sáng kiến kinh nghiệm thành toán phương trình tt 2014-2015

Đặc biệt là trong dạy toán về hàm số và các bài toánliên quan đến hàm số trong đó có chủ đề về tiếp tuyến của đồ thị hàm số.. Từ những kinh nghiệm giảng dạy, tích lũy chuyên môn,

MỤC LỤC Trang

Phần 1 MỞ ĐẦU 02

1.Lý do chọn sáng kiến……… 02

2.Mục đích của sáng kiến……… 02

3 Phạm vi, đối tượng áp dụng của sáng kiến……… 02

4.Thời gian thực hiện và triển khai sáng kiến 03

Phần 2 NỘI DUNG……… 03

I Cơ sở lý luận của sáng kiến……… 03

II Thực trạng của sáng kiến……… 04

III Các biện pháp giải quyết vấn đề……… 05

IV Hiệu quả của sáng kiến……… 26

Phần 3 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ……… 28

TÀI LIỆU THAM KHẢO 29 DANH MỤC CHỮ CÁI VIẾT TẮT

1 THPT (Trung học phổ thông)

2 PTTT (Phương trình tiếp tuyến)

PHẦN 1: MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài:

Mục tiêu hàng đầu trong các mục tiêu dạy học môn Toán là trang bị nhữngkiến thức, phương pháp, kĩ năng và phát triển tư duy, trí tuệ cho học sinh Dạy họctoán thông qua kiến thức là phải dạy học sinh khả năng tư duy: phân tích, tổng hợptrừu tượng hoá, cụ thể hoá, khái quát hoá , Trong đó phân tích tổng hợp có vaitrò trung tâm Phải dạy học sinh khả năng tự tìm tòi, tự phát hiện và phát biểu vấnđề, dự đoán được các kết quả, tìm được hướng giải quyết một bài toán, hướng dẫnchứng minh một số định lí Đặc biệt là trong dạy toán về hàm số và các bài toánliên quan đến hàm số trong đó có chủ đề về tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Từ những kinh nghiệm giảng dạy, tích lũy chuyên môn, phụ đạo học sinhyếu kém và bồi dưỡng học sinh khá giỏi lớp 12, luyện thi Tốt nghiệp, ĐH-CĐ, tôi

đã lựa chọn và phân dạng cho mỗi bài toán về phương trình tiếp tuyến từ đơn giảnđến phức tạp, để giúp cho mọi đối tượng học sinh không bị thụ động vì sự đa dạngcủa bài toán, là liều thuốc bình tĩnh để học sinh dựa vào chính mình trong hoạtđộng học tập và khảo thí Từ đó, tôi đã lựa chọn đề tài "Các bài toán liên quan tớiphương trình tiếp tuyến " mong muốn giúp học sinh yêu thích môn Toán, học sinhđang học lớp 12, ôn thi Tốt nghiệp lồng ghép ĐH-CĐ trong một kỳ thi quốc gianăm học 2014-2015, làm tài liệu tham khảo để ôn luyện kiểm tra kiến thức củamình, vững vàng, tự tin, làm tốt các dạng bài tập liên quan tới phương trình tiếptuyến

2 Mục đích của sáng kiến

- Tổng hợp một số dạng bài tập cơ bản để giải một số bài toán liên quan đến phương trình tiếp tuyến

- Giúp giáo viên, học sinh hệ thống thêm kiến thức về dạng toán này

- Tuyển chọn và sắp xếp bài toán theo trình tự hợp lý để giúp học sinh dễ dàng tiếp cận kiến thức

3 Phạm vi, đối tượng áp dụng của sáng kiến

- Đối tượng nghiên cứu: Là học sinh trường THPT Nguyễn Lương Bằng chủyếu là học sinh khối 12.

- Phạm vi nghiên cứu: Hệ thống một số dạng toán về phương trình tiếp tuyếntrong chương trình THPT

4 Thời gian thực hiện và triển khai sáng kiến

- Thời gian thực hiện sáng kiến năm học 2013-2014 và năm học 2014-2015

- Thời gian triển khai sáng kiến, học kỳ 1 năm học 2014-2015

- Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị y = f(x) tại tiếp điểm là k =

x0: là hoành độ tiếp điểm

- Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại tiếp điểm M0 (x0; f (x0)) là:

y = (x - x0) + f(x0)

2 Cơ sở lý luận.

Trong chuyên đề chủ yếu dùng các phương pháp tối ưu để giải các dạng bài toánliên quan tới phương trình tiếp tuyến khác nhau trong chương trình sách giáo khoa,thi tốt nghiệp THPT và Đại học,cao đẳng, trung học chuyên nghiệp

