Dưới vi phân của hàm giá trị tối ưu trong quy hoạch của nửa vô hạn

ta can nghiên cúu các tính chat vi phân theo nghĩasuy r®ng cna hàm giá tr% toi ưu, và ngưòi ta ngày càng tìm đưoc nhieuúng dung mói cna giái tích bien phân và vi phân tong quát.. Đoi đao

LèI CÁM ƠN

Tác giá xin đưoc gúi lòi cám ơn chân thành tói các thay cô giáotrong nhà trưòng và các thay cô giáo day cao hoc chuyên ngành Toángiái tích đã giúp đõ tác giá trong suot quá trình hoc t¾p

Tác giá xin bày tó lòng biet ơn sâu sac tói TS Nguyen Quang Huy,ngưòi đã luôn quan tâm, đ®ng viên và t¾n tình hưóng dan tác giá trongquá trình thnc hi¾n lu¾n văn này

Tác giá xin bày tó lòng biet ơn tói gia đình, ngưòi thân đã đ®ngviên và tao đieu ki¾n đe tác giá hoàn thành lu¾n văn này

Hà N®i, ngày 5 tháng 8 năm 2010

Tác giá

Nguyen Đình Giang

i

LèI CAM ĐOAN

Lu¾n văn đưoc hoàn thành tai trưòng Đai hoc sư pham Hà N®i 2dưói sn hưóng dan cna TS Nguyen Quang Huy

M®t so ket quá đã đat đưoc trong lu¾n văn là mói và chưa tùngđưoc công bo trong bat kỳ công trình khoa hoc nào cna ai khác

Hà N®i, ngày 5 tháng 8 năm 2010

Tác giá

Nguyen Đình Giang

ii

Các đieu ki¾n c hính quy 8

Chương 2 Dưái vi phân cúa hàm giá tr% toi ưu 21

2.1 Đánh giá dưói vi phân cna hàm giá tr% toi ưu 212.2 Áp dung 25

KET LU¾N 27

PHU LUC 30

cone Ω nón sinh bói Ω

Limsup giói han trên theo nghĩa Painlevé - Kuratowski

N (x¯, Ω) nón pháp tuyen giói han/Mordukhovich cna Ω tai

x¯

Nˆ (x¯, Ω) nón pháp tuyen Fréchet cna Ω tai x¯

∂f (x) dưói vi phân giói han/Mordukhovich cna f tai x

∂ ∞ f (x) dưói vi phân suy bien cna f tai x

∂ˆf (x) dưói vi phân Fréchet cna f tai x

D ∗ F (x¯, y¯) đoi đao hàm Mordukhovich cna F tai (x¯, y¯)

Dˆ ∗ F (x¯, y¯) đoi đao hàm Fréchet cna F tai (x¯, y¯)

Mé ĐAU

1 Lý do chon đe tài

Lý thuyet toi ưu là m®t ngành toán hoc đang phát trien manh vóinhieu hưóng nghiên cúu khác nhau: Quy hoach toán hoc, Giái tích bienphân, Vi phân suy r®ng, và ngày càng có nhieu úng dung quan trongtrong moi lĩnh vnc khoa hoc, kĩ thu¾t, công ngh¾

Các hàm giá tr% toi ưu đóng vai trò quan trong trong giái tích bienphân, toi ưu, lý thuyet đieu khien, và nhieu úng dung khác nhau cna lýthuyet đó Trong trưòng hop các hàm giá tr% toi ưu không trơn, đe cóđưoc các thông tin cot yeu ve đ® nhay và tính on đ%nh cna các bài toántoi ưu và đieu khien có nhieu, ve đieu ki¾n cnc tr%, ve tính đieu khienđưoc đ%a phương, ta can nghiên cúu các tính chat vi phân theo nghĩasuy r®ng cna hàm giá tr% toi ưu, và ngưòi ta ngày càng tìm đưoc nhieuúng dung mói cna giái tích bien phân và vi phân tong quát

Đoi đao hàm cna ánh xa đa tr% đưoc đe xuat vào khoáng năm 1976bói Mordukhovich đã đưoc nh¾n biet như là m®t công cu huu hi¾u đenghiên cúu nhieu van đe quan trong trong giái tích bien phân và toi ưu(xem [2], [11] và các tài li¾u tham kháo trích dan trong đó)

