Bài toán vận tải dạng chi phí nút thắt với nhiều mục tiêu (Luận văn thạc sĩ)

Bài toán vận tải dạng chi phí nút thắt với nhiều mục tiêu (Luận văn thạc sĩ)Bài toán vận tải dạng chi phí nút thắt với nhiều mục tiêu (Luận văn thạc sĩ)Bài toán vận tải dạng chi phí nút thắt với nhiều mục tiêu (Luận văn thạc sĩ)Bài toán vận tải dạng chi phí nút thắt với nhiều mục tiêu (Luận văn thạc sĩ)Bài toán vận tải dạng chi phí nút thắt với nhiều mục tiêu (Luận văn thạc sĩ)Bài toán vận tải dạng chi phí nút thắt với nhiều mục tiêu (Luận văn thạc sĩ)Bài toán vận tải dạng chi phí nút thắt với nhiều mục tiêu (Luận văn thạc sĩ)Bài toán vận tải dạng chi phí nút thắt với nhiều mục tiêu (Luận văn thạc sĩ)Bài toán vận tải dạng chi phí nút thắt với nhiều mục tiêu (Luận văn thạc sĩ)Bài toán vận tải dạng chi phí nút thắt với nhiều mục tiêu (Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

Mục lục

1 Bài toán vận tải theo mục tiêu cước phí 4

1.1 Nội dung bài toán và tính chất 4

1.2 Phương án cực biên ban đầu 7

1.2.1 Phương pháp min cước 7

1.2.2 Phương pháp góc tây bắc 8

1.3 Điều kiện tối ưu 8

1.4 Thuật toán thế vị 9

1.5 Ví dụ minh họa 11

2 Bài toán vận tải với hai mục tiêu 14 2.1 Bài toán vận tải theo mục tiêu thời gian 14

2.1.1 Phát biểu bài toán 14

2.1.2 Thuật toán chắn (Blocking Method) 16

2.2 Bài toán vận tải với hai mục tiêu 19

2.2.1 Mô tả bài toán 19

2.2.2 Tìm các nghiệm cơ sở hữu hiệu của (MP) 20

3 Bài toán vận tải với ba mục tiêu 25

3.1 Nội dung bài toán 253.2 Tìm tập nghiệm cơ sở hữu hiệu 293.3 Ví dụ minh họa 31

∆ij được gọi là ước lượng của biếnxij

τ chỉ thời hạn về thời gian

L danh sách ghi nghiệm hữu hiệu tìm được

Danh sách bảng

Bảng 1.1 Bảng vận tải T

Bảng 2.1 Dữ liệu bài toán trong ví dụ 2.2

Bảng 2.2 Bảng vận tải theo mục tiêu thời gian

Bảng 2.3 Bảng vận tải theo mục tiêu cước phí

Bảng 2.4 Bảng vận tải theo mục tiêu cước phí vớiτ = 73

Bảng 2.5 Bảng vận tải theo mục tiêu cước phí vớiτ = 68

Bảng 2.6 Bảng vận tải theo mục tiêu cước phí vớiτ = 66

Bảng 2.7 Các nghiệm cơ sở hữu hiệu của bài toán vận tải hai mục tiêuBảng 3.1 Bảng vận tải theo mục tiêu cước phí vớiτ = 63

Bảng 3.2 Nghiệm cơ sở hữu hiệu S2 kề S1

Bảng 3.3 Bảng vận tải theo mục tiêu cước phí vớiτ = 66

Bảng 3.4 Tập nghiệm cơ sở hữu hiệu của bài toán trong Ví dụ 3.1

Bài toán vận tải theo mục tiêu thời gian hay còn gọi bài toán vận tải dạng nút

thắt (Bottleneck Transportation Problem) là một dạng khác của bài toán vận tải,trong đó có tính đến thời gian đi trên các tuyến đường có vận chuyển hàng Thay

vì tìm cực tiểu tổng chi phí, mục tiêu bây giờ là hoàn thành vận chuyển hàng trongthời gian sớm nhất có thể Trong bài toán này hàm mục tiêu là phi tuyến Nhiềudạng khác nhau của bài toán vận tải theo mục tiêu thời gian đã được đặt ra vànhiều thuật toán giải đã được đề xuất

