Đề thi olimpic toán 10 và đáp án quảng nam năm 2016 2017

Đề thi olimpic toán 10 và đáp án quảng nam năm 2016 2017 Đề thi olimpic toán 10 và đáp án quảng nam năm 2016 2017 Đề thi olimpic toán 10 và đáp án quảng nam năm 2016 2017 Đề thi olimpic toán 10 và đáp án quảng nam năm 2016 2017 Đề thi olimpic toán 10 và đáp án quảng nam năm 2016 2017

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

QUẢNG NAM

KỲ THI OLIMPIC LỚP 10 CẤP TỈNH

Năm học 2016 – 2017

Môn thi : TOÁN

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi : 25/3/2017 Câu 1 (5,0 điểm).

a) Giải phương trình 2x2   5x 7 (x 1) x 1 0

b) Giải hệ phương trình

x xy x y yx y

�     

�

�

      

�

Câu 2 (4,0 điểm)

a) Cho parabol (P) có phương trình y x 2 3x 1, đường thẳng d có phương trình (2 1) 2

y m x và điểm M(3;3) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng d cắt parabol

(P) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho tam giác MAB vuông cân tại M

b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số

2 2

1

x x y

 

  có tập xác định là R.

Câu 3 (4,0 điểm)

Cho 3 số thực dương x y z, , thỏa x2 y2  �z2 3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

H

Câu 4 (4,0 điểm)

a) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho điểm (3; 3) A  và đường thẳng d có phương

trình x2y   Viết phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với d tại (1;1)1 0 B và đi qua A

b) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho tam giác ABC vuông tại A, H là chân đường cao

vẽ từ A của tam giác ABC; D và E lần lượt là hình chiếu vuông góc của H lên AB và AC; I là giao điểm của AH và DE Điểm A nằm trên đường thẳng  có phương trình 2x3y  , phương trình đường4 0 thẳng DE là 3x y  2 0; 7; 5

4 4

M ��  ��

� � là trung điểm của BC, I có hoành độ nhỏ hơn 1, E có hoành độ dương và tứ giác ADHE có diện tích bằng 4 Tìm tọa độ 4 điểm A, D, H, E

Câu 5 (3,0 điểm)

Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O; I và J lần lượt là trung điểm của

AD và BC

a) Gọi M và N lần lượt nằm trên DJ và DC sao cho: MD MJuuuur uuur r 0 và NCuuur2uuur rND0 Chứng minh rằng: B, M, N thẳng hàng

b) Gọi H và K lần lượt là trực tâm của  OAB và  OCD Chứng minh HK vuông góc với IJ

–––––––––––– Hết ––––––––––––

Họ và tên thí sinh: … ……….; Số báo danh: ………

ĐỀ CHÍNH THỨC

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

QUẢNG NAM

KỲ THI OLIMPIC LỚP 10 CẤP TỈNH

Năm học 2016 – 2017 ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM Môn thi: TOÁN

(Đáp án – Thang điểm gồm trang)

Câu 1

(5,0

điểm)

a) Giải phương trình 2x2   5x 7 (x 1) x 1 0 2,5

+ Đặt t x (1 t�0) Suy ra x t 2 1 0,25

+ P hương trình đã cho trở thành :2t4 t3 9t2  2t 0 0,5

30 2

t



�

- Xét phương trình 2t3   t2 9t 2 0

2t    t 9t 2 0�(t2)(2t   5 1) 0t 0,25

2

t

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x  và 1 x 3 0,25

b) Giải hệ phương trình

x xy x y yx y

�     

�

�

      

- Xét phương trình thứ nhất trong hệ:

x xy  x y yx y� x y x  y   0,25

x y

� (vì 2 2

1 0

+ Với x y thay vào phương trình thứ hai ta được: x 2x 1 x23x1

2

( x 2) ( 2x  1 3) x 3x4

�

( 1)( 4)

�

2 2 1 3

0,5

4

1 (*)

2 2 1 3

x

x



�

�

�

0,25

* Với x� ta có 0 1 2 1 2 1 1

2 1 3



Do đó pt (*) có một nghiệm duy nhất x 0

Vậy nghiệm của hệ phương trình là: 4

4

x y



�

� 

� và

0 0

x y



�

� 

Câu 2

(4,0

điểm)

a) Cho parabol (P) có phương trình y x 2 3x 1, đường thẳng d có phương

trình y(2m1)x  và điểm M(3 ;3) Tìm tất cả các giá trị của tham số 2 m để

đường thẳng d cắt parabol (P) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho tam giác MAB

vuông cân tại M.

2,0

+ Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và d là: x2 2(m2)x  (*)1 0 0,25

+ Phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt (vì a c ).0

Suy ra d luôn cắt parabol (P) tại 2 điểm phân biệt A, B với mọi giá trị của m. 0,25

+ Gọi A x 1;(2m1)x1 và 2 B x 2;(2m1)x22

(với x1và x2 là hai nghiệm của phương trình (*)) 0,25 + MAuuurx13;(2m1)x11 và MBuuurx23;(2m1)x21

+ Tam giác MAB vuông tại M suy ra:

0 3 3 (2 1) 1 (2 1) 1 0

MA MB � x  x   m x  m x  

1 1 3( 1 2) 9 (2 1) 1 1 (2 1)( 1 2) 1 0

x x  x x   m x x  m x x  

�

1 6(m 2) 9 (2m 1) (2m 1)2(m 2) 1 0

�

2

2

2

m

m

 

�

�

�  

�

0,5

+ Với m 2 Suy ra x1 1, x2 1

Khi đó: MAuuur  4; 2, MBuuur   2; 4 Suy ra MAuuur  MBuuur 0,25 + Với 1

2

m  Suy ra 1 3 13

2

x   ,

2

3 13 2

x   .

