k ≤ d

Neu k = d ta nói Γ có hang đay đú.

Neu Γr là m®t dàn khác trong Rd đưoc chúa trong Γ thì ta nói Γr làdàn con cna Γ

Ví dn 1.1.7 Zd là dàn có hang đay đn trong Rd Tong quát hơn, ví

du đien hình ve m®t dàn hang k là: Z d ·v, trong đó v = (v1, v2, ,

v k ) là m®t ho k vectơ đ®c l¾p tuyen tính trong R d vói 0 ≤ k ≤ d.Khang đ%nh này là m®t phan cna đ%nh lý sau:

Đ%nh lý 1.1.8 [Đ%nh lý cơ bán ve dàn] Neu Γ là m®t dàn có

hang k trong R d thì ton tai các vectơ đ®c l¾p tuyen tính v1, ,

v k trong R d sao cho Γ = Zk · v Nói riêng, moi dàn hang k đeu huu han sinh và đang cau (qua m®t phép bien đoi tuyen tính khá ngh%ch hang k tù không gian tuyen tính sinh bói Γ tói R d ) vói dàn Z d Hơn nua, neu ω là m®t vectơ bat khá quy trong Γ ta chon

phép bieu dien trên là Γ = Zd · v đe v = ω.

Đ%nh lý 1.1.9 [John] Cho B loi, đoi xúng trong R d và Γ là dàn

hang r trong R d Khi đó ton tai w = (w1, , w r ) ∈ Γ r gom r vectơ đ®c l¾p tuyen tính trong Γ và N = (N1 , , N r ) gom r

so nguyên dương thóa mãn:

(r −2r · B) ∩ Γ ⊆ (−N, N ) · w ⊆ B ∩ Γ ⊆ (−r 2r N, r 2r N ) ·

w.

Đ%nh lý 1.1.10 [Đ%nh lý cơ bán ve nhóm c®ng huu han] Moi

nhóm c®ng huu han G đeu đang cau vói tong trnc tiep cúa m®t

so huu han nhóm xyclic Z N = Z/N Z.

và do đó G đang cau vói Z d /φ −1(0) là m®t nhóm con cna

Rd /φ −1 (0) Hat nhân φ −1 (0) là dàn hang k vói 0 ≤ k ≤ d, do đó theo Đ%nh lý cơ bán ve dàn, nó đưoc sinh bói k vectơ đ®c l¾p tuyen tính v1, , v k trong Zd

Ta phái có k = d vì neu không thì Z d /φ −1 (0) là vô han và do đó G

vô han Ta có the viet φ −1 (0) là m®t dàn đưoc sinh bói N1 e1, , N d e d vói m®t b® so nguyên N1, , N d ≥ 1 Do v¾y

G c Z/N1Z ⊕ ⊕ Z/N d Z.

Ta có đieu phái chúng minh

2A := {B : B ⊂ A}- ho tat cá các t¾p con cnaA;

|A| lnc lưong cna t¾pA.

Vói x ∈ R thì [x] là phan nguyên cna x.

1.2.3 Ký hi¾u ti¾m c¾n Landau

Cho n là bien dương (thưòng lay giá tr% trên N, Z+, R ho¾c R+

và thưòng đưoc giá thiet là lón) và goi f (n), g(n) là các hàm giá tr% cna n Khi đó

• g(n) = O(f (n)) nghĩa là f không âm và ∃C > 0 sao cho

• g(n) = Ω(f (n)) nghĩa là f, g không âm và ∃c > 0 sao cho

g (n) ≥ cf (n), ∀n đn lón.

• g(n) = θ(f (n)) nghĩa là ∃c, C > 0 sao cho

cf (n) ≤ g(n) ≤ Cf (n), ∀n.

