Giáo án Đại số 11 chương 1 bài 3: Một số phương trình lượng giác thường gặp

Kiến thức: Hs cần nắm vững - Dạng của phương trình pt bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác HSLG , pt bậc nhất đối với sin x và cos x.. Phương trình bậc nhất đối với một hàm

Trang 1

Bài 3: Một số phương trình lượng giác thường gặp

Tiết 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17

A Mục tiêu:

1 Kiến thức: Hs cần nắm vững

- Dạng của phương trình ( pt ) bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác ( HSLG ), pt bậc nhất đối với sin x và cos x

- Biết cách biến đổi biểu thức asinx b cosx

- Cách giải pt bậc nhất, bậc hai đối với một hslg, pt bậc nhất đối với sin và cos

- Biết đưa một pt lượng giác về pt bậc nhất hoặc bậc hai đối với một hslg

2 Kỹ năng:

- Biết nhận dạng và giải thành thạo pt bậc nhất, bậc hai đối với một hslg và pt bậc nhất đối với sin x và cos x

- Bước đầu biết giải một số pt lượng giác bằng cách chuyển vể dạng pt bậc nhất hoặc bậc hai của hslg

3 Tư duy và thái độ:

- Biết quy lạ về quen, tích cực sáng tạo trong việc hình thành kiến thức

- Rèn luyện tính cẩn thận, chính xác, và tư duy các vấn đề toán học một cách độc lập và logic Qua bài học thấy được mối liên hệ chặt chẽ giữa toán học và đời sống

B Chuẩn bị:

1 Giáo viên: Bảng phụ, thước kẻ, phấn màu, chương trình giả lập máy tính casio fx500MS và

570MS

2 Học sinh: Xem bài trước ở nhà theo sự hướng dẫn của giáo viên, và mang theo máy Casio

fx500MS, 570MS hoặc các máy tính có chức năng tương tự

C Tiến trình bài dạy:

Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh ?1: Công thức nghiệm của pt sin x a , cos x a

, tan x a , cot x a .

?2: Giải các pt 2sinx 2 0 và cotx 3 0

+ Biến đổi về đúng dạng ptlgcb

+ Sử dụng công thức nghiệm tìm x.

Phát biểu như bài giảng





Tương tự: cotx 3 0  x300k180 ,0 k 

2 Bài mới:

1 Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác.

Hoạt động 1: Tiếp cận định nghĩa v cch giải pt bậc nhất đối với một hslg

Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh

?1: Nếu đặt các hslg là ẩn t thì các pt trên có

dạng gì

?2: Cho một số ví dụ về pt có dạng at b 0

trong đó a, b là các hằng số (a0) và t là một

trong các hslg

Giới thiệu ptlg bậc nhất đối với một hslg.

?3: Cho pr 2 cosx 2 0 Hãy tìm nghiệm của

pt trên

?4: Nêu cách giải pt bậc nhất đối với một hslg.

Nhận xét và đánh giá

Thảo luận nhóm

Có dạng at b 0

Ví dụ: 2sinx 3 0

 3

2

x

Hoạt động nhóm

Ta có: 2 cos  2 0  cos  2  os

Nghiệm của pt là x4 k2 , k 

B 1 : Chuyển b qua vế phải ( Lưu ý đổi dấu )

B 2 : Chia hai vế cho a ( Lưu ý không đổi dấu )

Hoạt động 2: Củng cố kiến thức về ptlg bậc nhất đối với một hslg.

Trang 2

Giáo án đại số 11 cơ bản Giáo viên: Dương Minh Tiến

Cho các phương trình lượng giác sau (a) 3cotx 3 0 (b) tanx 3 0 (c) 3cosx 3

(d) tan cot 2x x 1 0  (e) sinx cosx 0 (f) sinx 1 0 

?1: Pt bậc nhất đối với một hslg có đặc điểm gì.

Pt nào trong các pt trên là ptb1

?2: Giải các phương trình trên.

Hướng dẫn hs giải các bài tập.

