Phương pháp gradient tăng cường cho bài toán cân bằng hỗn hợp tổng quát, bài toán điểm bất động và bài toán bất đẳng thức biến phân (Luận văn thạc sĩ)

Phương pháp gradient tăng cường cho bài toán cân bằng hỗn hợp tổng quát, bài toán điểm bất động và bài toán bất đẳng thức biến phân (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp gradient tăng cường cho bài toán cân bằng hỗn hợp tổng quát, bài toán điểm bất động và bài toán bất đẳng thức biến phân (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp gradient tăng cường cho bài toán cân bằng hỗn hợp tổng quát, bài toán điểm bất động và bài toán bất đẳng thức biến phân (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp gradient tăng cường cho bài toán cân bằng hỗn hợp tổng quát, bài toán điểm bất động và bài toán bất đẳng thức biến phân (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp gradient tăng cường cho bài toán cân bằng hỗn hợp tổng quát, bài toán điểm bất động và bài toán bất đẳng thức biến phân (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp gradient tăng cường cho bài toán cân bằng hỗn hợp tổng quát, bài toán điểm bất động và bài toán bất đẳng thức biến phân (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp gradient tăng cường cho bài toán cân bằng hỗn hợp tổng quát, bài toán điểm bất động và bài toán bất đẳng thức biến phân (Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

HOÀNG TUẤN DOANH

PHƯƠNG PHÁP GRADIENT TĂNG CƯỜNG

CHO BÀI TOÁN CÂN BẰNG HỖN HỢP TỔNG QUÁT, BÀI TOÁN ĐIỂM BẤT ĐỘNG VÀ BÀI TOÁN BẤT

ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Mã số: 60 46 01 12

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS Trương Minh Tuyên

Thái Nguyên – 2017

Lời cảm ơn

Luận văn này được thực hiện tại trường Đại học Khoa học - Đại học TháiNguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS Trương Minh Tuyên Tác giảxin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới người hướng dẫn khoahọc của mình, người đã đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn

và tận tình giải đáp những thắc mắc của tác giả trong suốt quá trình làm luậnvăn

Trong quá trình hoàn thiện luận văn, tác giả cũng đã học tập được rất nhiềukiến thức chuyên ngành bổ ích phục vụ cho công tác và nghiên cứu của bản thân.Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới các Thầy giáo, Cô giáo đã tham giagiảng dạy lớp Cao học Toán K9Y, Ban giám hiệu, các phòng chức năng và KhoaToán - Tin của trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên đã quan tâm vàgiúp đỡ tác giả trong suốt thời gian tác giả học tập và nghiên cứu tại trường.Xin chân thành cảm ơn các thành viên lớp cao học K9Y và bạn bè đồngnghiệp đã trao đổi, động viên và khích lệ tác giả trong suốt quá trình hoàn thiệnluận văn

Mục lục

1.1 Một số tính chất của không gian Hilbert 3

1.2 Bài toán tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn 10

1.3 Bài toán bất đẳng thức biến phân 11

1.3.1 Phát biểu bài toán 11

1.3.2 Phương pháp gradient 12

1.3.3 Phương pháp gradient tăng cường 13

1.4 Bài toán cân bằng 14

1.4.1 Phát biểu bài toán 14

1.4.2 Bài toán cân bằng và các bài toán liên quan 14

1.4.3 Bài toán cân bằng hỗn hợp tổng quát 16

1.4.4 Một số phương pháp giải bài toán cân bằng 18

Chương 2 Phương pháp gradient tăng cường tìm nghiệm chung của bài toán cân bằng hỗn hợp tổng quát, bài toán điểm bất động và bài toán bất đẳng thức biến phân 20 2.1 Một số bổ đề bổ trợ 20

2.2 Phương pháp gradient tăng cường tìm nghiệm chung của bài toán cân bằng hỗn hợp tổng quát, bài toán điểm bất động và bài toán bất đẳng thức biến phân 25

