Nhìn bài toán dưới dạng hình động

ABC ABC ABC Nhận xét: Nếu điểm F không thuộc đoạn thẳng AC, chẳng hạn F thuộc tia đối của tia CA thì kết quả sẻ thay đổi như thế nào?... Điểm F thuộc tia đối của tia CA.. Điểm F nằm tron

NHÌN BÀI TOÁN DƯỚI DẠNG HÌNH ĐỘNG

Bài tập mở đầu: Cho hình bình hành BEFP nội tiếp tam giác ABC

( E AB F∈ ; ∈AC P BC; ∈ ) Biết S AEE =a S; CFP =b

a) Tính S ABC theo a vµ b

b) Tìm diện tích lớn nhất của hình bình hành BEFP

c) Chứng minh rằng: S ABC AB.a BC.b

Lời giải(Hình 1):

- Kiến thức: Dùng tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ số đồng dạng

a) Ta có các tam giác AEF, FPC, ABC đồng dạng nên:

AEF

ABC

S = BC = BC; CFP

ABC

ABC ABC

S S

Hay ( )2

ABC

b) Ta có:

2 BEFP

1 2.

2

ABC AEF FPC

Vậy: GTLN(SBEFP) = 1

2S ABC ⇔a = b

P

F E

C B

A

H×nh 1

ABC

ABC ABC

Nhận xét: Nếu điểm F không thuộc đoạn thẳng AC, chẳng hạn F thuộc tia đối của tia CA thì kết quả sẻ thay đổi như thế nào?

Ta có bài tập 1: Cho tam giác ABC Điểm F thuộc tia đối của tia CA

Kẻ FE //BC; FP //AB (E AB P BC∈ ; ∈ ) Đặt S ABC =S S; AEE =a S; FPC =b

a) Tính S ABC và S BEFP theo a và b

b) Chứng minh rằng: S AB.a BC.b

Lời giải(Hình 2):

a) Ta có hai tam giác AEF và FPC cùng đồng dạng với tam giác ABC

Ta có:

AEF

ABC

ABC

ABC ABC

S

−

ABC

Ta có: S BEFP =S AEF +S FPC −S ABC = + − + −a b (a b 2 ab) ⇒S BEFP = 2 ab

P

C B

A

Hình 2

ABC

ABC ABC

*Nếu điểm F nằm trong tam giác ABC thì kết quả sẻ thay đổi như thế nào ?

Bài tóan 2 : Cho tam giác ABC Điểm F nằm trong tam giác ABC Qua F

kẻ MN//BC;PQ//AB;IK//AC (I M, ∈AB P N; , ∈AC Q K BC; , ∈ )

Đặt S ABC =S S; FQK =a S; PFN =b S; IMF =c

a) Tính S ABC và S BEFP theo a, b và c

b) Tìm giá trị lớn nhất của tổng : S APFI +S MBQF+S NCKF theo a, b và c

c) Chứng minh rằng: S ABC AB.a BC.b AC.c

Lời giải(Hình 3):

a) Dễ thấy các tam giác: FQK, PFN, IMF, ABC đôi một đồng dạng với nhau nên ta có:

2

1

FQK PFN IMF

ABC ABC ABC

FQK PFN IMF ABC ABC FQK PFN IMF

Vậy: S ABC = (a + b + c) 2

b) Ta có:

2

2 3

APPI MBQF NCKF ABC

APPI MBQF NCKF

APPI MBQF NCKF APFI MBQF NCKF ABC

APPI MBQF NCKF ABC

+ + = − + + = + + − + +

Vậy GTLN(S APFI +S MBQF +S NCKF) = 2

3S ABC ⇔a = b = c ⇔F là trọng tâm

K

I

Q

P

N

C B

A

Hình 3 c) Ta có:

2

ABC FQK ABC PFN ABC IMF ABC

? Ta tiếp tục thay đổi vị trí điểm F Chẳng hạn cho điểm F ở ngoài tam giác ABC và thuộc góc BAC Ta có bài tập sau:

Bài tập 3: Cho tam giác ABC Điểm F thuộc góc BAC và nằm ngoài tam giác ABC Qua F kẻ PQ//BC; EN//AB; MD//AC

(D P AB E Q AC M N BC, ∈ ; , ∈ ; , ∈ )

Đặt: S ABC =S S; FNM =a S; DPF =b S; EFQ =c

a) Tính S theo a, b và c

b) Chứng minh rằng: S AB.b AC.c BC .a

Lời giải(Hình 4):

a) Dễ thấy các tam giác FNM, DPF, EFQ, ABC đôi một đồng dạng nên:

1

EFQ FNM DPF

ABC ABC ABC

ABC DPF EFQ FNM

N M

Q P

D

E

F

C B

A

Hình 4

b)Ta có:

Vậy: S AB.b AC.c BC .a

? Nếu điểm F thuộc góc đối của góc BAC ta tìm được kết quả tương tự bài tập 3

Bài tập 4: Cho tam giác ABC Điểm F thuộc góc BAC và nằm ngoài tam

giác ABC Qua F kẻ PQ//BC; EN//AB; MD//AC

(D P AB E Q AC M N BC, ∈ ; , ∈ ; , ∈ )

Đặt: S ABC =S S; FMN =a S; DPF =b S; EFQ =c

Chứng minh rằng: S AB.a AC.b BC .c

Lời giải(Hình 5):

Làm tương tự bài tập 3 ta có kết quả:

S= a− b− c

Từ đó suy ra : S AB.a AC.b BC .c

Q E

P D

N M

F

C B

A

Hình 5

Trở lại bài tập 3: Nếu MN, PQ, IK không đồng quy tại F mà đôi một cắt

nhau Ta có bài tập sau

Bài tập 5: Cho hình 6 dưới đây Biết MN//AC; PQ//AB; EF//BC.

IKH o MEH PKF IQN

S =S S =S S =S S =S Tính S ABC theo S S S S o; ; ; 1 2 3

I

Q

P

N

M

F E

C B

A

E

H K

I

F E

Q

P

N

M

C B

A

Hình 6 Hình 7

Lời giải(Hình 7):

Kẻ HE song song với PQ

Các cặp tam giác IKH, MEH, PKF, IQN đôi một đồng dạng:

Ta có: IKH

ABC

ABC

ABC

ABC

Cộng vế theo vế của các đẳng thức trên ta có:

3

PKF

PKF

IQN

IQN

ABC ABC ABC ABC ABC