Do đó AABM là tam giác đều Cách 2: Giả sử AABM không đều... Cách 6: Trên nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng A B CD có chứa điểm A, dựng tam giác đều DEC.. Do đó AAMB là tam giác đều..
Trang 1Lời giải
ADMC cân tại A (CDM = DCM = 15°) = DM = MC va DMC = 150°
BCM = BCD - DCM = 75°
Xét AADM va ABCM cé:AD = BC (ABCD là hình vuông), ADM = BCM (=75°); DM = MC
Do dé AADM = ABCM (c.g.c) > AM = BM = AABM can tai M
Như vậy để chứng minh tam giác ABM đều, chỉ cần chứng minh thêm AM = AB hoặc BM = AM hoặc một trong các góc D en Cc của tam gidc ABM bang 60° Dat AB = BC = CD = DA=a
Cách, 1: Giả sử AABM không déu suy ra AM > a hay AM <a
Trường hợp 1 : AM = BM >a
AABM có AB < AM = BM = ADB = ACB = 2 sảAB < MAB = ABM > AMB < 60°
AAMB cé AD < AM = AMD < ADM = 75°
ABMC có BC < BM = BMC < BCM = 75°
Tu dé suy ra: AMB + BMC + CMD + DMA < 60° + 7ð? ¿ 150 + 7õ2 = 360° (vô lí)
Trường hợp 2 : AM = BM < a
AABM có AB > AM = BM => AMB > MAB = ABM = AMB > 600
AAMD có AD > AM = AMD > ADM = 75°
ABMC có BC > BM = BMC > BCM = 75°
Từ d6 suy ra: AMB + BMC + CMD +DMA > 60° + 75° + 150° + 75° = 360° (vô lí)
Điều giả sử trên sai Do đó AABM là tam giác đều
Cách 2: Giả sử AABM không đều Suy ra AMB > 60° hay AMB < 60°
Trường hợp 1: AMB > 60°= MAB = ABM < 60°
Ta có: AMB + BMC + GMD + DMA = 360°
= AMD = BMC = = (360° - CMD — AMB) = AMD = BMC < 75°
AAMB co ABM < AMB > AM<AB=a_ (1)
AAMD cé6 ADM > AMD = AM> AD =a (2)
Từ (1) và (2) suy ra điều vô lí !
Trường hợp 2: AMB < 60° = MAB >600
= 3)
Ta có AMD = BMC = = (360° - CMD — AMB) > 5 (360° - 150° — 60°) = 75°
AAMB c6 ABM > AMB > AM>AB=.a @)
AAMD có ADM < AMD > AM<AD =a (4) A B
Từ (3) và (4) suy ra điều vô lý! Vậy điều giả sử trên sai
Do đó AABM là tam giác đều
Cách 8
Trên mửa mặt phẳng bờ AB chứa dựng tam giác đều ABM:
AADM có: AM' = AD (=AB) và DAM' = 90°— M'AB
Trang 2
AADM' cn tai A=> ADM’ = AMD = 5 (180° _ DAM') = 75°
= MDC’ = 15° => M' thuoc tia DM
Chứng minh tương tự ta cũng có M'CD = 15°=> M’ thuéc tia CM
Từ đó có M' là giao điểm của hai tia DM và CM > M' =M = AABM đều
Ké AH | DM tai H Goi Mr là điểm đối xứng của D
qua H, suy ra ADAM’ can tai A
ADAM’ cén tai A cé ADM’ = 75°=> DAM’ = 30° ;
-> WAB = 600 Tam giác M'AB có:M'A = AB (=AD) va M’AB = 60°
Suy ra AABM' đều => ABM’ = 60° va BM’ = a
AM'BO cân tại B (do BM' = BC = a) va M’BC = 90°- ABM’ = 30° D Cc
Suy ra BCM’ = BMC’ = 5 (180° — 30°) = 75° suy ra M’CD = 15° = M' thu6c tia CM
M
Vay M’ la giao diém cia hai tia DM va CM suy ra M = M= AAMB đều
Cách õ
Vẽ đường tròn (A, a) cắt DM ở M' (M' z D)
Ta có DC L AD suy ra DC là tiếp tuyến của đường tròn (A)
= DAM' =2MDC = 30° M’AB = 60°
=> AABM’ déu (AM ' = AB =a va M’AB = 60°)
— BM’ = a= M' « (B, a) va M’BC = 90° ABM’ = 30° /M
CD L BG suy ra CD là tiếp tuyến (B, a) M
A B
Vậy M' là giao diém cia hai tia DM va CM suy ra M' =M = AAMB đều
Cách 6: Trên nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng A B
CD có chứa điểm A, dựng tam giác đều DEC
Ta có: ED = EC (ADEC déu); MD = MC (ADMC cân tai M)
Suy ra đường thẳng đi qua E và M là đường trung trực
đoạn thẳng CD
= EM 1 DC ma DC 1 AD>EM/ AD D Cc
