Về tính ổn định hóa cho lớp hệ tuyến tính dương với điều khiển có hạn chế (Luận văn thạc sĩ)

Về tính ổn định hóa cho lớp hệ tuyến tính dương với điều khiển có hạn chế (Luận văn thạc sĩ)Về tính ổn định hóa cho lớp hệ tuyến tính dương với điều khiển có hạn chế (Luận văn thạc sĩ)Về tính ổn định hóa cho lớp hệ tuyến tính dương với điều khiển có hạn chế (Luận văn thạc sĩ)Về tính ổn định hóa cho lớp hệ tuyến tính dương với điều khiển có hạn chế (Luận văn thạc sĩ)Về tính ổn định hóa cho lớp hệ tuyến tính dương với điều khiển có hạn chế (Luận văn thạc sĩ)Về tính ổn định hóa cho lớp hệ tuyến tính dương với điều khiển có hạn chế (Luận văn thạc sĩ)Về tính ổn định hóa cho lớp hệ tuyến tính dương với điều khiển có hạn chế (Luận văn thạc sĩ)Về tính ổn định hóa cho lớp hệ tuyến tính dương với điều khiển có hạn chế (Luận văn thạc sĩ)Về tính ổn định hóa cho lớp hệ tuyến tính dương với điều khiển có hạn chế (Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

——————–o0o——————–

NGUYỄN THỊ THÚY

VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH HÓA CHO LỚP HỆ TUYẾN TÍNH DƯƠNG VỚI ĐIỀU KHIỂN

CÓ HẠN CHẾ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

——————–o0o——————–

NGUYỄN THỊ THÚY

VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH HÓA CHO LỚP HỆ TUYẾN TÍNH DƯƠNG VỚI ĐIỀU KHIỂN

CÓ HẠN CHẾ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Mã số: 60 46 01 12

GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN

TS MAI VIẾT THUẬN

THÁI NGUYÊN - 2017

Mục lục

1.1 Bài toán ổn định và ổn định hóa cho hệ phương trình vi phân

thường 1

1.1.1 Bài toán ổn định 1

1.1.2 Phương pháp hàm Lyapunov 2

1.1.3 Bài toán ổn định hóa 3

1.2 Bài toán ổn định và ổn định hóa cho hệ phương trình vi phân có trễ 4

1.2.1 Bài toán ổn định hệ có trễ 4

1.2.2 Bài toán ổn định hóa hệ điều khiển có trễ 6

1.3 Hệ tuyến tính dương 7

1.4 Hệ tuyến tính dương có trễ 8

2 Tính ổn định hóa của lớp hệ tuyến tính dương với điều khiển có hạn chế 9 2.1 Tính ổn định hóa của lớp hệ điều khiển tuyến tính 9

2.2 Tính ổn định hóa của lớp hệ điều khiển tuyến tính với điều khiển có hạn chế 16

3 Tính ổn định hóa của lớp hệ tuyến tính dương có trễ với điều khiển có hạn chế 22 3.1 Tính ổn định hóa của lớp hệ điều khiển tuyến tính dương có trễ 22 3.2 Tính ổn định hóa của lớp hệ điều khiển tuyến tính có trễ với điều khiển có hạn chế 27

ii

Lời nói đầu

Hệ dương xuất hiện nhiều trong lĩnh vực về khoa học và công nghệ như cácquá trình sinh học, hóa học, trong các mô hình dân số, trong cơ học, kinh tếhọc (xem [6, 9] và các tài liệu tham khảo trong đó) Nói một cách hình tượng,một hệ động lực được gọi là hệ dương nếu các vectơ trạng thái và vectơ đầu

ra của hệ là không âm khi mà các điều kiện ban đầu và đầu vào là không

âm Bài toán nghiên cứu tính ổn định hóa các hệ điều khiển dương là mộtbài toán quan trọng trong lý thuyết điều khiển hệ thống và đã nhận được sựquan tâm nghiên cứu của nhiều nhà khoa học trên thế giới (xem [3, 7, 9] vàcác tài liệu tham khảo trong đó)

Mặt khác, trong nhiều bài toán thực tiễn, các đối tượng điều khiển thường

sẽ bị hạn chế (ràng buộc) bởi các điều kiện do các thông số kỹ thuật phảithỏa mãn những yêu cầu khác nhau Ví dụ, ta đòi hỏi đối tượng điều khiển

là các số không âm, hoặc nằm trong một miền giới hạn cho trước nào đó Vìvậy, việc nghiên cứu tính ổn định hóa cho lớp hệ điều khiển dương với điềukhiển có hạn chế là một bài toán cần thiết và có ý nghĩa Bài toán này đãnhận được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều tác giả trong những năm gầnđây (xem [10, 13] và các tài liệu tham khảo trong đó)

Mục đích của luận văn là trình bày một số tiêu chuẩn cho tính ổn định hóacủa lớp hệ điều khiển tuyến tính có trễ cũng như không có trễ với điều khiển

có hạn chế trên cơ sở các bài báo [9, 11] trong danh mục tài liệu tham khảo.Nội dung của luận văn gồm 3 chương:

Chương 1 là chương kiến thức chuẩn bị Mục 1.1 giới thiệu bài toán ổnđịnh, bài toán ổn định hóa cho hệ phương trình vi phân thường Mục 1.2 giớithiệu bài toán ổn định và bài toán ổn định hóa cho hệ phương trình vi phân

có trễ Mục 1.3 và Mục 1.4 trình bày một số khái niệm hệ dương có trễ cũngnhư không có trễ

