5,0 điểm: Cho đường tròn tâm O đường kính AB; E là một điểm bất kì thuộc đường kính AB E khác A và B.. Vẽ đường tròn O’ đường kính EB, qua trung điểm H của AE vẽ dây cung CD của đường tr
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN THẠCH HÀ
ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH MÔN TOÁN LỚP 9
NĂM HỌC 2011 - 2012 Thời gian làm bài: 150 phút Ngày thi: 23 / 12 / 2011
Bài 1 (4,0 điểm):
M
a) Rút gọn biểu thức
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của M
Bài 2 (5,0 điểm):
A
b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n,
Bài 3 (4,0 điểm):
Giải các phương trình:
a) 3 x 1 3 x 2 3 x 3 0
Bài 4 (5,0 điểm):
Cho đường tròn tâm O đường kính AB; E là một điểm bất kì thuộc đường kính AB (E khác A và B) Vẽ đường tròn (O’) đường kính EB, qua trung điểm H của AE vẽ dây cung CD của đường tròn (O) và vuông góc với AE, BC cắt đường tròn (O’) tại I Chứng minh rằng:
a) Ba điểm I, E, D thẳng hàng
b) HI là tiếp tuyến của đường tròn (O’)
c) ∆CHO = ∆HIO’
d) HA + HB + HC + HD 2 2 2 2 không đổi khi E chuyển động trên đường kính AB
Bài 5 (2,0 điểm):
Hết
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM
Bài 1
4,0đ
a) (2,0đ)
ĐKXĐ: a 0;a 9� �
M
2
a a 3 2( a 3) ( a 3)( a 1)
( a 1)( a 3)
a a 3 2a 12 a 18 a 4 a 3
( a 1)( a 3)
a a 24 3a 8 a
( a 1)( a 3)
a( a 3) 8(3 a ) ( a 1)( a 3)
a 8
a 1
0,5đ
0,5đ 0,5đ
0,5đ
b) (2,0đ)
Ta có: M a 8 a 1 9 a 1 9 2
Áp dụng BĐT CôSi cho 2 số a 1 và 9
a 1 ta có:
9
a 1
Dấu “=” xẩy ra khi a 1 9 a 1 3 a 4
a 1
Vậy: Min M = 4 khi a 4
0,75đ
0,5đ
0,5đ 0,25đ
Bài 2
5,0đ
a) (2,5đ)
Trước hết chứng minh: Với hai số dương x và y ta có : 1 1 4
x �y x y
(*)
Áp dụng (*) ta có 1 x y 1 1 4 4
xy xy x y x y
A
xy x y
2xy x y 2xy 2xy x y 2 xy x 2xy y
2
2 xy (x y)
Dấu “=” xẩy ra khi x y 1 x y 1
�
�
�
� Vậy Min A = 14 tại x = y = 2
1
0,5đ
0,5đ
1,0đ 0,5đ
Trang 3b) (2,5đ)
(n 1)n n n 1 (n 1) n
n
��� ����� ��
��� ����� � �� � ��
A= 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1
2 1 3 2 4 3 (n 1) n 1 2 2 3 n n 1
0,5đ
0,5đ 0,5đ
1,0đ
Bài 3
4,0đ
a) (2,0đ)
Đặt : a=3 x1 ; b=3 x2 ; c=3 x3 Phương trình (1) đã cho trở thành:
a+b+c= 0 �a b c�a 3ab(a b) b c
a b c 3ab(a b) 3abc
�
x + 1+ x +2 + x +3 = 33 (x1)(x2)(x3)
<=> 3(x+2) = 33 (x1)(x2)(x3) (x +2)3 = (x+1)(x+ 2)(x+3)
<=> (x+2) [(x +2)2- (x +1)(x +3)] =0
<=> x +2 = 0 <=> x = - 2
Vậy pt (1) có nhgiêm x = - 2
1,0đ 0,5đ
0,5đ
b) (2,0đ)
Với t = 2 ta có x25x 4 2 � x25x 4 4 � x 0 hoặc x = - 5
Đối chiếu điều kiện (*) ta có nghiệm của pt (2) là x = 0 và x = - 5
0,5đ 0,25đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ
Bài 4
5,0đ Vẽ hình đúng (0,5đ)
Trang 4a) (1,5đ)
Tứ giác ACED là hình thoi (vì hai đường chéo vuông góc và cắt nhau tại trung điểm)
=> AC // DE
Mà AC BC => DE BC (1)
I thuộc (O’) => EI IB hay EI BC (2)
Từ (1) và (2) => D, E, I thẳng hàng (đpcm)
0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ
b) (1,0đ)
Vì �HID HDI� và �O 'IB B mà � �� D B (cùng phụ với � BCD ) �HID O 'IB� �
Do đó: �HIO 90 0, suy ra HI là tiếp tuyến của (O’)
0,5đ
0,5đ
c) (1,0đ)
Xét 2 tam giác vuông HCO và IHO’ có HC = HI (vì cùng = HD) (3)
Ta có OC =R(O)
HO’ = HE + EO’ = 1/2AE + 1/2EB = 1/2.2R(O)= R(O)
=> OC = HO’ (4)
Từ (3) và (4) => ΔHCO = ΔIHO' (cạnh huyền – cạnh góc vuông)
0,5đ
0,5đ
d) (1,0đ)
Ta có: HA2 + HB2 = AC2 ; HC2 + HD2 = BD2
Mà BD = BC (do AB là đường trung trực của CD)
Nên HA2 + HB2 + HC2 + HD2 = AC2 + BC2
Mặt khác: ACB nội tiếp đường tròn đường kính AB �ACB vuông tại C
� AC2 + BC2 = AB2 = 4R2
Vậy, tổng HA2 + HB2 + HC2 + HD2 = 4R2 không đổi khi E chuyển động trên đường
kính AB
0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ
Bài 5
2,0đ
Gọi C là giao điểm của đoạn thẳng OA với (O; R)
Trên đoạn OC lấy điểm N sao choOC 2
ON Suy ra OC OM OA 2
ON ON OM suy ra MOA~NOM
(c.g.c)
MA
(không đổi)
Dấu “=” xẩy ra khi M thuộc đoạn NB Vậy M là giao
điểm của đoạn NB với đường tròn (O; R)
B
N M
O
0,5đ
0,5đ
0,5đ 0,5đ
Lưu ý: - Học sinh giải cách khác đúng và hợp lí vẫn cho điểm tối đa;
- Điểm toàn bài thi qui tròn đến 0,5.