Sáng kiến Rèn luyện kĩ năng vẽ hình không gian

Khảo sát qua bài kiểm tra Để khảo sát kĩ năng vẽ hình không gian của học sinh, chúng tôi tiến hànhcho học sinh các lớp khối 12, thuộc trường THPT Tân Lạc làm bài kiểm tra vàotháng 9 năm

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÒA BÌNH

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan: Sáng kiến này là công trình nghiên cứu thực sự của cánhân tôi, được thực hiện trên cơ sở nghiên cứu lý thuyết, kiến thức kinh nghiệm

và nghiên cứu khảo sát tình hình thực tiễn dạy và học tại trường THPT Tân Lạc

Các số liệu và những kết quả trong sáng kiến là trung thực, xuất phát từ thựctiễn và kinh nghiệm, không sao chép của bất cứ tác giả nào

Một lần nữa, tôi xin khẳng định về sự trung thực của lời cam kết trên

Tân Lạc, ngày 15 tháng 05 năm 2014.

Tác giả

Phạm Thị Thúy Ngần

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin trân trọng cảm ơn lãnh đạo Sở GD&ĐT Hòa Bình cùng Ban giámhiệu trường THPT Tân Lạc đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trìnhcông tác và nghiên cứu

Tôi xin chân thành cảm ơn các đồng nghiệp trường THPT Tân Lạc đãgiúp đỡ tôi hoàn thành sáng kiến của mình

Dù đã có nhiều cố gắng, song do hạn hẹp về thời gian, điều kiện nghiêncứu và trình độ của bản thân, sáng kiến không tránh khỏi những thiếu sót Tôi rấtmong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô và các bạn để sáng kiến này

sẽ trở thành tài liệu tham khảo hữu ích cho các bạn học sinh và các thầy cô giáođang giảng dạy trong các trường trung học phổ thông

Tân Lạc, ngày 15 tháng 05 năm 2014.

Tác giả

Phạm Thị Thúy Ngần

MỤC LỤC

ĐÁNH GIÁ, NHẬN XÉT CỦA NHÀ TRƯỜNG

ĐÁNH GIÁ, NHẬN XÉT CỦA SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

PHẦN THỨ NHẤT: ĐẶT VẤN ĐỀ

Đổi mới phương pháp dạy học đã trở thành một cụm từ quen thuộc đối vớigiáo viên phổ thông và các giới xã hội có quan tâm do vai trò, ý nghĩa quan trọngcùng yêu cầu bức thiết của nó Luật giáo dục Việt Nam đã nêu rõ mục tiêu giáo dụcphổ thông là: Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác,chủ động, tư duy sáng tạo của học sinh, phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, bồidưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tácđộng đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập của học sinh (chương I, điều24) Để thực hiện tốt những quy định trên, làm tốt công tác đổi mới trong phươngpháp dạy học thực sự không dễ, nó đòi hỏi người giáo viên phải thực sự tâm huyếtvới nghề, không ngừng đổi mới tư duy, tích cực nâng cao trình độ chuyên môn,nghiệp vụ của mình, chủ động nghiên cứu khoa học

Qua quá trình giảng dạy và nghiên của của mình tôi thấy rèn luyện kĩnăng giải toán, vận dụng toán học vào thực tiễn có tầm quan trọng đặc biệt.Thông qua các bài toán, học sinh nắm vững và hiểu sâu kiến thức hơn, đồng thờihọc sinh được tập dượt vận dụng những tri thức đã được trang bị trong môn toánvào các môn học khác, vào đời sống xã hội Trong chương trình Toán THPT,hình học không gian là một nội dung quan trọng Các bài toán hình học khônggian luôn xuất hiện trong các kì thi cuối cấp THPT như: thi tốt nghiệp, thi đạihọc

Tuy nhiên, quá trình dạy học, cụ thể là phần hình học không gian chothấy: Đa số học sinh gặp khó khăn khi giải một bài toán hình học; nhiều họcsinh không biết bắt đầu giải một bài toán hình học như thế nào; có HS biết cáchgiải bài, biết bắt đầu giải bài bằng việc vẽ hình nhưng hình vẽ còn chưa đẹp,thao tác vẽ còn chưa thành thạo, bài bản Thực trạng đó đặt ra yêu cầu GV phảiđổi mới phương pháp dạy học môn Toán nói chung, hình học không gian nóiriêng như thế nào để các em có kĩ năng giải bài toán hình không gian tốt màtrước tiên là vẽ tốt hình học không gian?

