Forms and Docs Thieu Dinh Phong Bai giang Toan AT

Forms and Docs Thieu Dinh Phong Bai giang Toan AT tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn v...

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

TS THIỀU ĐÌNH PHONG

BÀI GIẢNG TOÁN A1

Tài liệu lưu hành nội bộ

Nghệ An - 2015

MỤC LỤC

1.1 Ma trận 10

1.1.1 Khái niệm về ma trận 10

1.1.2 Các ma trận đặc biệt 10

1.1.3 Các phép toán ma trận 11

1.1.4 Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận Ma trận bậc thang 15 1.2 Định thức 17

1.2.1 Định nghĩa 17

1.2.2 Khai triển định thức 21

1.2.3 Định lí Laplace 22

1.2.4 Định thức của tích các ma trận vuông 22

1.3 Ma trận nghịch đảo 23

1.3.1 Khái niệm ma trận nghịch đảo 23

1.3.2 Các tính chất của ma trận nghịch đảo 24

1.3.3 Các phương pháp tìm ma trận nghịch đảo 25

1.4 Hạng của ma trận 27

1.4.1 Khái niệm hạng của ma trận 27

1.4.2 Các phương pháp tìm hạng của ma trận 27

2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 29 2.1 Hệ phương trình tuyến tính tổng quát 29

2.1.1 Các khái niệm cơ bản về hệ phương trình tuyến tính 29

2.1.2 Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính tổng quát 30

2.1.3 Hệ phương trình tương đương, các phép biến đổi tương đương 30

2.2 Hệ phương trình tuyến tính Cramer 31

2.2.1 Định nghĩa 31

2.2.2 Định lý Cramer 31

2.3 Giải hệ phương trình tuyến tính bằng biến đổi sơ cấp 32

2.3.1 Điều kiện có nghiệm của hệ phương trình tuyến tính 32

2.3.2 Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính 32

2.3.3 Giải và biện luận hệ phương trình tuyến tính 36

2.4 Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất 37

2.4.1 Định nghĩa 37

2.4.2 Hệ nghiệm cơ bản 37

2.4.3 Liên hệ nghiệm với hệ phương trình tuyến tính tổng quát 38 Phụ lục Một số mô hình phân tích kinh tế 39 3 KHÔNG GIAN VECTƠ HỮU HẠN CHIỀU 58 3.1 Khái niệm không gian vectơ 58

3.1.1 Định nghĩa 58

3.1.2 Một số ví dụ 59

3.1.3 Một số tính chất đơn giản của không gian vectơ 60

3.2 Cơ sở và số chiều 61

3.2.1 Tổ hợp tuyến tính 61

3.2.2 Hệ sinh 61

3.2.3 Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính 62

3.2.4 Cơ sở 64

3.2.5 Số chiều 64

3.2.6 Tọa độ của một véc tơ đối với một cơ sở 65

3.2.7 Đổi cơ sở và phép biến đổi tọa độ 65

3.3 Không gian vectơ con 66

3.3.1 Khái niệm không gian vectơ con 66

3.3.2 Giao và tổng của các không gian vectơ con 67

3.3.3 Không gian con sinh bởi một hệ véc tơ 68

4 ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 69 4.1 Ánh xạ tuyến tính 69