• g(n) = o(f (n)) nghĩa là f không âm và g(n) =

O (a(n)f (n)) vói m®t hàm a(n) −→ 0 khi n → ∞; neu f (n) > 0 thì đieu đó có nghĩa là

lim g(n

• g(n) = ω(f (n)) nghĩa là f, g không âm và f (n) =

o (g(n)) Neu các hang so c, C ho¾c hàm suy giám a(n) phu

thu®c vào tham so khác thì ta se chí ra sn phu thu®c đó bói chí so

dưói Chang han g(n) = O k (f (n)) nghĩa là ton tai hang so

dương C k phu thu®c vào

[a, b) := {(n1 , , n d ) ∈ Z d : a j ≤ n j < b j , ∀1 ≤ j ≤ d},

Đ%nh nghĩa 1.2.2 [Cap c®ng] Neu Z là m®t nhóm c®ng, thì ta

đ%nh nghĩa cap c®ng suy r®ng (goi tat là cap c®ng) là t¾p hop bat

j=1

là the tích cna [0, N ]

Đ%nh nghĩa 1.2.3 [Cap c®ng proper] Ta nói cap c®ng P là

proper neu ánh xa n −→ n · v là đơn ánh trên [0, N ] hay neu lnc

lưong cna P bang the tích cna P Trưòng hop P không là proper

xáy ra khi các vectơ cơ só cna nó phu thu®c tuyen tính trên Z

Ta nói P là đoi xúng neu −P = P , chang han

[−N, N ] · v = −N · v + [0, 2N ] · v

là m®t cap c®ng đoi xúng

Đ%nh nghĩa 1.2.4 [Năng lưong c®ng tính] Neu A, B là các t¾p

c®ng tính trong cùng m®t nhóm Z, ta đ%nh nghĩa năng lưong c®ng

1.3 Bien đoi Fourier

Cho Z là nhóm c®ng huu han (ví du như nhóm xyclic Z N ).Trong muc này ta nhac lai lý thuyet cơ bán cna bien đoi Fouriertrên các nhóm huu han đó Giái tích Fourier dna trên tính đoi

ngau giua m®t nhóm Z và đoi ngau Pontryagin Zˆ cna nó, Zˆ là không gian tat cá các đong cau tù Z vào nhóm R/Z Trong trưòng hop Z là nhóm

huu han, thì ta se chí ra rang Z và

Zˆ

luôn đang cau, do đó ta se

đong nhat hai nhóm này vói nhau Đieu này đưoc thnc hi¾n nhòdang song tuyen tính không suy bien

Đ%nh nghĩa 1.3.1 [Dang song tuyen tính] M®t dang song tuyen

tính trong nhóm c®ng Z là m®t ánh xa (ξ, x) −→ ξ · x tù Z × Z vào R/Z sao cho nó là m®t đong cau theo tùng bien ξ, x.

Dang song tuyen tính đó goi là không suy bien neu ∀ξ ƒ= 0 ánh

xa x −→ ξ · x không đong nhat bang 0 và vói ∀x ƒ= 0 ánh xa ξ

−→ ξ · x không đong nhat bang 0; là đoi xúng neu ξ · x = x · ξ.

Ví dn 1.3.2 Neu Z là m®t nhóm xyclic Z N thì dang song tuyen

tính xξ =

xξ là đoi xúng và không suy bien Neu Z là m®t không gian vectơ F n trên trưòng huu han F thì dang song tuyen tính (x1 , x2, , x n ) · (ξ1 , ξ2, , ξ n ) = φ(x1 ξ1 + + x n ξ n)

là đoi xúng và không suy bien khi φ : F −→ R/Z là đong cau không tam thưòng tù F vào R/Z (ví du neu F = Zp ta có

the lay φ(x) = x )

Vói sn lna chon cu the này ta còn có aξ · x = ξ · ax, ∀a ∈ F ; x, ξ

∈ Z.

Bo đe 1.3.3 [Sn ton tai dang song tuyen tính] Moi nhóm c®ng

huu han Z có ít nhat m®t dang song tuyen tính đoi xúng không suy bien.

N

p

Chúng minh Tù Đ%nh lý cơ bán cna nhóm c®ng huu han 1.1.10 ta

có moi nhóm c®ng huu han là tong trnc tiep cna các nhóm xyclic.Trong ví du 1.3.2 ta lai có moi nhóm xyclic đeu có m®t dang song

tuyen tính đoi xúng không suy bien Hơn nua, neu Z1 và Z2 có dang

song tuyen tính đoi xúng không suy bien thì tong trnc tiep Z1 ⊕ Z2

cũng có dang song tuyen tính đoi xúng không suy bien, đưoc đ%nhnghĩa bói

(ξ1 , ξ2) · (x1, x2) = ξ1 · x1 + ξ2 · x2.

