Sáng kiến kinh nghiệm cách dạy nâng cao năng lực giải bài tập hình cho học sinh THCS

Sáng kiến kinh nghiệm cách dạy nâng cao năng lực giải bài tập hình cho học sinh THCS Sáng kiến kinh nghiệm cách dạy nâng cao năng lực giải bài tập hình cho học sinh THCS Sáng kiến kinh nghiệm cách dạy nâng cao năng lực giải bài tập hình cho học sinh THCS Sáng kiến kinh nghiệm cách dạy nâng cao năng lực giải bài tập hình cho học sinh THCS Sáng kiến kinh nghiệm cách dạy nâng cao năng lực giải bài tập hình cho học sinh THCS Sáng kiến kinh nghiệm cách dạy nâng cao năng lực giải bài tập hình cho học sinh THCS Sáng kiến kinh nghiệm cách dạy nâng cao năng lực giải bài tập hình cho học sinh THCS Sáng kiến kinh nghiệm cách dạy nâng cao năng lực giải bài tập hình cho học sinh THCS Sáng kiến kinh nghiệm cách dạy nâng cao năng lực giải bài tập hình cho học sinh THCS Sáng kiến kinh nghiệm cách dạy nâng cao năng lực giải bài tập hình cho học sinh THCS Sáng kiến kinh nghiệm cách dạy nâng cao năng lực giải bài tập hình cho học sinh THCS Sáng kiến kinh nghiệm cách dạy nâng cao năng lực giải bài tập hình cho học sinh THCS Sáng kiến kinh nghiệm cách dạy nâng cao năng lực giải bài tập hình cho học sinh THCS Sáng kiến kinh nghiệm cách dạy nâng cao năng lực giải bài tập hình cho học sinh THCS Sáng kiến kinh nghiệm cách dạy nâng cao năng lực giải bài tập hình cho học sinh THCS Sáng kiến kinh nghiệm cách dạy nâng cao năng lực giải bài tập hình cho học sinh THCS Sáng kiến kinh nghiệm cách dạy nâng cao năng lực giải bài tập hình cho học sinh THCS Sáng kiến kinh nghiệm cách dạy nâng cao năng lực giải bài tập hình cho học sinh THCS Sáng kiến kinh nghiệm cách dạy nâng cao năng lực giải bài tập hình cho học sinh THCS Sáng kiến kinh nghiệm cách dạy nâng cao năng lực giải bài tập hình cho học sinh THCS Sáng kiến kinh nghiệm cách dạy nâng cao năng lực giải bài tập hình cho học sinh THCS Sáng kiến kinh nghiệm cách dạy nâng cao năng lực giải bài tập hình cho học sinh THCS

Về một cách dạy nâng cao năng lực giải bài tập Hình cho học sinh THCS.

(Lê Bá Hoàng - Phòng GDĐT Thị xã Hồng Lĩnh, Đặng Hải Giang - Phòng GDĐT Cẩm Xuyên - Hà Tĩnh)

Môn Toán là môn học khó, khó đối với học sinh (HS) trong việc lĩnh hội và vận dụng các kiến thức, khó đối với giáo viên (GV) trong việc tổ chức dạy học như thế nào để HS học tốt và đam mê toán học đặc biệt là với hình học tạo nguồn cho HS giỏi các cấp Kiến về hình học mà HS ở bậc THCS thu nhận được chủ yếu thông qua các khái niệm, các định lí và các hoạt động giải bài tập Vì thế để giúp HS lĩnh hội và vận dụng được các kiến thức thì vai trò của GV hết sức quan trọng phải tổ chức tốt các hoạt động dạy học nói trên khi dạy Hình học ở trường THCS Trong quá trình giảng dạy, chỉ đạo và tiếp bồi dưỡng HS giỏi ở bậc THCS bằng năng lực và kinh nghiệm của mình tôi cũng đã tạo tiền đề cho một số HS đạt thành tích cao trong các kỳ thi HS giỏi Quốc gia, Quốc tế điển hình như là em Đinh Lê Công (Khối chuyên toán ĐHV) – Huy chương Bạc Toán Quốc tế 2013, em Lê Thị Thu Hiền (Chuyên Hà Tĩnh) giải Nhì môn Toán quốc gia 2012, em Trần Xuân Bách- Thủ Khoa Đại Học Y Hà Nội năm 2013),…Ở THCS thì HS chỉ mới tiếp cận một số khái hình học chưa quen với việc giải bài tập hình học, để vận dụng được kiến thức lý thuyết đã học trong việc giải toán hình học người dạy phải hình thành một số “kỹ năng” trong giải bài toán hình học tạo hứng thú cho học sinh môn học này