Trong các ứng dụng thực tiễn, để đánh giá hiệu quả hoạt động kinh tế vận tải

và đề ra các quyết định quản lý có căn cứ khoa học, người ta còn gặp các mô hìnhbài toán vận tải với hai hay nhiều hàm mục tiêu Chẳng hạn, bài toán vận tải cực

tiểu cả chi phí lẫn thời gian vận chuyển, gọi là bài toán vận tải dạng chi phí - nút

thắt (Bottleneck - Cost Transportation Problem) và bài toán vận tải dạng nút thắtvới nhiều mục tiêu, trong đó có hàm mục tiêu phân thức Đã có một số phươngpháp sử dụng cấu trúc đặc thù của bài toán trong tìm nghiệm hữu hiệu của bài toánvận tải hai hay nhiều mục tiêu

Sau khi được học về Giải tích lồi và các kiến thức toán học có liên quan, vớimong muốn tìm hiểu sâu hơn về những kiến thức đã học, các kiến thức mở rộng

và ứng dụng của những kiến thức này, chúng tôi chọn đề tài luận văn

"Bài toán vận tải dạng chi phí - nút thắt với nhiều mục tiêu"

Luận văn có mục đích tìm hiểu và trình bày một số mô hình bài toán vận tảinhiều hàm mục tiêu và các thuật toán tìm nghiệm hữu hiệu của bài toán

Luận văn được viết thành ba chương

Chương 1 "Bài toán vận tải theo mục tiêu cước phí" trình bày những kiến

thức cơ bản về bài toán vận tải theo mục tiêu cước phí: nội dung và tính chấtnghiệm của bài toán, điều kiện tối ưu và thuật toán thế vị giải bài toán

Chương 2 "Bài toán vận tải với hai mục tiêu" đề cập tới bài toán vận tải theo

mục tiêu thời gian và bài toán vận tải với hai mục tiêu: cực tiểu cả cước phí lẫnthời gian vận chuyển và trình bày các thuật toán giải, nhờ đưa về các bài toán vận

tải theo mục tiêu cước phí Ý tưởng chính của các thuật toán là sử dụng phương

pháp chắn: cấm vận chuyển hàng trên các tuyến có thời gian vượt quá một mứcnào đó và sau đó mở rộng dần các mức thời gian này

Chương 3 "Bài toán vận tải với ba mục tiêu" trình bày mô hình bài toán vận

tải ba mục tiêu dạng nút thắt, trong đó hai mục tiêu đầu là tỉ số giữa cước phí vậnchuyển và thiệt hại do vận chuyển với thời gian vận chuyển Bài toán này đượcđưa về dạng bài toán ba mục tiêu đơn giản hơn và có thể giải bằng thuật toán tìmnghiệm cơ sở hữu hiệu của một số bài toán vận tải hai mục tiêu

Do thời gian và kiến thức còn hạn chế nên chắc chắn luận văn này còn cónhững thiếu sót nhất định, kính mong quí thầy cô và các bạn đóng góp ý kiến đểtác giả tiếp tục hoàn thiện luận văn sau này

Nhân dịp này tác giả luận văn xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS TS Trần

Vũ Thiệu, người đã tận tình giúp đỡ trong suốt quá trình làm luận văn Tác giả trân

trọng cảm ơn các giảng viên Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên,Viện Toán học – Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam tạo mọi điềukiện thuận lợi trong quá trình tác giả học tập và nghiên cứu.

Thái Nguyên, tháng 05 năm 2015

Tác giả

Vũ Thu Huệ

Chương 1

Bài toán vận tải theo mục tiêu cước phí

Chương này trình bày vắn tắt bài toán vận tải theo mục tiêu cước phí, điều kiệntối ưu và thuật toán thế vị giải bài toán Cuối chương, nêu ví dụ số minh họa thuậttoán giải Nội dung của chương cần cho các chương ở sau và được tham khảo chủyếu từ các tài liệu [1], [2] và [3]

1.1 Nội dung bài toán và tính chất

Bài toán vận tải theo mục tiêu cước phí có nội dung như sau: Giả sử cómkhochứa một loại hàng (xi măng chẳng hạn)K1, , Km (gọi là các điểm phát), kho

i = 1, , m có ai > 0 đơn vị hàng (lượng cung) Cần vận chuyển số hàng này

tới n hộ tiêu thụ H1, , Hn (gọi là các điểm thu), hộ j = 1, , n cần bj > 0

đơn vị hàng (lượng cầu) Cước phí vận chuyển một đơn vị hàng từ điểm phátKi

tới điểm thu Hj làcij ≥ 0 Vấn đề đặt ra là cần vận chuyển từ mỗi điểm phát tớimỗi điểm thu bao nhiêu đơn vị hàng sao cho thỏa mãn nhu cầu của mọi điểm thu

và tổng chi phí vận chuyển toàn bộ số hàng là nhỏ nhất?

