Bài toán đẳng chu trong hình học phẳng (Luận văn thạc sĩ)

Bài toán đẳng chu trong hình học phẳng (Luận văn thạc sĩ)Bài toán đẳng chu trong hình học phẳng (Luận văn thạc sĩ)Bài toán đẳng chu trong hình học phẳng (Luận văn thạc sĩ)Bài toán đẳng chu trong hình học phẳng (Luận văn thạc sĩ)Bài toán đẳng chu trong hình học phẳng (Luận văn thạc sĩ)Bài toán đẳng chu trong hình học phẳng (Luận văn thạc sĩ)Bài toán đẳng chu trong hình học phẳng (Luận văn thạc sĩ)Bài toán đẳng chu trong hình học phẳng (Luận văn thạc sĩ)Bài toán đẳng chu trong hình học phẳng (Luận văn thạc sĩ)Bài toán đẳng chu trong hình học phẳng (Luận văn thạc sĩ)Bài toán đẳng chu trong hình học phẳng (Luận văn thạc sĩ)Bài toán đẳng chu trong hình học phẳng (Luận văn thạc sĩ)

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

VŨ HẢI HOÀNG

BÀI TOÁN ĐẲNG CHU TRONG HÌNH HỌC PHẲNG

CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

THÁI NGUYÊN NĂM 2016

Mục lục

1.1 Một số khái niệm cơ bản 31.2 Bài toán đẳng chu 41.3 Chứng minh bài toán đẳng chu 5

2.1 Bài toán đẳng chu trong đa giác 202.2 Bài toán Diana 39

Danh sách hình vẽ

1.1 Hình Lõm 6

1.2 Đường AB chia đôi chu vi 7

1.3 AmB = AnB, F1 ≥ F2 7

1.4 Đối xứng 8

1.5 Bốn Bản Lề 9

1.6 Chứng minh của E Schmidt 13

1.7 Đa giác đều 16

1.8 Hai tam giác cùng diện tích 18

1.9 Thang Cân 18

2.1 Ba Trung tuyến 21

2.2 Tứ giác nội tiếp 1 24

2.3 Dựng đoạn thẳng 26

2.4 Tứ giác nội tiếp 2 27

2.5 Tứ giác biết 2 đường chéo vuông góc 28

2.6 Tứ giác đẳng chu 29

2.7 Tứ giác biết 3 cạnh 32

2.8 Thang cân có đáy nhỏ khác cạnh bên 34

2.9 Thang cân có đáy nhỏ khác cạnh bên 34

2.10 Tứ giác có 2 cạnh kề bằng nhau 35

2.11 Đa giác nội tiếp nửa đường tròn 35

2.12 Góc và đường gấp khúc 36

2.13 Đa giác nội tiếp đường tròn 37

2.14 1 sợi dây, 1 Đoạn thẳng 40

2.15 1 sợi dây, bờ biển thẳng 41

2.16 1 sợi dây, 1 góc, 2 đầu dây cố định 41

2.17 1 góc ,1 dây, 1 đầu dây cố định 42

2.18 1 góc ,1 dây, 2 đầu dây tự do 43

2.19 2 đoạn thẳng và 1 sợi dây 44

2.20 1 gậy,1 dây, 1 bờ biển 45

2.21 2 gậy,2 dây 46

2.22 2 gậy, 1 dây, 1 bờ biển 47

Lời cảm ơn

Luận văn này được thực hiện tại Trường Đại học Khoa học - Đại họcThái Nguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầy TS Nguyễn VănMinh Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới ngườithầy, người đã dìu dắt tôi từ buổi đầu tiên cho đến khi hoàn thành luậnvăn

Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Khoahọc - Đại học Thái Nguyên, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán-Tin, cùng cácthầy, các cô đã tham gia giảng dạy, đã tạo mọi điều kiện tốt nhất để tôihọc tập và nghiên cứu Nhân đây tôi xin có lời cảm ơn tới tập thể lớp caohọc Toán K8A (khóa 2014-2016) đã động viên và giúp đỡ tôi rất nhiềutrong quá trình học tập, nghiên cứu

