bài giảng toán chuyên nghành chương 2

Loại ràng buộc thứ nhất của bài toán ứng với mỗi giờ trong ngày, số lượng giao dịch viên làm việc tại ngân hàng trong giờ đó ít nhất phải bằng số lượng yêu cầu tối thiểu được thể hiện tr

CHƯƠNG 2: ỨNG DỤNG QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH TRONG QUẢN LÝ KINH

DOANH VÀ XÂY DỰNG 2.1 Bài toán quản lý nhân sự

2.1.1 Thiết lập mô hình

Bài toán quản lý nhân sự giúp doanh nghiệp đáp ứng nhu cầu nhân lực trong một thời gian cụ thể.Chúng đặc biệt hữu ích khi các nhà quản lý có sự linh hoạt trong việc phân công các công nhân thực hiện công việc mà chúng đòi hỏi nhiều kỹ năng chồng chéo hoặc hoán đổi cho nhau Các ngân hàng lớn thường xuyên sử dụng QHTT để lập tiến độ cho nhân viên của mình

Ngân hàng TMCP Xây dựng Việt Nam là một ngân hàng bận rộn, thường đòi hỏi từ 10 đến 18 giao dịch viên, tùy thuộc vào thời gian trong ngày Thời gian ăn trưa, từ 12 giờ trưa đến 2 giờ chiều đây là thời điểm có nhiều khách hàng giao dịch nhất Bảng 3.9 cho thấy số giao dịch viên cần thiết vào các khoảng thời gian khác nhau trong ngày của ngân hàng:

Bảng 3.9 Nhu cầu giao dịch viên

Khoảng thời gian Số lượng giao dịch viên cần

ăn trưa (Một nửa số giao dịch viên ăn trưa vào lúc 11:00, nửa còn lại ăn vào 12:00 giờ trưa) Như vậy, giao dịch viên toàn thời gian cung cấp 35 giờ công lao động mỗi tuần

Theo chính sách của ban giám đốc, ngân hàng hạn chế số giờ làm việc bán thời gian tối đa 50% trên tổng nhu cầu trong ngày Tính trung bình, nhân viên bán thời gian được trả 80 ngàn đồng

mỗi giờ (hoặc 320 ngàn đồng mỗi ngày), và nhân viên toàn thời gian được trả 1 triệu đồng tiền lương và thưởng mỗi ngày Ngân hàng muốn thiết lập một tiến độ để cực tiểu tổng chi phí nhân

sự của mình Điều này sẽ dẫn đến việc giảm biên chế một hoặc nhiều giao dịch viên toàn thời gian nếu ngân hàng muốn có lợi nhuận cao hơn

Trong mô hình QHTT của bài toán, mục tiêu là cực tiểu chi phí Loại ràng buộc thứ nhất của bài toán ứng với mỗi giờ trong ngày, số lượng giao dịch viên làm việc tại ngân hàng trong giờ đó

ít nhất phải bằng số lượng yêu cầu tối thiểu được thể hiện trong bảng 3.9 Do đó, bài toán sẽ có tám ràng buộc thể hiện yêu cầu này Một ràng buộc nữa là tổng số lượng giao dịch viên toàn thời gian không được vượt quá 12 người Ràng buộc cuối cùng, số lượng giờ làm việc bán thời gian không quá 50% tổng số giờ

Ngân hàng phải quyết định có bao nhiêu giao dịch viên toàn thời gian được sử dụng, vì vậy sẽ

có một biến quyết định cho điều đó Tương tự như vậy, ngân hàng cũng phải quyết định có bao nhiêu giao dịch viên bán thời gian cần sử dụng, nhưng điều này khá phức tạp bởi vì các giao dịch viên bán thời gian có thể bắt đầu làm việc vào những thời điểm khác nhau trong ngày, trong khi tất cả nhân viên toàn thời gian bắt đầu vào buổi sáng đầu ngày Vì vậy, phải có biến thể hiện số lao động bán thời gian bắt đầu từng giờ trong ngày từ 9 giờ sáng đến 1 giờ chiều