+ Xác định các hệ số a, b

+ Thực hiện qui trình giải

Chẳng hạn:

f) sinx1 0  sinx 1  x2k2 , k 

Vậy pt có nghiệm là x2 k2 , k 

Trao đổi thảo luận

Hs trả lời

a) 3cot  3 0  cot  3 cot

là x3 k , k 

b)tanx 3 0  tanx 3  tan3 tan 3

có nghiệm là x3 k , k 

c) 3cosx 3 cosx 33 có nghiệm là



arccos 3  2 ,  

3

* Củng cố và dặn dò:

?1: Pt bậc nhất đối với một hslg có dạng như thế nào, cho ví dụ và nêu cách dạy.

- Hướng dẫn học sinh giải các bài tập sau

a) 2sin3  3 0

2

x

b) 3tan 1 2  x 3 0

- Xem tiếp mục 3 trong SGK trang 30 và giải các phương trình sau

(a) cosx sin 2x 0 (b) 4sin cos cos2x x x 12.

Tiết 12 Hoạt động 3: Phương trình đưa về pt bậc nhất đối với một hslg.

Bài 1: Giải pt 4sin cos cos2x x x 12  *

?1: Đây cĩ phải là ptb1 đối với một hslg.

?2: Nhận xét trong pt trên cĩ bao nhiêu cung.

?3: Hãy biến đổi vế trái pt trên về cung một cung

sử dụng cơng thức nhân đơi

?4: Tìm nghiệm của pt trên

Bài 2: Giải pt cos2x sinx1 0 2  .

?1: Sử dụng cơng thức nhân đơi của cos 2x đối

với sin x biến đổi pt trên

?2: Đưa pt vừa thu được về dạng pt tích.

?3: Cách giải pt A B = 0.

?4: Xác định nghiệm của pt trên.

Khơng phải

Cĩ hai cung x và 2x

Ta cĩ: 4sin cos cos2x x x 2sin2 cos2x x sin 4x

Khi đĩ: ( * )  sin 4  1 sin  

x

Vậy pt cĩ nghiệm là x 24k2 và

Bài 2:

Ta cĩ: cos2x sinx1 1 2sin  2x sinx1 -sin 2sinx x1

Khi đĩ:    

 



2

2sin 1 0

x x

Vậy pt trên cĩ nghiệm là x k  ;

 6 2

x k và x7 6 k2 , k .

Bài 3:

Trang 3

Bài 3: Giải pt cos cos2x x 1 sin sin 2 3x x  .

?1: Chuyển các hslg về cùng một vế.

?2: Sử dụng cơng thức cộng rút gọn vế trái của

pt

?3 Xác định nghiệm của pt.

Bài 4: Giải pt tanx3cotx  4

?1: Điều kiện để pt trên cĩ nghĩa

?2: Đưa về cùng một hslg.

?3: Rút gọn pt trên và xác định nghiệm của nĩ.

Ta cĩ:  3  cos cos2x x sin sin2x x1  cosx2x cos3x1

Vậy: Pt cĩ nghiệm là x k 

Bài 4:

Điều kiện: 

 









2

Khi đĩ:  4  tanx3 tan1 x  tan2 x 3 tanx 3

Vậy nghiệm của pt là x 3k , k 

3 Củng cố và dặn dò:

?1: Trong các pt sau, pt nào là pt bậc nhất đối với một hslg và cách giải nó ?

(a) 3cosx  3 0 (b) tanx 3 0 (c) cotx  3

(b) 2 tan cot 2x x  1 0 (d) tanx cosx 0 (b) sin2 x  1 0

- Làm các bài tập 1, 2b tr 36

+ Đưa về đúng dạng phương trình lgcb

+ Áp dụng công thức nghiệm ptlgcb tìm nghiệm x.

- Xem tiếp mục II trong SGK trang 31 và trả lời các câu hỏi sau

?1: Dạng của phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác.

?2: Cách giải phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác.

Tiết 13, 14

1 Kiểm tra bài cũ:

Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh ?1: Dạng của phương trình bậc nhất đối với một

hàm số lượng giác Cách giải ?

?2: Giải phương trình cos2x 2cosx0 * 

Có dạng at = b.