Với những lí do trên đề tài nghiên cứu của sáng kiến được chọn là: “Rèn

luyện kĩ năng vẽ hình không gian cho học sinh”.

PHẦN THỨ HAI: NỘI DUNG

I - Cơ sở lý luận và thực tiễn.

1 Một số khỏi niệm

Kĩ năng là khả năng vận dụng tri thức để giải quyết nhiệm vụ đặt ra.

Trong đú tri thức bao gồm những tri thức sự vật như khỏi niệm, định lớ, tớnhchất và những tri thức phương phỏp: thuật giải, phương phỏp tớnh toỏn Trithức là cơ sở của kĩ năng

Trong Toỏn học, kĩ năng là khả năng giải cỏc bài toỏn, thực hiện cỏcchứng minh cũng như phõn tớch cú phờ phỏn cỏc lời giải và chứng minh nhậnđược Kĩ năng giải bài tập toán của HS là khả năng sử dụng cómục đích, sáng tạo những kiến thức toán học đã học để giảibài tập toán học

Muốn cú kĩ năng về hành động nào đú, chủ thể cần phải cú kiến thức đểhiểu được mục đớch của hành động, biết được điều kiện, cỏch thức để đi đến kếtquả, để thực hiện hành động và biết tiến hành hành động đú với yờu cầu của nú

để đạt được kết quả phự hợp với mục đớch đó đề ra

2 Nhiệm vụ rốn luyện kĩ năng giải toỏn cho học sinh

2.1 Rốn luyện kĩ năng giải toỏn cho học sinh là một mục tiờu dạy học mụn toỏn:

"Mục tiờu giỏo dục phổ thụng là giỳp học sinh phỏt triển toàn diện về đạođức, trớ tuệ, thể chất, thẩm mĩ và cỏc kĩ năng cơ bản, phỏt triển năng lực cỏ nhõn,tớnh năng động và sỏng tạo, hỡnh thành nhõn cỏch con người Việt nam XHCN,xõy dựng tư cỏch và trỏch nhiệm cụng dõn; chuẩn bị cho học sinh tiếp tục họclờn hoặc đi vào cuộc sống lao động, tham gia xõy dựng và bảo vệ Tổ quốc"(Luật giỏo dục Việt Nam, năm 2005)

Mục tiờu dạy học mụn Toỏn là:

- Trang bị cho HS những tri thức, kĩ năng, phương phỏp toỏn học phổthụng, cơ bản, thiết thực

- Gúp phần phỏt triển năng lực trớ tuệ, bồi dưỡng phẩm chất trớ tuệ cho HS

- Gúp phần hỡnh thành và phỏt triển cỏc phẩm chất, phong cỏch lao động khoa

- Tạo cơ sở để HS tiếp tục học cao đẳng, đại học trung học chuyên nghiệp,học nghề hoặc đi vào cuộc sèng lao động.

Các mục tiêu thể hiện sự toàn diện, thống nhất và có quan hệ mật thiết, hỗtrợ, bổ sung cho nhau: tri thức là cơ sở để thực hiện các mục tiêu khác; trong cácmục tiêu thì mục tiêu phát triển trí tuệ là quan trọng nhất; thông qua hoạt động

mà rèn luyện kĩ năng, củng cố tri thức

2.2 Yêu cầu rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh ở trường THPT

Việc rèn luyện kĩ năng giải toán nhằm đạt được các yêu cầu cần thiết sau:

- Giúp học sinh hình thành và nắm vững những mạch kiến thức cơ bảntrong chương trình

- Giúp học sinh phát triển các năng lực trí tuệ

3 Khảo sát tình hình dạy học hình học không gian ở trường phổ thông

3.1 Khảo sát qua bài kiểm tra

Để khảo sát kĩ năng vẽ hình không gian của học sinh, chúng tôi tiến hànhcho học sinh các lớp khối 12, thuộc trường THPT Tân Lạc làm bài kiểm tra vàotháng 9 năm 2013 Các HS được khảo sát học chương trình cơ bản, tự chọn theochủ đề bám sát

a) Mục đích: Đánh giá những kĩ năng vẽ hình không gian của học sinh

Vẽ hình cho các bài toán sau:

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông

góc với đáy (ABCD) , SB a 3=

a Tính thể tích của khối chóp S.ABCD

b Chứng minh trung điểm của cạnh SC là tâm mặt cầu ngoại tiếp hìnhchóp S.ABCD

Bài 2: Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có độ dài cạnh bên bằng 2a , đáy

ABC là tam giác vuông tại A , AB a= , AC a 3 = và hình chiếu

vuông góc của đỉnh A ' trên mp(ABC) là trung điểm của cạnh

BC Tính theo a thể tích khối chóp A'.ABC và tính cosin của gócgiữa hai đường thẳng AA', B'C'

c) Kết quả: Giỏi (từ 8 đến 10); Khá (từ 7 đến cận 8); Trung bình (từ 5 đến cận7); Yếu (từ 3 đến cận 5); Kém (từ 0 đến cận 3)

Kết quả kiểm tra được chúng tôi phân loại và thống kê trong bảng sau:

Số bài làm: 211

(100%)

13(6,2%)

47(22,3%)

90(42,7%)

50(23,7%)

11(5,1%)Qua việc chấm bài kiểm tra cho thấy nhiều em biết cách vẽ hình khônggian Song vẽ hình còn chưa đẹp, khi làm bài kiểm tra còn nhiều lúng túng Vớibài 2 nhiều học sinh không vẽ được hình

3.2 Khảo sát qua phiếu điều tra

a) Mục đích: Chúng tôi đã xây dựng mẫu phiếu điều tra để nắm bắt những ýkiến, đánh giá của giáo viên Toán THPT về mức độ khó của các bài toán hìnhhọc không gian trong chương trình, mức độ kĩ năng vẽ hình cần đạt được củahọc sinh, thời lượng dành cho việc rèn luyện kĩ năng vẽ hình cho học sinh cóphù hợp không, những ý kiến đề xuất, trao đổi của giáo viên

b) Phiếu điều tra: Hãy khoanh tròn câu trả lời mà đồng chí cho là đúng nhất

4 Những mong muốn của các đồng chí khi dạy học hình học không gian là gì?

………

………

………

Xin chân thành cảm ơn các thầy cô !

c) Kết quả: Những ý kiến của giáo viên được tổng hợp lại như sau:

Về mức độ khó của các bài toán hình học trong chương trình:

Về mức độ kĩ năng đạt được của học sinh:

Về thời lượng dành cho việc rèn luyện kĩ năng tính vẽ hình cho học sinh

Về những ý kiến đề xuất, trao đổi của giáo viên

- Cần tăng thêm thời lượng cho phần luyện tập giải bài toán hình không gian

- Đa số HS giải bài toán hình không gian còn yếu, biết vẽ hình nhưng hình chưađẹp, còn nhiều HS chưa biết vẽ hình nên việc giải toán hình học không gian gặpnhiều khó khăn

Qua khảo sát bằng bài kiểm tra và phiếu điều tra cho thấy học sinh giảibài toán hình không gian còn yếu ngay từ khâu vẽ hình nên việc rèn luyện chohọc sinh kĩ năng vẽ hình không gian là rất cần thiết

II - Các biện pháp rèn luyện kĩ năng vẽ hình không gian cho học sinh

Các hình không gian thường gặp có thể chia thành 06 nhóm: Hình chóp đều,hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy, hình chóp có một mặt bên vuông gócvới đáy, hình chóp có các cạnh bên bằng nhau, hình chóp có các mặt bên tạo vớiđáy các góc bằng nhau và các hình lăng trụ

Trong khuôn khổ sáng kiến, tôi xin trình bày về đặc điểm cơ bản, quytrình vẽ hình, ví dụ vận dụng và một số bài toán luyện tập cho mỗi nhóm hìnhkhông gian trên

1 Hình chóp đều

1.1 Đặc điểm cơ bản: Hình chóp đều có đáy là đa giác đều và có chân đường

cao trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy

1.2 Quy trình: Quy trình vẽ hình chóp đều

Bước 1: Vẽ đáy là đa giác đều.

Bước 2: Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.

Bước 3: Kẻ đường thẳng đi qua tâm và vuông góc với mặt phẳng đáy.

Bước 4: Lấy đỉnh của hình chóp thuộc đường thẳng vừa kẻ.

Bước 5: Nối đỉnh hình chóp với các đỉnh của đáy.