4.1.1 Định nghĩa 69

4.1.2 Đồng cấu, tự đồng cấu 69

4.1.3 Ví dụ về ánh xạ tuyến tính 69

4.1.4 Các tính chất của ánh xạ tuyến tính 70

4.1.5 Sự xác định của ánh xạ tuyến tính 71

4.1.6 Ảnh và hạt nhân của ánh xạ tuyến tính 72

4.2 Ma trận của ánh xạ tuyến tính 73

4.2.1 Định nghĩa 73

4.3 Giá trị riêng và vectơ riêng 74

4.3.1 Định nghĩa 74

4.3.2 Bài toán tìm giá trị riêng và vectơ riêng 75

5 DẠNG SONG TUYẾN TÍNH – DẠNG TOÀN PHƯƠNG 77 5.1 Dạng song tuyến tính 77

5.1.1 Định nghĩa 77

5.1.2 Ma trận, hạng và biểu thức tọa độ của dạng song tuyến tính 78

5.2 Dạng toàn phương 78

5.2.1 Định nghĩa 78

5.2.2 Định nghĩa 79

5.2.3 Ma trận, hạng, biểu thức tọa độ của dạng toàn phương 79

5.2.4 Dạng chính tắc của một dạng toàn phương 80

5.2.5 Phương pháp Lagrange 80

5.2.6 Dạng toàn phương xác định 83

5.2.7 Bất đẳng thức Cauchy - Schwartz 84

1 Ma trận, Định thức 94 1.1 Ma trận, các phép toán trên ma trận 94

1.2 Định thức 95

1.3 Ma trận nghịch đảo 96

1.4 Hạng của ma trận 98

2 Hệ phương trình tuyến tính 99 2.1 Hệ phương trình Cramer 99

2.2 Hệ phương trình tuyến tính tổng quát - Hệ thuần nhất 99

2.3 Giải và biện luận hệ phương trình tuyến tính 101

3 Không gian vectơ 1033.1 Không gian vectơ - Cơ sở, tọa độ và số chiều 1033.2 Ma trận chuyển cơ sở, biến đổi tọa độ 1053.3 Không gian vectơ con 107

4.1 Ánh xạ 1094.2 Ánh xạ tuyến tính 1114.3 Giá trị riêng và vectơ riêng 114

5.1 Dạng song tuyến tính 1185.2 Dạng toàn phương 119Tài liệu tham khảo 121

5

ĐỀ CƯƠNG CHI TIẾT MÔN HỌC TOÁN A1 NHÓM NGÀNH KINH TẾ

1 Thông tin về giảng viên: Các giảng viên tham gia giảng dạy: PGS.TS Lê Quốc Hán,

PGS.TS Nguyễn Thành Quang, TS Nguyễn Thị Hồng Loan, TS Đào Thị Thanh Hà, TS

Nguyễn Quốc Thơ, TS Thiều Đình Phong, TS Nguyễn Thị Ngọc Diệp

- Địa chỉ: Bộ môn Đại số - Khoa Toán - Trường Đại học Vinh

- Điện thoại cơ quan 038.3855329

2.Tên môn học: Toán A1 (Đại số tuyến tính)

3 Mã môn học: TN10014

4 Số tín chỉ: 3 (36/9/90)

5 Loại môn học: Bắt buộc, tiên quyết

- Môn học tiên quyết:

- Môn học kế tiếp: Đại số đại cương

6 Giờ tín chỉ đối với các hoạt động của môn học:

+ Nghe giảng lý thuyết: 36 tiết

+ Bài tập trên lớp: 9 tiết

+ Tự học, tự nghiên cứu: 90 tiết

7 Mục tiêu của môn học:

7.1 Kiến thức sinh viên cần nắm vững: Ma trận, định thức, hệ phương trình tuyến tính,

không gian véctơ hữu hạn chiều, ánh xạ tuyến tính, giá trị riêng, dạng toàn phương

7.2 Kỹ năng: Sinh viên thành thạo các kỹ năng tính toán trên các ma trận, tính định thức,

giải và biện luận hệ phương trình tuyến tính; chứng minh không gian con, tìm cơ sở, số chiều của không gian con; tìm toạ độ véctơ, đổi cơ sở, kiểm tra phép biến đổi tuyến tính, tìm giá trị riêng; biến đổi dạng toàn phương về dạng chính tắc, kiểm tra dạng toàn phương là xác định dương, xác định âm hay không xác định

7.3 Thái độ: Qua môn học bồi dưỡng cho sinh viên năng lực tư duy khoa học, tư duy lôgíc,

cung cấp cho họ các công cụ của toán học cao cấp để có thể vận dụng vào việc giải các bài toán kinh tế, xã hội đặt ra từ thực tế Sinh viên cũng phải thấy được môn học cung cấp cho họ các kiến thức toán học cao cấp cơ bản để tiếp tục học các môn toán khác hay các môn chuyên ngành khác

8 Tóm tắt nội dung môn học: Ma trận, định thức, hệ phương trình tuyến tính, không gian

véctơ hữu hạn chiều, ánh xạ tuyến tính, dạng toàn phương

9 Nội dung chi tiết môn học:

Chương II HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

2.1 Các khái niệm cơ bản về hệ phương trình tuyến tính

2.1.1 Các dạng biểu diễn hệ phương trình tuyến tính

2.1.2 Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính

2.1.3 Hệ tương đương và phép biến đổi tương đương

2.2 Hệ phương trình Cramer

2.2.1 Định nghĩa

2.2.2 Định lý Cramer

2.3 Giải hệ phương trình tuyến tính bằng biến đổi sơ cấp

2.4 Điều kiện có nghiệm của hệ phương trình tuyến tính Giải và biện luận hệ phương trình tuyến tính

