Một đờng thẳng d quay xung quanh trọng tâm G của tam giác ABC sao cho d cắt đoạn AB tại điểm P và d cắt đoạn AC tại điểm Q.. a Đặt AP=x, hãy tìm tập hợp giá trị của x b Tính giá trị của
Trang 1đề thi tuyển sinh THPT chuyên
Môn thi: Toán ( dành cho tất cả các thí sinh)
Thời gian làm bài: 150 phút ( không kể thời gian giao đề)
Bài 1: Cho hệ phơng trình
= + +
−
=
− +
+
2 b)y (2a b)x (2a
1 b)y (a b)x (a
a) Giải hệ với a = 2 và b = 1
b) Tìm tất cả các cặp giá trị a, b∈Z để hệ có nghiệm x, y nguyên
− +
+ + +
−
−
+ +
−
=
2ax 2
x 2 a 1
2 x 2ax 2
a 1
: 1 2 x 2 a 2ax
x)x (a ax 1 P a) Với a=1, hãy rút gọn P
b) Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của a để
2
1
P ≤ − với mọi x mà P xác
định
Bài 3: Hãy tìm tất cả các giá trị a, b, c là các số cùng dơng hoặc cùng
âm sao cho biểu thức P đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất đó, với:
=
2003a
2005c 1
2005c
2004b 1
2004b
2003a 1
Bài 4: Cho tam giác ABC có A∧ =300, AB=c, AC=b, M là trung điểm BC. Một đờng thẳng (d) quay xung quanh trọng tâm G của tam giác ABC sao cho (d) cắt đoạn AB tại điểm P và (d) cắt đoạn AC tại điểm Q
a) Đặt AP=x, hãy tìm tập hợp giá trị của x
b) Tính giá trị của biểu thức
AQ
AC AP
AB+ c) Hãy tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của diện tích tam giác APQ theo b, c
Hết
-(Giám thị coi thi không giải thích gì thêm)
Họ và tên thí sinh Số báo danh
1
2
Trang 2Hớng dẫn chấm đề môn toán
(đề thi dành cho tất cả các thí sinh)
Bài 1: 3.0 điểm
a) 2.0 điểm
m
Thay a = 2 và b = 1 vào hệ ta có:
= +
= +
(2) 2 y 5 3x
(1) 1 y
0
0
0
Vậy hệ PT đã cho có nghiệm duy nhất x=1/4 và y=1/4 0.5
0
b) 1.0 điểm
m
Cộng 2 PT của hệ ta có: 3a(x+y)=3 <=> a(x+y)=1 <=>
−
=
+
−
=
=
+
=
) ( 1
1
) (
1
1
B y
x
a
A y
x
a
0.2 5
Thay a(x+y)=1 vào hệ ban đầu có: b(x-y)=0 <=>b x==0y((C D)) 0.2
5
Dễ thấy hệ
) (
) (
C
A
có vô số nghiệm nguyên (x,y) dạng x=1-y ; hệ
)
(
)
(
D
A
5
Tơng tự trên hệ
) (
) (
C
B
có vố số nghiệm nguyên (x,y) dạng x=-1-y; hệ
)
(
)
(
D
B
không có nghiệm nguyên (x,y)
Vậy có hai cặp giá trị nguyên (a; b) cần tìm là: (1; 0) và (-1; 0) 0.2 5
Bài 2: 3.0 điểm
a) 2.0 điểm
m
+ +
−x (1 x)x 1 2x x2
1
Trang 3=
( )
−
+ +
−
−
+
2 1
2 1 1
: 2 1
2 1
x
x x
x
0.5 0
=
) 1 2 ( 2 : 2 1
2
−
+
−
−
+
x x
x x
x
(không có ĐK trừ
= , 1
2
− x (không có ĐK trừ 0.25 điểm) 0.5
0
b) 1.0 điểm
m
P=
−
+ +
−
−
+
2
2 2
2
) 1 (
) ( 1 : )
1
(
1
ax
a x ax
x
0.2 5
2 2
2
2
) 1 (
) 1 )(
1 ( : )
1
(
1
−
+ +
−
−
+
ax
a x
ax
x
1
1
+
5
2
1 1
1 2
2 ≥ ⇔ + ≤ ⇔ ≤ +
⇔
−
5
1
1≤ ≤
−
⇔ a , với a=-1 dễ thấy P=
2
1