Tôi xin chân thành cảm ơn gia đình và bạn bè Đã động viên tôi về tinhthần và giúp đỡ về vật chất kể từ khi ôn thi đến ngày hôm nay

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài Toán học là môn khoa học có tuổi đời nhiềunghìn năm Từ thời cổ đại đến nay, Toán học đã để lại nhiều bài toán nổitiếng, chẳng hạn như bài toán Chia 3 một góc, bài toán cầu phương đườngtròn, Định lý lớn Fermat, bài toán 4 màu

Bài toán Đẳng chu là một trong những bài toán nổi tiếng đó Bài toánĐẳng chu được biến đến từ thế kỷ IV trước công nguyên, trong suốt hơn

2000 năm tồn tại nó đã thu hút sự quan tâm của nhiều người, nhiều nhàkhoa học đã lao tâm khổ tứ vì bài toán này

nghiên cứu Bài toán Đẳng chu trong hình học phẳng, sưu tầm các cáchchứng minh và sưu tầm các bài tập có nội dung đẳng chu Đối tượngphục vụ cho việc dạy và học toán phổ thông, do đó những kiến thức về lýthuyết và những bài tập cũng tập trung chủ yếu sử dụng kiến thức toánhọc chương trình toán phổ thông Luận văn cố gắng lựa chọn những bàitoán sơ cấp, trong trường hợp có thể được Tuy nhiên việc chứng minhđiều kiện đủ vẫn phải sử dụng tới phép tính tích phân

Luận văn gồm 2 chương, tương ứng với 2 nhiệm vụ sau đây

• Chương 1 là phần kiến thức chuẩn bị, những khái niệm rất cơ bảnđược trình bày ở đây Các dạng phát biểu của Bài toán Đẳng chu.Chứng minh điều kiện cần và điều kiện đủ cũng được thực hiện trongchương này

• Chương 2 sưu tầm những bài toán khó, bài toán hay, bài toán có nộidung thực tế Nhằm phục vụ cho việc dạy và học hình học phẳng

Phương pháp chứng minh chủ đạo trong các bài toán ở đây là phươngpháp bản lề của Steiner Có hai loại bài tập trong chương này là Bàitoán đẳng chu trong đa giác và Bài toán Diana.

Thái Nguyên, tháng 5 năm 2016

Vũ Hải HoàngHọc viên Cao học Toán K8Chuyên ngành Phương pháp Toán sơ cấpTrường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên

Chương 1

Bài toán đẳng chu

1.1 Một số khái niệm cơ bản

Trước hết cần nhắc lại một số khái niệm cơ bản cần cho luận vănĐịnh nghĩa 1.1.1 Hình tròn tâm C, bán kính R là tập hợp các điểm Mthuộc mặt phẳng có MC ≤ R

Đường tròn tâm C, bán kính R là tập hợp các điểm M thuộc mặt phẳng

có MC = R

Hình hình học là tập hợp nào đó các điểm trên mặt phẳng, ký hiệu là

F Điểm M được gọi là điểm biên của F, nếu với mọi hình tròn tâm Mbán kính ǫ > 0 đủ bé, chứa ít nhất một điểm thuộc F và một điểm khôngthuộc F Tập hợp tất cả các điểm biên của F ký hiệu là ∂F

Định nghĩa 1.1.2 Hình F được gọi là hình bị chặn, hay là hình giới nội,nếu như tồn tại 1 hình tròn chứa toàn bộ hình F

Trong luận văn này ta chỉ xét hình F là một phần của mặt phẳng giớihạn bởi đường cong liên tục, khả vi từng khúc, đơn

Thí dụ về các hình như vậy là: Hình tròn, hình đa giác, góc nhọn, gócvuông, góc tù

Định nghĩa 1.1.3 Hình F được gọi là lồi nếu mọi đoạn thẳng mà có haiđầu mút thuộc hình F thì toàn bộ đoạn thẳng đó thuộc hình F

Hình F được gọi là hình lõm nếu tồn tại hai điểm A và B thuộc hình F,đoạn thẳng AB không thuộc hình F.