Gan đây, Mordukhovich, Nam và Yen [12] đã tìm ra các công thúcđánh giá dưói vi phân Fréchet và dưói vi phân Mordukhovich cna hàmgiá tr% toi ưu trong không gian Asplund thnc cho lóp bài toán toi ưu cótham so vói huu han ràng bu®c bat đang thúc dưói các du ki¾n trơn vàkhông trơn Dinh, Mordukhovich và Nghia [6, 7] đã đưa ra m®t vài ưóclưong trên cho dưói vi phân Fréchet và dưói vi phân Mordukhovich cnahàm giá tr% toi ưu trong quy hoach núa vô han có tham so vói ràng bu®ccho bói vô han các bat đang thúc loi dưói các đieu ki¾n chính quy hop

lý Gan đây hơn, Chuong, Huy và Yao [4] đã kháo sát lóp bài toán toi

ưu núa vô han không loi và đe xuat hai đieu ki¾n chính quy ràng bu®cmói mà nó huu ích cho vi¾c đong nhat nghiên cúu các đieu ki¾n chínhquy ràng bu®c tù cá hai quan điem cna giái tích loi và giái tích khôngtrơn Các đieu ki¾n chính quy ràng bu®c đưoc đe xuat trong [4] bao hàm

cá sn ton tai cna các đieu ki¾n chính quy quen thu®c như Fromovitz ho¾c Farkas-Minkowski Trong [4] các tác giá cũng đưa ra m®t

Mangasarian-so đieu ki¾n đn cho tính hi¾u lnc cna các đieu ki¾n chính quy đưoc đexuat trong không gian huu han chieu dưói giá thiet t¾p chí so ràng bu®cphái là t¾p compact thưa (scattered compact) M®t câu hói mó đưoc

nêu ra trong [4] rang có the loai bó giá thiet ve tính compact thưa cúa

t¾p chs so ràng bu®c hay không? M¾t khác, m®t trong nhung lý do mà

các ket quá ve đieu ki¾n đn cho tính chính quy hóa t¾p ràng bu®c trong[4] phái giói han trong các không gian huu han chieu là trong ky thu¾tchúng minh sú dung đ%nh lý tách t¾p loi và tính chat bao loi cna m®tt¾p compact là m®t t¾p compact Như ta đã biet rang đieu này khôngcòn đúng vói t¾p compact trong không gian vô han chieu M®t câu hói

tn nhiên náy sinh rang li¾u có the mó r®ng đưoc các ket quá ve đieu ki¾n

đú cho tính chính quy hóa t¾p ràng bu®c trong [4] sang các không gian

vô han chieu đưoc hay không? Đe tài "Dưái vi phân cúa hàm giá tr%

toi ưu trong quy hoach nNa vô han"nham muc đích tìm hieu ve lý

thuyet toi ưu, toi ưu núa vô han và tìm hieu câu trá lòi cho hai câu hóivùa nêu trên

2 Mnc đích nghiên cNu

Nghiên cúu ve vi¾c loai bó giá thiet ve tính compact thưa cna t¾pchí so ràng bu®c trong quy hoach núa vô han; đong thòi tìm hieu ve khánăng mó r®ng các ket quá đó sang không gian vô han chieu Đưa ra côngthúc cho vi¾c đánh giá dưói vi phân (Mordukhovich và suy bien) cnahàm giá tr% toi ưu trong quy hoach núa vô han dưói các đieu ki¾n chính

quy hóa t¾p ràng bu®c trong không gian Banach tong quát.

3 Nhi¾m vn nghiên cNu

Nghiên cúu các ket quá cơ bán đã đat đưoc trong lý thuyet toi ưu,toi ưu núa vô han, giái tích bien phân hi¾n đai và vi phân suy r®ng Ápdung các ket quá này đe nghiên cúu đieu ki¾n đn cho tính hi¾u lnc cnacác đieu ki¾n chính quy hóa t¾p ràng bu®c và đưa ra công thúc đánh giádưói vi phân (Mordukhovich và suy bien) cna hàm giá tr% toi ưu dưóicác đieu ki¾n chính quy này

4 Đoi tưang và pham vi nghiên cNu

Quy hoach toán hoc, lý thuyet toi ưu, giái tích bien phân hi¾n đai

và vi phân suy r®ng

5 Phương pháp nghiên cNu

Sú dung các phương pháp nghiên cúu cna giái tích loi, giái tíchkhông trơn, giái tích đa tr%, giái tích bien phân hi¾n đai và vi phân suyr®ng

6 Đóng góp mái

Các ket quá đat đưoc trong lu¾n văn giái đáp tron ven cho hai câuhói đã nêu ra trong Muc 1, và giúp ta có nhung hieu biet mói ve toi ưunúa vô han Ket quá này cũng đưoc trình bày trong bài báo chung cnatác giá vói ngưòi hưóng dan và Giáo sư Jen-Chih Yao "Subdifferentials

of optimal value function in nonlinear infinite programming" [9]