2.5 Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

2.5.1 Điều kiện có nghiệm không tầm thường

2.5.2 Hệ nghiệm cơ bản

2.5.3 Mối liên hệ với hệ không thuần nhất

2.6 Một số mô hình tuyến tính trong phân tích kinh tế

2.6.1 Mô hình cân bằng thị trường

2.6.2 Mô hình cân bằng kinh tế vĩ mô

2.6.3 Mô hình IS-LM

2.6.4 Mô hình Input-Output của Leontief

Chương III KHÔNG GIAN VECTƠ HỮU HẠN CHIỀU

3.1 Khái niệm không gian vectơ

3.1.1 Định nghĩa không gian vectơ

3.1.2 Ví dụ

3.1.3 Các tính chất đơn giản

3.2 Cơ sở và số chiều

3.2.1 Tổ hợp tuyến tính

3.2.2 Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính

3.2.3 Cơ sở, chiều, toạ độ

3.2.4 Đổi cơ sở và phép biến đổi toạ độ

3.3 Không gian con

7

3.3.1 Định nghĩa không gian con

3.3.2 Chiều của không gian con sinh bởi một hệ vectơ

3.3.3 Không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

Chương IV ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

4.2.3 Ảnh và hạt nhân của ánh xạ tuyến tính

4.2.4 Hạng, số khuyết của ánh xạ tuyến tính

4.2.5 Ma trận của ánh xạ tuyến tính

4.3 Véctơ riêng và giá trị riêng

Chương V DẠNG TOÀN PHƯƠNG

5.2.3 Dạng chính tắc của dạng toàn phương

5.2.4 Phương pháp đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc

5.2.5 Luật quán tính Phân loại dạng toàn phương

10 Học liệu

Tài liệu chính

[1] Nguyễn Thành Quang, Lê Quốc Hán, Giáo trình Toán A1 (Đại số tuyến tính), NXB

Trường ĐH Vinh, 2013

Tài liệu tham khảo

[2] Lê Đình Thuý, Toán cao cấp cho các nhà kinh tế, Phần 1, Đại số tuyến tính, NXB

ĐH Kinh tế quốc dân, 2008

[3] Nguyễn Văn Giám, Mai Quý Năm, Nguyễn Hữu Quang, Nguyễn Sum, Ngô Sỹ Tùng;

Toán cao cấp , Tập 1, Đại số tuyến tính; NXBGD; 1998

[4] Lê Tuấn Hoa, Đại số tuyến tính qua các ví dụ và bài tập, NXB ĐHQG Hà Nội, 2005 [5] Nguyễn Hữu Việt Hưng; Đại số tuyến tính; NXB ĐHQG Hà Nội, 2001

[6] Nguyễn Đình Trí (Chủ biên); Toán học cao cấp, Tập 1, Đại số và Hình học giải tích;

NXB Giáo dục, 2003

[7] Ngô Việt Trung; Giáo trình Đại số tuyến tính; NXB ĐHQG Hà Nội, 2001

11 Hình thức tổ chức dạy học

- Số giờ tín chỉ phải thực hiện: 3

- Thời gian, địa điểm, thực hiện các hình thức dạy học

8

- Nội dung chính của hoạt động dạy học

- Yêu cầu công việc đối với sinh viên

LỊCH TRÌNH DẠY HỌC CỤ THỂ

Hìnhthức

TC dạy học

Nội dung chính Yêu cầu sinh viên chuẩn bị Thời gian

Giảng LT 1.1 Ma trận Làm bài tập trong [1] Đọc

trước Mục 1.2

Tuần 1

Giảng LT 1.2 Định thức Làm bài tập trong [1] Đọc

trước Mục 1.3, 1.4 Tuần 2 Giảng LT 1.3 Ma trận nghịch đảo

1.4 Hạng của ma trận Làm bài tập trong [1] Tuần 3 Chữa BT Bài tập Chương 1 Ôn tập lý thuyết và làm bài tập

ở nhà trước khi đến lớp Đọc trước mục 2.1, 2.2

Tuần 3

Giảng LT 2.1 Các khái niệm cơ bản về hệ

phương trình tuyến tính 2.2 Hệ phương trình Cramer

Làm bài tập trong [1] Đọc trước mục 2.3, 2.4

Tuần 4

Giảng LT 2.3 Giải hệ phương trình tuyến

tính bằng phương pháp biến đổi

sơ cấp 2.4 Điều kiện có nghiệm của hệ phương trình tuyến tính, giải và biện luận hệ phương trình tuyến tính