Chuyển về pt lgcb và tìm nghiệm

Ta có:  * cos 0

x









2 Bài mới:

Hoạt động 4: Phương trình bậc hai đối với một hslg và cách giải

?1: Nếu đặt t là các hslg trong các pt dưới đây

thì các pt đó có dạng nào

2

) 3cos 5cos 2 0

a x x ; b) 3sin2x 5sinx0

2

c x x ; d)3cot2x 2 0

Giới thiệu khái niệm ptb2

?2: Cách giải một pt bậc 2 đối với một hslg.

?3: Khi đặt t bằng cos hoặc sin có khác gì với khi

ta đặt t bằng tan hoặc cot

Các pt trên có dạng at2bt c 0 a0

Là một pt bậc 2 đối với một hslg

Đặt ẩn phụ đưa về dạng at2bt c 0 a0

Nếu t = sin hoặc t = cos thì    1 t 1

Hoạt động 5: Củng cố cách gi i ải

Giải pt 3cos2x 5cosx 2 0 1 .

?1: Đặt t bằng giá trị nào.

Đặt tsin ,x t 1 Khi đó (1) trở thành 3t2  5 2 0t  có nghiệm

Trang 4

Giáo án đại số 11 cơ bản Giáo viên: Dương Minh Tiến ?2: Tìm nghiệm pt vừa tìm được.

?3: Xác định các nghiệm t thỏa điều kiện và giải

pt tsinx sin t x .

?4: Kết luận nghiệm của pt ban đầu.

là t1,t23

Ta có: t 1 sinx 1  x2k2 , k 







2 arcsin 3 2

3

Hs kết luận

Hoạt động 6: Phương trình đưa về pt bậc hai đối với một hslg.

Bài 1: Giải pt 3cos 62 x8sin3 cos3x x 4 0 1  

?1: Sử dụng công thức nhân đôi đưa pt về cung

một cung

?2: Dùng các công thức lượng giác cơ bản đưa

về cung một hslg

?3: Tìm nghiệm pt bậc hai trên.

?4: Xác định nghiệm của pt ban đầu.

?5: Kết luận nghiệm của pt

Bài 2: Giải pt 3 tanx 6 cotx2 3 3 0 2   

?1: Xác định điều kiện để pt trên có nghĩa.

?2: Biến đổi về cung một hslg.

?3: Xác nghiệm nghiệm của pt bậc hai trên.

?4: Tìm nghiệm của pt ban đầu.

Ta có:  1  3cos 62 x4sin 6x 4 0 .

Mà cos 62 xsin 62 x1 Nên  1  3 1 sin 6  2 x4sin 6x 4 0

 3sin 62 x4sin 6x1 0   







sin 6 1

1 sin 6 3

x x

Hs trình bày bài giải xác định nghiệm Vậy pt trên có nghiệm là x 12k 3;



1arcsin1

x k và   1arcsin1  ,  

Bài 2:

Điều kiện: cosx0, sinx0 Khi đó:  2  3 tan  6.1 2 3 3 0 

tan

 3 tan2 x2 3 3 tan  x 6 0

Pt có nghiệm tanx 3 hoặc tanx 2

Ta có: tanx 3 x3k, k 

tanx2 xarctan 2  k, k 

?1: Trong các pt sau, pt nào là pt bậc hai đối với một hslg và giải các pt bậc 2 đó.

(a) 3cos2x  3 0 (b) 2 tanx  3 0 (c)  cot2xcotx 3 0

(d) 2 tan cot 2x 2 x  1 0 (e) cos3xcosx0 (f) sin2x  1 0

+ Xác định dạng của phương trình bậc 2 theo sin (cos) hay theo tan (cot)

+ Tiến hành giải theo phương pháp xác định nghiệm

?2: Cách giải pt bậc hai đối với một hslg.

- Xem tiếp mục III trong SGK trang 35 và trả lời các câu hỏi sau

(i) Chứng minh

2a 2 2b 2 1

(ii) Ghi lại công thức lượng giác cơ bản và công thức cộng

Tiết 15

Trang 5

?1: Dạng ptb2 đối với một hslg Cách giải ?

?2: Sử dụng công thức tổng chứng minh các

biểu thức sau

a) 2 cosx 4 sinxcosx

b) 2 sinx 4 sinx cosx

Có dạng at 2 + bt + c = 0.