1.3 Ví dụ áp dụng:

Ví dụ 1: Vẽ hình chóp tứ giác đều S.ABCD

Bước 1: Vẽ mặt đáy là hình vuông ABCD , hình biểu diễn hình vuông trong

không gian là hình bình hành (Hình 1)

Bước 2: Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp đáy: là tâm O của hình vuông

ABCD (O là giao của hai đường chéo AC và BD) (Hình 2)

Bước 3: Kẻ đường thẳng đi qua O và vuông góc với đáy (ABCD) (Hình 3).

Bước 4: Lấy đỉnh của hình chóp thuộc đường thẳng vừa kẻ sao cho hình chóp

tạo thành cân đối và dễ nhìn nhất (Hình 4)

Bước 5: Nối đỉnh hình chóp với các đỉnh của mặt đáy (Hình 5).

Chú ý:

+ Ở bước 4 ta nên lấy điểm S sao cho cạnh của hìnhbình hành không tạo với một cạnh bên là đường thẳng

(Hình 6)+ Để vẽ hình chóp tứ giác đều có “cảm giác” đứng, ta nên

vẽ đáy “dẹt”, tức là góc µB từ 45 đến 0 60 và các cạnh cân0

đối Cũng không nên vẽ đáy quá dẹt (góc µB nhỏ hơn 45 )0

vì khi ấy đáy sẽ khó nhìn (Hình 7)

Ví dụ 2: Vẽ hình chóp tam giác đều S.ABC

Bước 1: Vẽ mặt đáy là tam giác đều ABC , hình biểu diễn của tam giác đều là

tam giác thường Tam giác ABC thường được vẽ có một cạnh nằm ngang, cạnhbên trái nhỏ hơn cạnh bên phải (Hình 8)

Bước 1

Hình 6

Hình 7

Bước 2: Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy: Tâm O của đường

tròn ngoại tiếp tam giác ABC là giao của ba đường trung tuyến (hoặc 3 đườngcao, 3 đường phân giác… vì ABC∆ đều) (Hình 9)

Bước 3: Kẻ đường thẳng đi qua O và vuông góc với mặt đáy (ABC)

Bước 4: Lấy đỉnh của hình chóp thuộc đường thẳng vừa kẻ sao cho hình chóp

tạo thành cân đối và dễ nhìn nhất (Hình 10)

Bước 5: Nối đỉnh hình chóp với các đỉnh của mặt đáy (Hình 11).

Chú ý: + Không nên vẽ đáy là tam giác cân vì khi đó đường cao SO trùng với

cạnh bên (Hình 12)

+ GV có thể hướng dẫn HS xây dựng và thực hiện quy trình 1 sau khi

HS được học khái niệm hình chóp đều Với các quy trình vẽ hình được trình bàytrong các phần tiếp theo, GV có thể hướng dẫn HS xây dựng và thực hiện ngaysau khi HS được học khái niệm hình đó

2.1.4 Bài toán luyện tập: Vẽ hình cho các bài toán sau:

Bài 1 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng

2a Gọi I là trung điểm của cạnh BC

a) Chứng minh SA vuông góc v ới BC

b) Tính thể tích khối chóp S.ABI theo a

(Đề thi tốt nghiệp THPT phân ban – 2008)

Bài 2 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB a= , SA a 2= Gọi M, N và

P lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB và CD Chứng minh rằng đường thẳng MN vuông góc với đường thẳng SP Tính theo a thể tích của khối tứ

diện AMNP

(Đề thi TS Cao Đẳng 2009 – Khối A)

Bài 3 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a Gọi E

là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA ,M là trung điểm của AE, N

là trung điểm của BC Chứng minh MN vuông góc với BD và tính khoảngcách giữa hai đường thẳng MN và AC (theo a )

(Đề thi TS ĐH,CĐ 2007 – Khối B)

Bài 4 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy bằng a Gọi

M và N lần lượt là các trung điểm của các cạnh SB và SC Tính theo a diện tíchtam giác AMN , biết rằng mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC)

(Đề thi TS ĐH,CĐ 2002 – Khối A)

Bài 5 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC với SA = 2a, AB = a Gọi H là hình chiếu

vuông góc của A trên cạnh SC Chứng minh SC vuông góc với mặt phẳng (ABH).Tính thể tích của khối chóp S.ABH

Bài 5.

2 Hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy

2.1 Đặc điểm cơ bản: Một cạnh bên là đường cao của hình chóp.

