Đa thức trong các bài toán thi học sinh giỏi (Luận văn thạc sĩ)

Đa thức trong các bài toán thi học sinh giỏi (Luận văn thạc sĩ)Đa thức trong các bài toán thi học sinh giỏi (Luận văn thạc sĩ)Đa thức trong các bài toán thi học sinh giỏi (Luận văn thạc sĩ)Đa thức trong các bài toán thi học sinh giỏi (Luận văn thạc sĩ)Đa thức trong các bài toán thi học sinh giỏi (Luận văn thạc sĩ)Đa thức trong các bài toán thi học sinh giỏi (Luận văn thạc sĩ)Đa thức trong các bài toán thi học sinh giỏi (Luận văn thạc sĩ)Đa thức trong các bài toán thi học sinh giỏi (Luận văn thạc sĩ)Đa thức trong các bài toán thi học sinh giỏi (Luận văn thạc sĩ)Đa thức trong các bài toán thi học sinh giỏi (Luận văn thạc sĩ)Đa thức trong các bài toán thi học sinh giỏi (Luận văn thạc sĩ)Đa thức trong các bài toán thi học sinh giỏi (Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

NGUYỄN THANH TÙNG

ĐA THỨC TRONG CÁC BÀI TOÁN

THI HỌC SINH GIỎI

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2017

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

NGUYỄN THANH TÙNG

ĐA THỨC TRONG CÁC BÀI TOÁN

THI HỌC SINH GIỎI

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 60 46 01 13

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

GS.TSKH Đặng Hùng Thắng

THÁI NGUYÊN - 2017

Mục lục

1.1 Định nghĩa và các tính chất 7

1.1.1 Định nghĩa 7

1.1.2 Các phép tính trên đa thức 8

1.1.3 Các tính chất cơ bản 9

1.2 Phép chia đa thức Ước chung lớn nhất và nhỏ nhất 11

1.2.1 Phép chia đa thức 11

1.2.2 Thuật toán Euclide 11

1.3 Nghiệm của đa thức Phương trình bậc cao 16

1.3.1 Nghiệm của đa thức 16

1.3.2 Phương trình bậc cao 22

1.4 Đạo hàm của đa thức Định lý Taylor 32

Chương 2 Đa thức bất khả quy 36 2.1 Đa thức bất khả quy 36

2.1.1 Đa thức với hệ số thực và phức 37

2.1.2 Đa thức bất khả quy của vành Q[x] 40

2.2 Một số bài toán điển hình 42

Chương 3 Một số chủ đề khác 46 3.1 Đa thức nhiều biến 46

3.2 Đa thức đối xứng 49

3.3 Phương trình hàm đa thức 53

3.4 Đa thức Chebyshev 56

3.4.1 Định nghĩa - Tính chất 57

3.4.2 Một số bài toán chọn lọc 58

Các bài toán nâng cao về đa thức xuất hiện cũng khá nhiều trong các tạp chítoán học cho học sinh khá giỏi (như Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ, Kvant, Crux, ).Tuy nhiên hiện nay có ít các tài liệu về tiếng Việt trình bày một cách hệ thống cả

lý thuyết và bài tập về đa thức, với định hướng bồi dưỡng học sinh giỏi Toán vàbồi dưỡng giáo viên dạy chuyên Toán

Mục tiêu của luận văn là tìm hiểu một cách đầy đủ những kết quả quan trọngcủa đa thức có nhiều ứng dụng trong Toán phổ thông Trên cơ sở đó, phân loại và

hệ thống hoá (theo dạng cũng như phương pháp giải) các bài tập nâng cao về đathức đã có cũng như sáng tác, bổ sung thêm những bài toán mới

Chúng tôi rất cố gắng để luận văn này trở thành một tài liệu tham khảo tốt, thiếtthực phục vụ cho việc giảng dạy học sinh giỏi và bồi dưỡng giáo viên Thông quaviệc viết luận văn học viên sẽ mở rộng nâng cao hiểu biết về đa thức, hình thànhcác kỹ năng giải các bài toán khó về đa thức, kỹ năng tìm kiếm thu thập chọn lọccác thông tin

Nội dung của luận văn được trình bày trong ba chương như sau:

• Chương 1 Đa thức một biến Trong chương này chúng tôi sẽ trình bày ngắn

gọn về định nghĩa và các tính chất của đa thức Các vấn đề nền tảng về phépchia đa thức, ước - bội, nghiệm và phương trình bậc cao, đạo hàm và khaitriển Taylor sẽ được trình bày

