SKKN Hệ thức lượng trong tam giác giải bài toán hình học

SỬ DỤNG HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC GIẢI BÀI TOÁN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG OXY A.. Việc sử dụng hệ thức lượng trong tam giác để tính độ dài các đoạn thẳng, tính góc giữa các đ

SỬ DỤNG HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC GIẢI BÀI TOÁN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG OXY

A MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Kiến thức về hình học giải tích là một bộ phận quan trọng trong chương trình môn Toán ở bậc THPT Bài toán hình học giải tích trong mặt phẳng Oxy là một bài toán tổng hợp, gây ra nhiều khó khăn, lúng túng cho học sinh khi tìm hướng giải quyết Trong những năm gần đây, trong các đề thi ĐH – CĐ, câu hỏi hình học giải tích trong mặt phẳng luôn luôn là câu phân loại học sinh khá, giỏi Để giải quyết tốt bài toán này cần sử dụng khá nhiều kiến thức tổng hợp trong hình học và quan trọng nhất là tìm ra được “nút thắt” của bài toán

Hệ thức lượng trong tam giác có mối liên hệ mật thiết với các bài toán hình học phẳng nói chung, và các bài toán hình học giải tích phẳng nói riêng Việc sử dụng hệ thức lượng trong tam giác để tính độ dài các đoạn thẳng, tính góc giữa các đường thẳng, tính diện tích của các hình, … sẽ giúp chúng ta có những định hướng

để tìm ra “nút thắt” của bài toán hình học giải tích Oxy

Nhằm giúp các em học sinh có định hướng tốt khi tìm lời giải, cũng như giải quyết được bài toán hình học giải tích trong mặt phẳng Oxy một cách trọn vẹn, rõ ràng và mạch lạc, tôi chọn nghiên cứu chuyên đề:

“ SỬ DỤNG HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC GIẢI BÀI TOÁN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG OXY ”

3 Phương pháp nghiên cứu

+ Tổng hợp kiến thức, kiểm nghiệm qua thực tế dạy học

+ Tập hợp những vấn đề nảy sinh, những băn khoăn, lúng túng của học sinh trong quá trình giải quyết bài toán hình học giải tích Oxy Từ đó, đề xuất phương

án giải quyết, tổng kết thành kinh nghiệm

4 Phạm vi nghiên cứu

Trong bài toán hình học giải tích Oxy: Các bài toán về phương trình đường thẳng và phương trình đường tròn Song ở đây, tôi chỉ tập trung nghiên cứu các bài

5 Điểm mới của chuyên đề

+ Chuyên đề tập trung rèn luyện cho học sinh khả năng nhận dạng các bài toán, kĩ năng sử dụng hệ thức lượng trong tam giác để giải quyết bài toán hình học giải tích Oxy

+ Chuyên đề tổng hợp được số lượng bài tập đủ lớn để học sinh rèn luyện phương pháp nêu ra

+ Đặc biệt, chuyên đề đã xây dựng một phương pháp giải toán hiệu quả đối với một lượng lớn các bài toán hình học giải tích Oxy và giải quyết hầu hết các dạng toán đặt ra

B NỘI DUNG

I KIẾN THỨC CƠ SỞ

1.1 Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH h  và có BC a  , CA b  ,

Trong tam giác ABC bất kì với BC a  , CA b  , AB c  ta có:

h

b c

H A

II SỬ DỤNG HỆ THỨC LƯỢNG TÍNH ĐỘ DÀI CÁC ĐOẠN THẲNG

2.1 Bài toán cơ sở

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A 1;2 và đường thẳng  : 2 x y    1 0

Xác định tọa độ điểm B thuộc đường thẳng  sao cho AB  65

  x    1 2 y 22  65

Mặt khác điểm B thuộc đường thẳng  : 2 x y    1 0

Do đó, tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình:

 Để xác định tọa độ điểm M thuộc đường thẳng  ta tính độ dài đoạn thẳng

MN, với điểm N x y 0 ; 0 cố định Tính độ dài đoạn thẳng MN bằng cách sử dụng các hệ thức lượng trong tam giác đã nêu ở trên Khi đó, điểm M sẽ thuộc đường tròn  C có tâm là điểm N x y 0 ; 0 và bán kính R MN  :