Làm bài tập trong [1] Đọc trước mục 2.5, 2.6 Tuần 5

Giảng LT 2.5 Hệ phương trình tuyến tính

thuần nhất 2.6 Một số mô hình tuyến tính trong phân tích kinh tế

Làm bài tập trong [1], [2] Tuần 6,7

Chữa BT Bài tập Chương 2 Ôn tập lý thuyết và làm bài tập

Tự học,

tự nghiên cứu

Tuần 12,

13 Chữa BT Bài tập Chương 4 Ôn tập lý thuyết và làm bài tập

ở nhà trước khi đến lớp Tuần 13 Giảng LT 5.1 Dạng song tuyến tính

5.2 Dạng toàn phương Làm bài tập trong [1] 14,15 Tuần Chữa BT Bài tập chương 5

Ôn tập

Làm bài tập ở nhà trước khi đến lớp

Tuần 15

12 Quy định đối với môn học và yêu cầu khác của giảng viên

Dạy chủ yếu theo tài liệu [1], [2]

Để nắm được nội dung môn học, nhất thiết sinh viên phải đọc trước nội dung các phần sẽ học trong giáo trình theo hướng dẫn của giáo viên Trên lớp giáo viên chỉ trình bày các vấn đề khái quát, trọng tâm và hướng dẫn sinh viên tự nghiên cứu Ngoài giáo trình quy định, sinh viên phải đọc thêm các tài liệu tham khảo khác Sinh viên phải làm hết tất cả các bài tập trong giáo trình chính, ngoài ra phải làm thêm các bài tập trong các tài liệu khác

13 Phương thức kiểm tra, đánh giá môn học

- Kiểm tra, đánh giá thường xuyên: Một bài kiểm tra tại lớp

- Kiểm tra, đánh giá định kỳ: Kết thúc môn học có một bài thi kết thúc học phần 120 phút

14 Cấp phê duyệt: Trường Đại học Vinh

15 Ngày phê duyệt:

• Ma trận A còn được viết đơn giản dưới dạng A = [aij]m×n.

• Hai ma trận cùng cấp A = [aij]m×n và B = [bij]m×n được gọi là bằng nhaunếu aij = bij, ∀i = 1, , m; ∀j = 1, 2, , n

• Ma trận cấp n × n (số hàng = số cột) được gọi là ma trận vuông cấp n.Các phần tử a11, a22, , ann gọi là các phần tử nằm trên đường chéo chính của

chéo chính bằng 1 và nằm ngoài đường chéo chính đều bằng 0

Ma trận tam giác: là ma trận tam giác trên hoặc ma trận tam giác dưới

Ma trận đối của ma trận A = [aij]m×n là ma trận −A = [−aij]m×n

1.1.3 Các phép toán ma trận

a Phép cộng hai ma trận cùng cấp:

Cho các ma trận cùng cấp A = [aij]m×n và B = [bij]m×n Tổng của các matrận A và B là ma trận cùng cấp C = [cij]m×n trong đó:

iii) A + O = B + O = O, trong đó O là ma trận không

iv) A + (- A) = (- A) + A = O; trong đó - A là ma trận đối của A.Phép trừ ma trận cùng cấp

Cho A, B là các ma trận cùng cấp, ta định nghĩa: A – B = A + (- B).Phép cộng nhiều ma trận

Do phép cộng ma trận cùng cấp có tính chất kết hợp cho nên ta định nghĩatổng của ba ma trận cùng cấp như sau:

A + B + C = (A + B) + C = A + (B + C)

b Phép nhân một số với một ma trận

Cho ma trận A = [aij]m×n và λ ∈ K Tích của λ ∈ K với A là ma trận

B = [bij]m×n với bij = λaij, ∀i = 1, , m; j = 1, , n Như vậy:

B = λA = λ[aij]m×n = [λaij]m×n

Từ các định nghĩa phép cộng các ma trận và phép nhân một số với ma trận,

ta kiểm chứng được các tính chất sau:

Tính chất của phép nhân một số với một ma trận

Chú ý: Để thực hiện phép nhân ma trận với ma trận theo định nghĩa, ta cầnlưu ý mấy điểm sau

+) Tích AB có nghĩa khi và chỉ khi số cột của ma trận đứng trước (ma trận

A) bằng số hàng của ma trận đứng sau (ma trận B)

+) Cấp của ma trận AB (khi có nghĩa): Cấp của ma trận AB có số hàngbằng số hàng của ma trận đứng trước và số cột bằng số cột của ma trận đứngsau