• Chương 2 Đa thức bất khả quy Đa thức bất khả quy là một trong những

chủ đề trọng tâm của lý thuyết các đa thức Nó vừa mang tính chất lý thuyết,vừa mang tính ứng dụng, đặc biệt là các bài tập nâng cao trong các đề thi

có tính chất tuyển chọn Chương này chúng tôi tập trung nghiên cứu các đathức bất khả quy trên các vành (trường) số quen biết của toán học sơ cấp

• Chương 3 Một số chủ đề khác Chương này dành để nghiên cứu một số vấn

đề nâng cao của lý thuyết đa thức, mà mục đích của nó là để hiểu biết sâu sắchơn lý thuyết, đồng thời là nền tảng cho các ứng dụng Các vấn đề được quantâm trong chương này là các đa thức nhiều biến, đa thức đối xứng, phươngtrình hàm đa thức và đa thức Chebyshev

Luận văn này được thực hiện tại Trường Đại học Khoa học - Đại học TháiNguyên và hoàn thành với sự hướng dẫn của GS.TSKH Đặng Hùng Thắng (TrườngĐHKHTN - ĐHQG Hà Nội) Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành vàsâu sắc tới người hướng dẫn khoa học của mình, người đã đặt vấn đề nghiên cứu,dành nhiều thời gian hướng dẫn và tận tình giải đáp những thắc mắc của tác giảtrong suốt quá trình làm luận văn

Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Khoa học - Đạihọc Thái Nguyên, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán–Tin, cùng các giảng viên đã thamgia giảng dạy, đã tạo mọi điều kiện tốt nhất để tác giả học tập và nghiên cứu.Tác giả muốn gửi những lời cảm ơn tốt đẹp nhất tới tập thể lớp Cao học Toánkhóa 9 (2015-2017) đã động viên và giúp đỡ tác giả rất nhiều trong suốt quá trìnhhọc tập

Nhân dịp này, tác giả cũng xin chân thành cảm ơn Sở Giáo dục và Đào tạo Hải

Phòng, Ban Giám hiệu và các đồng nghiệp ở Trường THPT Hùng Vương đã tạođiều kiện cho tác giả hoàn thành tốt nhiệm vụ học tập và công tác của mình.Cuối cùng, tác giả muốn dành những lời cảm ơn đặc biệt nhất đến bố mẹ vàđại gia đình đã luôn động viên và chia sẻ những khó khăn để tác giả hoàn thànhtốt luận văn này

Thái Nguyên, ngày 02 tháng 11 năm 2017

Tác giả

Nguyễn Thanh Tùng

1.1.1 Định nghĩa

Giả sử R là một vành giao hoán có đơn vị

Định nghĩa 1.1.1 Biểu thức có dạng

anxn+ an−1xn−1+ + a1x+ a0 với an 6= 0trong đó an, an−1, , a1, a0 là những phần tử thuộc vành R, được gọi là một đa

thứctrên vành R

Trong định nghĩa này, ai được gọi là các hệ số của đa thức, hệ số an được gọi

là hệ số bậc cao nhất của đa thức, số tự nhiên n được gọi là bậc của đa thức, ký hiệu là deg P(x), x được gọi là ẩn, hay biến hay đối số của đa thức, an được gọi là

hệ số cao nhất, a0 được gọi là hệ số tự do của đa thức.

Nếu ai= 0 với i = 1, 2, , n − 1 và a06= 0 thì ta có bậc của đa thức là không.Nếu ai= 0 với i = 1, 2, , n thì f (x) = 0, ta gọi đa thức này là đa thức không.

Nói chung người ta không định nghĩa bậc của đa thức không nhưng ta coi bậc của

nó là −∞

Hai đa thức f và g được gọi là bằng nhau, và viết f = g, nếu chúng cùng là đa

thức không, hoặc cả hai khác đa thức không, đồng thời deg f = deg g và các hệ sốtương ứng bằng nhau

Tập hợp tất cả các đa thức lấy hệ số trong vành R được ký hiệu là R[x], và được

gọi là vành đa thức trên R Khi R là một trường, thì vành R[x] là một vành giao

hoán có đơn vị

Với lý do là ứng dụng lý thuyết đa thức trong các bài thi học sinh giỏi, hay nóichung là các kỳ thi có tính chất tuyển chọn, luận văn này thường xét R là Z, Q, R,hoặc C, khi đó các đa thức thuộc Z[x], Q[x], R[x], hoặc C[x] được gọi tên lần lượt

là các đa thức nguyên, đa thức hữu tỷ, đa thức thực, hoặc đa thức phức.

1.1.2 Các phép tính trên đa thức

Cho hai đa thức

f(x) = anxn+ an−1xn−1+ + a1x+ a0,g(x) = bnxn+ bn−1xn−1+ + b1x+ b0

Ta định nghĩa các phép tính số học như sau

Luận văn đầy đủ ở file: Luận văn full