Định nghĩa 1.1.4 Hình F được gọi là liên thông, nếu mọi cặp điểm thuộchình F, tồn tại một đường cong liên tục thuộc F nối hai điểm đó

Định nghĩa 1.1.5 Hình F được gọi là đơn liên, nếu đường biên của nóliên thông

Ví dụ 1.1.1 Những hình hình học thường gặp

i) Hình tròn, hình elip là các hình lồi, liên thông, giới nội và đơn liên.ii) Hình tam giác, tứ giác lồi là các hình lồi, liên thông, giới nội và đơnliên

iii) Các góc nhọn, góc vuông, góc tù, nửa mặt phẳng là các hình lồi,liên thông, không giới nội và đơn liên

iv) Hình vành khuyên là hình giới hạn bởi 2 đường tròn đồng tâm làhình lõm, liên thông và đa liên

1.2 Bài toán đẳng chu

Các dạng phát biểu bài toán đẳng chu

Bài toán đẳng chu được biết đến từ rất lâu, được phát biểu dưới cácdạng sau đây:

1 Cách phát biểu thứ nhất- Bài toán A Trong tất cả các hình cócùng chu vi, hình có diện tích lớn nhất là hình tròn và ngược lại

2 Cách phát biểu thứ hai-Bài toán B Trong tất cả các hình có cùngdiện tích, hình có chu vi nhỏ nhất là hình tròn và ngược lại

3 Cách phát biểu thứ ba Giả sử hình F có diện tích là A, có chu vi

là L Khi đó có bất đẳng thức

4π.A

L2 ≤ 1

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi F là hình tròn

Chứng minh tính tương đương giữa hai bài toán

1 Bài toán A suy ra Bài toán B Giả sử Bài toán Ađúng, ta phải chứngminh Bài toán B cũng đúng Giả sử ngược lại, Bài toán B sai, nghĩalà: mặc dù có hình tròn, diện tích S và chu vi C, nhưng vẫn tồn tạihình không tròn, có diện tích S, chu vi C′ nhưng C′ ≤ C Nhưngtheo Bài toán A, lại tồn tại hình tròn có chu vi C′ với diện tích S′ và

S < S′

Tới đây, ta có hai hình tròn: một hình có diện tích S, chu vi C;hình tròn kia có diện tích S′ và chu vi C′ với các bất đẳng thức:

S < S′, C′ ≤ C, vô lý Điều này có nghĩa là Bài toán B đúng

2 Bài toán B suy ra Bài toán A Ta cũng dùng phương pháp chứngminh phản chứng, giả sử Bài toán A sai, nghĩa là có hình tròn vớidiện tích S′ và chu vi C′, nhưng vẫn tồn tại hình không tròn có cùngchu vi C′, nhưng có diện tích S > S′ Vì bài toán B đúng, cho nêntồn tại hình tròn có diện tích S và chu vi C, nhưng C ≤ C′ Điều nàydẫn đến mâu thuẫn Chứng tỏ Bài toán A đúng

1.3 Chứng minh bài toán đẳng chu

Chứng minh điều kiện cần

Trong mục này ta phát biểu bài toán dưới dạng mạnh hơn Bài toán A.Giả thiết hình F đơn liên, có biên ∂F là đường cong kín, liên tục, trơn

F ∪ F′ là cung AnB và đoạn thẳng AB Dễ nhìn thấy diện tích F ∪ F′

lớn hơn diện tích F chu vi của F ∪ F′ nhỏ hơn chu vi F, vì AB < AmB

F

m F’

n

Hình 1.1: Hình Lõm

Định lý 1.3.1 Trong tất cả các hình có cùng chu vi, điều kiện cần đểhình có diện tích lớn nhất là nó là hình tròn

Trước khi chứng minh định lý, ta xét vài bổ đề

Bổ đề 1.3.2 Cho F là hình có biên ∂F là đường cong đơn, liên tục, trơntừng khúc A là điểm cho trước trên biên∂F Khi đó tồn tại duy nhất điểm