Ký hiệu xij là lượng hàng cần vận chuyển từ điểm phát i tới điểm thu j Khi

đó, mô hình toán học của bài toán vận tải theo mục tiêu cước phí có dạng:

f (x) =

mXi=1

nXj=1

cijxij → min (cực tiểu tổng chi phí vận chuyển) (1.1)

với các điều kiện

nX

j=1

xij = ai, i = 1, , m(mọi điểm phát giao hết hàng), (1.2)

mXi=1

xij = bj, j = 1, , n(mọi điểm thu nhận đủ hàng), (1.3)

xij ≥ 0, i = 1, , m, j = 1, , n(lượng hàng vận chuyển không âm)

(1.4)

Điều kiện cần và đủ để bài toán (1.1) - (1.4) giải được là phải có điều kiện cân

bằng cung cầu(nghĩa là tổng cung bằng tổng cầu):

a1 + a2 + · · · + am = b1 + b2 + · · · + bn (1.5)

Ký hiệuAlà ma trận hệ số ở vế trái ràng buộc (1.2), (1.3),Aij là véctơ cột của

Atương ứng với biến xij Dễ thấy rằng véctơ này có hai thành phần bằng + 1 (ởhàng thứivà hàng thứ m + j), còn mọi thành phần khác bằng 0

Định nghĩa 1.1 Ma trận X = {xij}m×n gọi là một phương án của bài toán vận tải Phương án đạt cực tiểu của (1.1) gọi là phương án tối ưu hay lời giải của

bài toán Phương ánX là phương án cực biên khi và chỉ khi các véctơ cộtAij củaA

tương ứng với biếnxij > 0là độc lập tuyến tính (hay tập hợp ô {(i, j) : xij > 0}

không chứa chu trình)

Một phương án cực biên X = {xij}m×n của bài toán gọi là không suy biến

nếu số phần tử của tập hợpG(X) = {(i, j) : xij > 0}bằngm + n − 1, gọi là suy

biếnnếu|G(X)| < m + n − 1

Với điều kiện (1.5) bài toán (1.1) - (1.4) có các tính chất sau:

1 Tập hợp các phương án của bài toán khác rỗng và bị chặn (giới nội)

2 Hạng của hệ ràng buộc (1.2) - (1.3) bằngm + n − 1

3 Nếu lượng cung ai và lượng cầu bj là các số nguyên thì bài toán sẽ có lờigiải nguyên (mọi biếnxij có giá trị nguyên)

Ta ghi lại dữ liệu của bài toán dưới dạng một bảng chữ nhật, gọi là bảng vận tải

(Bảng 1.1) Không kể hàng và cột tiêu đề, bảng bao gồmm hàng(i = 1, , m)

và n cột (j = 1, , n) Chỗ giao nhau ở hàng i cột j gọi là ô (i, j) Mỗi hàngtương ứng với một điểm phát, mỗi cột tương ứng với một điểm thu Số ghi ở đầumỗi hàng là lượng cung, số ghi ở đầu mỗi cột là lượng cầu Chi phí vận chuyểncijghi ở góc trên bên trái của ô (i, j), lượng hàng vận chuyểnxij sẽ ghi ở góc dướibên phải của ô (i, j) Ô (i, j)biểu thị tuyến đường vận chuyển từ điểm phát i tớiđiểm thuj

Định nghĩa 1.2 Ta gọi dây chuyền là một tập hợp các ô có dạng

(i1, j1), (i1, j2), (i2, j2), (i2, j3), , (is, js), (is, js+1)hoặc

(i1, j1), (i2, j1), (i2, j2), (i3, j2), , (is, js), (is+1, js)

Một dây chuyền khép kín (js+1 = j1 hoặc is+1 = i1) gọi là một chu trình.

Như vậy, mỗi cặp ô liền nhau trên dây chuyền ở trên cùng một hàng hay trêncùng một cột và số ô trên dây chuyền có thể là chẵn hay lẻ Một chu trình bao giờcũng gồm một số chẵn các ô

Ta có mối liên hệ đáng chú ý sau

Định lý 1.1 Hệ véctơ Aij của bài toán vận tải là độc lập tuyến tính khi và chỉ khi các ô tương ứng với các véctơ này không chứa chu trình.