V¾y ta có đieu phái chúng minh

Nh¾n xét 1.3.4 Moi nhóm c®ng tính Z thưòng có nhieu dang song

tuyen tính nhưng theo giái tích Fourier thì chúng đeu tương đương nhau Tính đoi xúng có m®t vài ưu the nhưng không phái là nhat thiet đoi vói lý thuyet Fourier Vì bien không gian và bien tan so nói chung có vai trò rat khác nhau.

Tù nay tró đi, ta co đ%nh m®t nhóm c®ng huu han Z, cùng vói m®t dang song tuyen tính không suy bien ξ · x.

Đe trình bày ve giái tích Fourier, se thu¾n loi hơn khi ta dùng ký

hi¾u cna lý thuyet "ergodic".

Goi CZ là không gian các hàm giá tr% phúc f : Z −→ C Neu

f ∈ C Z , ta đ%nh nghĩa giá tr% trung bình hay kỳ vong cna f bói

Ta cũng có the sú dung các ký hi¾u này đoi vói m®t t¾p huu han,khác rong bat kỳ, chang han

Ký hi¾u này không chí goi ý đen moi liên h¾ giua giái tích Fourier,

lý thuyet ergodic và xác suat mà nó còn rat gon vì ngoài vi¾c laytong nó còn bao gom các thn tuc chuan hóa (chia cho |Z|) Nói

chung, ta se sú dung ký hi¾u ergodic cho các bien không gian và súdung ký hi¾u ròi rac

ξ∈Z f (ξ) và |A| (không có chuan hóa

theo

|Z|) cho bien tan so Ta cũng se thưòng xuyên sú dung hàm so mũ

e : R/Z −→ C đưoc đ%nh nghĩa bói

nhat thúc thú hai làm tương tn

Vì e(ξ · x)e(ξ r · x) = e((ξ − ξ r ) · x) nên ta chí can chúng minh

trong

trưòng hop ξ r = 0, nghĩa là chúng minh Ex∈Z e (ξ · x) = I(ξ =

0) Đieu này đúng trong trưòng hop ξ = 0 Neu ξ ƒ= 0 thì do tính

không suy bien, ∃h ∈ Z sao cho e(ξ · h) ƒ= 1 Thay x bói x + h

ta có:

Ex∈Z e (ξ · x) = E x∈Z e (ξ · (x + h)) = e(ξ · h)E x∈Z e (ξ · x)

nên Ex∈Z e (ξ · x) = 0 = I(ξ = 0) như mong muon Vói moi ξ

Vì so các đ¾c trưng |Z| bang vói so chieu cna không gian, nên ta

thay h¾ đó là m®t h¾ trnc chuan đay đn Tù đây ta có:

Đ%nh nghĩa 1.3.6 [Bien đoi Fourier] Neu f ∈ C Z , thì ta đ%nh

nghĩa bien đoi

fˆ (ξ) := (f, e ξ )CZ = Ex∈Z f (x)e(ξ · x).

Ta goi fˆ(ξ) là h¾ so Fourier cna f tai tan so ξ.

Vì e ξ là cơ só trnc chuan đay đn nên ta có đong nhat thúc Parseval

Nói riêng, hai hàm là bang nhau neu và chí neu các h¾ so

Fourier cna chúng bang nhau tai moi tan so

Nói cách khác: bien đoi Fourier là m®t song ánh tù CZ vào CZ

g

(

Tù Bo đe 1.3.5 ta thay các h¾ so Fourier cna đ¾c trưng e ξ chính là

hàm delta Kronecker: e (ξ r ) = I(ξ = ξ r ).

ˆTrưòng hop đ¾c bi¾t ˆ1(ξ) = I(ξ = 0) M®t vai trò đ¾c bi¾ttrong lý thuyet c®ng tính cna bien đoi Fourier đưoc thnc hi¾n bói

vói moi nhóm con G cna Z.

Bây giò ta đưa ra khái ni¾m cơ bán là tích ch¾p, là khái ni¾m liênket bien đoi Fourier vói lý thuyet ve các t¾p tong

Đ%nh nghĩa 1.3.7 [Tích ch¾p] Neu f, g ∈ L2(Z) là các bien ngau nhiên, ta đ%nh nghĩa tích ch¾p cna chúng là bien ngau

nhiên f ∗ g

f ∗ g(x) = E y∈Z f (x − y)g(y) = E y∈Z f (y)g(x − y).