Đặt ẩn phụ và giải ptb2 theo pp lớp 10

Ta có: 2 cos 4 2 cos 2 sin 2

x    x  x 

 sinx cosx

Tương tự chứng minh đẳng thức b

2 Bài mới:

Hoạt động 7: Công thức biến đổi asinx b cosx

?1: Hày giải thích vì sao

sin cos

a x b x 

 

2 2

2a 2 sin 2b 2 cos *

?2: Hãy chứng tỏ     

2a 2 2b 2 1



2a 2 cos

a b thì (*) tương đương

với biểu thức nào Vì sao ?

Vì a2b2 0nên ta có thể đặt a2b2 làm nhân

tử chung

Hs trình bày

Ta có:  *  a2b c2  os sin xsin cos x

 a2b2 sinx

Vì cos2sin2 1 nên tồn tại cung  sao cho

 



2 2

a b và 2 2  

os

a b

Hoạt động 8: Phương trình dạng asinx b cosx c

Giới thiệu cách giải ?1: Sử dụng công thức vừa biến đổi ở trên cho vế

trái của pt

?2: Nhận xét dạng của pt vừa tìm được và nêu

cách giải

Củng cố cách giải

Bài 1: Giải pt 3 sin3x cos3x 2  * .

?1: Hãy chỉ ra dạng của pt trên

?2: Xác định các hệ số a, b, c trong pt trên

?3: Tính a2b2 và biến đổi 3 sin3x cos3x

?4: Giải pt trên

?5: Kết luận nghiệm

Bài 2: Giải pt 2sinx2cosx 2 0 *  

?1: Biến đổi vế trái đưa về ptb1.

?2: Giải ptlg cb trên.

Ta có: a2b2 sinx c

Đây là ptlg bậc nhất chuyển vế sau đó giải ptlgcb

Bài 1:

Đây là pt bậc nhất đối với sinx, cosx

Ta có: a 3 , b1 , c 2 Khi đó: a2b2 2

Nên 3 sin3x cos3x2sin 3 x 6

Do đó:  * sin 3     2 sin

x

Vậy pt có nghiệm là 5  2

Bài 2: Ta có:

 cosx 4cos3  x 4 3k2

Trang 6

Giáo án đại số 11 cơ bản Giáo viên: Dương Minh Tiến ?3: Xác định nghiệm của pt ban đầu. Vậy pt cĩ nghiệm là 7  2

12

 12 2 ,  

Tiết 16 Hoạt động 9: Giải pt 5sin2 x3cosx 3 0

?1: Nhận dạng phương trình.

?2: Đưa pt về dạng bậc hai đối với một hslg.

?3: Xác định nghiệm của pt bậc hai theo cos x

?4: Xác định nghiệm của pt ban đầu.

?4: Kết luận nghiệm của pt.

Phương trình bậc hai đối với một hslg

Ta cĩ: 5sin2 x3cosx 3 0  5cos2x 3cosx 8 0   





cos 8 3 ( )

x

x loại

Khi đĩ cosx 1 xk2 , k 

Hs trả lời

Hoạt động 10: Giải pt sin6xcos6 x4 cos 22 x  *

?1: Biến đổi sin6 xcos6x về dạng A 3 + B 3

?2: Khai triển hằng đẳng thức trên.

?3: sin2x c os2x?

?4: Biến đổi sin4xcos4x về dạng A B 2

?5: Áp dụng cơng thức nhân đơi sin osx c x ?

?6: Xác định nghiệm của pt.

Ta cĩ: sin6 xcos6xsin2 x 3 cos2x3  sin2 x c os2x  sin2 x2 sin os2x c 2xcos2x2

sin4 x sin os2 x c 2x c os4x

sin2 x c os2x2 3sin os2x c 2x 1 3sin os2 x c 2x

Khi đĩ:

 *  1 3 sin 22 4 cos 22 13cos 22 1 0

Vậy pt cĩ nghiệm 1 arccos 1  

và 1 arccos1   ,  

Hoạt động 11: Giải pt  1 sin2 cos4  *

?1: Dùng cơng thức hạ bậc để biến đổi cos x4

?2: Hạ bậc sin x2

?3: Biến đổi và thu gọn pt trên.