Gọi:

x- Số lượng giao dịch viên làm toàn thời gian;

y1– Số lượng giao dịch viên làm bán thời gian bắt đầu từ lúc 9 A.M (kết thúc lúc 1 P.M);

y2– Số lượng giao dịch viên làm bán thời gian bắt đầu từ lúc 10 A.M (kết thúc lúc 2 P.M);

y3– Số lượng giao dịch viên làm bán thời gian bắt đầu từ lúc 11 A.M (kết thúc lúc 3 P.M);

y4– Số lượng giao dịch viên làm bán thời gian bắt đầu từ lúc 12 A.M (kết thúc lúc 4 P.M);

y5– Số lượng giao dịch viên làm bán thời gian bắt đầu từ lúc 1 P.M (kết thúc lúc 5 P.M);

Hàm mục tiêu: Cực tiểu hóa tổng chi phí nhân sự hằng ngày (triệu đồng)

Khoảng thời gian từ 12A.M –1P.M :

Điều kiện biên: x, y1, y2, y3, y4, y5 ≥ 0 , nguyên

Như vậy ta có mô hình công thức của bài toán như sau

1012

1817151012

14, i 0

Bằng Excel

LINGGO

Dữ liệu đầu vào

Kết quả

2.2 Bài toán nghiên cứu thị trường

2.2.1 Thiết lập mô hình

QHTT cũng còn được áp dụng cho các vấn đề nghiên cứu thị trường và lĩnh vực nghiên cứu người tiêu dùng Ví dụ sau sẽ minh họa cách thức người nghiên cứu thị trường (người đi thăm dò

ý kiến) có thể sử dụng QHTT để giúp cho việc đưa ra các quyết định chiến lược

Tập đoàn Thái Việt là một nơi chuyên nghiên cứu thị trường tại Thái Lan, thường hay thực hiện các cuộc nghiên cứu đối với người tiêu dùng Một trong những khách hàng của nó là một công ty dịch vụ báo chí theo định kỳ thường tiến hành thăm dò ý kiến về các vấn đề chính trị được quan tâm rộng rãi Trong cuộc nghiên cứu cho công ty dịch vụ báo chí, tập đoàn Thái Việt xác định rằng nó phải hoàn tất một số yêu cầu để rút ra kết luận thống kê có giá trị về vấn đề nhạy cảm của luật nhập cư mới vào Thái Lan:

1) Khảo sát ít nhất 2.300 hộ gia đình ở Thái Lan

2) Khảo sát ít nhất 1.000 hộ gia đình có chủ hộ nhỏ hơn hoặc bằng 30 tuổi

3) Khảo sát ít nhất 600 hộ gia đình có chủ hộ từ 31 đến 50 tuổi

4) Đảm bảo rằng có ít nhất 15% tổng số người dân được khảo sát sống ở một thành phố nằm gần biên giới Thái Lan

5) Đảm bảo rằng số người được khảo sát từ 51 tuổi trở lên sống ở một thành phố gần biên giới Thái Lan không có nhiều hơn 20% tổng số người được khảo sát từ 51 tuổi trở lên Thái Việt quyết định rằng tất cả các cuộc điều tra nên được tiến hành thông qua người dân Nó ước lượng chi phí đến từng người dân theo độ tuổi và phân loại khu vực như sau:

Bảng 0.1Dữ liệu bài toán nghiên cứu thị trường

Khu vực Chi phí cho 1 người được khảo sát

Tuổi ≤ 30 31 ≤ Tuổi ≤ 50 Tuổi ≥ 51

Thành phố không tiếp giáp biên giới Thái Lan 6.9 7.25 6.1

Mục tiêu của Thái Việt đáp ứng được 5 yêu cầu lấy mẫu sau cho chi phí là ít nhất Thành lập

mô hình QHTT của bài toán

Mục tiêu của bài toán là cực tiểu hóa chi phí Năm yêu cầu về số lượng người được lấy mẫu với đặc điểm cụ thể chính là năm ràng buộc của bài toán Các biến quyết định chính là số lượng người lấy mẫu từ một trong hai khu vực ứng với ba nhóm tuổi

Điều kiện biên: x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 ≥ 0 và nguyên