Ta cũng đ%nh nghĩa giá supp(f ) cna f là t¾p hop

và đ¾c bi¾t là trong đang thúc

Nói riêng, neu f ho¾c g có kỳ vong bang không thì f ∗ g cũng

có kỳ vong bang không Như m®t h¾ quá cna (1.8), ta thay rangtích ch¾p là song tuyen tính, đoi xúng và ket hop Ta cũng có

công thúc

fˆ∗ g(ξ) = fˆ (η)ˆ ξ − η).

η∈Z

Công thúc này chuyen tích tùng điem thành tích ch¾p

Đ%nh lý 1.3.8 [Markov] Cho X là bien không âm Khi đó vói moi

so thnc dương λ,

P(X ≥ λ) ≤ E(X)

λ

H¾ quá 1.3.9 Cho H là nhóm nhân con cúa F p thóa mãn

|H| ≥ p δ , ∀ 0 < δ ≤ 1.

Khi đó ton tai ε = ε(δ) > 0 chí phn thu®c vào δ, sao cho

E (A, H) ≤ p −ε |A||H|2, ∀A ⊆ F p , 1 ≤ |A| ≤ p 1−δ

neu p đú lón và phn thu®c δ.

g

g

(

1.4 Không gian Lp, 1 ≤ p ≤ ∞ trong to hap c®ng

tính

Chúng ta quay tró lai lý thuyet giái tích ve bien đoi Fourier và

tích ch¾p, bat đau vói lý thuyet L p và sau đó úng dung nó vào bài

toán xác đ%nh cap so hoc cna các t¾p hop tong

Đ%nh nghĩa 1.4.1 Cho p ∈ R vói 1 ≤ p < ∞; ta đ%nh nghĩa

L p (Ω) = {f : Ω −→ R ho¾c C; f đo đưoc và |f | p khá tích},

L ∞ (Ω) = {f : Ω −→ R ho¾c C; f đo đưoc và ∃C : |f (x)| ≤ C hau khap

Đ%nh nghĩa 1.4.4 Neu f ∈ C Z và 0 < p < ∞, ta đ%nh nghĩa

L p (Z)- chuan cna f là giá tr%

E (A, B) = E(B, A) = E(A, −B)

và bat đang thúc Cauchy- Schwarz.

Vói muc đích cna to hop c®ng tính, bien đoi Fourier là huu ích

nhat khi áp dung vào các hàm đ¾c trưng f = 1A, và trongtrưòng hop này ta có the nói ve bien đoi Fourier và quan h¾ cna

nó vói năng lưong c®ng tính E(A, A).

Bo đe 1.4.6 Cho A là m®t t¾p con cúa nhóm c®ng huu han Z, và

goi ˆ1A : Z −→ C là bien đoi Fourier cúa hàm đ¾c trưng cúa A.

Bây giò ta trình bày m®t úng dung đơn gián cna bien đoi Fourier

trong vi¾c xây dnng m®t trưòng huu han F

H¾ quá 1.4.7 Cho F là m®t trưòng huu han và A là m®t t¾p hop

3

con cúa F \ {0} thoá mãn |A| > |F |4 Khi đó

3(A · A) = A · A + A · A + A · A = F.

Chúng minh Ta xây dnng trên F m®t dang song tuyen tính đoi

xúng, không suy bien

Cho f : F −→ R là hàm không âm xác đ%nh bói f = E a∈A1a·A

2

4

Chú ý rang supp(f ) = A · A và fˆ(0) = E F f = PF (A) Lay

bien đoi

Fourier ta nh¾n đưoc fˆ(ξ) = E a Aˆ1 ( ξ ), ∀ξ ∈ F Neu ξ ƒ= 0

thì các

tan so

ξ luôn khác nhau khi a bien thiên.

Sú dung Bat đang thúc Cauchy-Schwarz roi đen (1.11) thì ta đatđưoc

vì P (A) > F −1 theo giá thuyet

Do supp(f ∗ f ∗ f ) = 3(A · A) và x bat kỳ nên ta có đieu

phái chúng minh

Nh¾n xét 1.4.8 H¾ quá 1.4.7 là ví dn đơn gián ve đánh giá cúa tong- các tích Nó đ%nh rang m®t to hop cúa tong và tích cúa m®t t¾p A lón hơn t¾p A rat nhieu Nó có the đưoc xem như m®t phán

−

1

4

Đ%nh nghĩa 2.1.1 [Đ® l¾ch Fourier] Cho Z là m®t nhóm c®ng

huu han Neu A là m®t t¾p con cna Z, thì ta đ%nh nghĩa đ® l¾ch

Fourier "A" cna A là so:

A = ∅ Nó tuân theo lu¾t đoi xúng

"A" u = " − A" u = "A + h" u = "Z \ A" u , ∀h ∈ Z.