Khi đó: 3 13; 1

2

MA�   �

uuur

2

MB�   �

uuur

Suy ra MAuuur �MBuuur

(không thỏa)

0,25

Vậy với m  , tam giác MAB vuông cân tại M.2 0,25

b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số

2 2

1

x x y

 

  có tập xác

định là R.

2,0

Hàm số

2 2

1

x x y

 

  có tập xác định là D=R khi và chỉ khi

2

2

1 0,

x x

x R

   �  �

0,25

2

2

1,

x x

x R

 



۳ �

  (vì 2x2    �x 2 0, x R)

2

2 1 0,

�

� �

�

2

2 1 0,

�

� �

2

2

2

2 1 0,

(2 1) 1 0,

3 (2 1) 3 0,

�

�

0,25 0,25

1

' 2

2 2

2 3

1 0 (2 1) 4 0

(2 1) 36 0

m

m

m

�   

�

�   

�

0,75

1

1

2 m

Kết luận

0,25

Câu 3

(4,0

điểm)

Cho 3 số thực dương , , x y z thỏa x2y2  � Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức z2 3

H

4,0

+ x2 2y 3 (x2  1) 2y2 2(� x y 1)

Tương tự: y22z3 2(� y z 1),z22x3 2(� z x 1) 1,0 Suy ra 1

H

2

0,5

Trước hết ta chứng minh được BĐT sau nhờ Bunhiacosky :

Với , , , , ,a b c m n k ta có :0 a2 b2 c2 (a b c)2

 

  Thật vậy:

2 2

(a b c) a m b n c k

 

  (dấu bằng xảy ra khi :

m   )n k

0,5

Khi đó:

(*) ( 1)( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 1)

VT

2

( 1)( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 1)

x y z

  

�

           Lại có:

(x1)(x y   1) (y 1)(y z   1) (z 1)(z x 1)

1

2 2 2

2�x y  z xy yz zx  x y z    �

1,0

Suy ra

2

2 1

2

Suy ra x1  y1  z1 2

�

0,5

Suy ra 1

2

H � , dấu bằng xảy ra khi x   y z 1 0,25

max

2

H  khi x   y z 1

Câu 4

(4,0

điểm)

a) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho điểm (3; 3) A  và đường thẳng d có

phương trình x2y   Viết phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với d tại1 0

(1;1)

B và đi qua A

2,0

+ Tâm I của đường tròn (C) nằm trên đường thẳng d’ vuông góc với d tại B 0,25

+ Viết được phương trình đường thẳng d’ là 2 x y   3 0 0,5

Suy ra phương trình đường tròn (C) là: (x2)2 (y 1)2  5 0,25

b) Cho tam giác ABC vuông tại A, H là chân đường cao vẽ từ A của tam giác ABC; D

và E lần lượt là hình chiếu vuông góc của H lên AB và AC; I là giao điểm của AH và

DE Điểm A nằm trên đường thẳng  có phương trình 2 x3y   , phương trình4 0

đường thẳng DE là 3x y  2 0; 7; 5

4 4

M ��  ��

� � là trung điểm của BC, I có hoành

độ nhỏ hơn 1, E có hoành độ dương và tứ giác ADHE có diện tích bằng 4 Tìm tọa

độ 4 điểm A, D, H, E.

2,0

M

-7

4

;-5 4

():2x-3y-4=0

3x+y-2=0

_

\

K I D

E

H B

A

C

+ Gọi K là giao điểm của DE và AM

+ �ECH IAD� (cùng phụ với �HAC)

Mà �ECH MAC� Do đó �IDA MAC�

Lại có MAC MAD� �  90 0 nên �IDA MAD�  90 0

+ Viết được phương trình đường thẳng (AM):x-3y-2=0 Suy ra được A(2;0) 0,25

+S ADHE  4 �S IAE  1, ( , ) 4

10

+ Gọi I(a;2-3a) nằm trên DE, với a<1

( ; )

+ Viết phương trình đường tròn (C) ngoại tiếp hình chữ nhật ADHE 0,25 + D và E là hai giao điểm của đường tròn (C) với DE suy ra được: E(1;-1), D(0;2) 0,25

Câu 5 Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O; I và J lần lượt là

3,0

điểm) a) Gọi M và N lần lượt nằm trên DJ và DC sao cho: MD MJuuuur uuur r 0 và uuurNC2NDuuur r0

O

N

M I

J

D

C B

A

+ MD MJuuuur uuur r 0� 1 1

BM  BD BC

uuuur uuur uuur

0,5

+ NCuuur2uuur rND0� 1 2

BN  BC BD

uuur uuur uuur

0,5

Suy ra 3

4

BM  BN

uuuur uuur

Do đó BMuuuur và BNuuur cùng phương

Suy ra B, M, N thẳng hàng

0,5

b) Gọi H và K lần lượt là trực tâm của  OAB và  OCD Chứng minh HK vuông

J M

K H

D'

B'

C'

A'

I

O

B

A

D

C

+Trước tiên, ta chứng minh: 1 

2

IJ  DB AC uur uuur uuur

1

2.

2

VP DB AC DI IJ JB AI IJ JCuuur uuur uuur uur uur uur uur uuur        DI AIuuur uur  uurIJ uur uuurJB JC  uurIJ VT

0,5

Ta có :

HK IJ  HK DB HK AC  A C DB B D AC  AC DB BD AC

uuur uur uuur uuur uuur uuur uuuuur uuur uuuuur uuur uuur uuur uuur uuur 0,5

.0 0

2AC DB BD 2AC

HK IJ

Ghi chú: Nếu học sinh có cách giải khác đúng thì Ban Giám khảo thảo luận và thống nhất thang điểm

cho phù hợp với Hướng dẫn chấm