Như vậy ta có mô hình công thức của bài toán như sau

Hình 0.1 Giải bài toán bằng Excel

LINGGO

Hình 0.2 Giải bài toán bằng Lingo

2.3 Bài toán lập kế hoạch sản xuất cho nhiều sản phẩm

2.3.1 Thiết lập mô hình

Một trong những lĩnh vực “màu mỡ” mà QHTT thường được sử dụng là việc lập kế hoạch sản xuất hỗn hợp nhiều sản phẩm tối ưu Công ty phải đối mặt vô số khó khăn, từ vấn đề tài chính đến nhu cầu bán hàng, hợp đồng về vật tư, nhu cầu nhân công lao động Mục tiêu chính của công

ty thường là tạo ra lợi nhuận lớn nhất có thể có Chúng ta cùng xem xét một tình huống sau đây:

Solver

Kết quả

Công ty Phong Vân, một nhà sản xuất nổi tiếng y phục nam giới, sản xuất 4 loại cà vạt Trong

đó có một loại cà vạt làm từ lụa (silk) giá đắt, một loại làm từ vải nhân tạo (polyester) và hai loại còn lại là vải pha từ vải bông (cotton) với vải nhân tạo và vải lụa Bảng dưới đây thể hiện chi phí

và mức độ đáp ứng sẵn sàng trong chu kỳ sản xuất một tháng của ba loại vật liệu trên được sử dụng trong quá trình sản xuất:

Bảng 0.2Chi phí vật liệu Vật liệu Chi phí/1m vật liệu (USD) Giới hạn vật liệu/tháng (m)

Công ty Phong Vân ký hợp đồng cố định với chuỗi các cửa hàng lớn để cung cấp cà vạt Hợp đồng này yêu cầu công ty phải cung cấp một số lượng tối thiểu nào đó các cà vạt hàng tháng nhưng có thể tăng thêm khi nhu cầu khách hàng tăng Bảng sau đây tóm tắt các yêu cầu hợp đồng cho từng loại cà vạt bao gồm giá bán từng loại cà vạt và chất liệu vải thành phần Mục tiêu của công ty Phong Vân là đạt cực đại hóa lợi nhuận ròng hàng tháng

Bảng 0.3Yêu cầu hợp đồng và giá bán

Loại cà vạt Giá bán

(USD)

Số lượng tối thiểu

Nhu cầu hàng tháng

Vật liệu yêu cầu (m) Mô tả vật liệu yêu cầu

Thành lập mô hình QHTT của bài toán:

Mục tiêu ở đây là cực đại hóa lợi nhuận Bài toán có ba ràng buộc (ứng với mỗi loại vật liệu vải) chỉ số lượng giới hạn của lụa, vải nhân tạo và vải bông có sẵn Ngoài ra còn có bốn ràng buộc (ứng với mỗi loại cà vạt) xác định số lượng của tất cả các loại cà vạt cần sản xuất tối thiểu theo điều kiện của hợp đồng Thêm vào đó có bốn ràng buộc (ứng với mỗi loại cà vạt) chỉ ra rằng

số lượng của mỗi loại cà vạt sản xuất không thể vượt quá nhu cầu hàng tháng Các biến được định nghĩa như sau:

Gọi:

x1 – Số lượng cà vạt làm hoàn toàn bằng lụa (silk) cần sản xuất hàng tháng;

x2 – Số lượng cà vạt làm hoàn toàn bằng vải nhân tạo (polyester) cần sản xuất hàng tháng;

x3 – Số lượng cà vạt làm hoàn toàn bằng vải pha (Poly-Cotton) 1 cần sản xuất hàng tháng;

x4 – Số lượng cà vạt làm hoàn toàn bằng vải pha (Silk-Cotton) 2 cần sản xuất hàng tháng;

- Công ty tiến hành tính toán lợi nhuận của mỗi loại cà vạt như sau:

+ Đối với cà vạt làm hoàn toàn bằng vải lụa (x1 ): Mỗi cái yêu cầu 0,125 m lụa, với chi phí là

24 USD/1m Vì vậy, chi phí cho mỗi cà vạt bằng lụa = 0,125*24 = 3 USD Ngoài ra, giá bán của mỗi cái cà vạt bằng vải lụa 19,24 USD Từ đó suy ra lợi nhuận ròng = 19,24 – 3 = 16,24 USD/1 cái cà vạt bằng vải lụa

