Nguyên lý Dirichlet đối với bài toán biên thứ nhất cho phương trình Elliptic á tuyến tính cấp hai (Luận văn thạc sĩ)

Nguyên lý Dirichlet đối với bài toán biên thứ nhất cho phương trình Elliptic á tuyến tính cấp hai (Luận văn thạc sĩ)Nguyên lý Dirichlet đối với bài toán biên thứ nhất cho phương trình Elliptic á tuyến tính cấp hai (Luận văn thạc sĩ)Nguyên lý Dirichlet đối với bài toán biên thứ nhất cho phương trình Elliptic á tuyến tính cấp hai (Luận văn thạc sĩ)Nguyên lý Dirichlet đối với bài toán biên thứ nhất cho phương trình Elliptic á tuyến tính cấp hai (Luận văn thạc sĩ)Nguyên lý Dirichlet đối với bài toán biên thứ nhất cho phương trình Elliptic á tuyến tính cấp hai (Luận văn thạc sĩ)Nguyên lý Dirichlet đối với bài toán biên thứ nhất cho phương trình Elliptic á tuyến tính cấp hai (Luận văn thạc sĩ)Nguyên lý Dirichlet đối với bài toán biên thứ nhất cho phương trình Elliptic á tuyến tính cấp hai (Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

––––––––––––––––––––––––

NGUYỄN THỊ KIỀU THU

NGUYÊN LÝ DIRICHLET ĐỐI VỚI BÀI TOÁN BIÊN THỨ NHẤT CHO PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC Á TUYẾN TÍNH CẤP HAI

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2017

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

––––––––––––––––––––––––

NGUYỄN THỊ KIỀU THU

NGUYÊN LÝ DIRICHLET ĐỐI VỚI BÀI TOÁN BIÊN THỨ NHẤT CHO PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC Á TUYẾN TÍNH CẤP HAI

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS HÀ TIẾN NGOẠN

THÁI NGUYÊN - 2017

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan rằng nội dung trình bày trong luận văn này là trung thực

và không trùng lặp với đề tài khác Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc

Thái Nguyên, tháng 7 năm 2017

Người viết luận văn

Nguyễn Thị Kiều Thu

LỜI CẢM ƠN

Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tôi xin bày tỏ lòng biết

ơn sâu sắc tới PGS.TS Hà Tiến Ngoạn, người thầy tận tình hướng dẫn tôi trong

suốt quá trình nghiên cứu để tôi có thể hoàn thành luận văn này

Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, khoa Toán cùng toàn thể các thầy

cô giáo trường ĐHSP Thái Nguyên, Viện Toán học và Trường ĐHSP Hà Nội

đã truyền thụ cho tôi những kiến thức quan trong, tạo điều kiện thuận lợi và cho tôi những ý kiến đóng góp quý báu trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn

Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè những người đã giúp đỡ

và chia sẻ với tôi trong suốt thời gian học tập và hoàn thành luận văn của mình Tôi xin chân thành cảm ơn!