B ∈ ∂F chia độ dài đường biên ∂F thành hai phần bằng nhau

Chứng minh Giả sử độ dài đường biên ∂F là 2l Ký hiệu M là điểmthuộc ∂F, đặt độ dài cung AmM = t⌢ suy ra độ dài cung AnM= 2l − t⌢

Ta định nghĩa hàmf (t) như sau

f (t) =AnM −⌢ AmM = 2l − 2t.⌢

Từ đó ta thấy hàm f (t) có duy nhất một không điểm t = l, chứng tỏtồn tại duy nhất một điểm B chia đường biên của F thành hai phần có

độ dài bằng nhau

A B

m

n

M

Hình 1.2: Đường AB chia đôi chu vi

Bổ đề 1.3.3 Trong tất cả các tam giác có hai cặp cạnh tương ứng bằngnhau, nhưng góc xen giữa không bằng nhau, thì tam giác vuông có diệntích lớn nhất

Chứng minh Định lý 1.3.1 (Chứng minh của Steiner) Xét hình F có

là F1 và F2 có diện tích tương ứng là S1 và S2, ta có thể giả thiết S1 ≥ S2

Ký hiệu F1′ là hình đối xứng của F1 qua AB, hình F1′ cũng có diện tích là

S1 Bây giờ ta có hai hình:

• Hình F = F1 ∪ F2

Bây giờ ta phải chứng minh phần còn lại: Nếu hình G không là hìnhtròn, thì luôn luôn chỉ ra hình G′ có cùng chu vi với G nhưng có diệntích lớn hơn hình G Thật vậy, vì hình G có trục đối xứng là AB, nếu

G không là hình tròn, trên cung AmB⌢ tồn tại ít nhất một điểm M, saocho góc \AMB 6= π

2 Gọi M′ là điểm đối xứng với M qua AB, ta có

A, M, B, M′ Bây giờ ta cố định đỉnh A, trượt đỉnh B dọc theo đườngthẳng AB cho đến khi các góc \AMB và góc \AM′B vuông, trong quátrình trượt đỉnh B, bốn viên phân không thay đổi diện tích; chu vi hình

G không đổi; diện tích hai tam giác ∆AMB và ∆AM′B, theo Bổ đề 1.3.3lớn nhất khi và chỉ khi chúng là tam giác vuông Như vậy, đường biên ∂G

A BM

Nhận xét Cách chứng minh của Steiner có những ưu và nhược điểm sau:

1 Ưu điểm

• Rất sơ cấp, trực giác và dễ hiểu.

• Phương pháp chứng minh của ông còn gọi phương pháp các bảnlề; phương pháp này còn dùng để giải được khá nhiều bài toán

có nội dung "đẳng chu" mà sẽ đề cập sau này

Chứng minh điều kiện đủ bài toán đẳng chu

Trước khi chứng minh điều kiện đủ của Bài toán đẳng chu, ta xét hai

bổ đề sau

Bổ đề 1.3.4 Giả sử C là đường cong đơn, trơn, kín, có chiều dương ngượcchiều kim đồng hồ Giới hạn một miền có diện tích A, được biểu diễn bởiphương trình tham số

b

Z

a

x(t)y′(t) − y(t)x′(t)

Cộng vế với vế hai đẳng thức trên, ta có

A = 12

b

Z

a

x(t)y′(t) − y(t)x′(t)

(x2 + z2).[(x′)2+ (y′)2] − (xy′− zx′)2

= x2(x′)2 + x2(y′)2+ z2(x′)2 + z2(y′)2 −x2(y′)2 − 2xy′zx′ + z2(x′)2

= x2(x′)2 + 2xy′zx′ + z2(y′)2

= (xx′+ zy′)2 ≥ 0

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

(xx′+ zy′)2 = 0 ⇔ zy′ = −xx′

Nhận xét 1.3.1 Bổ đề 1.3.5 thực chất là bất đẳng thức Cauchy-Schwarz,còn gọi là bất đẳng thức Bunhiacovxky cho 2 vector