I Phương pháp chung để tìm lời giải một bài toán:

Để có được kết quả tốt trong dạy hình học thì giáo viên (GV) cần nắm vững một

số bước sau đây:

Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán:

+ Giả thiết là gì ? Kết luận là gì ? Hình vẽ, kí hiệu thế nào ?

+ Phát biểu bài toán dưới những dạng khác nhau để hiểu rõ bài toán

+ Dạng toán nào?

+ Các kiến thức cần có là gì ? (Các khái niệm, các định lí, các phương pháp…)

Bước 2: Xây dựng chương trình giải: Tức là chỉ rõ các bước cần tiến hành theo

một trình tự thích hợp

Bước 3: Thực hiện lời giải: Trình bày theo các bước đã chỉ ra.

Bước 4: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải:

+ Xét xem có sai lầm không ?

+ Có phải biện luận kết quả không ?

+ Nghiên cứu những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề,

II Các ví dụ về dạy học cơ bản:

2.1 Ví dụ về dạy học cơ bản:

Ví dụ 1: Cho tam giác nhọn ABC.

Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam

giác ABD vuông cân tại B và ACE vuông

cân tại C Gọi M, N thứ tự là hình chiếu

của D, E trên BC CMR: DM + EN = BC

a Tìm hiểu nội dung bài toán

- Đọc kĩ đề, vẽ hình, xác định GT, KL

- Phân tích tìm lời giải:

Việc chứng minh đẳng thức dạng DM + EN = BC ban đầu có thể chưa quen với

HS lớp 7 nên GV định hướng cho HS chuyển bài toán về chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau

- Chẳng hạn ta có thể tìm điểm H thuộc cạnh BC sao cho HB = DM và HC = EN

- Nếu HB = DM thì ∆MDB = ∆HBA (c.g.c) ⇒ ·AHB BMD=· =900 Vậy H là chân đường cao vẽ từ A đến BC

b Xây dựng chương trình giải:

Bước 1: Vẽ AH ⊥BC

Bước 2: Chứng minh HB = MD và HC = NE

Bước 3: Kết luận

c Thực hiện chương trình giải: Thực hiện theo các bước trên

d Kiểm tra nghiên cứu lời giải

- Cho HS kiểm tra lại lời giải: Kiểm tra xem lời giải có mắc sai lầm nào không ?

- Hoạt động tìm điểm phụ H trên BC là là rất quan trọng cần lưu ý HS để áp dụng vào các tình huống tương tự

- Đưa ra một số bài tương tự để HS luyện tập

1 Cho tam giác ABC vuông cân tại A Lấy M, N, P thứ tự thuộc các cạnh AB,

AC, BC sao cho tam giác MNP vuông cân tại M

Chứng minh rằng AM + AN = BM

2 Cho hình vuông ABCD Lấy M, N thứ tự thuộc các cạnh BC và CD sao cho góc MAN bằng 450 Chứng minh rằng MN = BM + DN

Ví dụ 2: Tổ chức cho HS lớp 8 giải bài toán sau:

H

“ Cho tam giác ABC có góc A bằng 1200 và AD là phân giác trong của góc A Chứng minh rằng: 1 1 1

AB AC+ = AD ”

a Tìm hiểu nội dung bài toán:

Để chứng minh đẳng thức dạng 1 1 1

AB AC+ = AD ta nên chuyển về chứng minh đẳng thức liên quan tới tỉ số của hai đoạn thẳng, chẳng hạn AD AD 1

