Kiến thức: HS nắm được: - Định nghĩa giới hạn hữu hạn của dãy số, một vài giới hạn đặc biệt, giới hạn của tổng hiệu, tích, thương.. - Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn.. Kĩ năng: - Vận d
Trang 1Giáo án giải tích 11 – Cơ bản
Bài 1: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ ***&&***
I Mục tiêu:
1 Kiến thức:
HS nắm được:
- Định nghĩa giới hạn hữu hạn của dãy số, một vài giới hạn đặc biệt, giới hạn của tổng hiệu, tích, thương
- Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
2 Kĩ năng:
- Vận dụng thành thạo tính chất của giới hạn để tìm giới hạn của dãy số
- Vận dụng giới hạn của dãy số để tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
3 Thái độ:
- Tự giác, tích cực trong học tập
- Biết phân biệt rõ các khái niệm cơ bản và vận dụng trong từng trường hợp cụ thể
- Tư duy các vấn đề của toán học một cách lôgic và hệ thống
II Chuẩn bị của giáo viên và học sinh:
1 Chuẩn bị của giáo viên:
- Chuẩn bị các câu hỏi gợi mở
- Chuẩn bị các ví dụ sinh động
- Chuẩn bị phấn màu và một số đồ dùng khác
2 Chuẩn bị của học sinh:
Cần ôn lại một số kiến thức đã học ở lớp dưới
III Nội dung và tiến trình lên lớp:
1 Ổn định lớp.
2 Kiểm tra bài cũ: không kiểm tra
3 Nội dung bài mới:
HOẠT ĐỘNG 1
I Giới hạn hữu hạn của dãy sô
1 Định nghĩa:
*GV cho HS thực hiện HĐ1 sgk
Hãy điền vào bảng sau:
un
*Sau đó GV đưa ra các câu hỏi sau:
+ Nhận xét xem khoảng cách từ un tới 0 thay đổi thế nào
khi n trở nên rất lớn?
+ n bằng bao nhiêu thì khoảng cách từ un đến 0 bằng
0,01?
+ n bằng bao nhiêu thì khoảng cách từ un đến 0 bằng
0,001?
+ Khoảng cách đó bằng o
+ n = 100 + n = 1000
* GV đặt vấn đề: Ta biết rằng dãy số đã cho là dãy số giảm.
Vậy: Bắt đầu từ số hạng un nào của dãy số thì khoảng các từ un đến 0 nhỏ hơn 0,01? 0,001?
*GV cho HS trả lời, sau đó cho HS phát biểu định nghĩa 1
Định nghĩa 1:
Ta nói dãy số (un) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu u n có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý,
kể từ một số hạng nào đó trở đi
Kí hiệu: lim 0
n u hay un 0 khi n
* GV đưa ra câu hỏi củng cố định nghĩa:
Trang 2Giáo án giải tích 11 – Cơ bản
+ Nêu một vài ví dụ về dãy số dần tới 0 khi n dần tới vô cực?
+ Dãy sô un =
1
4
n có dần tới 0 khi n dần tới vô cực hay không?
* GV nêu luôn định nghĩa 2:
Định nghĩa 2: sgk
Kí hiệu: n v n a
lim hay vn a khi n
* Thực hiện ví dụ sau:
a) Cho dãy số (vn) với vn =
n
n 1
3
Chứng minh rằng 3
lim
b) Cho dãy số (vn) với vn =
3 2
1 2
n
n
Chứng minh rằng 1
lim
+ lim 3
n
n
n
1 lim
=0 Vậy n v n
lim =
n
n
n
1 3
+ lim 1
3 2
1 2
n
n
n
n
2 lim
Vậy n v n
lim =
3 2
1 2 lim
n
n
HOẠT ĐỘNG 2:
2 Một vài giới hạn đặc biệt:
* GV nêu các kết quả:
a)
n
n
1
lim
= 0; k
1 lim
= 0 với k nguyên dương b) n q n
lim = 0 nếu q < 1;
c) Nếu un = c ( c là hằng số) thì n u n
lim = c
nlim = c
*GV nêu chú ý:
Từ nay về sau thay cho n u n
lim = a, ta viết tắt là limun = a
HOẠT ĐỘNG 3
II Định lí về giới hạn hữu hạn:
* GV nêu định lí 1
a) nếu limun = a và limvn = b thì
- Lim(un + vn) = a + b; - lim (un – vn) = a – b
- lim(un.vn) = a.b ; - lim
n
n
v
u
=
b
a
(nếu b 0) b) Nếu un 0 với mọi n và limun = a thì a0 và lim u n = a
* Thực hiện ví dụ sau:
a) Tìm lim
3 3
1 3 2
2 2
n
n n
? + Mẫu số và tử số là những đa thức bậc mấy?
+ Chia cả tử số và mẫu số cho n2 ta được biểu thức nào?
+ Dựa vào định lí hãy tìm giới hạn của dãy số?
+ Bậc 2
+
3 3
1 3 2
2 2
n
n n
=
2
2
3 3
1 3 2
n
n n
+ lim
3 3
1 3 2
2 2
n n n
Trang 3Giáo án giải tích 11 – Cơ bản
b) Tìm lim
n
n
1
9
?
c)Tìm lim
1 2
3 1
n
n
? d) Tìm lim
1 2
3 1
2
n
n
? e) Tìm lim
1 2
3 1
2
n n
n
= lim
2
2
3 3
1 3 2
n
n n
=
3 2
+ lim
n
n
1
9
= lim
n n n
1
) 9
2 ( 2
2
= lim
) 1
1 (
9 2
2
2
n n n
n
= lim
) 1
1 (
9 2
2
2
n
n = 3
HOẠT ĐỘNG 4
III Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
*GV nêu định nghĩa, khái niệm cấp số nhân lùi vô hạn:
Cấp số nhânn vô hạn (un) có công bội q, với q < 1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn + Hãy tìm một số ví dụ về cấp số nhân lùi vô hạn?
*GV nêu tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:
Cho cấp số nhân lùi vô hạn (un) có công bội q Khi đó,
S = u1 + u2 + u3 +…+ un +…
Vậy tổng của cấp số nhân lùi vô hạn là:
S =
q
u
1
1
( q < 1)
* Th c hi n các ví d sau:ực hiện các ví dụ sau: ện các ví dụ sau: ụ sau:
a) Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn (un), với un =
n
2
1
+ Hãy xác định u1, q trong cấp số nhân?
+ Hãy tính tổng?
b) Tính tổng 1 +
3
1
+
9
1
+
27
1
+…+(
3
1
)n-1+…
+ Mỗi số hạng của tổng có thể lập thành cấp số nhân lùi
vô hạn hay không?
+ Hãy tính tổng?
+ u1 =
2
1
, q =
2 1
+ S =
q
u
1
1 =
2
1 1 2 1
=
2 1 2
1
= 1
+ Là cấp số nhân có công bội q =
3 1
+ S =
q
u
1
1 =
3
1 1
1
3 2
1
=
2 3
HOẠT ĐỘNG 5: củng cố
- Hãy nhắc lại định nghĩa giới hạn của dãy số?
Trang 4Giáo án giải tích 11 – Cơ bản
- Nêu định lí về giới hạn hữu hạn?
- Một vài giới hạn đặc biệt?
- Công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn?
IV Dặn dò:
- Về học bài và làm các bài tập 2, 3, 4, 5
- Xem phần còn lại của bài để tiết sau học tiếp