V1 = (x, −z); V2 = (y′, x′)

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi V1 và V2 cùng hướng

Chú ý 1.3.1 Nếu biểu diễn đường cong C bởi tham số s là độ dài cung,còn gọi là tham số tự nhiên, khi đó ta có

L2 − 4π.A ≥ 0

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi C là đường tròn

Chứng minh Điều kiện đủ được nhiều nhà khoa học chứng minh bằngcác phương pháp khác nhau, nhưng không có chứng minh sơ cấp nào.Trong luận văn này trình bày hai phương pháp

Hình 1.6: Chứng minh của E Schmidt

Cách chứng minh thứ nhất

Sau đây là cách chứng minh của E Schmidt 1939 (Xem [3]) Giả sửc(s) = (x(s), y(s)); s ∈ [0; L] là biểu diễn tham số của đường cong C, tachọn điều kiện x(0) = r; x(p1) = −r

Bây giờ ta xác định đường tròn k biểu diễn bởi phương trình k(s) =(x(s), z(s))với tâmO, bán kínhr (xem Hình 1.6) Với cách chọn hệ tọa độnhư vậy, đường cong C được biểu diễn bởi điểm M(x(s), y(s)) còn đườngcong K biểu diễn bởi điểm N (x(s), z(s)) ∈ k

Ký hiệu A là diện tích miền giới hạn bởi C và B là diện tích hình tròn

− 4πA.

Đến đây ta đã chứng minh được bất đẳng thức

4π.A ≤ L2

Phần còn lại ta phải chứng minh nếu có đẳng thức 4π.A = L2, thì đườngcong C phải là đường tròn Thật vậy, để cho đơn giản sau đây ta dùng kýhiệu x, x′, y, y′, z, z′ thay cho x(s), x′(s), y(s), y′(s), z(s), z′(s), từ

x2(y′)2 − 2xy′zx′ + z2(x′)2 = r2.Suy ra

x2(y′)2 + 2(x′)2x2 + z2(x′)2 = r2.Kéo theo

x2(x′2+ y′2) + x′2(x2 + z2) = r2 (*)Lưu ý:

(x′)2 + (y′)2 = 1; z2 + x2 = r2

Từ (*) ta có

⇒ x2 + (x′)2r2 = r2.Suy ra

x2 = r2(1 − x′2) = r2(y′)2.Kéo theo

Tương tự như trên ta cũng có

Bình phương 2 vế hai đẳng thức (**) và (***) rồi cộng lại, với chú ý

(x′)2 + (y′)2 = 1

Ta có

x2 + y2 = r2((x′)2 + (y′)2) = r2.Kéo theo

x2 + y2 = r2.Chứng tỏ C là đường tròn

Xét đa giác đều ABC ,n cạnh, chu vi L Tam giác cân có đỉnh là tâm

O, cạnh đáy là cạnh AB của đa giác đều, AB = L

n.

O

H

Hình 1.7: Đa giác đều

OH = AB

2 cot

\AOB

L2n cot

L

ncot

π

n.

Diện tích đa giác đều

x), tính đạo hàm theo x, ta thấy

y′ > 0, khi x > 0 Thay x = n ta được kết quả là dãy {Sn} là dãy tăng

Từ Hệ quả 1.3.1 ta rút ra hệ quả sau:

Hệ quả 1.3.2 Trong các đa giác đều có cùng chu vi, đa giác nào nhiềuđỉnh hơn thì có diện tích lớn hơn

Từ (1.3) với chú ý rằngtan x > x, ∀x ∈ 0; π

2

, ta nhận được bất đẳngthức

Từ các kết quả nhận được ở trên ta lại nhận được kết luận:

Trong tất cả các hình phẳng F, với diện tích A, chu vi L, luôn luôn có bấtđẳng thức

A2 ≤ L

2

4π.Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi hình F là hình tròn

Bài toán 1.3.1 Nếu tam giác ABC không là tam giác đều, ta luôn luôndựng được tam giác khác có cùng diện tích với tam giác ABC nhưng cóchu vi nhỏ hơn