Trước thực tế học sinh không phân loại được các kiến thức liên quan tới các bàitập về phương trình tiếp tuyến tại trường THPT Nguyễn Lương Bằng, thì tổng hợpcho học sinh các phương pháp giải các dạng toán này tạo cơ sở cho học sinh tíchlũy và phát huy khả năng vận dụng của mình khi làm toán

Sáng kiến kinh nghiệm Cung cấp cho học sinh không chỉ kiến thức mà cảphương pháp suy luận, khả năng tư duy Từ những kiến thức cơ bản phải dẫn dắthoc sinh có được những kiến thức nâng cao một cách tự nhiên

Sau khi khảo sát việc làm các bài toán liên quan tới tiếp tuyến để áp dụngsáng kiến dạy cho học sinh đầu năm học 2014-2015 cho học sinh các lớp12A1,12A3,12A4 trường THPT Nguyễn Lương Bằng nhận thấy tỷ lệ như sau:

Khôngnhận

biếtđược

Nhận biết, nhưng không biết vận dụng

Nhận biết và biết vận dụng, chưa giải được hoàn chỉnh

Nhận biết và biếtvận dụng, giải được bài hoàn chỉnh

II Thực trạng của sáng kiến

1 Thuận lợi.

- Trong chương trình sách giáo khoa lớp 11và các bài toán liên quan phần khảo

sát hàm số lớp 12 các em đã được luyện tập nhiều các bài toán về phương trình tiếptuyến

- Học sinh chủ động trong hoạt động tự học của mình trong các tiết học trên lớpcũng như ở nhà

- Sau khi áp dụng sáng kiến học sinh hoạt động làm bài tâp hứng thú hơn, áp dụngtốt vào làm các dạng bài toán liên quan tới phương trình tiếp tuyến

2 Khó khăn.

- Giáo viên mất nhiều thời gian để chuẩn bị các dạng bài tập.

- Đa số học sinh kiến thức cơ bản còn chưa nắm vững, không biết tổng hợp các

dạng toán mà mình đã học

3 Số liệu thống kê

Trong các năm trước, khi gặp bài toán liên quan đến bài toán phương trìnhtiếp tuyến trong phần bài toán liên quan khi khảo sát hàm số số lượng học sinh cáclớp 12A1,12A3,12A4 năm học 2013-2014 trường THPT Nguyễn Lương Bắng biếtvận dụng được thể hiện qua bảng sau:

Khôngnhận

biếtđược

Nhận biết, nhưng không biết vận dụng

Nhận biết và biết vận dụng ,chưa giảiđược hoàn chỉnh

Nhận biết và biết vận dụng , giải được bài hoàn chỉnh

hệ thống các dạng toán về tiếp tuyến của đồ thị hàm số, phân loại thành các dạng khác nhau từ dễ đến khó để phù hợp với đối tượng học sinh

Trong mỗi dạng có phương pháp chung, các ví dụ mẫu cụ thể và hệ thống bài tập hợp lí nhằm dẫn dắt học sinh trong quá trình học tập, tạo ra tinh thần học tậphứng thú cho học sinh

2- Nội dung trọng tâm của sáng kiến

- Phân loại rõ ràng các dạng bài tập liên quan tới phương trình tiếp tuyến trong chương trình THPT

- Tổng hợp các dạng bài tập từ cơ bản đến nâng cao những bài toán liên quantới phương trình tiếp tuyến áp dụng cho thi tốt nghiệp THPT, Đại học, cao đẳng

3 Các bài toán liên quan tới phương trình tiếp tuyến

1 Viết pttt với đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x 0

Phương pháp: Ta tìm y 0 = f(x 0 ) Từ đó suy ra pttt.

2 Viết pttt với đồ thị (C) tại điểm thỏa mãn pt f''(x 0 ) = 0.

Phương pháp: + Tính: f '(x)

b) Tại điểm có hoành độ x = 2

c) Tại điểm có tung độ y =5

y’(2) = 9 Do đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x = 2 là:

c) Ta có:

+) Phương trình tiếp tuyến tại của (C) tại điểm (0; 5)

y’(0) = -3

Do đó phương trình tiếp tuyến là: hay y = -3x +5

+) Phương trình tiếp tuyến tại của (C) tại điểm

Do đó phương trình tiếp tuyến là: hay

+) Tương tự phương trình tiếp tuyến của (C) tại là :

* Nhận xét: Khi giải các bài toán tương tự vị dụ trên đa số các em học lực

yếu và trung bình viết được phương trình tiếp tuyến còn tương đối khó khăn, nhưng khi biết được phương pháp giải và nhận dạng được 3 yếu tố cần xác định là

cùng với mối liên hệ giữa chúng là các em làm được dạng bài tập

cơ bản này

2-Bài toán 2

Cho hs có đồ thị (C): y = f(x) Viết PTTT (d) của (C)

a Song song với đường thẳng y = ax + b

b Vuông góc với đt y= ax + b

2.1- Phương pháp:

a Vì tt (d) song song với đt y = ax + b nên (d) có hệ số góc bằng a

Ta có pt: f'(x0) = a (x0 là hoành độ tiếp điểm)

Suy ra x0, y0.