Chương 1 Đieu ki¾n chính quy ràng bu®c

Trong lu¾n văn chúng ta se sú dung các khái ni¾m, kí hi¾u cnagiái tích bien phân, và vi phân suy r®ng Chi tiet đoc giá có the thamkháo b® sách cna Mordukhovich [11] Neu không nói gì thêm, tat cá cáckhông gian đưoc xét là không gian Banach vói chuan ký hi¾u là " · ",

và ta xét không gian đoi ngau cna nó X ∗ vói tôpô yeu∗ đưoc kí hi¾u bói

w ∗ Như thưòng l¾, B X và B X ∗ kí hi¾u tương úng là hình cau đơn v%

đóng trong không gian Banach X và không gian đoi ngau cna nó Kí hi¾u A ∗ toán tú liên hop cna toán tú tuyen tính liên tuc A Hình cau đóng tâm x bán kính ρ đưoc kí hi¾u bói B ρ (x) ho¾c B(x, ρ) cl M ho¾c M ký hi¾u bao đóng cna M.

Vói moi t¾p Ω ⊂ X, cl Ω, int Ω, co Ω và cone Ω kí hi¾u tương úng là bao đóng, phan trong, bao loi và nón sinh cna Ω Ta nhac lairang

đưoc dùng đe chí giói han trên theo dãy theo nghĩa

Painlevé-Kuratowski đoi vói tôpô chuan cna X và tôpô yeu* cna X ∗ , và

N:={1,2,3, }

Đ%nh nghĩa 1.1.1 (Nón pháp tuyen) Cho Ω ⊂ X và ε “ 0.

k −→ x , x

ω

k

ó đó có the đ¾t ε = 0 khi Ω là t¾p đóng trong lân c¾n cúa

x ¯ là không gian Asplund.

ó đây Π(x; Ω) là hình chieu Euclid cna x trên Ω.

Đ%nh nghĩa 1.1.2 (Đoi đao hàm) Cho F : X ⇒ Y là ánh xa đa tr%

giua các không gian Banach.

(i) Đoi đao hàm Mordukhovich D ∗ F (x¯, y¯) : Y ∗ ⇒ X ∗ cúa F tai (x¯,

(ii) Đoi đao hàm Fréchet cúa F tai (x¯, y¯) ∈ gphF đưoc xác đ%nh bói

Dˆ ∗ F (x¯, y¯)(y ∗) := ,x ∗ ∈ X ∗ |(x ∗ , −y ∗ ) ∈ Nˆ ((x¯, y¯); gphF

(1.5)

Neu F là ánh xa đơn tr% thì ta có the viet ngan gon D ∗ F (x¯)(y ∗ ) (tương

úng, Dˆ ∗ F (x¯)(y ∗ )) thay cho D ∗ F (x¯, F (x¯))(y ∗ ) (tương úng, Dˆ

∗ F (x¯, F (x¯))(y ∗ )).

Ta nhac lai rang m®t ánh xa đơn tr% f : X → Y đưoc goi là khá vi

ch¾t tai

x¯

neu ton tai m®t toán tú tuyen tính liên tuc Y f ( x ) − f ( u ) − 6 f ( x ¯ )( x − u ) ∇f (x¯) : X →

sao cho lim

x u →x¯

→x¯ "x −

u"

= 0

Đoi vói ánh xa khá vi ch¾t tai x¯ ta luôn có

D ∗ f (x¯)(y ∗ ) = Dˆ ∗ f (x¯)(y ∗ ) = {(∇f (x¯)) ∗ y ∗ }, ∀y ∗ ∈ Y ∗ ,

túc là đoi đao hàm Mordukhovich (tương úng, đoi đao hàm Fréchet ) là m®t sn mó r®ng toán tú liên hop cna đao hàm co đien Cho hàm giá tr%

là hàm giá tr% thnc mó r®ng và huu han tai x ¯.

(i) Vói moi ε “ 0,

tai x ¯, còn bán thân t¾p hop đó đưoc goi là ε−

dưói vi phân Fréchet cúa ϕ

∂ˆϕ (x¯) := ∂ˆ0ϕ (x¯)

∈

đưoc goi là dưói vi phân Fréchet cúa ϕ

đưoc goi là dưói vi phân Mordukhovich cúa ϕ tai

đưoc goi là dưói vi phân suy bien cúa ϕ

vói hàm không Lipschitz tai m®t điem đang xét, dưói vi phânMordukhovich tai điem

Do đó, tù (1.9) ta de suy ra rang ∂ϕ(x¯) = ∅ Ta nhac lai tù [11]

rang m®t t¾p Ω ⊂ X đưoc goi là compact pháp tuyen theo dãy (SNC)

x ∗ w k → 0 =⇒ "x ∗ . . ∗ " → .