= Tứ giác ADME là hình thang AADE cé AD = DE (=DC)
> AADE can = DAE = ABD = 5180" - ADE) A "B
mà ẤDE = 90°— EDC = 90° - 60° = 30°
= DAE = 5 (180° — 30°) = 75°
Ta cũng có ADM = 75° => ADM = DAE M
Do đó ADME là hình thang cân => AM = DE =a= AB
Do đó AAMB là tam giác đều
Cách 7: Trên nửa mặt phẳng có bờ là dường thẳng
CD không chứa điểm A, dựng tam giác đều DEC
Ta có: ADME = ACME (c.c.c) (do DM = MC, DE = EC, ME chung)
Trang 3
= DME = CME = 5 DMC = 75°
ADEM cé6 MDE = MDC + CDE = 15° + 60° = 75°
=> MDE = DME = ADEM can tai E > DE = ME=a
Mặt khác AADM = AEDM (c.g.c)
(do AD = DE = a,ADM = MDE = 75°, DM chung)
=> AM = ME = a = AB Do vay AABM là tam giác đều
Cách 8: Trên nửa mặt phẳng bờ AD có chứa B,
dựng tam giác đều AND
Ta có ADNC cân tại D (DN = DC = AD)
va NDC =90°- AND = 90° — 60°= 30°
=> DCN = DNG = 5 (180° - NDC) = 5 (180° ~ 309) = 75°
Suy ra NCB = 90°— NCD = 90° — 75° = 15° Chứng minh tương tự có NBC = 15°
Xét ABNC và ADMC có: SAML „ ÂMAI _ gq _ pc a), NCB = MCD (<15%) Sexy BLBN
Do d6 ABNC = ADMC (g.c.g) = MC = NC
Ta có: ABMC = AADNC (c.g.c) (do BC = DC, MCB = NCD = 75°, MC = NC)
=> BM = DN = a Do vay AABM là tam giác đều
Cách 9: Trên nửa mặt phẳng bờ BD có chứa C, dựng tam giác đều BND
Ta c6 ABCN = ADCN (c.c.c) (do BC = CD, BN = DN, CN (chung))
= BNC = DNC = = BND = = 60° = 30° A B
Ta lại có: CDN = BDN - BDC = 60°- 45° = 15°
=> CDN = DCM (= 15°) > MC // DN
= MCND là hình thang
Do MDN = MDC + GDN = 15° + 15° = 30° =
Do đó MCND là hình thang cân = MD = CN D Cc
(do BD = BN, BDM = BNC = 15°, DM = CN) > BM=DC =a
Vậy AABM là tam giác đều
Cách 10: Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa C vẽ F N E
Ta c6: AAFN can tai A (AN = AF = a)
FAN = FAB - NAB = 90° - 60° = 30°
Tuong tu cé NEF = 15°
AFNE = ADMC (g.c.g)
(Vi FNE = MDC, EF = DC (<a), NEF = MCD) > FN= DM
Xét AFAN va DAM cé: FA= DM, AFN = ADM (= 75°),
FN = DM Do dé AFAN = ADAM(c.g.c) > AM = AN =a
Trang 4
Ngoài ra chúng ta còn tìm được một số cách ‘
chứng minh tương tự nữa như sau:
đường thẳng BC dựng hình vuông BCEF và M tam giác đều BCN hoặc tam giác đều BNE
hoặc tam giác đều CEN (Xem hình vẽ) D Cc E
Cách 11: Trên nửa mặt phẳng bờ DM có chứa A, dựng tam giác déu DMI
Ta có: ADI = ÃDC - IDM - MDE = 90° ~ 600 ~ 189 = 189 A B
Xét AADI va ACDM cé:
AD = DC, ADI = CDM, DI = DM (ADMI déu)
Do đó AADI = ACDM (c.g.c) > AID = DMC = 150°
Do dé: AIM = 360°-— AID — DIM = 360° — 150° — 60° =150°
Suy ra AAID = AAIM (c.g.c)
(Do ID = IM, AID = AIM = 150°, AT 1a canh chung)
= AM = AD = a Ti đó có AABM đều
Cách 12: Trên nửa mặt phẳng bờ DM có chứa A dựng tam giác đều DMI
Tacé: IMC = 360°- DMI - DMC = 360°- 60°- 150°= 150°, B
AIMC = ADMC (c.g.c)
(IM = DM, IMC = DMC, MC (chung)) > IC = DC =a
(do AD = CD, ADM = IDC (= 75°), DM = DI)
Suy ra AM = CI = a Từ đó có AABM đều
dung hinh vuéng DMEF
Xét AADF và ACDM có: AD = DC, ADF = CDM (=15°), DF = DM
Do đó AADF = ACDM (c.g.c) = AF = MC = DM = EF
Và AFE = AFD - DFE= DMC - DFE = 150 - 902 = 609
Suy ra AAEF đều (do AF = FE và AFE = 609) mỹ
=> AEM = QEF + FEM = 60° + 90° = 150°
(do AE = AF, AEM = AEF + AFD = 150°, EM = FD) D