PTTT (d):

b Vì tt (d) vuông góc với đt y = ax + b nên (d) có hệ số góc bằng -1/a

Ta có pt: f'(x0) = -1/a (x0 là hoành độ tiếp điểm)

a) Song song với đường thẳng d: 3x - y + 4 =0;

b) Vuông góc với đường thẳng d': x + 27y - 2 = 0

Giải Ta có:

a) Vì tiếp tuyến song song với d, nên tiếp tuyến có hệ số góc là k = 3;

* Cách 1: Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình: ,

Phương trình tiếp tuyến là y = 3x + 10 và y = 3x - 2.

* Cách 2: Gọi phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (C) là y = 3x + b (1)

+ d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) Hệ phương trình sau có nghiệm:

, ( ) Giải hệ phương trình tìm được:

+ Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 3x + 10 và y = 3x - 2.

b) Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d', nên có hệ số góc là k = 27.

Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình ,

Phương trình tiếp tuyến là y = 27x + 10, y = 27x + 46.

* Cách 2: Gọi phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (C) là y = 27x + b (1)

+ d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) Hệ phương trình sau có nghiệm:

x = 0; b = - 2,

x = - 2; b = 10,

,( ) Giải hệ phương trình ta được

+ Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 27x + 10 và y = 27x + 46.

Chú ý: Tiếp tuyến (T) đường thẳng d k T k d = - 1;

Tiếp tuyến (T) // đường thẳng d k T = k d

*Nhận xét:Với dạng bài toán này đa số học sinh nói chung và trường

Nguyễn Lương Bằng nói riêng sẽ khó khăn khi làm bài tập nhưng khi biết được phương pháp làm kèm theo những ví dụ cụ thể học sinh sẽ vận dụng viết được PTTT dạng song song và vuông góc với 1 đường thẳng cho trước Thông thường học sinh sẽ làm dạng bài tập này theo cách 1 mà ví dụ đã trình bày

Gọi là tọa độ tiếp điểm

Theo đề bài ta có

Nhận xét : Nhiều học sinh lúng túng khi làm loại toán này Vì các em không

phân biệt tiếp điểm của tiếp tuyến với hai đường cong phải khác nhau Vì vậy khi làm loại toán này, các em cần phải lưu ý tới điều đó.

Phương trình đường thẳng qua có dạng:

Đường thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị (C) khi và chỉ khi hệ sau:

Kết luận: Vậy có ba tiếp tuyến kẻ từ đến đến thị (C).

* Nhận xét: Đối với bài toán này học sinh thường lầm hai khái niệm tiếp

tuyến đi qua và tiếp tuyến tại điểm từ đó dẫn đến việc xác định thiếu tiếp tuyến của đồ thị (C) Vì vậy qua bài tập này phải cho học sinh nhận rõ hai loại tiếp tuyến này có sự khác nhau rõ rệt.

5- Bài toán 5

Tìm điểm A, từ A kẻ được n tiếp tuyến tới đồ thị (C) y = f(x).

5.1- Phương pháp:

+ Giả sử A(x0 ; y0)

+ Pt đt đi qua A(x0 ; y0) có hệ số góc k có dạng: y = k(x - x0) + y0

+ Đường thẳng (d) tx với đồ thị (C) khi hệ sau có nghiệm

Thay pt (2) vào (1) ta đc pt (3)

Khi đó số nghiệm của pt (3) là số tiếp tuyến kẻ từ A tới đồ thị

5.2- Ví dụ

Ví dụ 1 Cho hàm số (C)

Tìm trên đường thẳng (d): y = 2 các điểm mà từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến phân

biệt với đồ thị (C)

PT đường thẳng  đi qua điểm M và có hệ số góc k có dạng :

 là tiếp tuyến của (C)  hệ PT sau có nghiệm

(*).

Thay (2) và (1) ta được:



Từ M kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C) hệ (*) có 3 nghiệm x phân biệt

Vậy từ các điểm M(m; 2)  (d): y = 2 với có thể kẻ được 3

tiếp tuyến đến (C).