(A = [aij]m×n; B = [bij]m×n ⇒ C = A.B = [cij]m×p)

+) Các phần tử của AB được tính theo quy tắc: Phần tử cij thuộc hàng i

và cột j của ma trận AB là tích vô hướng của hàng thứ i của ma trận đứngtrước và cột j của ma trận đứng sau

Giải Trong trường hợp này tích AB (hay BA) có nghĩa vì số cột của A bằng

số hàng của B ( Số cột của B bằng số dòng của A) Ta có:

Để tính các phần tử thuộc dòng thứ nhất của AB, ta lấy dòng thứ nhất của A

nhân với lần lượt các cột của B theo quy tắc vô hướng

c11 = 1.5 + (−2) 9 + 1.7 = −6; c12 = 1.8 + (−2) 5 + 1 (−2) = −4

Để tính các phần tử thuộc dòng thứ hai của AB ta lấy dòng thứ hai của A

nhân với lần lượt các cột của B

Phép luỹ thừa ma trận vuông

Cho A là ma trận vuông cấp n và m là số tự nhiên tuỳ ý Giả sử k = 0, khi

đó quy ước A0 = In Giả sử k > 0, khi đó định nghĩa:

iii) Nếu A là ma trận tuỳ ý, λ ∈ K thì (λA)T = λAT.

Chứng minh Ta chỉ chứng minh tính chất i) Giả sửA = [aij]vàB = [bjk] , AT =

1.1.4 Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận Ma trận bậc thang

a Các phép biến đổi sơ cấp

Cho ma trận A trên K Các phép biến đổi sơ cấp các hàng của ma trận A

là các phép biến đổi sau:

1) Đổi vị trí hai hàng của ma trận A

2) Nhân một hàng của ma trận A với một số λ 6= 0 nghĩa là tất cả các phần

tử của hàng đó được nhân với số λ

3) Cộng vào hàng thứ i với bội λ của hàng thứ j của A.

Tương tự ta có các phép biến đổi sơ cấp trên các cột của ma trận A

Nếu ma trận B nhận được từ ma trận A nhờ các phép biến đổi sơ cấp cáchàng (cột) của A thì ta nói A tương đương với B, kí hiệu A ≈ B

b Ma trận bậc thang

Cho ma trận A = [aij] cấp m × n Hàng thứ i của A gọi là hàng không nếutất cả các phần tử của hàng đó đều bằng 0 tức là ai j = 0, j = 1, 2, , n

Phần tử ai j được gọi là phần tử đầu tiên khác 0 của hàng thứ i nếu ai k = 0

với k = 1, 2, , j − 1và ai k 6= 0 Các khái niệm cột không và phần tử đầu tiênkhác 0 của cột được định nghĩa tương tự

Ma trận A gọi là ma trận bậc thang nếu nó có các tính chất sau:

i) Nếu hàng thứ i của A bằng không thì hàng thứ i + 1 của A cũng bằngkhông

ii) Nếu các phần tử đầu tiên khác không của hai hàng thứ ivà i + 1 của A

Định lí 1.1.6 (Định lí biến đổi ma trận về dạng bậc thang) Mọi ma trận đều

có thể đưa về dạng bậc thang bằng các phép biến đổi sơ cấp hàng Nói cáchkhác, mọi ma trận đều tương đương với một ma trận dạng bậc thang

Chứng minh Giả sử A là ma trận cỡ m × n Ta chứng minh quy nạp theo m.Nếu m = 1 thì A là ma trận bậc thang

Giả sử m > 1 và định lí đúng với mọi ma trận có (m − 1) hàng Nếu A là

ma trận không thì nó là ma trận dạng bậc thang Giả thiết A khác ma trậnkhông Giả sử ji là cột đầu tiên của A khác không Nhờ phép đổi chỗ các hàng

Định thức cấp một: Nếu A = [a] thì det(A) = a.

Định thức cấp hai: Cho ma trận vuông cấp hai

a11 a12

a21 a22

= a11a22 − a21a12

= a11det(M11) − a21det(M21)

Ví dụ 1.2.1 Định thức D =

1 2

3 4

= 5

8 2

1 5

− 1

8 −1

...

Quy tắc 1:

(I) (II)

Sơ đồ (I) cho quy tắc tính số hạng mang dấu cộng, sơ đồ (II) cho... a31det(M31)

Công thức gọi công thức khai triển định thức cấp ba theo cột 1,

2 −5