2.3 Một số hệ quả 36

2.4 Ứng dụng 41

2.5 Ví dụ số minh họa 46

Một số ký hiệu và viết tắt

Mở đầu

Bài toán cân bằng có vị trí quan trọng trong lĩnh vực giải tích phi tuyến, nó

có mối liên hệ mật thiết, qua lại (theo nghĩa bài toán này có thể đưa về bài toánkia và ngược lại) với một số bài toán quan trọng khác như bài toán tối ưu, bàitoán bất đẳng thức biến phân, bài toán bù, bài toán minimax, bài toán điểm bấtđộng Việc nghiên cứu các phương pháp giải bài toán điểm bất động, bài toánbất đẳng thức biến phân hay bài toán cân bằng (hỗn hợp tổng quát) có nhiều

ý nghĩa thực tiễn trong các lĩnh vực kinh tế, tài chính, cơ khí và khoa học kỹthuật

Trong những năm gần đây vấn đề nghiên cứu các phương pháp tìm nghiệmchung của mô hình bao gồm nhiều bài toán khác nhau đã thu hút được nhiềungười làm toán trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu Một trong những bàitoán được quan tâm nhiều là bài toán tìm một nghiệm chung của bài toán cânbằng hỗn hợp tổng quát, bài toán bất đẳng thức biến phân và bài toán điểm bấtđộng của ánh xạ không giãn

Mục đích của luận văn này là trình bày lại chi tiết kết quả của các tác giả J

W Peng và J C Yao trong tài liệu [12] về sự kết hợp giữa phương pháp gradienttăng cường, phương pháp lặp Mann và phương pháp lai chiếu cho bài toán tìmmột nghiệm chung của bài toán cân bằng hỗn hợp tổng quát, bài toán bất đẳngthức biến phân và bài toán điểm bất động trong không gian Hilbert

Nội dung chính của luận văn được chia làm hai chương, trong đó:

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị

Trong chương này luận văn tập trung trình bày về một số đặc trưng quantrọng thường xuyên được sử dụng của không gian Hilbert thực H (một số đẳngthức bất đẳng thức cơ bản, sự hội tụ yếu, tính chất Kadec-Klee, phép chiếumêtric, định lý tách tập lồi, tính đóng yếu của một tập con lồi và đóng C), sơlược về bài toán điểm bất động của ánh xạ không giãn cùng với phương pháplai chiếu được đề suất bởi K Nakajo và W Takahashi [9], bài toán bất đẳngthức biến phân cùng với các phương pháp gradient [3, 7], gradient tăng cường[6, 10, 11] và bài toán cân bằng (hỗn hợp tổng quát) cùng với một số bài toánliên quan

Chương 2 Phương pháp gradient tăng cường tìm nghiệm chung củabài toán cân bằng hỗn hợp tổng quát, bài toán điểm bất động và bàitoán bất đẳng thức biến phân

Trong chương này trước hết luận văn đề cập đến một số bổ đề bổ trợ nhằmphục vụ cho chứng minh của các định lý chính như: Bổ đề KKM, bổ đề về tínhchất của ánh xạ giải Tr cho bài toán cân bằng hỗn hợp tổng quát Tiếp theo,luận văn trình bày lại chi tiết các chứng minh về sự hội tụ mạnh của phươngpháp gradient tăng cường cho bài toán tìm nghiệm chung của bài toán cân bằnghỗn hợp tổng quát, bài toán bất đẳng thức biến phân và bài toán điểm bất độngtrong tài liệu [12] Cuối cùng của chương này là một ví dụ số đơn giản trên tậpcác số thực R và thử nghiệm số dựa trên phần mềm MATLAB nhằm minh họathêm cho tính đúng đắn của phương pháp lặp

1.1 Một số tính chất của không gian Hilbert

Ta luôn giả thiết H là không gian Hilbert thực với tích vô hướng được kí hiệu

là h., i và chuẩn được kí hiệu là k.k

Mệnh đề 1.1 Trong không gian Hilbert thực H ta luôn có đẳng thức sau

kx − yk2+ kx − zk2 = ky − zk2+ 2hx − y, x − zi,với mọi x, y, z ∈ H

Chứng minh Thật vậy, ta có

ky − zk2+ 2hx − y, x − zi = hy, yi + hz, zi + 2hx, xi − 2hx, zi − 2hx, yi

= [hx, xi − 2hx, yi + hy, yi]