AB+ AC = ; hoặc

AB AC+ = AD (với các đoạn thẳng a, b, c bằng nhau) Việc biến đổi kết luận bài toán như trên tạo điều kiện để chúng ta áp dụng được định lí Ta – lét

E

B

A

- Với giả thiết ·BAD CAD 60=· = 0 thì vẽ DE // AB ta được tam giác ADE đều Sử dụng định lí Ta-lét, kết hợp với AD = AE = DE ta sẽ có được lời giải

b Xây dựng chương trình giải:

Bước 1: Vẽ DE // AB

Bước 2: Chứng minh tam giác ADE đều

Bước 2: Áp dụng định lí Ta – lét cho tam giác ABC với DE // AB

Bước 4: Thực hiện các biến đổi đại số để đưa về đẳng thức cần chứng minh

c Thực hiện chương trình giải:

Vẽ DE // AB Suy ra được AD = AE = DE

Áp dụng định lí Ta-lét cho DE // AB ta có: DE CD AE; BD

AB = CB AC = BC

1

AB AC+ =AD

d Kiểm tra nghiên cứu lời giải:

B

A

- Nghiên cứu lời giải trên ta thấy nếu thay góc A bằng 900; bằng 600 thì ta được các kết quả sau:

Bài 1: Cho tam giác ABC có góc A bằng 900 và AD là phân giác trong của góc A Chứng minh rằng: 1 1 2

AB AC+ = AD Bài 2: Cho tam giác ABC có góc A bằng 600 và AD là phân giác trong của góc A Chứng minh rằng: 1 1 3

AB AC+ = AD (việc giải 2 bài toán trên hoàn toàn tương tự)

- Áp dụng kinh nghiệm tìm lời giải (như ở ví dụ 3), HS làm được các bài sau:

Bài 3: Cho tam giác ABC có AB = AC = m Một đường thẳng đi qua trọng tâm G của tam giác cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại M, N

Chứng minh rằng: 1 1 3

AM + AN = m Bài 4: Cho tam giác ABC Một đường thẳng đi qua trọng tâm G của tam giác cắt tia

BC và các cạnh AC, AB lần lượt tại M, N, P

Chứng minh rằng: 1 1 1

GM+GN = GP

Một số lưu ý:

- Không nên nhầm lẫn giữa dạy HS giải bài tập với việc chữa bài tập

Chữa bài tập mới chỉ cung cấp cho HS lời giải đúng chứ chưa hướng dẫn HS cách tìm lời giải đó

- Không nên đưa quá nhiều bài tập trong một tiết dạy, cần dự kiến thời gian cho bài tập trọng tâm, rồi lựa chọn bài có cách giải tương tự để HS tự luyện tập

- Để hướng dẫn HS tìm lời giải bài toán được tốt thì trước hết GV phải đóng vai trò người học, tự mình tìm ra các cách giải Trên cơ sở đó, GV phân bậc hoạt động phù hợp với đối tượng HS cụ thể của mình, dự kiến các câu hỏi dẫn dắt, gợi mở để giúp HS không những tìm được lời giải bài toán mà còn học được cả tri thức về phương pháp giải toán Đây chính là công việc khó khăn nhất đối với mỗi GV dạy toán; vì nếu HS nhận được sự giúp đỡ quá nhiều từ GV thì HS đó không còn gì để làm; nhưng nếu HS đó nhận được quá ít sự giúp đỡ của GV thì khó mà tiến bộ được

Vì vậy khi đưa ra một bài toán nào đó GV phải cân nhắc thật kĩ xem với đối tượng HS của mình thì giúp đỡ đến đâu là vừa

2.2 Xây dựng chuỗi bài toán:

Cùng với việc hướng dẫn HS tìm lời giải một bài toán GV nên xây dựng chuỗi các bài toán trong đó bài toán mở đầu có tính chất như một chìa khóa để giải các bài còn lại Chẳng hạn, từ ví dụ 1 ta có thể xây dựng một chuỗi các bài toán như sau:

Bài toán 1: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, H, K thứ tự là hình chiếu của B, C

trên một đường thẳng bất kì qua A và không cắt cạnh BC

CMR:

a) BH = AK

b) BH + CK = HK

Bài toán 2: Cho tam giác nhọn ABC Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác

ABD vuông cân tại B và ACE vuông cân tại C Gọi M, N thứ tự là hình chiếu của D,

E trên BC

CMR: DM + EN = BC

(HD: Vẽ AH vuông góc với BC và áp dụng bài toán 1)

Bài toán 3: Cho đoạn thẳng AB Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là AB, vẽ các tia

Ax, By cùng vuông góc với AB Vẽ tam giác CDE vuông cân tại C, trong đó C thuộc đoạn AB, D thuộc tia Ax, E thuộc tia By

CMR: AD + BE có giá trị không đổi khi C, D, E thay đổi

(HD: Áp dụng bài toán 1 ta được AD + BE = AB)

Bài toán 4: Cho tam giác nhọn ABC Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác

vuông cân tại A là ABD và ACE

CMR: Đường thẳng qua A và vuông góc BC đi qua trung điểm của DE

(Vẽ DP và EQ cùng vuông góc với AH và áp dụng bài toán 1)

Bài toán 5: Cho tam giác ABC vuông cân tại A Lấy M, N, P thứ tự thuộc các cạnh

AB, AC, BC sao cho tam giác MNP vuông cân tại M Chứng minh rằng tổng 2AM +

AN không phụ thuộc vào vị trí của M, N, P

(HD: Vẽ PH vuông góc với AB rồi áp dụng bài toán 1)

II Các ví dụ về dạy học nâng cao:

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có AB = AC,

đường cao AH và phân giác BD Gọi I là

tâm đường tròn nội tiếp tam giác AHC,

biết ·BDI = 45 0 Tìm số đo của góc BAC

có thể có.(Bài 4 đề thi Toán quốc tế lần

thứ 50 )

Lời giải: Gọi O là giao của AH và BD, từ

giả thiết suy ra CO là phân giác của ·ACB

µ1 µ2

C C

⇒ = Hạ OK ⊥ AC K ( ∈AC).

Trường hợp 1: Nếu K thuộc tia DA

- Nếu K trùng D dể dàng suy ra ∆ABC đều vì

trực tâm trùng với tâm đường tròn nôi tiếp, suy ra ·BAC= 60 0

- Nếu K D ≠ giả sử K nằm giữa A và D (Hình 1a)

Vì I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác AHC nên I nằm

trên OC và µ µ 0

H = H = 45 ; OH = OK; KOI HOI· =·

Hình 1 a

I

K

O

D

H

B

C

A

1

1 1

1

H

µ µ 0

OKI OHI c g c K H

Theo giả thiết ta có BDI· = 45 0 hay µ 0

1 45

D = nên

K = D = 45 suy ra tứ giác OKDI nội tiếp đường tròn

1

O =IKD= −K = − =

B +C =O = hay µ µ 45 0 µ µ 90 0 · 90 0

B C

Trường hợp 2 nếu K thuộc tia DC giải tương tự, (Hình 1b)

ta cũng có BAC· = 90 0 Nếu tam giác ABC đều hoặc vuông cân tại ta

chứng minh được BDI· = 45 0 Vậy ·BAC= 90 0hoặc BAC· = 60 0

Nhận xét: Bài toán này thực chất là không khó chỉ cần kiến thức

THCS Việc dựng OK vuông góc với AC cũng xuất phát từ ý nghĩ

nếu tam giác ABC đều thì hiển nhiên ·BDI = 45 0 đây chính là

“chìa khoá” để tìm ra lời giải đơn giản cho bài toán

Ví dụ 4: Cho tam giác ABC, phân giác AD O là điểm bất kỳ trên cạnh AD ( O khác

A và D) Các tia OB, OC cắt cạnh AC, AB lần lượt tại E và F Chứng minh rằng nếu

AB + AE = AC + AF thì tam giác ABC cân tại A.