+ Đối với cà vạt làm hoàn toàn bằng vải nhân tạo (x2 ): Mỗi cái yêu cầu 0,08 m vải nhân tạo,

với chi phí là 6 USD/1m Vì vậy, chi phí cho mỗi cà vạt bằng vải nhân tạo = 0,08*6 = 0,48 USD Ngoài ra, giá bán của mỗi cái cà vạt bằng vải nhân tạo 8,7 USD Từ đó suy ra lợi nhuận ròng = 8,7 – 0,48 = 8,22 USD/1 cái cà vạt bằng vải nhân tạo (polyester) x2

+ Đối với cà vạt vải pha loại Poly-Cotton 1 (x3 ): Mỗi cái yêu cầu 50%*0,1 = 0,05 m vải nhân

tạo với chi phí 6 USD/1m vải nhân tạo và 0,05 m vải bông với chi phí là 9 USD/1m Vì vậy, chi phí cho mỗi cà vạt vải pha loại Poly-Cotton 1 = 0,05*6 + 0,05*9 = 0,75 USD Ngoài ra, giá bán của mỗi cái cà vạt loại Poly-Cotton 1 là 9,52 USD Từ đó suy ra lợi nhuận ròng = 9,52 – 0,75 = 8,77 USD/1 cái cà vạt loại Poly-Cotton 1

+ Tương tự, ta tính toán được chi phí 1,98 USD và lợi nhuận ròng cho mỗi cái cà vạt loại Cotton 2 = 8,66 USD

Silk Việc tính toán lợi nhuận ròng cho mỗi cái cà vạt có thể tóm tắt trong bảng sau:

Bảng 0.4Tính toán lợi nhuận Loại Cà

vạt Giá bán (USD)

Vật liệu yêu cầu (m)

Chi phí/1m (USD)

Chi phí cho mỗi loại

cà vạt

Lợi nhuận ròng

- Điều kiện biên: x1 , x2 , x3 , x4 ≥ 0, Nguyên

Như vậy ta có mô hình công thức của bài toán như sau

Dữ liệu đầu vào

có, hàng tồn kho và chi phí tồn kho, giới hạn về không gian kho chứa, nhu cầu sản phẩm và các

Solver

Kết quả

mối quan hệ lao động, v.v Bởi hầu hết các công ty đều sản xuất nhiều hơn một sản phẩm nên quá trình lập tiến đồ thường khá phức tạp

Về cơ bản, bài toán này tương tự như bài toán lập kế hoạch nhiều sản phẩm cho từng chu kỳ trong tương lai Mục tiêu ở đây hoặc là cực đại hóa lợi nhuận hoặc cực tiểu hóa tổng chi phí (sản xuất + tồn kho) khi tực hiện công việc Lập kế hoạch sản xuất thường được giải bằng phương pháp QHTT vì nó là một vấn đề cần được giải quyết một cách thường xuyên Khi hàm mục tiêu

và các ràng buộc của công ty đã được xác định các thông số đầu vào có thể thay đổi dễ dàng mỗi tháng để cung cấp tiến độ sản xuất cập nhật Chúng ta hãy cùng nhau xem ví dụ minh họa sau đây:

Công ty Thịnh Vượng chuyên sản xuất hai loại động cơ điện A và B cho một doanh nghiệp đối tác của nó theo hợp đồng đã ký kết cho biết doanh nghiệp đối tác của họ thường đặt hàng ba lần trong một năm ứng với từng thời điểm bốn tháng một Nhu cầu về động cơ điện hàng tháng của doanh nghiệp đối tác thì dựa trên các dự báo doanh số khả năng sản xuất và tình trạng tài chính của doanh nghiệp Công ty Thịnh Vượng vừa mới nhận được các đơn hàng từ tháng 1 đến tháng

4 của doanh nghiệp đối tác và đang tiến hành lập kế hoạch sản xuất trong 4 tháng tới này Nhu cầu về động cơ điện qua các tháng được thể hiện trong bảng sau đây:

Bảng 0.5Kế hoạch sản xuất theo đơn hàng trong 4 tháng của công ty

Công ty Thịnh Vượng xem xét 4 yếu tố sau đây khi lập kế hoạch sản xuất:

1) Công ty mong muốn sản xuất số lượng động cơ điện giống nhau mỗi tháng để đơn giản hóa việc lập kế hoạch và tiến độ công việc cho công nhân và máy móc thiết bị Tuy nhiên, công

ty phải đáp ứng nhu cầu cho từng sản phẩm trong mỗi tháng trong bốn tháng tới theo hợp đồng (xem bảng 3.1.9) Ngoài ra, công ty muốn có 450 sản phẩm A và 300 sản phẩm B trong kho vào cuối tháng 4, bởi vì nhu cầu của tháng 5 dự kiến sẽ cao hơn một chút so với nhu cầu trong những tháng trước đó