Giải Xét tam giác ABC không đều, giả sử có CA > CB Qua đỉnh C

kẻ đường thẳng d//AB Gọi C′ là điểm thuộc d sao cho C′A = C; B Dễthấy rằng chu vi tam giác ABC′ nhỏ hơn chu vi tam giác ABC với mọiđiểm C thuộc d

d

Hình 1.8: Hai tam giác cùng diện tích

Bài toán 1.3.2 Đa giác đều Pn có n cạnh Hãy dựng đa giác (có thểkhông đều) Pn+1 có (n + 1) cạnh, có cùng chu vi với Pn, nhưng có diệntích lớn hơn diện tích Pn

Hình 1.9: Thang Cân

Giải Ta xét 3 đỉnh liên tiếp của đa giác đều theo thứ tự, giả sử đó

là các đỉnh A, C, B Ta sẽ thay tam giác ACB bởi hình thang AMN B

điểm của AC và CB Coi như tại A, M, C, N, B có các bản lề, các thanh

AM, MC, CN, N B có thể quay quanh các bản lề, với giả thiết như vậy,

ta thay tam giác cân CAB bởi hình thang cân AMN B có

AM = MN/2 = N B

Bằng cách làm đó, chu vi tam giác cân CAB bằng chu vi hình thangAMN B Ta phải chứng minh diện tích tam giác CAB nhỏ hơn diện tíchhình thang AMN B

Thật vậy, đặt AB = 2a, AC = CB = 2b, suy ra CH = √

Hạ MK vuông góc với AB, vì hình thang AMN B là hình thang cân,

do đó AK = AB−MN2 = |b − a| Chiều cao hình thang cân

Ta còn phải chứng minh S2 > S1 Thật vậy

S2 > S1 ⇔ (a + b).qa(2b − a) > ap4b2 − a2

⇔ (a + b)2.a(2b − a) > a2(4b2− a2) ⇔ 2b > a

Bất đẳng thức cuối cùng chính là điều kiện tồn tại tam giác CAB

Nhận xét 1.3.2 Từ Hệ quả 1.3.2 có thể suy trực tiếp ra tồn tại đa giácđều (n + 1) đỉnh cùng chu vi, nhưng có diện tích lớn hơn đa giác đều Pn

Chương 2

Một số bài toán có nội dung đẳng chu

2.1 Bài toán đẳng chu trong đa giác

Một số bài toán đẳng chu trong tam giác

Bài toán 2.1.1 Trong các tam giác có chu vi 2p, tìm tam giác có diệntích lớn nhất

Giải Theo công thức Heron, ta có

Suy ra x = y = z, tức là tam giác là tam giác đều.

Bài toán 2.1.2 Tìm tam giác có chu vi là 2p, có một cạnh là a sao cho

có diện tích lớn nhất

Giải Theo công thức Heron, ta có

S =

qp(p − a)(p − x)(p − y)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương p − x, p − y ta nhậnđược tam giác phải tìm là tam giác cân, có đáy là a

Bài toán 2.1.3 Tam giác ∆ABC có tổng 3 đường trung tuyến là 2m.Tam giác thỏa mãn điều kiện gì để có diện tích lớn nhất?

A

M

N P

Q

E G

Tứ giác BQCP cũng là hình bình hành vì có BP và CQ song song

và bằng nhau

Suy ra M là trọng tâm của ∆BQN

Tam giác BQN có 3 cạnh tương ứng là 3 đường trung tuyến của tamgiác ABC

Oy sao cho chu vi tam giác AOB bằng 2p Hãy tìm vị trí của A và B saocho diện tích tam giác OAB lớn nhất

Giải Giả sử dxOy = α, OA = x, OB = y Theo định lý hàm số cosin cho

x2 + y2 − 2zy cos α Ký hiệu p là nửa chu vi tamgiác OAB Ta có:

x2 + y2 ≥ 2xy suy ra x2 + y2 − 2xy cos α ≥ 2xy − 2xy cos α

kéo theo px2 + y2 − 2xy cos α ≥ p2xy − 2xy cos α (*)