điều khiển có hạn chế Ngoài ra, trong chương này, chúng tôi đưa ra 04 ví

dụ số được tính toán bằng phần mềm MATLAB để minh họa cho kết quả lýthuyết Có thể nói ngoài việc đọc hiểu và trình bày một cách chi tiết các kếtquả trong bài báo [11], thì 04 ví dụ số này chính là đóng góp mới của chúngtôi trong luận văn này

Chương 3 nghiên cứu tính ổn định hóa cho lớp hệ tuyến tính dương có trễ.Cũng như Chương 2, trong chương này, chúng tôi cũng đưa ra 02 ví dụ sốđược tính toán bằng phần mềm MATLAB để minh họa cho kết quả lý thuyết.Luận văn này được hoàn thành tại Trường Đại học Khoa học - Đại họcThái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của TS Mai Viết Thuận, tác giảxin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới thầy, người đã dành nhiều thời gian

và tâm huyết để hướng dẫn tận tình, giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập,nghiên cứu và viết bản luận văn này

Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn Lãnh đạo Trường Đại học Khoa học Đại học Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Toán - Tin cùng toàn thể các thầy

-cô trong và ngoài trường đã giảng dạy giúp tôi trau dồi thêm rất nhiều kiếnthức phục vụ cho việc học tập và nghiên cứu của bản thân Đồng thời tác giảcũng xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp cao học Toán K9C (khóa 2015-2017)

đã động viên và giúp đỡ tác giả rất nhiều trong quá trình học tập

Xin chân thành cảm ơn!

Thái Nguyên, tháng 9 năm 2017

Tác giả

Nguyễn Thị Thúy

Một số ký hiệu và chữ viết tắt

R, R+ tập các số thực, số thực không âm tương ứng

1.1 Bài toán ổn định và ổn định hóa cho hệ phương

• Nghiệm của hệ (1.1) được gọi là ổn định tiệm cận nếu nó ổn định và vớimỗi t0 ≥ 0 tồn tại δ = δ0(t0) > 0 sao cho với nghiệm x(t; t0, x0) bất kỳcủa hệ (1.1), nếu ||x0|| < δ0 thì lim

t→+∞||x(t; t0, x0)|| = 0

• Nghiệm của hệ (1.1) được gọi là ổn định mũ nếu tồn tại các hằng số

α > 0, N ≥ 1 sao cho với mọi x0 ∈ Rn, t0 ∈ R+, nghiệm x(t; t0, x0) bất

kì của hệ (1.1) thỏa mãn điều kiện

||x(t; t0, x0)|| ≤ N ||x0||e−α(t−t0 ), ∀t ≥ t0

Số N được gọi là hệ số ổn định Lyapunov, α gọi là số mũ ổn định Ngoài

ra α, N còn được gọi chung là chỉ số ổn định Lyapunov

Để ngắn gọn, thay vì nói nghiệm không của hệ (1.1) ổn định (ổn định tiệmcận, ổn định mũ) ta nói hệ (1.1) là ổn định (ổn định tiệm cận, ổn định mũ).Xét lớp hệ tuyến tính ôtônôm







˙x(t) = Ax(t), t ≥ t0x(t0) = x0

1.1.2 Phương pháp hàm Lyapunov

Ta nhắc lại khái niệm hàm Lyapunov cho hệ (1.1)

Định nghĩa 1.2 (Xem [1]) Hàm V : R+× Rn → R, khả vi liên tục, thỏa mãn

(iv) V (t, x) ≤ −c(||x(t)||) với mọi nghiệm x(t) của hệ (1.1)

thì V (t, x) được gọi là hàm Lyapunov chặt của hệ (1.1)

Sau đây, chúng tôi nhắc lại định lý về tính ổn định của hệ (1.1)

Định lý 1.1 (Xem [1]) Nếu hệ (1.1) có hàm Lyapunov thì hệ là ổn định.Hơn nữa, nếu hàm Lyapunov là chặt thì hệ là ổn định tiệm cận

Định lý 1.2 (Xem [1]) Giả sử hệ (1.1) có hàm Lyapunov thỏa mãn các điềukiện sau:

(i) ∃λ1, λ2 > 0 : λ1||x||2 ≤ V (t, x) ≤ λ2||x||2

, ∀(t, x) ∈ R+× Rn,(ii) ∃λ3 > 0 : V (t, x) ≤ −2λ3V (t, x(t)) với mọi nghiệm x(t) của hệ (1.1).Khi đó hệ (1.1) là ổn định mũ với các chỉ số ổn định Lyapunov là λ3 và

N = r λ2

λ1.

1.1.3 Bài toán ổn định hóa

Xét một hệ thống điều khiển được mô tả bởi hệ phương trình vi phân

trong đó x(t) ∈ Rn là vectơ trạng thái, u(t) ∈ Rm là vectơ điều khiển Hàmđiều khiển u(.) thuộc lớp hàm bình phương khả tích trên các đoạn hữu hạn[0; s], ∀s ≥ 0 và lấy giá trị trong Rm Hàm R+× Rn× Rm → Rn là hàm vectơcho trước, thỏa mãn điều kiện f (t, 0, 0) = 0, ∀t ≥ 0 Giả thiết rằng, với mỗiu(.) thuộc lớp hàm bình phương khả tích trên các đoạn hữu hạn [0, s], vớimọi s ≥ 0 và lấy giá trị trong Rm và với mọi x0 ∈ Rn, hệ (1.3) có nghiệm duynhất xu(t) = xu(t; x0) thỏa mãn điều kiện ban đầu xu(0; x0) = x0 và xác địnhtrên [0; +∞)

Một bài toán quan trọng khác của lý thuyết điều khiển là bài toán ổn địnhhóa

Luận văn đầy đủ ở file: Luận văn full