2) Yêu cầu cắt giảm các chi phí tồn kho hoặc giữ nguyên chi phí này Để đạt được điều này thì coongt y hàng tháng chỉ sản xuất ra đúng số lượng theo yêu cầu không hơn không kém Cho biết chi phí tồn kho của sản phẩm A 0,36 USD cho 1 sản phẩm hàng tháng, và chi phí tồn kho của sản phẩm 0,36 USD cho một sản phẩm mỗi tháng

3) Chính sách của công ty phải đảm bảo ngăn chặn việc công nhân đình công cũng như duy trì một chính sách không sa thải đột ngột nghĩa là, công ty mong muốn số giờ công lao động

2.240 đến 2.560 giờ lao động mỗi tháng là lý tưởng Cho biết sản phẩm A cần 1,3 giờ lao động, trong khi đó sản phẩm B chỉ cần 0,9 giờ lao động

4) Giới hạn kho chứa không được vượt quá nếu không sẽ tăng thêm chi phí lưu kho đáng kể Kho chứa mỗi tháng cho hai sản phẩm A và B của coongt y 3.300 sản phẩm

Mặc dù các yếu tố trên có thể mâu thuẫn nhau, giám đốc sản xuất của công ty Thịnh Vượng đã nhận thấy rằng QHTT là một công cụ hữu ích cho việcthiết lập một tiến độ nhằm cực tiểu hóa tổng chi phí sản xuất

Cho biết chi phí sản xuất thông thường hiện nay 20 USD cho mỗi sản phẩm A và 15 USD cho mỗi sản phẩm B Tuy nhiên, chi phí này sẽ tăng lên thêm 10% vào ngày 01 tháng 3 tới do mức lương căn bản của người lao động tăng

Để thành lập mô hình QHTT của bài toán, điều quan trọng phải hiểu rõ tất cả các yếu tố quan trọng có liên quan, các chi phí được tính toán như thế nào, số giờ công lao động mỗi tháng cần bao nhiêu, làm thế nào sự sản xuất đáp ứng được nhu cầu và việc quản lý tồn kho

Mục tiêu của bài toán là cực tiểu chi phí (chi phí sản xuất + chi phí tồn kho)

Các ràng buộc bài toán:

Có 4 ràng buộc về nhu cầu (mỗi ràng buộc ứng với mỗi tháng trong 4 tháng) cho sản phẩm A

Có 4 ràng buộc về nhu cầu (mỗi ràng buộc ứng với mỗi tháng trong 4 tháng) cho sản phẩm B

Có 2 ràng buộc (1 cho sản phẩm A và 1 cho sản phẩm B) về lượng tồn kho vào cuối tháng 4

Có 4 ràng buộc số giờ công lao động tối thiểu (1 ràng buộc ứng với mỗi tháng)

Có 4 ràng buộc số giờ công lao động tối đa (1 ràng buộc ứng với mỗi tháng)

Có 4 ràng buộc về khả năng chứa hàng tồn kho mỗi tháng

Cá biến quyết định sẽ liên quan đến việc xác định số lượng sản phẩm A và B mỗi loại cần sản xuất mỗi tháng trong bốn tháng, như vậy sẽ có tất cả 8 biến Tuy nhiên, vì mục tiêu là cực tiểu chi phí, và các chi phí không chỉ liên quan đến các sản phẩm sản xuất mỗi tháng mà còn liên quan đến lượng tồn kho, vì vậy chúng ta cũng nên định nghĩa các biến thể hiện lượng hàng tồn kho

Gọi:

xi – số lượng sản phẩm A được sản xuất trong tháng i;

yi – số lượng sản phẩm B được sản xuất trong tháng i;

Ii – lượng tồn kho của sản phẩm A vào cuối tháng thứ i;

Ji – lượng tồn kho của sản phẩm B vào cuối tháng thứ i;

(Trong đó i = 1,2,3,4 thể hiện từ tháng 1, tháng 2, tháng 3 và tháng 4)

Khi đó:

Chi phí sản xuất:

Suy ra hàm mục tiêu: Cực tiểu hóa chi phí:Z Z1Z2

Để thiết lập các ràng buộc tồn kho, chúng ta cần phải nhận ra mối quan hệ giữa lượng tồn kho cuối tháng trước, lượng sản phẩm được sản xuất và doanh số bán được của công ty trong tháng này Tồn kho cuối tháng được tính theo công thức:

Tồn kho cuối tháng = tồn kho cuối tháng trước (đầu tháng này) + (Lượng sản xuất trong tháng) – (Doanh số bán trong tháng)

- Nhu cầu của sản phẩm A trong tháng 1:x1 I1 800

- Nhu cầu của sản phẩm A trong tháng 2:I1x2I2 700

- Nhu cầu của sản phẩm A trong tháng 3: I2x3 I3 1000

- Nhu cầu của sản phẩm A trong tháng 4:I3x4I4 1100

- Nhu cầu của sản phẩm B trong tháng 1:y1J11000

- Nhu cầu của sản phẩm B trong tháng 2:J1y2J2 1200

- Nhu cầu của sản phẩm B trong tháng 3:J2 y3J31400

- Nhu cầu của sản phẩm B trong tháng 4:J3y4J4 1400

- Tồn kho sản phẩm A và cuối tháng 4:I 4 450

- Tồn khho sản phẩm B vào cuối tháng 4: J 4 300

b) Các ràng buộc về số lượng giờ công tối thiểu và tối đa

- Số lượng giờ công tối thiểu trong tháng 1:1.3x10.9y12240

- Số lượng giờ công tối thiểu trong tháng 2:1.3x20.9y2 2240

- Số lượng giờ công tối thiểu trong tháng 3:1.3x30.9y3 2240

- Số lượng giờ công tối thiểu trong tháng 4:1.3x40.9y4 2240

- Số lượng giờ công tối đa trong tháng 1:1.3x 0.9y 2560

- Số lượng giờ công tối đa trong tháng 2:1.3x20.9y2 2560

- Số lượng giờ công tối đa trong tháng 3:1.3x30.9y3 2560

- Số lượng giờ công tối đa trong tháng 4: 1.3x40.9y4 2560

c) Các ràng buộc khả năng kho chứa

- Ràng buộc kho chứa trong tháng 1:I1J13300

- Ràng buộc kho chứa trong tháng 2:I2 J2 3300

- Ràng buộc kho chứa trong tháng 3:I3J33300

- Ràng buộc kho chứa trong tháng 4:I4 J4 3300

Điều kiện: Tất cả các biến ≥ 0

2.4.2 Giải bài toán

cũng có thể cần phải thay đổi

2.5 Bài toán lựa chọn phương án đầu tư xây dựng

2.5.1 Thiết lập mô hình

Chính quyền thành phố Viễn Đông đang xem xét sẽ xây dựng những công trình thể thao nào

để phục vụ cho cộng đồng trong số 4 công trình được đề nghị trong bảng sau đây:

Bảng 0.6Dữ liệu bài toán lựa chọn phương án đầu tư

Công trình thể thao Số người kỳ vọng sử

dụng hàng ngày

Kinh phí xây dựng (tỷ đồng)

Diện tích mặt bằng cần thiết (1.000 m2)

Cho biết tổng mặt bằng dành cho các công trình không được vượt quá 12.000m2 Tổng kinh phí để xây dựng chỉ có 12 tỷ đồng Thành phố chỉ có một khu đất có địa thể thích hợp có thể dùng để xây dựng hoặc hồ bơi hoặc sân quần vợt Hỏi nên xây dựng các công trình nào để dân trong thị trấn có thể sử dụng được nhiều nhất

Thành lập mô hình QHTT của bài toán:

Đây là bài toán QHTT nhị nguyên Do đó, ta gọi:

x1– Phương án xây dựng hồ bơi;

x2– Phương án xây dựng sân quần vợt;

x3– Phương án xây dựng sân điền kinh;

x4– Phương án xây dựng nhà thi đấu;

x1 + x2 ≤ 1 (công trình)

Điều kiện biên: x1 nguyên [0,1],

Trong mô hình này, các biến quyết định có thể có giá trị 0 hoặc 1 Nếu xi = 0 thì phương án đó không được chọn; ngược lại, nếu xi = 1 thì phương án được chọn