Lời giải:

Qua O kẻ OM//AB; ON//AC ( với M∈AC N; ∈AB) (Hình 2)

Vì AD là phân giác nên dễ dàng ta chứng minh được tứ giác

AMON là hình thoi suy ra OM = ON = x

Áp dụng định lý Ta-lét vào tam giác ABE có OM//AB ta có:

1

OM ON OE BO OE BO

+

Tương tự 1 1 1

AC + AF = x (2) Từ (1) và (2) suy ra

AC + AF = AB+ AE(*) Mặt khác theo giả thiết ta có: 12 12 12 12

AB + AE = AC + AF (**)

Từ (*) và (**) suy ra 2 2

AB AE = AC AF Suy ra AB.AE = AC.AF = P Kết hợp với (*) ta

được AB + AE = AC + AF = S Nên theo định lý Vi- ét ta có: AB, AE,AF, AC là nghiệm của phương trình t2 − + =St P 0, vì AE < AC nên AE = AF, AB = AC nên tam giác ABC cân tại A

Nhận xét: Rõ ràng khi gặp bài toán này người đọc cảm gác là khó, bởi vì nhìn từ giả

thiết 12 12 12 12

AB + AE = AC + AF giống như hệ thức lượng về cạnh và đường cao của tam

giác vuông khiến người giải có thể tạo ra đường phụ là các tam giác vuông với các cặp cạnh góc vuông (AB; AE); (AC, AF) nhưng cách vẽ thêm này không khả quan Chính điều này là cái hay của bài toán dẫn chúng ta sang một con đường khác để tìm

ra lời giải.

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, trung tuyến BM, phân giác

CD đồng quy tại O

a) Chứng minh BD BH

AD =CH

I

K O

D

H

B

C A

Hình 1 b

2 1

D

O

C B

A

Hình 2

b) Tính tỷ số AB

AC

Lời giải: (Hình 3)

a) Cách 1: Áp dụng định lí Cer -va vàp tam giác ABC

với 3 đường thẳng AH, CD, BM đồng quy tại O ta có:

BH CM AD

HC MA DB =

mà CM =MA nên CM 1

MA = và BD BC

AD = AC (tính chất phân giác)

Từ đó ta suy ra BH 1: AD BD BC

HC = DB = AD = AC

Cách 2: Hạ MI ⊥ HC vì AH ⊥ HC và MA = MC

HI = IC ⇒ 2HI =HC

Áp dụng định lý Ta-let và tính chất phân giác ta có:

HC = HI = OM = MC = AC

.

.

+

1

2

⇔ = vì ( k> 0 )

Nhận xét: Đối câu a có nhiều cách giải khác nhau, nhưng ở đây tôi chỉ nêu 2 cách

giải cơ bản – Cách 1 là khả năng vận dụng cách đinh lý đã biết trong hình học; Cách

2 là khả năng linh hoạt trong cách tạo ra đường phụ Đây là cần thiết trong dạy học hình học đối với học sinh THCS Câu b là khả năng nhìn nhận bài toán dưới dạng đại

số và mối quan hệ giữa câu a.

Ví dụ 5: Cho tam giác ABC Trên cạnh BC lấy 2 điểm M và N sao cho MAB NAC· = · Chứng minh rằng

2

.

MB NB AB

MC NC AC

=  ÷

Lời giải:

Vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN Gọi E, F lần lượt là các giao điểm thứ hai của AB, AC với đường tròn này (Hình 4)

Theo giả thiết ta có Aµ1 =Aµ 2 nên ME = NF

Vậy MNFE là hình thang cân, hay FE // BC nên BE AF

Ta dể có các tam giác BMA đồng dạng với BEN (g –g);

CNA đồng dạng với CFM (g –g)

Suy ra BM BA CM; CA BM BN. BE BA CM CN CF CA ;

BM BN BE BA

CM CN =CF CA (2)

Từ (1) và (2) suy ra

2

.

MB NB AB

MC NC AC

=  ÷ (đpcm)

2

I O

D

M

H

C

B

A

Hình 3

F E

N M

C B

A

1 2

Hình 4

Nhận xét: Vì Aµ1=Aµ2 và đẳng thức cần chứng minh có dạng tích của các tỷ số của 2 đoạn thẳng nên ta vẽ thêm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN Khi dạy học sinh

người giáo viên cần phải tạo cho học sinh nhiều cách vẽ đường phụ khác nhau Đây

là một kinh nghiệm nhỏ mà tôi đã thành công trong việc dạy toán.