Chú ý rang " · " là không đơn đi¾u, túc là A ⊆ B không suy

ra đưoc "A" u ≤ "B" u Tuy nhiên, đ® l¾ch Fourier tuân theo batđang thúc tam giác Đ® l¾ch Fourier "A" u có the lón bang m¾t đ®

PZ (A), nhưng thưòng là nhó Các t¾p A có đ® l¾ch Fourier nhó hơn α, thưòng đưoc goi là t¾p α- đeu ho¾c t¾p α- giá ngau

nhiên; các t¾p vói đ® l¾ch Fourier nhó đưoc goi là đeu tuyen tính,đeu Gowers cap 1, ho¾c giá ngau nhiên

Moi liên quan giua đ® l¾ch Fourier và các t¾p tong đưoc mô tá trong

bo đe sau

Bo đe 2.1.2 [Tính đeu suy ra các t¾p tong lón]

Cho n ≥ 3, và A1, A2, , A n là các t¾p hop c®ng tính trong

Tat nhiên, m®t ket quá tương tn là đúng neu ta hoán đoi thú tn

A1, , A n Chú ý rang đai lưong PZ (A1) P Z (A n) là giá tr

% mong đoi cna

|Z| n−1 {(a1 , a2, , a n ) ∈ A1 × × A n : x = a1 + + a n }.

neu các sn ki¾n a1 ∈ A1, , a n ∈ A n là đ®c l¾p tùng đôi vói đieu

ki¾n x = a1 + + a n Đieu này giái thích tai sao tính đeu còn đưoc goi là tính giá ngau nhiên

Chúng minh.

Theo (1.13), hàm 1A1 ∗ ∗ 1 A n có bien đoi Fourier ˆ1A1 ˆ1A n

Áp dung công thúc Fourier ngưoc (1.7), (1.10), Bat đang thúc Cauchy- Schwarz và (1.11) ta có:

và do đó bo đe đưoc chúng minh.

Bo đe 2.1.3 [Đánh giá tong Gauss] Cho F là trưòng huu han vói

cap lé và A = F ∧2 = {a2 : a ∈ F} là t¾p các bình phương cúa

các phan tú trong F Khi đó:

"A" u ≤ + 1 .

2|F | 2|F |2

Chúng minh Lay ξ ∈ F \ {0} Do moi phan tú khác 0 trong A đeu

có đúng hai cách bieu dien dưói dang a2, nên ta có:

1 ˆ1A (ξ) = e (−ξ ·

x) =

1 + 1. e (−ξ · a2).

a,b∈

F

e (ξ · (a2

và ta có đieu phái chúng minh

Ket hop Bo đe này vói Bo đe 2.1.2, ta đat đưoc:

2

·

H¾ quá 2.1.4 Cho F là trưòng huu han vói cap lé và A = F ∧2 Khi đó, kA = F, ∀k ≥ 3.

Chúng minh Th¾t v¾y, vói ∀x ∈ F, so các cách bieu dien x thành

tong x = a1 + a2 + + a k vói a1 , , a k ∈ F là

(21−k + O k (|

F |

− ( k − 2)

2 ))|F | −

H¾ quá này chúng tó rang các t¾p tong kA ít nhieu đưoc phân

bo đeu vói k ≥ 3 Chú ý khi k = 2 ta van chúng minh đưoc

rang 2A = F , nhưng các t¾p tong có the rat không đeu, ví du,

neu −1

không là bình phương cna phan tú nào trong F , thì 0 chí có

m®t cách bieu dien thành tong cna hai phan tú trong F

Tiep theo là m®t Bo đe cho thay: Neu B là m®t t¾p con đưoc chon ngau nhiên cna A, thì "B" u xap xí vói |B| "A" u; do đó đ® l¾chFourier

giám m®t cách tương xúng khi chuyen qua các t¾p con ngau nhiên

Bo đe 2.1.5 Cho A là t¾p hop c®ng tính trong nhóm c®ng, huu

han Z và 0 < τ ≤ 1 Cho B là t¾p con ngau nhiên cúa A đưoc

xác đ%nh bang cách lay các sn ki¾n a ∈ B m®t cách đ®c l¾p vói xác suat τ Khi đó ∀λ > 0 ta có