Hệ quả 1.1 Ma trận X = (xij)m×n là phương án cực biên của bài toán vận tải khi và chỉ khi tập hợp ô(i, j) màxij > 0không chứa chu trình

Định lý 1.2 Giả sử G là một tập hợp gồmm + n − 1ô của bảng vận tải không chứa chu trình Khi đó, một ô (r, s) 6∈ G sẽ tạo với các ô thuộc Gmột chu trình duy nhất

1.2 Phương án cực biên ban đầu

Sau đây là hai phương pháp thông dụng và thuận tiện nhất

1.2.1 Phương pháp min cước.

Trong bảng vận tải, ta chọn ô(p, q)sao chocpq = min {cij : ∀ (i, j) ∈ T }.Nếu cực tiểu đạt tại nhiều ô thì ta chọn ô bất kỳ trong số các ô đó Sau đó phânphối hàng nhiều nhất có thể theo tuyếnp → q, nghĩa là đặt

xpq = min {ap, bq}

Trừ lượng hàng vừa phân phối vào lượng phát, thu của hàng pvà cột q Tiếp

đó, ta "xóa" (tức không xét tới nữa) hàngpnếu điểm phátpđã giao hết hàng hoặccột q nếu điểm thu q đã nhận đủ hàng Khi cả hàng, cột đều hết và đủ hàng thìchỉ xóa hàng hoặc cột, không xóa cả hai Trong bảng vận tải còn lại (bớt một hànghoặc một cột), ta lại chọn ô có cước phí nhỏ nhất và phân phối tối đa lượng hàngcòn lại vào ô này (lượng hàng này có thể bằng 0) Phương ánX thu được có đúng

m + n − 1ô đã được phân hàng (gọi là ô chọn), nó là một phương án cực biên vì

các ô đã chọn không tạo thành chu trình

Có hai khả năng xảy ra:

• a1 ≤ b1 (điểm phát 1 hết hàng, điểm thu 1 còn cần b1 − a1 đơn vị hàng)

"Xoá" hàng1của bảng T Trong bảng gồmm − 1hàng còn lại, ta lại chọn ô nằm

ở góc tây bắc, cụ thể là ô(2, 1)của bảng T để tiếp tục phân phối hàng

• a1 > b1 (điểm phát1còn a1 − b1 đơn vị hàng, điểm thu1 đủ hàng) "Xoá"cột1của bảng T Trong bảng gồm n − 1 cột còn lại, ta lại chọn ô nằm ở góc tâybắc, cụ thể là ô(1, 2)của bảng T để tiếp tục phân phối hàng

Cứ phân phối hàng như vậy cho đến khi mọi hàng (cột) đã phát hết (nhận đủ)hàng Khi đó, ta sẽ nhận được một phương án cực biên gồm m + n − 1 ô được

phân hàng (gọi là ô chọn), không tạo thành chu trình.

1.3 Điều kiện tối ưu

Đối ngẫu của bài toán vận tải (1.1) - (1.4) là bài toán

g(u, v) =

mXi=1

aiui+

nXj=1

bjvj → max (1.6)

với các điều kiện

ui + vj ≤ cij, i = 1, , m, j = 1, , n (1.7)

Giả sử X0 = {x0ij} là một phương án cực biên không suy biến Ký hiệu

G0 = {(i, j) : x0ij > 0} Sau đây là điều kiện để choX0 là phương án tối ưu

Định lý 1.3 Phương án cực biên không suy biến X0 = {x0ij} của bài toán vận tải(1.1)-(1.4) với điều kiện (1.5)là một phương án tối ưu khi và chỉ khi tìm được các sốui(i = 1, , m) vàvj (j = 1, , n)thỏa mãn:

∆ij = ui+ vj − cij được gọi là ước lượng của biếnxij Theo Định lý 1.3, phương

ánX0 là tối ưu khi và chỉ khi các thế vị này thỏa mãn thêm điều kiện (1.8), tức là

án tối ưu và có thể tìm được phương án cực biên mới X1 tốt hơn X0 theo nghĩa

f (X1) < f (X0)

1.4 Thuật toán thế vị

Bước 0 Dùng phương pháp min cước (hay phương pháp góc tây bắc) tìm

phương án cực biên ban đầuX0 = {x0ij}với tập ô chọnG0 gồm đúngm + n − 1

ô không chứa chu trình vàG0 = {(i, j) : x0ij > 0} Đặt chỉ số vòng lặp k = 1

Bước 1 Xác định các thế vịui(i = 1, , m)vàvj(j = 1, , n)tương ứng

vớiX bằng cách giải hệ phương trình dạng tam giác (1.9):