?4: Xác định nghiệm của pt

?5: Kết luận

2 2

4

x c x

Mà sin2 1 cos2

2

x

Khi đĩ:  *  cos 22 x4cos2x0







cos2 0

,

cos2 -4

x

x loại

Hs trả lời

3 Củng cố và dặn dị:

?: Cơng thức biến đổi asinx b cosx và cách giải pt asinx b cosx c

- Làm các bài tập 2b, 3 SGK tr 36 – 37

+ Xác định dạng của phương trình

+ Biến đổi về các dạng quen thuộc sau đĩ dùng phương pháp phù hợp giải tìm nghiệm

- Ơn lại các kiến thức đã học trong chương I chuẩn bị kiến thức để làm kiểm tra 1 tiết

+ Cách tìm tập xác định của một hàm số

+ Phương pháp giải và cơng thức nghiệm phương trình lgcb

Trang 7

+ Cách giải các ptlg thường gặp.

Tiết 17

?1: Dạng của phương trình bậc nhất đối với sin

u và cos u Cách giải ?

?2: Giải pt 2 sinx 2 osc x1 0 *  

+ Xác định a2b2

+ Giải pt tìm nghiệm

Cĩ dạng asinx + bcosx = c.

Biến đổi sinx  2c 2

a b



Ta cĩ:  * sin 450 2 sin 450

2

x

,

k





2 Bài mới:

Hoạt động 1: Giải pt 2 cos2x 3cosx 1 0

?1: Nhận dạng phương trình.

?2: Giải pt 2 cos2x 3cosx 1 0

?3: Kết luận nghiệm của pt

Đây là pt bậc hai đối với hàm số cos x.

Ta cĩ: 2 cos2x 3cosx 1 0

 





cos 1 2

x x

Vậy: pt cĩ nghiệm là x3 k2 và



 2 ,  

Hoạt động 2: Giải pt 25sin2 x15sin 2x9 cos2x25 * .

?1: Kiểm tra cosx 0 x2 k cĩ là

nghiệm của pt (*)

?2: Xét x 2 k



  , khi đĩ cosx ?.

?3: Chia hai vế phương trình (*) cho cos x2

?4: Giải pt 30tanx 16 0 

?5: Kết luận nghiệm của pt ban đầu.

Ta cĩ:  *  25sin2x25Hiển nhiên

Vậyx2k laứ nghieọm cuỷa pt.

Khi đĩ: cosx 0

 *  25sin2x30sin cosx x9 cos2x25

 



8

15

Vậy pt cĩ nghiệm là x2 k vaứ

arctan 8  (  )

15

Hoạt động 3: Giải pt 2 tanx 2 cotx 3 0 *  

?1: Điều kiện của phương trình.

?2: Áp dụng cơng thức lượng giác cơ bản biến

đổi pt trên về một hslg và thu gọn

?3: Xác định nghiệm của pt.

Điều kiện     





2

x

x k x

Ta cĩ: 2 tan  2.1  3 0

tan

 2 tan2 x 3tanx 2 0

Vậy pt cĩ nghiệm là arctan 1  

2

Trang 8

Giáo án đại số 11 cơ bản Giáo viên: Dương Minh Tiến



arctan 2 ,  

?1: Công thức nghiệm của các phương trình lượng giác cơ bản.

?2: Cách giải phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác.

- Giải phương trình sau (i) 3cos2x 2sinx 2 0 (ii) 2 tanx 3cotx 2 0 

+ Đưa về phương trình bậc hai theo một hàm số lượng giác sử dụng công thức

sin x c os x1 ; tan cotx x1

+ Giải phương trình bậc hai theo phương pháp và tìm nghiệm

- Ôn lại các kiến thức đã học về pt lượng giác chuẩn bị ôn chương và kiểm tra 1 tiết

+ Cách tìm tập xác định của một hàm số

+ Phương pháp giải và công thức nghiệm phương trình lgcb

+ Cách giải các ptlg thường gặp

Tân châu, ngày …… tháng …… năm 2011

TM Tổ trưởng

Nguyễn Phương Nam

Định dạng
Số trang	8
Dung lượng	605,5 KB