+ [hx, xi − 2hx, zi + hz, zi]

= kx − yk2+ kx − zk2.Vậy ta được điều phải chứng minh

Mệnh đề 1.2 Cho H là một không gian Hilbert thực Khi đó, với mọi x, y ∈ H

và mọi λ ∈ [0, 1], ta có

kλx + (1 − λ)yk2 = λkxk2+ (1 − λ)kyk2− λ(1 − λ)kx − yk2 (1.1)Chứng minh Ta có

kλx + (1 − λ)yk2 = λ2kxk2+ 2λ(1 − λ)hx, yi + (1 − λ)2kyk2

= λkxk2+ (1 − λ)kyk2− λ(1 − λ)(kxk2− 2hx, yi + kyk2)

= λkxk2+ (1 − λ)kyk2− λ(1 − λ)kx − yk2

Ta được điều phải chứng minh

Mệnh đề 1.3 Cho H là một không gian Hilbert thực Khi đó, nếu với x, y ∈ Hthỏa mãn điều kiện

|hx, yi| = kxk.kyk,tức là bất đẳng thức Schwars xảy ra dấu bằng thì hai véc tơ x và y là phụ thuộctuyến tính

Chứng minh Giả sử ngược lại rằng x 6= λy với mọi λ ∈ R Khi đó, từ tính chấtcủa tích vô hướng, ta có

0 < kx − λyk2 = λ2kyk2− 2λhx, yi + kxk2,với mọi λ ∈ R Ta thấy rằng nếu y = 0, thì hiển nhiên x và y là phụ thuộc tuyếntính Giả sử y 6= 0, khi đó với λ = hx, yi

kyk2 , thì bất đẳng thức trên trở thành

|hx, yi| < kxk.kyk,điều này mâu thuẫn với giả thiết Vậy x và y là phụ thuộc tuyến tính

5với mọi y ∈ H Từ tính liên tục của tích vô hướng, suy ra nếu xn → x, thì

xn * x Tuy nhiên, điều ngược lại không đúng Chẳng hạn xét không gian

|hen, yi|2 < kyk2 < ∞

Suy ra limn→∞hen, yi = 0, tức là en * 0 Tuy nhiên, {en} không hội tụ về 0, vì

6Mệnh đề 1.5 Mọi không gian Hilbert thực H đều có tính chất Kadec-Klee, tức

là nếu {xn} ⊂ H là một dãy bất kỳ trong H thỏa mãn các điều kiện xn * x và

kxnk → kxk, thì xn → x, khi n → ∞

Chứng minh Ta có

kxn − xk2 = kxnk2− 2hxn, xi + kxk2

→ 0, n → ∞

Suy ra xn → x, khi n → ∞ Mệnh đề được chứng minh

Mệnh đề 1.6 Cho C là một tập con lồi và đóng của không gian Hilbert thực

H Khi đó, với mỗi x ∈ H, tồn tại duy nhất phần tử PCx ∈ C sao cho

kx − PCxk ≤ kx − yk với mọi y ∈ C

Chứng minh Thật vậy, đặt d = inf

u∈Ckx − uk Khi đó, tồn tại {un} ⊂ C sao cho

Suy ra u = v Vậy tồn tại duy nhất một phần tử PCx ∈ C sao cho

kx − PCxk = infu∈Ckx − uk

Định nghĩa 1.1 Phép cho tương ứng mỗi phần tử x ∈ H một phần tử PCx ∈ Cxác định như trên được gọi là phép chiếu mêtric từ H lên C

Ví dụ 1.1 Cho C = {x ∈ H : hx, ui = y}, với u 6= 0 Khi đó

PCx = x + y − hx, ui

kuk2 u.

Luận văn đầy đủ ở file: Luận văn full