Bước 4 Điều chỉnh phương án:

4a) Xác định ô điều chỉnh (r, s)với

∆rs = max {∆ij > 0 : (i, j) ∈ Gk−1}

4b) Tìm chu trình duy nhấtK trongGk−1 ∪ {(r, s)}

4c) Chia các ô thuộcK thành ô lẻK1, ô chẵn K2 với qui ước (r, s) ∈ K1.4d) Xác định lượng điều chỉnhh = min {xk−1ij : (i, j) ∈ K2} = xk−1

pq 4e) Xây dựng phương án cực biên mới Xk với

4f) Tăngk ← k + 1, quay lại Bước 1 để thực hiện vòng lặpkmới

Định lý 1.5 Nếu bài toán vận tải không suy biến thì thuật toán thế vị là hữu

hạn, tức là sau hữu hạn bước ta sẽ nhận được phương án tối ưu

Chú ý 1.1 Có hai dấu hiệu giúp nhận biết phương án cực biên suy biến:

(i) Lượng điều chỉnhh = 0 (Bước 4d) Khi đó ta vẫn thực hiện thuật toán mộtcách bình thường, nghĩa là ô điều chỉnh(r, s)sẽ trở thành ô chọn của phương áncực biên mớiXk và Xrsk = 0, còn ô (p, q) ∈ K2 ứng với Xpqk−1 = 0 sẽ trở thành

ô loại đối với phương ánXk Tuy nhiên, kết quả điều chỉnh không làm thay đổiphương án cực biên(Xk−1 = Xk)mà chỉ làm thay đổi tập véctơ cơ sở của phương

án đó

(ii) Lượng điều chỉnh h đạt tại nhiều ô khác nhau thuộcK2 Khi đó ta sẽ loạimột trong những ô này theo qui tắc ngẫu nhiên

1.5 Ví dụ minh họa

Ví dụ 1.1 Áp dụng thuật toán thế vị giải bài toán vận tải theo mục tiêu cước

phí với véctơ cung a, véctơ cầu b và ma trận cước phíC như sau:

6 = m + n − 1ô không chứa chu trình và giá trị mục tiêu f (X0) = 329

Vòng lặp 1.

Bước 1 Các thế vị tương ứng vớiX0:

u0 = (0 4 − 2), v0 = (9 11 9 10)

Bước 2 Các ước lượng∆ij = ui + vj − cij ghi trong ma trận∆ dưới đây.

Bước 3 Phương ánX0 chưa tối ưu vì còn∆23 = 1 > 0và (2, 3) 6∈ G0

Bước 4 Điều chỉnh phương án:

4a) Ô điều chỉnh(r, s) = (2, 3)vì

∆23 = max {∆ij > 0 : (i, j) 6∈ G0} = 1 > 0

4b) Chu trình điều chỉnh K gồm 4 ô(2, 3), (3, 3), (3, 2), (2, 2)

4c) Các ô lẻK1 = {(2, 3), (3, 2)}và các ô chẵn K2 = {(3, 3), (2, 2)}.4d) Lượng điều chỉnhh = min {x033 = 4, x022 = 2} = x022 = 2

Bước 2 Các ước lượng∆ij = ui + vj − cij ghi trong ma trận∆1 dưới đây.

Bước 3 Phương án X1 là tối ưu vì ∆1 ≤ 0 Cước phí vận chuyển nhỏ nhất

fmin = 327 Kết thúc thuật toán giải

Tóm lại, chương này đã đề cập tới bài toán vận tải theo mục tiêu cước phí, trìnhbày điều kiện tối ưu và thuật toán thế vị giải bài toán Thuật toán thế vị nhắc lại

ở chương này sẽ được sử dụng ở các chương sau để giải bài toán vận tải theo mụctiêu thời gian và các bài toán vận tải với hai hay ba mục tiêu

Chương 2

Bài toán vận tải với hai mục tiêu

Chương này đề cập tới bài toán vận tải theo mục tiêu thời gian và bài toán vậntải với hai mục tiêu: cực tiểu chi phí lẫn thời gian vận chuyển Trình bày các thuậttoán giải và nêu các ví dụ minh họa thuật toán Nội dung của chương được xâydựng dựa trên các tài liệu tham khảo [4], [5] và [6]