*Nhận xét :Viết phương trình qua điểm là dạng bài khó đối với nhiều học sinh

các em dễ nhầm viết phương trình tại một điểm Lưu ý khi viết phương trình qua điểm thì điểm đó có thể thuộc hoặc không thuộc đồ thị hàm số cần viết Với những bài toán cụ thể sẽ áp dụng các cách phân tích cụ thể khi làm bài tập

 Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến tiếp tuyến có VTPT

Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại A và B song songvới nhau và độ dài đoạn AB =

Vì tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau nên:



Ta có:

Mà nên

(*) Đặt Khi đó (*) trở thành:

 Vậy 2 điểm thoả mãn YCBT là:

Tìm trên đường thẳng (d): các điểm mà từ đó kẻ được đúng 2 tiếp tuyếnphân biệt với đồ thị (C)

 Các điểm cần tìm là: A(2; –2) và B(–2; 2).

các giá trị m sao cho trên đồ thị (Cm) tồn tại một điểm duy nhất có hoành độ âm

mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng (d):

 (d) có hệ số góc  tiếp tuyến có hệ số góc Gọi x là hoành độ tiếp điểm thì:

(1) YCBT  (1) có đúng một nghiệm âm.

+ Nếu thì dễ thấy phương trình (1) có 2 nghiệm là

Do đó để (1) có một nghiệm âm thì

Vậy .

Câu 5. Cho hàm số

Cho điểm Tìm a để từ A kẻ được 3 tiếp tuyến phân biệt với đồ thị (C).

Phương trình đường thẳng d đi qua và có hệ số góc k :

d là tiếp tuyến của (C)  hệ phương trình sau có nghiệm:

+ Từ hệ (A), chỉ cho ta một tiếp tuyến duy nhất là

+ Vậy để từ A kẻ được 3 tiếp tuyến phân biệt với (C) thì điều kiện cần và đủ là

hệ (B) phải có 2 nghiệm phân biệt với , tức là phương trình (1) phải có 2 nghiệm phân biệt khác  

Hai tiếp tuyến của (C) tại A và B song song hoặc trùng nhau khi và chỉ khi:

(1) Vì A và B phân biệt nên , do đó (1)  (2)

Mặt khác hai tiếp tuyến của (C) tại A và B trùng nhau khi và chỉ khi:

Giải hệ này ta được nghiệm là hoặc , hai nghiệm này tương ứng với cùng một cặp điểm trên đồ thị là và

Vậy điều kiện cần và đủ để hai tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau là:

Câu 8. Cho hàm số (1).

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trụchoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tạigốc tọa độ O

 Gọi là toạ độ của tiếp điểm 

OAB cân tại O nên tiếp tuyến  song song với đường thẳng (vì tiếp

tuyến có hệ số góc âm) Nghĩa là: 

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là:

Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến này cắt các trục

Ox, Oy lần lượt tại các điểm A và B thoả mãn OA = 4OB.

 Giả sử tiếp tuyến d của (C) tại cắt Ox tại A, Oy tại B sao cho

.

Do OAB vuông tại O nên  Hệ số góc của d bằng hoặc

Khi đó có 2 tiếp tuyến thoả mãn là:

Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp tuyến tại M của (C) cắt hai tiệm cậncủa (C) tại A, B sao cho AB ngắn nhất

Tiếp tuyến (d) tại M có phương trình:

Giao điểm của (d) với tiệm cận đứng là:

Giao điểm của (d) với tiệm cận ngang là:

Vậy điểm M cần tìm có tọa độ là: hoặc

Phương trình tiếp tuyến () với ( C) tại M:

Toạ độ giao điểm A, B của () với hai tiệm cận là:

Ta thấy , suy ra M là trung điểm của AB.

Mặt khác I(2; 2) và IAB vuông tại I nên đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích

S =

Dấu “=” xảy ra khi

Do đó điểm M cần tìm là M(1; 1) hoặc M(3; 3)

Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyếncủa (C) tại M cắt 2 tiệm cận tại A và B với chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏnhất

 Giao điểm của 2 tiệm cận là Gọi M  (C)

+ PTTT tại M có dạng:

+ Toạ độ các giao điểm của tiếp tuyến với 2 tiệm cận: A , B

+ IAB vuông có diện tích không đổi  chu vi IAB đạt giá trị nhỏ nhất khi IA= IB



Vậy có hai điểm M thỏa mãn điều kiện ,

Khi đó chu vi AIB =

Chú ý: Với 2 số dương a, b thoả ab = S (không đổi) thì biểu thức P =

nhỏ nhất khi và chỉ khi a = b.

Dấu "=" xảy ra  a = b.

Cho điểm Tìm a để từ A kẻ được 2 tiếp tuyến tới đồ thị (C) sao cho 2 tiếp

điểm tương ứng nằm về 2 phía của trục hoành

 Phương trình đường thẳng d đi qua và có hệ số góc k:

d là tiếp tuyến của (C)  Hệ PT có nghiệm

Để qua A có 2 tiếp tuyến thì (1) phải có 2 nghiệm phân biệt

Để 2 tiếp điểm nằm về 2 phía đối với trục hoành thì

Kết hợp với điều kiện (*) ta được: