BO DE 09 NGUYEN HAM CUA CAC HAM SO VO TI 0050 0050 0079 to

NGUYÊN HÀM CỦA CÁC HÀM VÔ TỈ Thầy Đặng Việt Hùng... Ví dụ điển hình: Tính các nguyên hàm sau.

Trang 1

Bo De Thi Toan - Ly Hoa Bo De Thi Toan - Ly Hoa Bo De Thi Toan - Ly Hoa Bo De Thi Toan - Ly Hoa Bo De Thi Toan - Ly Hoa

1) Các công thức nguyên hàm vô tỉ cơ bản thường gặp

I1 xdx2 x2 a C

x a

±

I = ∫ x ± a dx = x ± ± a x + x ± + a C

4

2dx 2 arcsin x 2du 2 arcsin u

Chứng minh:

2

.

xdx d x a d x a

2

dx I

x a

=

±

2

xdx xdx dx dt dx dt d x t

t x a dt

x a

±

2

ln

dx dx d x t

t x t

x a

+

±

I3= ∫ x2± a dx

Đặt

2

xdx

x a

dv dx v x







x a

±

I4 2dx 2.

a x

=

−

cos

a sin

dx a tdt

=





4

cos

arcsin cos

a x

−

Một số ví dụ minh họa:

( 2)

+

1

2

3

d x

x x

+

3

2

5

d x

x

 + 

2) Một số các dạng nguyên hàm vô tỉ thường gặp

Tài liệu bài giảng:

09 NGUYÊN HÀM CỦA CÁC HÀM VÔ TỈ

Thầy Đặng Việt Hùng

Trang 2

Dạng 1: Nguyên hàm

2

mx n

ax bx c

+

=

∫

Cách giải:

Phân tích tử số chứa đạo hàm của mẫu ta được

2

2 2

Trong đó,

2

dx J

ax bx c

=

∫ thuộc một trong số các dạng nguyên hàm đã đề cập ở trên

Ví dụ điển hình: Tính các nguyên hàm sau

∫

x

− +

∫

1

x

Hướng dẫn giải:

a)

2

( 1)

d x

x

−

∫

b) 2

(4 1)

x

− −

2

1

d x

x x x

x

−

x

BÀI TẬP LUYỆN TẬP:

1)

2

dx

x − x +

2

1

x dx

x x

−

− +

2 2

2

x x

dx

x x

−

∫

4)

2 2

1

x x

dx

x x

− +

2

1

x dx

x x

+ + −

2

x

dx

x x

−

∫

7)

2 2

2

x x

dx

x x

+ −

2

2 2

x dx

x x

−

2

4

x x dx x

−

∫

dx I

mx n ax bx c

=

∫

Cách giải:

Đặt mx n 1 mdx dt2; x 1 n

Thay vào ta được

2 2

ln ( )

arcsin

du

u u a C

u a

I g t dt

C a

a u





±



−



∫

Trang 3

a)

=

∫

dx I

=

∫

dx I

a) Đặt

1

2

1 1 1

1

x

dt t

dx



= −



 = −   −   +   − +     −   +   − +  

2 2

2

1

dt

t

+

∫

b) Đặt

2

dt x

dt



2

d t

C

t

+

1)

dx

x − x − x +

2

1

x dx

x x

−

− +

dx

x − x + x +

∫

4)

dx

x + x − x +

dx

x + x − x −

dx

x x + x −

∫

Ax B

mx n ax bx c

+

=

∫

Cách giải:

Ta phân tích tử số chứa (mx + n) như sau:

mx n B

+ + −

Các nguyên hàm 1

2

dx I

ax bx c

=

dx I

mx n ax bx c

=

−

=

∫

1

2

I

+

=

∫

2

I

2 1

Xét

dx J

x x

=

2

1 2 1

2

x t x

dt t

dx t

 = −



− = ⇒ 



Trang 4

2

ln

dt

t

− +

3

I = t − + t − t + − x + x − + C

2

Xét

dx K

=

2

1 1 1

1

x t x

dt t

dx t



= −



+ = ⇒ 

 = −



2

dt

K

t

t t

1

arcsin

2

d t

t C t

+

  − +  

∫

Khi đó, 2 2 ln 2 4 1 arcsin 3 1

2 3

t

x dx

+

x dx

−

2

x dx

+

∫

x dx

−

2

x dx

x x

+

∫

dx I

x a x b

=

∫

Cách giải:

2

t

x a x b

Cách 2: Ta có

I

2

a b

d x

a b

+

∫

Bình luận: Thoạt nhìn, ta tưởng hai cách giải cho hai đáp án khác nhau, nhưng không phải vậy

2 ln x + + a x + b = ln x + + a x + b = ln x + + + + a x b 2 ( x + a x )( + b ) =

Trang 5

Và rõ ràng, ln ( )( ) ln 2 ln ( )( )

Như vậy, thực chất hai cách giải đều cho cùng một phép toán, có chăng, đó là sự khác biệt trong việc tính đạo hàm

cuối cùng để kiểm tra!!!

Dạng 5: Nguyên hàm I dx

x a x b

=

∫

Cách giải:

Các nguyên hàm dạng này được giải đơn giản bằng phép trục căn thức

x a x b

∓

a) =

∫

1

2

dx I

∫

2

dx I

∫

3

dx I

a) 1

2

dx I

x x

=

∫

Cách 1:

2 1

( 2)

−

( 1)( 3)

dx I

x x

=

t

( 1)( 3)

t

x x

b)

2

+ − −

c)

3

1)

1

dx

x + + x

2

dx

x + + x −

0

dx

4)

2

x

dx

x

dx

x + + − x

2

x dx

x + x +

∫

7)

1

0

3

x + − x

dx

x − x +

( 3)( 5)

dx

x + x +

∫

LUYỆN TẬP TỔNG HỢP VỀ NGUYÊN HÀM CỦA HÀM VÔ TỈ

1 + x + 1 dx

2

x dx

x x

+

−

3

dx x

∫

4)

4

dx

x + x

3

x dx

x − x

( 1)

x dx

x x +

∫

7)

dx

x + x + x

2

dx

x + − x +

2

dx

x + x +

∫

Định dạng
Số trang	5
Dung lượng	275,63 KB