BỒI DƯỠNG TƯ DUY GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH THÔNG QUA CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC

Trong giai đoạn hiện nay, việc cấp bách để tránh đất nước có nguy cơ tụt hậu về kinh tế, khoa học kỹ thuật là phải nâng cao chất lượng giáo dục, thay đổi căn bản phương pháp dạy học.Học sinh phải phát huy tính tích cực, tự giác chủ động tư duy sáng tạo, bồi dưỡng phương pháp tự học học sinh. Bên cạnh đó, hàm số lượng giác và phương trình lương giác là khái niệm khó, trừu tượng đối với học sinh THPT, phân phối thời gian giảng dạy và học tập chiếm thời gian rất ít vì vậy để giải các bài tập lượng giác đối với nhiều học sinh là khá khó khăn. Vì vậy để nâng cao chất lượng dạy và học của học sinh đối với môn toán, giúp các em thấy được các mối liên quan giữa các phần được học trong bộ môn toán với nhau tôi đã tổng hợp , phân loại một số bài toán đại số có thể giải bằng các kiến thức lượng giác nhằm giúp các em có cách nhìn mới , phướng pháp mới để giải một số bài tập đại số. Mặt khác nhằm giúp các em ôn luyện các kiến thức đã học ở chương hàm số và phương trình lượng giác

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG PHỔ THÔNG TRUNG HỌC CHUYÊN VĨNH PHÚC

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

BỒI DƯỠNG TƯ DUY GIẢI TOÁN

CHO HỌC SINH THÔNG QUA

CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC

Người thực hiện : Đào Chí Thanh

Tài liệu tham khảo 27

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài:

Trong giai đoạn hiện nay, việc cấp bách để tránh đất nước có nguy cơ tụt hậu

về kinh tế, khoa học kỹ thuật là phải nâng cao chất lượng giáo dục, thay đổi căn bản phương pháp dạy học.Học sinh phải phát huy tính tích cực, tự giác chủ động tư duy sáng tạo, bồi dưỡng phương pháp tự học học sinh

Bên cạnh đó, hàm số lượng giác và phương trình lương giác là khái niệm khó, trừu tượng đối với học sinh THPT, phân phối thời gian giảng dạy và học tập chiếm thời gian rất ít vì vậy để giải các bài tập lượng giác đối với nhiều học sinh là khá khó khăn

Vì vậy để nâng cao chất lượng dạy và học của học sinh đối với môn toán, giúp các em thấy được các mối liên quan giữa các phần được học trong bộ môn toán với nhau tôi đã tổng hợp , phân loại một số bài toán đại số có thể giải bằng các kiến thức lượng giác nhằm giúp các em có cách nhìn mới , phướng pháp mới để giải một số bài tập đại số Mặt khác nhằm giúp các em ôn luyện các kiến thức đã học ở chương hàm số và phương trình lượng giác

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích của bản sáng kiến kinh nghiệm này nghiên cứu một số bài toán đại

số được giải bằng phương pháp khác nhằm góp phần rèn luyện yếu tố tư duy sáng tạo cho học sinh

3 Giả thuyết khoa học

Sử dụng các kiến thức lượng giác để giải một số bài tập đại số nhằm bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh , góp phần đổi mới phương pháp dạy học trong giai đoạn hiện nay và nâng cao chất lượng dạy học toán ở trường phổ thông trung học

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Xây dựng và khai thác hệ thống bài tập đại số phù hợp với sự phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh

5 Phương pháp nghiên cứu

- Dự giờ, quan sát việc dạy học của giáo viên và việc học của học sinh trong quá trình khai thác các bài tập sách giáo khoa, các bài tập nâng cao

- Tiến hành thực nghiệm sư phạm với lớp học thực nghiệm và lớp học đối chứng trên cùng một lớp đối tượng

SỬ DỤNG LƯỢNG GIÁC ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẠI SỐ

Dạng 1: Một số bài tập đại số sử dụng hệ thức lượng cơ bản

Ta đã biết một số hệ thức lượng cơ bản học sinh đã dược học từ lớp 9, song vận dụng các kiến thức này còn hạn chế Để thấy được vai trò của các hệ thức cơ

bản của lương giác trong toán học tôi đã phân loại ra một số bài tập sau

Sau đây là một số bài tập minh họa

Bài 1 :

Cho a 2 + b 2 = c 2 +d 2 = 1 Chúng minh rằng : acbd 1

Bài giải :

Do a 2 + b 2 = 1 nên đặt sin  = a; cos  = b;

Do c2 + d 2 = 1 nên đặt sin = c; cos  = d;

Thay vào ac + bd thì ta có sin  sin +cos  cos  = cos(  -  )