Ràng buộc (3): x1 + x2 ≤ 1 chỉ có thể tiến hành tối đa 1 phương án xây dựng hồ bơi hoặc sân quần vợt, nhưng không thể tiến hành xây dựng cả 2 phương án Nghĩa là, giá trị của một trong 2 biến x1 và x2 phải bằng 1, hoặc cả 2 biến này đều có giá trị bằng 0 Đây là dạng ràng buộc loại trừ nhau

Nếu trong trường hợp chính quyền thành phố xác định chỉ 1 trong 2 phương án xây dựng hồ bơi (x1) hoặc sân quần vợt (x2) phải được tiến hành, nhưng không được tiến hành cả hai, thì ràng buộc bất phương trình (3) sẽ có dạng ràng buộc phương trình (3’) x1 + x2 = 1 Khi đó lời giải bài toán sẽ cho kết quả x1=1 hoặc x2=1, nhưng cả hai biến này không thể nào có giá trị bằng 1 cũng như không được phép có giá trị bằng 0 đồng thời Nói cách khác, chính quyền đã có sự lựa chọn giữa 2 phương án Vì vậy, ràng buộc (3’) thường được gọi là ràng buộc nhiều lựa chọn

Như vậy, ràng buộc nhiều lựa chọn có thể được sử dụng để thành lập trong tình huống mà chính quyền buộc phải lựa chọn một số phương án trong tổng số các phương án đầu tư xây dựng Chẳng hạn như, nếu chính quyền thành phố xác định chính xác rằng phải có 2 trong 4 công trình được xây dựng thì chúng ta có thể thành lập được một ràng buộc như sau: x1 + x2 +x3 + x4 =2 Còn nếu chính quyền thành phố xác định rằng tối đa chỉ được phép xây dựng 2 công trình thì ràng buộc sẽ có dạng như sau:

x1+ x2 +x3+ x4 ≤ 2

Một dạng ràng buộc khác của mô hình QHTT nhị nguyên là ràng buộc có điều kiện Nghĩa là, việc xây dựng một công trình nào đó sẽ phụ thuộc vào điều kiện của việc xây dựng một công trình khác Giả sử rằng dự án trọng điểm mà chính quyền thành phố quan tâm dự án công trình thể thao hồ bơi và chính quyền cũng cho rằng phương án xây dựng sân quần vợt không đáng quan tâm Như vậy theo chính quyền thành phố, công trình xây dựng sẽ không có cơ hội được lựa chọn nếu như công trình xây dựng hồ bơi không phải lựa chọn đầu tiên Tuy nhiên, ngay cả khi công trình xây dựng hồ bơi được lựa chọn thì cũng không có gì đảm bảo rằng công trình xây dựng sân quần vợt cũng sẽ được lựa chọn Vì vậy, phương án xây dựng sân quần vợt (x2) chỉ có thể được tiến hành dựa trên điều kiện có xây dựng hồ bơi (x1) được thể hiện qua ràng buộc : x2 ≤

x1

Lưu ý rằng phươngán xây dựng sân quần vợt (x2) không thể được lựa chọn (x2=1) trừ khi phương án xây dựng hồ bơi được chọn (x1=1) Nếu như x1=0, nghĩa là phương án xây dựng hồ bơi không được chọn thì x2cũng phải có giá trị = 0 (phương án xây dựng sân quần vợt cũng

không được lựa chọn) Tuy nhiên, ràng buộc này lại cho phép có giá trị x1=1 (nghĩa là phương án xây dựng hồ bơi được chọn) và x2 = 0 (nghĩa là phương án xây dựng sân quần vợt không được chọn)

Một dạng ràng buộc khác của ràng buộc có điều kiện là dạng ràng buộc hợp tác, nghĩa là nếu một phương án xây dựng công trình nào được chọn thì phương án còn lại cũng được chọn và ngược lại Ví dụ, giả sử chính quyền thành phố có chính sách nếu phương án xây dựng hồ bơi (x1) được duyệt và chấp thuận thì phương án xây dựng sân quần vợt (x2) cũng phải được chọn và ngược lại Ràng buộc này có thể biểu diễn như sau: x2=x1 Ràng buộc này sẽ làm cho 2 biến x1 và

Bằng Excel

=SUMPRODUCT($B$7:$E$7,B2:E2)