Trang 5© Cách 14: Trên nửa mặt phẳng bờ DM có chứa C dựng hình vuông DMEF l
Ta có : CME = DMC = DME = 150° - 90° = 60° A B
= ACME là tam giác đều (MC = ME (= MD), CME = 60°)
=> CE = CM va MEC = 60 = FEC = FEM + MEC = 150°
Ta có: AFCE = ADCM (c.g.c)
(do FE = DM, FEC = DMC = 150°, EC =CM)>FC=DC=a a
Ta có : AADM = ACDF (c.g.c)
Suy ra AM = CF = a Do đó AABM là tam giác đều Ặ
Cách 1ã: Gọi E là giao điểm của tia DM và cạnh BC by
F là điểm đối xứng của E qua C; H là chân đường vuông góc hạ từ F dén DE
Ta có:
ADEF cân tại D (DC vừa là đường cao, vừa là đường Sane tuyén)
AMEC can tai M(MEC = 90°- MDC = 75° = MCE)
=> ME = MC = MD
ADHF 1a nita tam gidc déu (DHF = 90° va HDF = 30°)
=> HF = [DF = [DE = ME = MC H
BC _ ME
= BMC = MCE = 75°= ABMC cân tại B => BM = BC =a A B Vay AABM là tam giác đều
Cách 16: Dựng các điểm PB, F, H như cách 15
Vẽ AK L DM tại K Ta có: AADK ADEC (g.g)
(do AKD = DCE = 90°, ADE = DEC =i"
AD _ DE -› AD.EC = DC.EC = 2 HE DE = = DE 2
> DK ~ EC D kẽ: C
Tu d6 suy ra DK.DE = = DE? > DK = 2 DE = = DM = DK = KM
m
= DC.EC = ME.MC = BC.EC = ME.MC >
Do đó ADAM cân tại A (AK vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến)
= AM = AD = a Vậy AABM là tam giác đều
Cách 17: Gọi B là giao điểm của tia DM và BC A B
Vé EI | BD tai I Dat MD = MC = ME =x
Ta cé: DIE = 90°, IDE = BDC — EDC = 45° — 15° = 30° I
= IB = 4DE=x;DI= “DE = 8x
ABIE là tam giác vuông cân tại I (do BIE = 909, IBE = 45°)
= BI = IE =x, BE = x2.IE = v2x
Trang 6
+ ABDE cé: BM’ = —(2BD? + 2BE? — DE”) (ban doc tự chứng minh)
4
~I2BD? + 2(V2x )?— (2x)?] = -(2BD? +4x? — 4x2) = = BD" ” „(42a ?
Từ đó suy ra BM = a Vay AABM là tam giác đều
ø Cách 18: Từ cách 17 có: BD = DI + IB = JV3.x+x=(J3 + 1)x VI
Mà BD= /2a=> 2.a=(V3 +1)x
Ta c6: ADCE vuéng tai C > EC? = DE?.DC? = (2x)? — a?
x
2
= 4#” = (2+ v3)x? «(9 — vã »Ẻ= 2/8 - 1) x? = EC = 5 (8 — 1)x
—— = —— va MEC = BOM =7
Do d6 AMEC ~ ABCM = BCM = BMC = 75° => ABCM cân tại B
Suy ra BM = BC = a Vay AABM la tam giác đều
e Cach 19: Gọi E là giao điểm cia DM va BC _
_— Trên nửa mặt phẳng bờ DE có chứa M, dựng tam giác DIE vuông cân tại I
Ngoài ra: BEI = 180°- IED — DEC = 180° — 45° — 75° = 60° V2.x Suy ra ABEI là tam giác đều (BE = IE = /2.x va BEI = 60°)
= IBE = 60° va IB = BE Tam giác DIE vuông tai I cé IM là đường trung tuyến E
=> IM & = DE = ME
Ta có: ABIM = "¬ (c.c.c) (do BI = BE, MI = ME, BM chung)
= IBM = EBM = : IBE = 5-60" = 30° Suy ra ABM = 90°— MBE = 90° — 30° = 60°
Do vậy AABM là tam giác đều
ø©Ồ Cách 20: Trên cạnh AB lấy điểm K sao cho BK = BE
Từ đó suy ra AK = BC = 1 - BE Ta có AADK = ACDE (c.g.c) (do AD = CD = a, KAD = ECD = 90°, AK = CE) AK B
=> DK = DE, ADK = CDE = 15°
=> KDE = 90°- ADK — GDE = 90° ~ 15° - 15° = 60°
Do đó AKDE là tam giác đều
Mà KM là đường trung tuyến ADKE nên EKM là là đường cao
Do đó tứ giác AI ADMK nội tiếp được (KAD = KMD = 90°)
= KAM = KMD = 60° (hai góc nội tiếp cùng chắn cung KM) D = Cc AABM can tai M cé BAM = 60° suy ra AABM là tam giác đều
Tiếp tục tìm kiếm chúng tôi tin rằng chúng ta sẽ còn có nhiều cách giải khác nữa
(Tạp chí thế giới trong ta, số 87, 88, tháng 5, 6 năm 2009)
E