0

khi k → ∞,

ó đó ε k có the bó qua neu X là không gian Asplund và Ω là đóng đ%a

phương trong m®t lân c¾n cna x¯ Cho ϕ : X →

R¯

huu han tai x¯ Ta nói

k

ϕ là epi-compact pháp tuyen theo dãy (SNEC) tai x¯ neu trên đo th%cna nó là SNC tai (x¯, ϕ(x¯)) Neu ϕ là hàm Lipschitz đ%a phương tai

x ¯ thì ϕ là SNEC tai điem này.

Cho P , X là các không gian Banach, T là m®t không gian metric compact khác rong, và ánh xa đơn tr% f : P × X → R¯ Xét

bài toán quy hoach núa vô han có tham so

Ký hi¾u R(T ) (tương úng, R(T ) ) t¾p hop tat cá các hàm so λ : T → R

lay giá tr% khác không (tương úng, không âm và khác không) tai huu

han điem cna T , và supp λ := {t ∈ T | λ ƒ= 0} Cho u ∈ R (T ) và λ

Đ%nh nghĩa 1.2.1 Cho G xác đ%nh như trong (1.10) và (p¯, x¯) ∈ gphG.

(i) Ta nói rang G thóa mãn đieu ki¾n chính quy RCQ tai (p¯, x¯) neu

λ t ∂g t (p¯, x¯).. (1.14)

Rõ ràng RCQ bao hàm LCQ Tiep theo ta se thiet l¾p m®t vài

đieu ki¾n đn cho tính hi¾u lnc cna các đieu ki¾n chính quy này, và

chí ra rang LCQ và do đó RCQ bao hàm các đieu ki¾n chính quy

quen thu®c như Mangasarian-Fromovitz và Farkas-Minkowski Xétkhông gian Banach

Y = C(T ) các hàm liên tuc y : T → R, vói chuan supremum đưoc

K = {y ∈ C(T ) | y(t) ≤ 0 vói moi t ∈ T }. (1.15)

Bói đ%nh lý bieu dien Riesz, không gian đoi ngau Y ∗ cna Y = C(T

ν+(A) := sup {ν(B) | B ⊂ A, B ∈ B}

ν − (A) := − inf {ν(B) | B ⊂ A, B ∈ B}, tương úng là bien phân dương và âm cna ν Giá cna ν, kí hi¾u bói supp

ν, là t¾p con đóng nhó nhat cna T sao cho phan bù cna nó có đ® đo

bien

phân toàn phan bang không M®t đ® đo Borel ν đưoc goi là không âm, viet là ν “ 0, neu ν(A) ≥ 0, ∀A ∈ Giá sú rang vói moi t

∈ T , hàm so g t : P × X → R là liên tuc trên P × X, và giá sú

rang hàm (p, x, t) ›→ g t (p, x) là liên tuc trên P × X × T Xét h :

ó đó h đưoc xác đ%nh bói (1.17) và nón K đưoc xác như trong (1.15).

Lay (p¯, x¯) ∈ gph G Giá sú rang g t khá vi vói moi t ∈ T Ta nhac

lai [3] đieu ki¾n chính quy hoá ràng bu®c Mangasarian-Fromovitz mór®ng như sau:

∃u ∈ P × X : (∇g t (p¯, x¯), u) < 0 ∀t ∈ I(p¯, x¯),

(1.19)

ó đó I (p¯, x¯) := {t ∈ T | g t (p¯, x¯) = 0} Trong trưòng hop này

(xem [3, Example 2.102]), (1.19) tương đương vói đieu ki¾n chính quy

Robinson:

0 ∈ int {h(p¯, x¯) + ∇h(p¯, x¯)(P × X) − K}.

(1.20)

Đe có thông tin chi tiet ve các đieu ki¾n chính quy hoá t¾p ràng bu®c

và moi quan h¾ giua chúng, đoc giá có the xem trong tài li¾u tham kháo[3]

Đ%nh nghĩa 1.2.2 [5] M®t véctơ v trong không gian Banach X đưoc

goi là siêu tiep tuyen cúa t¾p C ⊂ X tai điem x ∈ C, neu ton tai ε >

0 sao cho y + tω ∈ C, vói moi y ∈ (x + εB) ∩ C, ω ∈ ν + εB, t ∈ (0, ε).

Ket quá sau đây ta chí ra rang đieu ki¾n chính quy

Mangasarian-Fromovitz mó r®ng đám báo cho tính hi¾u lnc cna LCQ tai điem đưoc

xét

Đ%nh lý 1.2.1 Cho P , X là các không gian Banach và (p¯, x¯) ∈ gphG.

Giá sú rang vói moi t ∈ T , hàm g t : P × X → R khá vi, các hàm (p, x, t) ›→ g t (p, x) và (p, x, t) ›→ ∇g t (p, x) là liên tnc trên P × X ×

T , và hơn nua, giá sú rang co (∪ t∈I(p,x) ∇g t (p¯, x¯)) là đóng yeu ∗

trong P ∗ × X ∗

Khi đó neu ton tai u ∈ P × X sao cho

(∇g t (p¯, x¯), u) < 0 ∀t ∈ I(p¯, x¯) := {t ∈ T | g t (p¯, x¯) = 0},

thì LCQ đưoc thóa mãn tai (p¯, x¯).

Chúng minh Ta suy ra tù giá thiet cna đ%nh lý và [3, Proposition

2.174] rang h là khá vi liên tuc tai (p¯, x¯) và do đó h khá vi ch¾t tai (p¯, x¯), và

Bây giò ta chúng minh rang

t k ⊂ I(p¯, x¯) sao cho t k → t0 khi k → ∞ Do t k ∈ I(p¯, x¯) nên g t k

(p¯, x¯) = 0 Tù

giá thiet hàm (p¯, x¯, t) ›→ gt (p¯, x¯) là liên tuc, ta suy ra rang g t0 (p¯, x¯) = 0,

túc là t0 ∈ I(p¯, x¯), và do đó I(p¯, x¯) là m®t t¾p compact.

Rõ ràng, tù đieu ki¾n chính quy Mangasarian-Fromovitz mó r®ng:

∃u ∈ P × X : (∇g t (p¯, x¯), u) < 0 ∀t ∈

∃u ∈ P × X : ∇h(p¯, x¯)(u)(t) < 0, ∀t ∈

Đ¾t ϕ = ∇h(p¯, x¯)(u) Ta se chí ra rang ϕ ∈ int T K (h(p¯,

x ¯)) Hien nhiên ϕ(t) < 0 vói moi t ∈ I(p¯, x¯) và ϕ ∈ ∇h(p¯, x¯) (P × X) Lay co đ%nh tùy ý t ∈ I(p¯, x¯) Khi đó, vói m®t ε t ∈ (0,

Do đó ϕ + w ∈ T K (h(p¯, x¯)) vói moi w ∈ εB Suy ra ϕ ∈ int T K

(h(p¯, x¯)), và (1.23) đưoc chúng minh Tù [5, Corollary 1, trang 108], (1.23) và tính loi cna nón K ta suy ra rang

N .(p¯, x¯); h −1 (K) = ∇h(p¯, x¯) ∗ N (h(p¯, x¯); K).

(1.26)

Ta suy tù [3, Example 2.63 ] rang

N (h(p¯, x¯); K) = {ν ∈ C(T ) ∗ | ν “ 0, supp ν ⊂ I(p¯, x¯)}.

Ta se ket thúc chúng minh neu chí ra đưoc rang

nên theo đ%nh lý tách [15, Theorem 3.4] ta suy ra rang ton tai phiem

hàm tuyen tính liên tuc ϕ ∗ : P ∗ × X ∗ → R sao cho

ϕ ∗ (∇h(p¯, x¯) ∗ ν ) < inf{ϕ ∗ (y ∗ )|∀y ∗ ∈ ν(T )co ∗ .∪ t∈I(p¯,x¯) ∇g t (p¯,

x¯).}.

(1.28)

M¾t khác, vì P ∗ × X ∗ là m®t không gian Banach (do đó cũng làkhông gian loi đ%a phương) nên suy ra tù [14, trang 68] rang ton tai

u ∈ P × X sao cho ϕ ∗ (u ∗ ) = u ∗ u, vói moi u ∗ ∈ P ∗ × X ∗

Đieu này và (1.28 ) suy ra ton tai (p0, x0) ∈ P × X và α ∈ R sao cho

Ket hop đieu này và (1.29) suy ra rang

∪ t∈I(p¯,x¯) ∇g t (p¯, x¯) .

và bao hàm thúc "⊂" trong (1.27) đưoc chúng minh Tiep theo ta chúng

minh bao hàm thúc "⊃" Lay tùy ý phan tú z ∗ thu®c ve phái cna (1.27)

Khi đó ton tai k ∈ N sao cho |I(p¯, x¯)| = k và