Lại có cosx 1 nên ta có acbd 1

Bài 2 : Cho x;y thỏa mãn  2  2 

x x  y y   (1).Tính x + y

Bài giải

Từ (1) chia hai vế cho 3 ta có

13

2 2

1 2 12 12 4 2 1 2 tan2 cot2 4(tanacot )a  t an a cot a   tan acot a2 a a

Ta thấy (2) đúng theo bất đẳng thức Cauchy

Bài 4: Cho 0 < x;y;z < 1 thỏa mãn : xyz = (1 – x )(1 – y )(1 – z ) (1)

2

(1 tan ) 4(1 tan cot ) a b (1 cot cot ) a b   b 

Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:

1 tan a cotb (1 tan a)(1 cot ) ; 1 cot b  a cotb (1 cot a)(1 cot ) b

Điều phải chứng minh tương đương :

(1 tan )(1 cot )(1 cot ) (1 tan ) 1 cot 1 cot (1 cot )

Bài7: Cho 1  a  3 Chứng minh rằng : S  4 a3  24 a2  45 a  26  1

Bài giải : Ta có : -1  a – 2  1 Nên ta đặt : a – 2 = cos x (0  x   )

Thay vào biều thức S ta có

4(2 cos ) 24(2 cos ) 45(2 cos ) 26 cos 3 1

Dạng 2 : Sử dụng các công thức cộng cung

Một số bài toán sử dụng các công thức cộng cung và các công thức biến đổi khác

Ta nêu lại các công thức đã học sau :

1 Công thức cộng - trừ:

1/ sin a  b sin a cos b  sin b cos a

2/ sin a  b sin a cos b  sin b cos a

3/ cos a  b cos a.cos b  sin a sin b

4/ cos a  b cos a cos b  sin a sin b

sin 2a  2 sin a.cos a  sin a  cos a    1 1 sin a  cos a

2/ cos 2a  cos a2  sin a2  2 cos a 12    1 2 sin a2

2 cot ga





3 Công thức góc nhân ba:

1/ sin 3a  3 sin a  4 sin a3 2/ cos3a  4 cos a3  3 cos a

3/

3 2

cot g a 3 cot ga cot g3a

2



1 t cos x

2t





7 Công thức biến đổi tích thành tổng:

1/ cos a cos b 1 cos a b cos a b

Bài giải :Từ giả thiết x+ y + z = xyz và biểu thức

3 2

    thay vao giả thiết ta có

tana + tan b + tan c =tan a.tan b.tan c

Theo kết quả đã biết thì a + b + c = k  (k nguyên)

sin 2( ) 1

Bài3: Cho a,b > 0 Chứng minh rằng :

Dạng 3 Sử dụng các kết quả đã biết của tam giác lượng:

Một số bài toán sử dụng các kết quả của tam giác lượng :

Ta có một số kết quả sau

Kết quả 1 : Với a;b;c là ba số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca = 1 thì tồn tại

∆ ABC có các góc thỏa mãn a = tan

Kết quả 2:Với a;b;c là ba số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca = 1;

abc +a+b +c < 2 Khi đó thì tồn tại ∆ ABC nhọn có các góc thỏa mãn

Kết quả 4: Với a;b;c là ba số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca = abc thì tồn tại ∆

Kết quả 5 : Với a;b;c là ba số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca = abc;

1 +ab+bc +ca < 2abc Khi đó thì tồn tại ∆ ABC nhọn có các góc thỏa mãn

(C/m tương tự như kết quả 4)

đpcm.Từ : sin2A + sin2B + sin2C = 4sinA.sinB.sinC và kết quả 6 ta có

Bài2: Với a;b;c là ba số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca = 1

Từ giả thiết xy +yz + zx = 1 ;x, y, z > 0 ta thấy biểu thức trên tương tự như

đẳng thức trong ∆ ABC : tan tan tan tan tan tan 1

Bài giải : Đặt x = tanA; y = tanB; z = tan C từ xyz = x+ y+ z ta có

tanA + tanB + tan C = tanA.tanB tan C nên A + B + C = 

Thay vào bất đẳng thức ta có :

3 3sin sin sin

Vậy sin sin sin 3 3

nên VT = cosAcosBcosC

VP = sin sin sin

đẳng thức dễ (C/m dựa vào (*)) Nên ta có đpcm

Bài 7: Với a;b;c là ba số thực dương thỏa mãn

Với a;b;c là ba số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca = 1; abc +a+b +c < 2

Khi đó thì tồn tại ∆ ABC nhọn có các góc thỏa mãn a = tan

21

b b

21

c c



Vậy đpcm tương đương với : tanA + tanB + tan C 3 3 Đây là BĐT cơ bản

Dạng 4 :Giải phương trình, hệ phương trình sử dụng lượng giác

Một số phương trình, bất phương trình trong phân môn đại số ngoài cách giải đại số thông thường còn có cách giải lượng giác, mà nhờ nó bài toán được giải nhanh gọn hơn Sau đây là một số ví dụ