− với mọi x≠−1 thoả mãn yêu cầu
đề bài
Bài 3: 1.0 điểm
m
Đặt
a
c z
c
b y
b
a x
2003
2005 ,
2005
2004 ,
2004
=
>
) ( 1
) ( 0 , ,
B xyz
A z
y
5
Khi đó P=(1+x)(1+y)(1+z)=1+(x+y+z)+(xy+yz+zx)+xyz (C)
áp dụng BĐT Côsi ta có:
3
33 =
≥
+
+ y z xyz
x ; xy+yz+zx≥3.3 (xyz)2 =3., dấu = xảy ra cho cả
Từ (A), (B), (D) suy ra x=y=z=1
∈
=
=
⇔
=
=
=
⇔
*
R 2004 2005 2003 2005
2005 2003 2004 2005 2003 2004
c
c b
c a
a c
c b
b a
(E)
0.2 5
Từ (C), (D) và (E) suy ra GTNN của P bằng 8 và các giá trị a, b, c
Trang 4Bài 4: 3.0 điểm
A
M
G
P
Q
K I
Nội dung trình bày Điể
m
a) 1.0 điểm:
-Khi điểm Q trùng với
điểm C thì điểm P trùng với trung điểm của
AB, suy ra x=c/2 0.2 5
-Khi điểm Q di động
đến trùng với trung
điểm AC thì điểm P di
động đến trùng với
điểm B, khi đó x tiến dần đến giá trị c 0.2 5
-Khi điểm Q nằm giữa A
và trung điểm AC thì
điểm P không thuộc
Vậy điểm P chỉ di
động giữa B và trung
điểm AB, hay tập hợp giá
trị của x là: [c/2; c] 0.2 5
b) 1.0 điểm:
Qua B kẻ đờng thẳng || với PQ cắt đờng thẳng AM tại K; qua C kẻ
đờng thẳng || với PQ cắt đờng thẳng AM tại I Khi đó xảy ra ba
tr-ờng hợp sau:
+TH1: I, K, M là ba điểm trùng nhau tại M khi đó ta dễ dàng tính
AQ
AC AP
AB
=
5
+TH2: I nằm trong đoạn GM và K nằm ngoài đoạn AM, khi đó ta
có: Tam giác BMK bằng tam giác CMI (g.c.g), suy ra MI=MK 0.2 5
3
=
− + +
=
+
= +
=
+
AG
AM AG
MI AM MK AM AG
AI AK AG
AI AG
AK AQ
AC
AP
5
+TH3: K nằm trong đoạn GM và I nằm ngoài đoạn AM, xét tơng tự
nh TH2 ta cũng có kết quả 3
AQ
AC AP
5
c) 1.0 điểm:
+Kí hiệu s là diện tích tam giác APQ ta có:
AQ AP PAQ
AQ
AP
4
1 sin
2
1
=
5
Trang 5+ Theo trên có:
c x
bx AB
AP
AP AC AQ
x AP
−
=
−
=
=
3 3
c x
bx s
−
= 3
4
1 2 với
∈ c c
2 , từ đó suy ra s lớn nhất, nhỏ nhất khi = − ∈ c
c x c x
bx
2
, 3
2
+ Có
9
4 2 3
3 9 3
9 9
2 2
2
c c x
c c x
b c
x
c c x b
+
− +
−
=
−
+
−
c x
c c x
3
2 3
3
2
=
⇔
−
=
− Vậy s nhỏ nhất bằng
9
bc
khi
AB
AP
3
2
5
+ Ta chứng minh
2
bc
y≤ với x∈c2;c (*)
2 3
2 2
2
≤
−
−
⇔
≤ +
−
⇔
≤
−
c x
với mọi x∈c2;c, dấu = xảy ra khi
2
c
x= Vậy s lớn nhất bằng
8
bc
khi
2
AB
5
-Một số lu ý khi chấm
1 Điểm toàn bài tính đến 0.25 điểm
2 Nếu học sinh có cách giải khác thì phải căn cứ vào biểu điểm đã cho tổ chấm thống nhất cách chia điểm từng ý cho thích hợp.
3 Với các phần tìm cực trị học sinh chỉ cần chỉ ra một giá trị của biến để đạt cực trị vẫn cho điểm tối đa.
4 Bài hình học nếu không vẽ hình thì không cho điểm; Phần 1) của bài hình học bắt buộc học sinh phải chỉ ra đợc hai điểm giới hạn của điểm P trên đoạn
AB từ đó suy ra miền giá trị của x mới cho điểm tối đa.