2.1 Bài toán vận tải theo mục tiêu thời gian

2.1.1 Phát biểu bài toán

Trong việc lập kế hoạch vận tải, yếu tố thời gian đôi khi cũng cần được tínhđến Chẳng hạn, khi cần vận chuyển nhanh chóng một mặt hàng nào đó (hoa quả,rau tươi, thịt cá ) từ nơi sản xuất đến nơi tiêu thụ hay khi cần tiếp tế gấp lươngthực, vũ khí, đạn dược từ hậu phương ra tiền tuyến thì mục tiêu cực tiểu thờigian vận chuyển thường được đặt lên hàng đầu

Mục này xét mô hình bài toán vận tải theo mục tiêu thời gian như sau:

(P ) tX = max

i,j {tij : xij > 0} → min (2.1)

với các điều kiện

nXj=1

xij = ai, i = 1, , m, (2.2)

mXi=1

xij = bj, j = 1, , n, (2.3)

xij ≥ 0, i = 1, , m, j = 1, , n (2.4)

trong đómlà số điểm phát,nlà số điểm thu,xij là lượg hàng cần chuyển từ điểmpháti tới điểm thu j, tij là thời gian đi từ điểm phát i tới điểm thu j, ai là lượngcung của điểm phátivà bj là lượng cầu của điểm thuj.

Ta giả thiết (P) thỏa mãn điều kiện cân bằng cung cầu:

mXi=1

ai =

nXj=1

Một số tác giả nước ngoài gọi mô hình (2.1) - (2.5) là bài toán vận tải dạng

nút thắt(Bottleneck Transportation Problem - viết tắt là BTP)

Cũng như trong bài toán vận tải theo mục tiêu cước phí xét ở chương 1, hệthống số {xij}m×n thỏa mãn (2.2) - (2.4) được gọi là một phương án của (P ).Phương án đạt cực tiểu của(2.1) được gọi là một phương án tối ưu của(P ).Trong bài toán vận tải theo mục tiêu thời gian, ma trận thời gian T = [tij]m×n

được cho trước Thời gian vận chuyển của mỗi phương án X = {xij}m×n đượchiểu theo nghĩa như sau

Định nghĩa 2.1 Thời gian vận chuyểntX của phương án X là giá trị lớn nhấtcủa các số tij trên các tuyến (i, j) có vận chuyển hàng, tức xij > 0 (không phụthuộc độ lớn xij), nghĩa là thời gian của tuyến đường (từ một điểm phát tới mộtđiểm thu) dài nhất mà trên tuyến đường đó có vận chuyển hàng

Dễ dàng kiểm tra tính đúng đắn của nhận xét sau

Bổ đề 2.1 Thời gian vận chuyển tối thiểu của mọi phương ánX là sốtmin xác định bởi

tmin = max { max

2.1.2 Thuật toán chắn (Blocking Method).

Thuật toán đơn giản sau cho phép đưa bài toán vận tải theo mục tiêu thời gian

về một dãy bài toán vận tải theo mục tiêu cước phí Thuật toán bao gồm:

Bước 0 Ký hiệu t1, , tq là các giá trị khác nhau, tăng dần của các tij ∈[t1, tmax] với t1 = tmin (xem (2.6)), tq = tmax = max {tij : i = 1, , m, j =

Bước 3 Xét hai khả năng:

a) Nếu γk = 0 thì dừng quá trình giải: Xk là phương án tối ưu của bài toán(2.1) - (2.4) và thời gian vận chuyển tối ưu bằngtXk = tk

b) Trái lạiγk > 0, tăng k thànhk + 1 và quay lại thực hiện Bước 1

Nhận xét 2.1.

a) Mọi phần tử 0 trong ma trận cước phí Ck cũng là các phần tử 0 trong matrận cước phíCk0 với1 ≤ k < k0 ≤ q, nghĩa là số phần tử 0 trong các ma trậnCk

tăng dần theok Vớik = q thìCq ≡ 0(ma trận không)

b) Khi giải bài toán vận tải theo mục tiêu cước phí ở vòng lặp sau, ta có thể

dùng phương án tối ưu của bài toán ở vòng lặp trước làm phương án xuất phát, do

đó quá trình giải bài toán vận tải ở mỗi vòng lặp được nhanh hơn

Định lý 2.1 Thuật toán nêu trên dừng sau không quá q vòng lặp (mỗi vòng lặp gồm các Bước 1, 2 và 3) và phương án nhận được là tối ưu của(P )