Bài 1: Giải phương trình sau :

cos 3 cos

5 2

2 1 2

t

x x t

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1; x = ½

Bài3 : Giải hệ sau :

2 2

1

: 1

1 3

6 2

;

2 2 3

là nghiệm của hệ phương trình

Bài4 : Giải hệ phương trình :

 khi đó từ hệ ta có phương trình sau:

sin cos 1 2 sin 2  6 sin cos 2sin 2 sin 2 sin 2 cos 6

13 2

Theo ĐK bài toán ta có 7 ;31 ;55 ;11 ;35 ;59

2 1 3

1 3

y x

y

x x y

      Theo điều kiện ta có k  0;k   1;k   2

Vậy nghiệm của hệ :

0; 0 ; tan 2 ; tan ; tan 2 ; tan ; tan4 ; tan2 tan 4 ; tan 2

1 / 8 (2 1)(8 8 1) 1

1 2

3

x x x

12 1

1 2 1

2 1

PHẦN II - KẾT LUẬN VÀ Ý KIẾN ĐỀ XUẤT 1.Kết luận:

Qua thời gian nghiên cứu sáng kiến và vận dụng sáng kiến vào giảng dạy tôi rút

ra được một số kết quả sau:

Đã hình thành phương pháp tư duy,suy luận toán học cho học sinh THPH.Bên cạnh đó sáng kiến này cũng giúp cho giáo viên, học sinh luyện tập kỹ năng giải các bài toán đại số và các phép biến đổi lượng giác, thúc đẩy quá trình giảng dạy và học tập môn Toán được tốt hơn

 Giáo viên:

Tạo ra tâm thế hứng thú, sẵn sàng lĩnh hội tri thức môn học để thúc đẩy tính tích cực tư duy của học sinh, khắc phục tâm thế ngại, sợ khi tiếp cận nội dung môn học Nếu có nhiều hình thức tổ chức dạy học kết hợp môn học sẽ trở lên hấp dẫn và người học thấy được ý nghĩa của môn học

Về phương pháp dạy học, cần chú ý hơn đến phương pháp lĩnh hội tri của HS, giúp các em có khả năng tiếp thu sáng tạo và vận dụng linh hoạt tri thức trong tình huống đa dạng

Rèn luyện cho học sinh thói quen, tính kỉ luật trong việc thực hiện các kĩ năng giải toán thông qua việc luyện tập; nhằm khắc phục tính chủ quan, hình thành tính độc lập, tính tự giác ở người học, thông qua đó hình thành và phát triển nhân cách của các em

Phải thường xuyên học hỏi trau rồi chuyên môn để tìm ra phương pháp dạy học phù hợp

Phải nhiệt tình, gương mẫu quan tâm tới học sinh, giúp đỡ các em để các em không cảm thấy áp lực trong học tập

Luôn tạo ra tình huống có vấn đề, kích thích hứng thú tìm tòi học tập ở học sinh Cho học sinh thấy ứng dụng của lý thuyết vào thực hành

Đặt ra câu hỏi gợi mở phù hợp với đối tượng học sinh

 Học sinh:

Khả năng tiếp thu kiến thức mới tốt hơn khi biết phân tích một bài toán Các

em có thể vận dụng các qui trình hay các phương pháp giải các ví dụ vào các bài tập cụ thể.Các em đã biết huy động các kiến thức cơ bản, các tri thức liên quan

để giải các bài tập toán,biết lựa chọn hướng giải bài tập phù hợp.Trình bày lời giải hợp lý chặt chẽ, ngắn gọn và rõ ràng hơn

2 Khuyến nghị:

a)Nên có các chuyên đề tự chọn để giáo viên và học sinh có thể trao đổi thẳng thắn với nhau về các vấn đề, từ đó có thể rút ra các phương pháp phù hợp với từng đối tượng học sinh

b) Trong lớp giáo viên nên phân nhóm học theo trình độ nhận thức của các em

Do kinh nghiệm còn thiếu, thời gian nghiên cứu và ứng dụng chưa dài nên đề tài của tôi không tránh khỏi còn nhiều hạn chế

Rất mong được sự đóng góp của các đồng nghiệp để tôi có thể hoàn thiện hơn

đề tài của mình

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Sách giáo khoa,sách bài tập 11(cơ bản và nâng cao),

NXB Giáo Dục Năm 2007

[2].Tuyển chọn theo chuyên đề chuẩn bị thi tốt nghiệp THPT và thi

vào ĐH- CĐ môn toán,Nhà xuất bản Giáo dục Năm 2010

[3] Đề thi tuyển sinh Môn Toán,Nhà xuất bản Giáo dục Năm 1994 [4] Phan Huy Khải Tuyển tập các chuyên đề luyện thi đại học Nhà

xuất bản Hà Nội Năm 2002

[5]

năm 2012