Với mọi số nguyên n, cho An và Bn là các tập khác trống sao cho An ⊂ Bn.
Trang 1HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI MÔN GIẢI TÍCH CƠ SỞ
Học kỳ I - 2016-2017
THỜI GIAN : 90 PHÚT
(Thí sinh được tham khảo mọi tài liệu mang theo )
Sinh viên chọn 4 câu trong 5 câu hỏi sau.
1 Với mọi số nguyên n, cho An và Bn là các tập khác trống sao cho
An ⊂ Bn Hỏi ∪∞n=1An ⊂ ∪∞n=1Bn đúng hay sai?
∀ n ∈ IN : ”x ∈ An” =⇒ ”x ∈ Bn” (1)
? ”y ∈ ∪∞m=1Am” =⇒ ”y ∈ ∪∞k=1Bk (2)
? ”y ∈ {u : ∃k ∈ IN , u ∈ Ak}” =⇒ ”y ∈ {w : ∃m ∈ IN , w ∈ Am}” (20)
Có bốn yếu tố :
(a) x ∈ An,
(b) x ∈ Bn,
(c) y ∈ {u : ∃ k ∈ IN , u ∈ Ak},
(d) y ∈ {w : ∃ m ∈ IN , w ∈ Bm},
Liên kết (c) với (a) và dùng (1), ta có yếu tố mới : (f) "∃k ∈ IN , y ∈ Bk" Liên kết "Bk" trong (f) với "{w : ∃ m ∈ IN , w ∈ Bm}" trong (2), ta có
"Bk ⊂ {w : ∃ m ∈ IN , w ∈ Bm}" trong (2’) Vậy y ∈ {w : ∃ m ∈ IN , w ∈
Bm}
2.(2, 5 điểm) Cho {xn} là một dãy hội tụ về 2 trong IR Hỏi có hay không một số nguyên N sao cho 1 < xn với mọi n ≥ N ?
∀ > 0, ∃ N () : |xn− 2| < ∀ n ≥ N () (1)
?∃ N : 1 < xm ∀ m ≥ N (2) Viết cùng dạng
∀ > 0, ∃ N () : − < xn − 2 < ∀ n ≥ N () (10)
∀ > 0, ∃ N () : 2 − < xn < 2 + ∀ n ≥ N () (10)
Làm "2 − " và "1" giống nhau: chọn = 1
3.(2, 5 điểm) Cho k ∈ {1, · · · , N } và {xk,n}n là các dãy hội tụ về ak trong IR Đặt yn = x1,n+ · · · + xN,n và b = a1+ · · · + aN Hỏi {yn} có hội tụ
về b hay không ?
∀ 1 > 0, ∃ N (1) : |x1,n− a1| < ∀ n ≥ N (1) (1)
1
Trang 2· · ·
∀ N > 0, ∃ N (1) : |x1,N − aN| < ∀ n ≥ N (N) (N )
∀ 0 > 0, ?∃ N (0) : |ym − b| < 0 ∀ m ≥ N (0) (N + 1)
Viết cùng dạng
|ym − b| ≤ |x1,m− a1| + · · · |xN,m− aN| < 1 + · · · + N
∀ m ≥ max{N (1), · · · , N (N)}
4.(2, 5 điểm) Cho a là một số thực và {xn} là một dãy số thực Giả sử mọi dãy con {xnm} của {xn} đều có một dãy con {xnmk} hội tụ về a Hỏi {xn} có hội tụ về a?
Kết luận mạnh hơn giả thiết: dùng phản chứng với giả thiết phản chứng;
∃ > 0, ∀ N ∈ IN , ∃ n > N : |xm − a| ≥ (1)
Để liên kết (1) với giả thiết bài toán, ta phải thiết lập một dãy con của {xn}: tìm một tập con vô hạn J của IN Chọn
J = {m ∈ IN : |xm− a| ≥ }
Đặt {xnm} là một dãy con của {xn} sao cho nm ∈ J với mọi m ∈ IN :
|xnm − a| ≥ for every m ∈ IN
Theo giả thiết có một dãy con {xnmk} hội tụ về a :
∀ 0 > 0, ∃ N (0) : |xnmk − a| < 0 ∀ k ≥ N (0) Chọn 0 =
5.(2, 5 điểm) Với mọi số nguyên n, cho fn là một hàm số thực trên [0, 1] Phủ định mệnh đề sau: "Với mọi thực dương , có một thực dương δ() sao cho |fm(x) − fm(y)| ≤ với mọi số nguyên dương m, với mọi x, y trong [0, 1], |x − y| < δ()"
Viết mệnh đề ra dạng cơ bản
∀ > 0, ∃ δ() : |fm(x) − fm(y)| ≤
∀ m ∈ IN , ∀ (x, y) ∈ {(u, v) ∈ [0, 1] : |u − v| < δ()}
2