2.2 Quy trình: Quy trình vẽ hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy.

Bước 1: Vẽ mặt đáy.

Bước 2: Kẻ đường thẳng đi qua một đỉnh của đáy và vuông góc với đáy Bước 3: Lấy đỉnh của hình chóp thuộc đường thẳng vừa kẻ thỏa mãn điều

kiện đầu bài

Bước 4: Nối đỉnh hình chóp với các đỉnh của mặt đáy.

2.3 Ví dụ áp dụng:

Ví dụ 3: Vẽ hình chóp tam giác S.ABCD có cạnh SA vuông góc với đáy.

Bước 1: Vẽ mặt đáy là tam giác thường ABC (nên vẽ điểm A ở phía trên bên trái, một cạnh của tam giác ABC nằm ngang) (Hình 13).

Bước 2: Kẻ đường thẳng đi qua A và vuông góc với mặt đáy, nên kẻ đường thẳng

vuông góc với cạnh nằm ngang AB của tam giác ABC (Hình 14)

Bước 3: Lấy đỉnh S của hình chóp thuộc đường thẳng vừa kẻ sao cho hình chóp

tạo thành cân đối và dễ nhìn nhất

Chú ý: Hình chóp có hai mặt bên kề nhau cùng vuông góc với đáy thực chất vẫn

là hình chóp có một cạnh vuông góc với đáy và cạnh vuông góc với đáy là cạnhchung của hai mặt bên kề nhau đó

Ví dụ 4: Vẽ hình cho bài toán sau:

Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , mặt bên (SAB) và(SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy và SA 2a= Gọi B', D' lần lượt làhình chiếu của A lên SB và SD Mặt phẳng (AB'D') cắt SC tại C' Tính thể

Bước 3: Lấy đỉnh của hình chóp thuộc đường thẳng vừa kẻ sao cho SA 2a=

Bước 4: Nối đỉnh hình chóp với các đỉnh của mặt đáy (Hình 17).

Bước 5: Trong mp(SAB) kẻ AB' SB⊥ , B' SB∈

Trong mp(SAD) kẻ AD' SD⊥ , D' SD∈

Bước 6: Trong mp(ABCD) , xác định O AC= ∩BD

Trong mp(SBD) , xác định I SO= ∩B'D'

Trong mp(SAC) , xác định C' AI SC= ∩ (Hình 18)

Hình 13 Hình 14 Hình 15

2.4 Bài toán luyện tập: Vẽ hình cho các bài toán sau:

Bài 6 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông

góc với đáy (ABCD) , SB a 3=

a Tính thể tích của khối chóp S.ABCD

b Chứng minh trung điểm của cạnh SC là tâm mặt cầu ngoại tiếp hìnhchóp S.ABCD

(Đề thi tốt nghiệp THPT phân ban - 2006)

cạnh a , SA 2a= và SA vuông góc với mp (ABC) Gọi M và N lầnlượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng SB và

SC Tính thể tích của khối chóp A.BCNM

cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy Biết

BAC 120= , tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a

(Đề thi tốt nghiệp THPT - 2009)

Hình 16 Hình 17 Hình 18

Bài 10 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên

SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa mặt phẳng (SBD) và mặt phẳng đáybằng 600 Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a

(Đề thi tốt nghiệp THPT - 2010)

Bài 11.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D

với AD = CD = a, AB = 3a Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và cạnhbên SC tạo với mặt đáy góc 450 Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a

(Đề thi tốt nghiệp THPT - 2011)

Bài 12 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên

SA vuông góc với đáy Đường thẳng SD tạo với mặt phẳng (SAB) một góc 300.Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a

(Đề thi tốt nghiệp THPT - 2013)

Bài 13 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, cạnh bên SA

vuông góc với mặt phẳng đáy, ·BAD 120= 0, M là trung điểm cạnh BC và

SMA 45= Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm Dđến mặt phẳng (SBC)

( Đề thi TS ĐH 2013 – Khối D)

Bài 14 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB =

BC = 2a, hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng(ABC) Gọi M là trung điểm của AB, mặt phẳng qua SM và song song với BC,cắt AC tại N Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 600 Tính thểtích khối chóp S.BCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a

( Đề thi TS ĐH 2011 – Khối A)

Gợi ý: Xem hướng dẫn chi tiết từng bước trong các file hình vẽ trên phần mềm Geometer’s Sketchpad đi kèm.