Thái Nguyên, tháng 7 năm 2017

Tác giả

Nguyễn Thị Kiều Thu

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 2

1.1 Một số khái niệm 2

1.1.1 Không gian 𝐿𝑚(Ω) 2

1.1.2 Bất đẳng thức Holder 2

1.1.3 Không gian𝑊𝑚1(Ω) 4

1.1.4 Định lý nhúng 4

1.1.5 Định lý vết 4

1.1.6 Công thức tích phân từng phần 5

1.1.7 Bất đẳng thức Cauchy suy rộng 5

1.2 Đạo hàm Frechet cấp một 6

1.2.1 Định nghĩa đạo hàm Frechet 6

1.2.2 Các ví dụ 6

1.2.3 Các tính chất 9

1.3 Đạo hàm Frechet cấp hai 9

1.3.1 Định nghĩa đạo hàm Frechet cấp hai 10

1.3.2 Các ví dụ 11

1.3.3 Vi phân cấp hai của phiếm hàm 12

1.3.4 Phân tích Taylor của phiếm hàm 12

1.4 Điểm dừng của phiếm hàm 13

1.4.1 Khái niệm 13

1.4.2 Điều kiện cần đối với cực trị của phiếm hàm 13

1.5 Điều kiện đủ của cực trị 14

1.5.1 Điều kiện đủ của cực tiểu địa phương 14

1.5.2 Điều kiện đủ của cực tiểu toàn cục 15

Chương 2: PHƯƠNG TRÌNH EULER-LAGRANGE NGUYÊN LÍ

DIRICHLET 17

2.1 Phiếm hàm năng lượng 17

2.1.1 Phiếm hàm năng lượng sinh bởi hàm Lagrange 17

2.1.2 Điều kiện của hàm Lagrange 17

2.1.3 Miền xác định của phiếm hàm năng lượng 17

2.2 Phương trình Euler-Lagrange 18

2.3 Sự tồn tại cực tiểu toàn cục của phiếm hàm năng lượng 21

2.3.1 Điểm cực tiểu của phiếm hàm năng lượng 21

2.3.2 Đạo hàm cấp hai của hàm số 𝐽(𝑡) 21

2.3.3 Sự tồn tại cực tiểu địa phương của phiếm hàm năng lượng 22

2.3.4 Sự tồn tại cực điểm toàn cục của phiếm hàm năng lượng 22

2.4 Nghiệm yếu của bài toán biên đối với một lớp phương trình elipptic á tuyến tính cấp hai Nguyên lí Dirichlet 23

2.4.1 Phương trình Euler - Lagrange 23

2.4.2 Nghiệm yếu của bài toán (2.16) và (2.17) 23

2.4.3 Nguyên lý Dirichlet 23

2.4.4 Ví dụ 25

KẾT LUẬN 28

TÀI LIỆU THAM KHẢO 29

MỞ ĐẦU

Từ lâu trong lĩnh vực Giải tích điều hòa, nhà toán học Dirichlet đã chỉ ra một nguyên lý biến phân quan trọng, đó là: nghiệm của bài toán biên thứ nhất đối với phương trình Laplace chính là cực tiểu của phiếm hàm năng lượng Nguyên

lý này hiện nay được gọi là Nguyên lý Dirichlet Nhằm mở rộng phạm vi của nguyên lý biến phân này, khi tìm cực tiểu của phiếm hàm năng lượng được sinh bởi một hàm được gọi là hàm Lagrange của hệ vật chất nào đó trong miền hữu hạn của không gian nhiều chiều, Euler và Lagrange đã nhận được điều kiện cần cho cực tiểu, đó là hàm cực tiểu của phiếm hàm cần phải thỏa mãn một phương trình đạo nhàm riêng á tuyến tính cấp hai, mà bây giờ được mang tên các ông: Phương trình Euler-Lagrange

Luận văn trình bày nguyên lý Dirichlet mô tả mối quan hệ giữa nghiệm của bài toán cực tiểu phiếm hàm năng lượng và nghiệm của bài toán biên thứ nhất đối với phương trình Euler-Lagrange, một lớp quan trọng trong số các phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai

Nội dung luận văn gồm 29 trang, trong đó có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo

Chương 1: Trình bày tổng quan và hệ thống phép tính vi phân trong không gian banach, các không gian hàm , đạo hàm frechet cấp một , đạo hàm frechet cấp hai, điều kiện đủ của cực trị

Chương 2: Áp dụng kiến thức chuẩn bị vào chương 2 để kháo sát bài toán cực tiểu của phiếm hàm năng lượng và trình bày nguyên lý Dirichlet đối với bài toán biên thứ nhất cho phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai

Luận văn được viết chủ yếu bởi tài liệu tham khảo [1] và [3]

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Một số khái niệm

1.1.1 Không gian 𝑳𝒎(Ω)

Định nghĩa 1.1 Giả sử Ω ⊂ ℝ𝑛 là miền giới nội với biên 𝜕Ω Giả sử m ≥ 1

Không gian 𝐿𝑚(Ω) bao gồm các hàm 𝑢(𝑥) sao cho |𝑢(𝑥)|𝑚 ∈ 𝐿𝑚(Ω)

+ Lm(Ω) là không gian Banach

+ Khi m= 2, không gian L2(Ω) là không gian Hilbert với tích vô hướng

(𝑢, 𝑣)𝐿2(Ω) = ∫ 𝑢(𝑥)𝑣(𝑥)𝑑𝑥Ω + Khi m= ∞, không gian L∞(Ω) gồm các hàm bị chặn đều trong miền Ω với chuẩn sau

𝑚 của biến X trên [0; ∞)

Hàm này chỉ đạt giá trị lớn nhất tại điểm 𝑋 = 𝑌𝑚−11 và giá trị lớn nhất đó

Đặt 𝑋 = |𝑢| ∫ (|𝑢(𝑥)|𝑚𝑑𝑥)−1𝑚

𝑌 = |𝑣| ∫ (|𝑣(𝑥)|𝑚′𝑑𝑥)

−1 𝑚′

Giả sử 𝑢𝑖 ∈ 𝐿𝑚𝑖(Ω), 𝑖 = 1, … , 𝑘 Khi đó bất đẳng thức Holder suy rộng được định nghĩa bởi công thức

Luận văn đầy đủ ở file: Luận văn full