vói xác suat cao; vì v¾y các t¾p con ngau nhiên cna Z có khá năng

là rat đeu Chú ý rang PZ (B) ≈ τ vói xác suat cao Úng dung

chn yeu cna đ® l¾ch Fourier là đe nghiên cúu ve cap c®ng vói đ®dài 3

1

2.2 T¾p hap Bohr

Trong nhieu úng dung cna phương pháp giái tích Fourier, ta đeu

xuat phát vói m®t t¾p hop c®ng tính A và ket thúc vói m®t so thông

tin ve bien đoi Fourier ˆ1A cna A (chang han, ta có the nh¾n

đưoc đ® l¾ch Fourier "A" u) Khi đó, ta muon có đưoc m®t vài

thông tin to hop mói ve t¾p A Vói m®t vài nhóm đ¾c bi¾t (chang han, trưòng huu han F n) ta có the làm đieu đó m®t cách trnctiep Tuy nhiên, đe đáo ngưoc tù các thông tin Fourier trong cácnhóm nói chung thành các thông tin to hop, ta can có khái ni¾mt¾p Bohr (còn đưoc goi là lân c¾n Bohr) Đau tiên ta đ%nh nghĩachuan "θ"R/Z trong

nhóm đưòng tròn bang cách đ¾t "θ + Z"R/Z = |θ| khi

−1

< θ ≤ 1 .

Nói cách khác "θ"R/Z là khoáng cách tù θ (ho¾c chính xác hơn, là

tù m®t bieu dien bat kỳ cna lóp tương đương θ) tói các so nguyên

De thay các c¾n (đánh giá) cơ bán sau:

Đ%nh nghĩa 2.2.1 [T¾p hop Bohr] Cho S ⊂ Z là t¾p hop các tan

so, và ρ > 0 Ta đ%nh nghĩa t¾p hop Bohr : Bohr(S, ρ) = Bohr Z (S,

ρ)

bói

Bohr(S, ρ):=

x ∈ Z : sup "ξ · x"R/Z < ρ

ξ∈S

Ta goi S là t¾p hop tan so cna t¾p hop Bohr, ρ là bán kính, |S| là

hang cna t¾p hop Bohr

Nh¾n xét 2.2.2 Chú ý rang neu Z là không gian vectơ trên trưòng

huu han F thì moi không gian con cúa Z có the đưoc coi là t¾p hop

Bohr (vói bán kính O (1/|F |) và có cap bang đoi chieu cúa nó) Vì

v¾y các t¾p hop Bohr có the đưoc xem như m®t sn tong quát hóa cúa không gian con Chú ý rang hau het các nhóm huu han

Z có chieu hưóng có rat ít nhóm con thnc sn (tiêu bieu là các nhóm xyclic Z p vói cap nguyên to), vì v¾y se thu¾n loi neu ta dna trên nhung lóp lón hơn nhieu so vói lóp các nhóm con, đó là lóp các t¾p hop Bohr.

Nh¾n xét 2.2.3 Đe đ%nh nghĩa t¾p Bohr, ta xét phép nhúng nhóm

Z vào không gian vectơ phúc C S (cn the là vào hình xuyen đơn v% trong C S ) bói ánh xa x ›→ (e(ξ ·

x))ξ

ngh%ch ánh cúa hình l¾p phương.

∈S Khi đó, t¾p hop Bohr là

Đe ý rang chuan " · "R/Z là đoi xúng và dưói c®ng tính; túc là:

" − x"R/Z = "x"R/Z và "x + y"R/Z ≤ "x"R/Z + "y"R/Z

Do đó, các t¾p hop Bohr (S, ρ) là đoi xúng, giám theo S, và

tăng theo ρ (và bang toàn b® không gian Z khi ρ > 1 ); chúng luôn là hop cúa các lóp t¾p hop thu®c S ⊥ , và neu ρ đú nhó thì chúng chúa toàn b® S ⊥ Đong thòi, ta kiem tra đưoc tính chat giao nhau và tính chat c®ng tính sau đây:

Bohr (S, ρ) ∩ Bohr(S r , ρ ) = Bohr(S ∪ S r , ρ)

Bohr (S, ρ) + Bohr(S, ρ r ) ⊆ Bohr(S, ρ + ρ r ).