 

 '

C C

    và đường tròn  C x: 2   y2 4x 2y 0 Gọi I là tâm của  C ,

M là điểm thuộc  Qua M kẻ các tiếp tuyến MA và MB đến  C (A và B là các tiếp điểm) Tìm tọa độ điểm M , biết tứ giác MAIB có diện tích bằng 10 Nhận xét: Đường tròn  C có tâm I 2;1 là điểm cố định và M là điểm thuộc 

 Tính độ dài đoạn thẳng MI

Lời giải

Đường tròn  C có tâm I 2;1 và có bán kính R IA   5

Vì MA, MB là các tiếp tuyến của đường tròn C nên

tam giác MAI vuông tại A và có diện tích

MI  MA IA     Khi đó, điểm M thuộc đường tròn  C ' có tâm I và bán kính R  ' 5 Phương trình đường tròn  C ' : x  2  2   y 1 2  25

Tọa độ của điểm M là nghiệm của hệ phương trình

R

B I A

M

Vậy có hai điểm thỏa mãn: M2; 4   hoặc M  3;1

Ví dụ 2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A   1; 3, B 5;1 Điểm M nằm trên đoạn BC sao cho MC 2MB Tìm tọa độ điểm C biết rằng

Vì AM AC  nên tam giác AMC cân tại A ,

suy ra AH BC  Mặt khác, MC  2 MB nên

0

MB MH HC a     Trong tam giác vuông AHB có

AH  AB BH    a Trong tam giác vuông AHC có

B A

N

B M

A

Ví dụ 4 (ĐH – A 2012) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD Gọi M là trung điểm của cạnh BC, N là điểm trên cạnh CD sao cho CN 2ND Giả sử 11 1;

H

NM

D

CB

A

Ví dụ 5 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD vuông tại A và D,

ACD BAM   ACD 

Xét tam giác vuông ACD có

B A

N

M H

B A

Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình:

Bài 3 Cho hình vuông ABCD có phương trình cạnh AD là 3 4 x  y   7 0 Gọi E

là điểm nằm trong hình vuông sao cho tam giác EBC cân và góc BEC  150 0 Viết phương trình cạnh AB, biết E 2; 4

Bài 4 Cho hình thoi ABCD có đỉnh A 1;0 , đường chéo BD có phương trình

1 0

x y    Tìm tọa độ các đỉnh A B C D , , , của hình thoi biết khoảng cách từ tâm I

đến đường thẳng BC bằng 8

5 Bài 5 Cho đường tròn  C x y : 2    2 8 6 x y   21 0 và đường thẳng d x y :    1 0 Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD ngoại tiếp đường tròn  C biết đỉnh A thuộc d

Bài 6 Cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 48, đỉnh D 3;2  Đường phân giác của góc BAD có phương trình x y    7 0 Tìm tọa độ đỉnh B, biết đỉnh A có hoành độ dương

Bài 7 (CĐ - 2012) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn

 C x y : 2      2 2 4 1 0 x y và đường thẳng d x y m : 4 3    0 Tìm m để đường thẳng dcắt  C tại hai điểm A B , sao cho AIB  120 0, với I là tâm của  C

Bài toán có thể mở rộng cho trường hợp  , 0   180 0

Bài 8 Cho hình chữ nhật ABCD có các cạnh AB, AD tiếp xúc với đường tròn

  C : x  2 2   y 32  4, đường chéo AC cắt đường tròn  C tại các điểm

16 23;

5 5

M  

  và N thuộc trục Oy Xác định tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật

ABCD, biết A có hoành độ âm, D có hoành độ dương và diện tích tam giác AND

III SỬ DỤNG HỆ THỨC LƯỢNG TÍNH GÓC GIỮA HAI

ĐƯỜNG THẲNG

3.1 Bài toán cơ sở

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A 1;2 và đường thẳng

3 x   1 1 y    2 0 3 x y    2 3 0  Nhận xét:



3.2 Các ví dụ minh họa

Ví dụ 6 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A Phương trình các cạnh AB, BC lần lượt là 2 x y    2 0 và y   2 0 Tìm tọa độ các A biết điểm M 1;0 là trung điểm của cạnh AC

Nhận xét:

 Góc giữa hai đường thẳng AB và BC bằng 

 Đường thẳng AC đi qua điểm M 1;0 và tạo với

A

Gọi VTPT của đường thẳng AC là n1  a b ; Điều kiện: a b 2   2 0

2 x y    2 0 Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình

A

Góc giữa hai đường thẳng AD và AC là cos 1

A (Loại vì A, C cùng phía với đường thẳng BD)

Đường thẳng AB đi qua điểm A và tạo với đường thẳng AC một góc   BAC nên

   Trường hợp 2: AB x :  7 y  22 0  Tương tự: B 6;4 và D  2;0

Ví dụ 9 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có BD2AC,

phương trình đường thẳng BD x y:  0 Gọi M là trung điểm của CD, hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường thẳng BM là điểm H2; 1  Viết phương trình đường thẳng AH

Nhận xét:

 Đường thẳng BM đi qua điểm H2; 1   và tạo với BD một góc  MBD

 Tính  Từ đó, viết phương trình đường thẳng BM

H

M

D

C B

A

d tại hai điểm B và C sao cho tam giác ABC vuông tại B Viết phương trình của

 T , biết tam giác ABC có diện tích bằng 3

2 và điểm A có hoành độ dương Nhận xét:

 Góc giữa hai đường thẳng d1 và d2 bằng 

2 3

   

  Vậy phương trình đường tròn  T là 1 2 3 2 1

3.3 Một số bài toán tương tự (Xét các bài toán dưới đây trong mặt phẳng tọa độ

3

N  

 , phương trình cạnh CD x :    3 y 6 0 và điểm C có hoành độ dương

Bài 3 Cho hình vuông ABCD có đỉnh C 3; 3 và điểm A thuộc đường thẳng

và CD Biết 1 ;2

2

M  

  và đường thẳng BN có phương trình 2 x  9 y   34 0 Tìm tọa độ các điểm A và B, biết điểm B có hoành độ âm

Bài 6 Cho hình thoi ABCD có AC  2 BD Đường thẳng AC có phương trình

2 x y    1 0 , đỉnh A 3;5 và đỉnh B thuộc đường thẳng d x y :    1 0 Xác định tọa độ các đỉnh B, C, D của hình thoi ABCD

Bài 7 Cho đường tròn  C đường kính BC, điểm A thuộc đường tròn  C sao cho khoảng cách từ A đến đường thẳng BC là lớn nhất Biết đường thẳng AB có

phương trình x y    1 0 , trọng tâm của tam giác ABC là G 3;2 và A có tung độ lớn hơn 3 Lập phương trình đường tròn  C

Bài 8 Cho hình vuông ABCD Gọi E là trung điểm của cạnh AD, 11 2;

5 5

H   

  là hình chiếu vuông góc của B trên CE và 3 6;

5 5

M   

  là trung điểm của đoạn BH Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông, biết A có hoành độ âm

Bài 10 Cho hình vuông ABCD, đỉnh A  1;2 Gọi M N , lần lượt là trung điểm của AD và DC, E là giao điểm của BN với CM Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác BME biết phương trình đường thẳng BN x y : 2    8 0 và B có hoành độ lớn hơn 2

IV MỘT SỐ CHÚ Ý KHI ÁP DỤNG CHUYÊN ĐỀ VÀO THỰC

Mỗi bài toán đều có nhiều cách giải quyết khác nhau Phương pháp sử dụng

hệ thức lượng giác chỉ cung cấp cho chúng ta một phương pháp có hiệu quả, tìm ra

“nút thắt’’ để giải quyết bài toán hình học giải tích phẳng

Trong quá trình giải các bài toán hình học giải tích phẳng, chúng ta còn sử dụng tới các tính chất hình học xuất hiện trong bài toán Vì vậy, để giải quyết trọn vẹn các bài toán trong phần này, chúng ta cần rèn luyện them cho học sinh các kiến thức hình học phẳng liên quan

2/ Qui trình giải bài toán hình học giải tích phẳn bằng phương pháp sử dụng hệ thức lượng giác là thế nào?

