Xây dựng công thức tính đường đồng quy và các công thức khác trong tam giác

Xây dựng công thức tính đờng đồng quy, công thức hê rông, định lý hàm số sin, hàm số cosin.... trong tam giác ở chơng trình THCS việc áp dụng công thức các đờng đồng quy, công thức Hêrô

Xây dựng công thức tính đờng đồng quy, công thức hê rông, định lý hàm số sin, hàm số cosin trong tam giác

ở chơng trình THCS việc áp dụng công thức các đờng đồng quy, công thức Hêrông, định lý Hàm số lợng giác trong tam giác cũng khá phổ biến, các công thức đó đợc chứng minh và sử dụng nhiều ở

ch-ơng trình THPT Sau đây tôi xin giới thiệu cách chứng minh các công thức đó bằng kiến thức THCS

Cho tam giác ABC Biết các cạnh AB = c, AC = b, BC = a, đờng cao AH

= h, đờng phân giác AD = l , đờng trung tuyến AM = a m , p là nửa a

chu vi tam giác

a - x x

b

c h

B

A

1) Công thức tính đờng cao:

TH: Góc A nhọn:

Đặt BH = x, khi đó CH = a - x

Theo định lý Pitago ta có:

2

2

x

a

�

 



�

Khi đó:

2

2

a

a

 

 

 

�

 

�

Nh vậy ta có công thức tính đờng cao ứng với đỉnh A của tam giác theo 3 cạnh của nó:

2

a

c a b

a

 

  (1) Tơng tự ta cũng có công thức tính đờng cao tơng ứng với đỉnh B và đỉnh C

TH: Góc A tù ta cũng có kết quả tơng tự

2) Công thức tính đờng trung tuyến:

TH: H nằm giữa B và M

a/2+x a/2-x x

M

b

c h

B

A

Đặt: HM = x, khi đó: BH = a/2 – x, HC = a/2 + x

Theo định lí Pitago ta có:

Ta có:

a

Nh vậy ta có công thức tính đờng phân giác ứng với đỉnh A của tam giác theo 3 cạnh của nó:

a

b c a

m    (2) Tơng tự ta cũng có công thức tính đờng phân giác tơng ứng với đỉnh B và đỉnh C

Các trờng hợp còn lại chứng minh tơng tự.

3) Công thức tính đờng phân giáctrong tam giác:

D

E B

A

C

Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A vẽ tia BE (E thuộc tia

AD) sao cho CBE� �BAD�CAD

Ta có:

:

:

Suy ra:

Do đó:

2

Nh vậy ta cũng có công thức tính đờng phân giác ứng với đỉnh A của tam giác theo 3 cạnh của nó: (1 2 2)

a

a

l b c

b c

 (3) Tơng tự ta cũng tìm đợc các trờng hợp còn lại

Đặc biệt với tam giác ABC vuông tại A :

E

D B

A

C

Kẻ BE //AD ta có : tam giác ABE vuông cân nên AE = AB, EB = 2 AB Theo định lý TaLét ta có:

2

2

AB CA AD

AB AC



�



Vậy: l a 2.bc

b c



 (4)

4) Xây dựng công thức Hêrông tính diện tích tam giác:

Từ (*) ta có: 2 2 ( 2 2 2)2

2

a

 

 

=

a

c b

a

ac

2

2  2  2  2

a

c b a ac

2

2  2  2  2

=

a

b

c

a

2

)

(  2  2

a

c a b

2

)

4

) )(

)(

)(

(

a

a c b c b a b c a c b

= 4 ( )( 2 )( )

a

c p b p a

p

 h =

a

2 p(p a)(p b)(p c)

 1

2h a = p(p a)(p b)(p c)

 S = p(p a)(p b)(p c) đây chính là công thức Hêrông

5) Công thức định lý Hàm số sin:

Trờng hợp tam giác nhọn (hình bên): Với AB = c; AC = b; BC = a

B

A

;

(1)



�

Tơng tự, ta có: b a (2)

Từ (1) và (2) ta có: a b c

6) Công thức định lý Hàm số cosin

Từ công thức tính đờng cao ta có:

2 cos

  

�

Vậy: b2 c2 a2  2 cosac B

Tơng tự:

2 cos

2 cos

a c b bc A

c a b ba C

  

Đó chính là cônbg thức Định lý hàm số côsin

Nh vậy chỉ cần biết 3 cạnh ta sẻ tính đợc độ dài các đờng đồng quy, diện tích, số đo các góc của tam giác

tác giả: phan đình ánh

trờng thcs thạch kim – lộc hà - hà tĩnh

điện thoại: 0986381089

Email: dinhanhtk@gmail.com