Ví dụ 6: Cho tam giác ABC, phân giác trong AD Trên cạnh AD lấy 2 điểm M và N sao cho ·ABM =CBN· (M nằm giữa A và N) Chứng minh ·ACM =BCN·

Lời giải:

Cách 1: (Hình 5)

Áp dụng ví dụ 4 vào tam giác ABD ta có:

2

.

AM AN AB

DM DN BD

=  ÷ (1)

Gọi N’ là điểm trên BD sao cho ·ACM =·BCN'

Áp dụng ví dụ 4 vào tam giác ACD ta có:

2

AM AN AC

DM DN DC

=  ÷ (2)

Mặt khác theo tính chất đường phân giác ta có: AB AC

BD= DC

Nên kết hợp (1) và (2) suy ra: '

'

AN AN

DN = DN

Do N và N’ cùng thuộc AD nên N N ' ≡ Do đó ·ACM =BCN· (đpcm)

Cách 2: Theo giả thiết ta có: Aµ1 = A ; Bµ µ2 1 = Bµ2

Vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giác BNC đường tròn

này cắt đường thẳng AD tại K ( Hình 6) Ta có tứ giác

BKCN nội tiếp nên Kµ1 = B ; Kµ µ1 2 =Cµ2 (*) suy ra: Kµ1 = B ;µ1

Do đó ∆ABM : ∆AKC (g g ) AB AM

AK = AC (3)

Mặt khác Aµ1=Aµ2(4) Từ (3) và (4) ta suy ra

∆ : ∆ (c.g.c)⇒Kµ 2 =Cµ1(**) Từ (*) và (**) ta suy ra

µ1 µ2

C =C hay ·ACM =BCN· (đpcm)

Nhận xét: Lời giải ở cách 1 thực chất là sự kế thừa ví dụ 4,

lời giải cách là sự tinh tế của yếu tố phụ - vẽ đường tròn ngoại tiếp

tam giác BNC

BÀI TẬP:

1 Bạn hãy chỉ ra các khái niệm hình học nào trong chương trình THCS có thể dạy theo con đường qui nạp ?

2 Bạn hãy chỉ ra những định lí nào có thể dạy theo con đường suy diễn, những định lí nào có thể dạy theo con đường có khâu suy đoán ?

3 Tổ chức cho HS tìm lời giải các bài toán sau:

Bài 1 (Lớp 7): Cho hình vuông ABCD M thuộc cạnh BC, N thuộc cạnh CD sao

cho góc MAN bằng 450 Chứng minh MN = BM + CN

Bài 2 (Lớp 8): Cho tam giác ABC có các đường cao BE, CF cắt nhau tại H.

Chứng minh rằng: BH BE + CH CF = BC2

2

1 2

1

2 1

D N M

C B

A

Hình 5

Hình 6

2 1

2 1

2

1 2

1

K

D N M

C B

A

Bài 3 (Lớp 8): Cho hình thang ABCD có µ µ 0 1

A B 90 , AD = BC

2

trung điểm của BC, K là hình chiếu của H trên AC Chứng minh BK vuông góc với DK

Bài 4 (Lớp 9): Cho hình vuông ABCD M thuộc cạnh BC, N thuộc cạnh CD sao

cho góc MAN bằng 450 Chứng minh MN luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định

Bài 5 (Lớp 9): Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O;R) D là một điểm di

động trên cung BC (cung BC không chứa A) Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của D trên AB, AC Xác định vị trí của D để MN lớn nhất

Trong các bài toán trên GV vừa hướng dẫn cho HS tìm lời giải vừa đưa ra các bài tập tương tự để HS luyện tập

(Lê Bá Hoàng - Phòng GDĐT Thị xã Hồng Lĩnh, Đặng Hải Giang - Phòng GDĐT Cẩm Xuyên - Hà Tĩnh)