Qua các ví dụ cụ thể trong chuyên đề, chúng ta có thể trình bày qui trình của việc giải bài toán hình học giải tích phẳng bằng cách sử dụng hệ thức lượng giác như sau:

Bước 1 Dựa vào giả thiết bài toán tìm các các yếu tố cố định Từ đó, liên hệ tới các yếu tố cần tìm, tìm ra “nút thắt” của bài toán

Bước 2 Tính độ dài đoạn thẳng, tính góc giữa hai đường thẳng, giải quyết “nút thắt” của bài toán

Bước 3 Sử dụng các kiến thức hình học xuất hiện trong bài toán, kiến thức hình học giải tích phẳng để giải quyết trọn vẹn bài toán

V HƯỚNG PHÁT TRIỂN CỦA CHUYÊN ĐỀ

Trong chuyên đề mới chỉ đề cập đến việc sử dụng hệ thức lượng giác giải quyết các bài toán trong đó, việc tìm ra “nút thắt” của bài toán được tìm bằng cách: Tính độ dài đoạn thẳng hoặc tính góc giữa hai đường thẳng Chuyên đề sẽ tiếp tục nghiên cứu việc giải quyết các bài toán hình học giải tích phẳng mà cách giải là sự kết hợp cả hai phương pháp trên, các bài toán kết hợp giữa sử dụng hệ thức lượng giác và các tính chất hình học xuất hiện trong bài toán

C KIỂM NGHIỆM QUA THỰC TẾ GIẢNG DẠY

Trong quá trình giảng dạy, tôi đã đem vấn đề trên áp dụng vào 3 buổi dạy tăng cường dành cho các học sinh ôn thi ĐH – CĐ Kết quả cụ thể như sau:

Nội dung kiểm tra (Chưa được học tăng Lớp 12A14

cường)

Lớp 12A4 (Đã được học tăng

cường) Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy, cho tam giác ABC

vuông tại A 2;3 , có

2

AB AC Gọi M là

trung điểm của cạnh AB,

hình chiếu vuông góc của

28/38 học sinh giải quyết trọn vẹn bài toán

25/40 học sinh tính được

độ dài AH  2 10, viết được phương trình AH Sau đó, gọi tọa độ điểm

 ;

B x y nhưng không tìm được điều kiện để lập hệ phương trình

15/40 học sinh không tìm được mối liên hệ nào giữa giả thiết và kết luận

  Nhưng không tính được

AB và HB để tìm tọa độ điểm B

28/38 học sinh giải quyết trọn vẹn bài toán từ việc tính được độ dài các đoạn thẳngAB và HB

D KẾT LUẬN

Chuyên đề được hoàn thành với sự tổng hợp, tham khảo tài liệu và đúc rút, tổng kết kinh nghiệm từ thực tế giảng dạy Về cơ bản chuyên đề hoàn thành các mục tiêu đề ra Nhưng để chuyên đề có tính ứng dụng cao và sát thực tiễn hơn kính mong các Thầy cô giáo, các bạn đồng nghiệp tiếp tục thảo luận để đóng góp, bổ sung cho chuyên đề Hi vọng chuyên đề này có thể được coi là một tài liệu tham khảo nhằm rèn luyện cho học sinh kĩ năng giải quyết các bài toán nói chung và kĩ năng giải bài toán hình học giải tích trong mặt phẳng Oxy nói riêng

Xin chân thành cảm ơn!

Hà Tĩnh, tháng 9 năm 2015

MỤC LỤC

A MỞ ĐẦU……….1

B NỘI DUNG ……… 3

I KIẾN THỨC CƠ SỞ ……… 3

II TÍNH ĐỘ DÀI ĐOẠN THẲNG ………4

2.1 Bài toán cơ sở… ………4

2.2 Các ví dụ ………5

2.3 Các bài toán tương tự ………10

III TÍNH GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG ……….12

3.1 Bài toán cơ sở ……… 12

3.2 Các ví dụ ……… 12

3.3 Các bài toán tương tự ………17

IV MỘT SỐ CHÚ Ý KHI ÁP DỤNG CHUYÊN ĐỀ VÀO THỰC TẾ……… 19

V HƯỚNG PHÁT TRIỂN CỦA CHUYÊN ĐỀ ……… 19

C KIỂM NGHIỆM THỰC TẾ GIẢNG DẠY ………20

D KẾT LUẬN ……… 21