Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O; I và J lần lượt là trung điểm của AD và BC.. Chứng minh rằng: B, M, N thẳng hàng.. Chứng minh HK vuông góc với IJ.. Tìm tất
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUẢNG NAM
KỲ THI OLIMPIC LỚP 10 CẤP TỈNH
Năm học 2016 – 2017
Môn thi : TOÁN
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi : 25/3/2017 Câu 1 (5,0 điểm).
a) Giải phương trình 2x2−5x− + −7 (x 1) x+ =1 0
b) Giải hệ phương trình
x xy x y yx y
x y x y xy x
− + + + = − +
Câu 2 (4,0 điểm)
a) Cho parabol (P) có phương trình y x= 2− +3x 1, đường thẳng d có phương trình (2 1) 2
y= m+ x+ và điểm M(3;3) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng d cắt parabol
(P) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho tam giác MAB vuông cân tại M
b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số
2 2
1
y
− +
− + có tập xác định là R.
Câu 3 (4,0 điểm)
Cho 3 số thực dương x y z, , thỏa x2+ y2 + ≤z2 3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
2 2 3 2 2 3 2 2 3
H
Câu 4 (4,0 điểm)
a) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho điểm (3; 3) A − và đường thẳng d có phương
trình x−2y+ =1 0 Viết phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với d tại (1;1) B và đi qua A
b) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho tam giác ABC vuông tại A, H là chân đường cao
vẽ từ A của tam giác ABC; D và E lần lượt là hình chiếu vuông góc của H lên AB và AC; I là giao điểm của AH và DE Điểm A nằm trên đường thẳng ∆ có phương trình 2x−3y− =4 0, phương trình đường thẳng DE là 3x y+ − =2 0; 7; 5
4 4
M− −
là trung điểm của BC, I có hoành độ nhỏ hơn 1, E có hoành độ dương và tứ giác ADHE có diện tích bằng 4 Tìm tọa độ 4 điểm A, D, H, E
Câu 5 (3,0 điểm)
Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O; I và J lần lượt là trung điểm của
AD và BC
a) Gọi M và N lần lượt nằm trên DJ và DC sao cho: MD MJuuuur uuur r+ =0 và NCuuur+2uuur rND=0 Chứng minh rằng: B, M, N thẳng hàng
b) Gọi H và K lần lượt là trực tâm của ∆OAB và ∆OCD Chứng minh HK vuông góc với IJ
–––––––––––– Hết ––––––––––––
Họ và tên thí sinh: … ……….; Số báo danh: ………
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUẢNG NAM
KỲ THI OLIMPIC LỚP 10 CẤP TỈNH
Năm học 2016 – 2017 ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM Môn thi: TOÁN
(Đáp án – Thang điểm gồm trang)
Câu 1
(5,0
điểm)
a) Giải phương trình 2x2−5x− + −7 (x 1) x+ =1 0 2,5
+ Đặt t= x+1 (t≥0) Suy ra x t= −2 1 0,25
+ P hương trình đã cho trở thành :2t4+ −t3 9t2− =2t 0 0,5
30 2
t
=
⇔ + − − =
- Xét phương trình 2t3+ − − =t2 9t 2 0
2t + − − = ⇔ −t 9t 2 0 (t 2)(2t + + =5 1) 0t 0,25
2
t
⇔ = (vì 2t2+ + > ∀ ≥5 1 0,t t 0) 0,25
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x= −1và x=3 0,25
b) Giải hệ phương trình
x xy x y yx y
x y x y xy x
− + + + = − +
Điều kiện: 2x y− ≥0 và x y+ + ≥1 0 0,25
- Xét phương trình thứ nhất trong hệ:
3 2 3 2 ( )( 2 2 1) 0
x +xy + =x y +yx + ⇔ −y x y x +y + = 0,25
x y
⇔ = (vì 2 2
1 0
+ Với x= y thay vào phương trình thứ hai ta được: x+ 2x+ =1 x2− +3x 1
Điều kiện: x≥0 Khi đó, ta có: 0,25
2
x+ x+ = x − +x ⇔( x− +2) ( 2x+ − =1 3) x2− −3x 4
4 2( 4)
( 1)( 4)
2 2 1 3
2 2 1 3
0,5
4
1 (*)
2 2 1 3
x
x
=
0,25
* Với x≥0 ta có 1 2 1 2 1 1
2 1 3
+ + + + (dấu bằng xảy ra khi x=0) 0,5
Do đó pt (*) có một nghiệm duy nhất x=0
Trang 3Vậy nghiệm của hệ phương trình là: 4
4
x y
=
=
và
0 0
x y
=
=
Câu 2
(4,0
điểm)
a) Cho parabol (P) có phương trình y x= 2− +3x 1, đường thẳng d có phương
trình y=(2m+1)x+2 và điểm M(3 ;3) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để
đường thẳng d cắt parabol (P) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho tam giác MAB
vuông cân tại M.
2,0
+ Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và d là: x2−2(m+2)x− =1 0 (*) 0,25
+ Phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt (vì a c<0)
Suy ra d luôn cắt parabol (P) tại 2 điểm phân biệt A, B với mọi giá trị của m. 0,25
+ Gọi A x( 1;(2m+1)x1+2) và B x( 2;(2m+1)x2+2)
(với x1và x2 là hai nghiệm của phương trình (*)) 0,25 + MAuuur=(x1−3;(2m+1)x1−1) và MBuuur=(x2−3;(2m+1)x2−1)
+ Tam giác MAB vuông tại M suy ra:
MA MB= ⇔ x − x − + m+ x − m+ x − =
2
1 1 3( 1 2) 9 (2 1) 1 1 (2 1)( 1 2) 1 0
2
1 6(m 2) 9 (2m 1) (2m 1)2(m 2) 1 0
2
2
2
m
m
= −
= −
0,5
+ Với m= −2 Suy ra x1= −1, x2 =1
Khi đó: MAuuur= −( 4; 2), MBuuur= − −( 2; 4) Suy ra MAuuur = MBuuur 0,25 + Với 1
2
m= − Suy ra 1 3 13
2
x = − ,
2
3 13 2
x = + .
Khi đó: 3 13; 1
2
= − ÷÷
uuur
, 3 13; 1
2
= − ÷÷
uuur
Suy ra MAuuur ≠ MBuuur
(không thỏa)
0,25
Vậy với m= −2, tam giác MAB vuông cân tại M 0,25
Trang 4b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số
2 2
1
y
− +
− + có tập xác
định là R.
2,0
Hàm số
2 2
1
y
− +
− + có tập xác định là D=R khi và chỉ khi
2 2
1 0,
x R
− + − ≥ ∀ ∈
0,25
2 2
1,
x R
− +
− + (vì 2x2− + > ∀ ∈x 2 0, x R) 2
2 1 0,
− + ≠ ∀ ∈
⇔ − + ≤ − + ∀ ∈
2
2 1 0,
− + ≠ ∀ ∈
⇔
2 2 2
2 1 0, (2 1) 1 0,
3 (2 1) 3 0,
− + ≠ ∀ ∈
⇔ + − + ≥ ∀ ∈
0,25 0,25
1
' 2
2 2
2 3
1 0 (2 1) 4 0 (2 1) 36 0
m m m
∆ = − <
⇔ ∆ = − − ≤
∆ = + − ≤
0,75
1
1
2 m
⇔ − ≤ <
Kết luận
0,25
Trang 5Câu 3
(4,0
điểm)
Cho 3 số thực dương , , x y z thỏa x2+y2 + ≤z2 3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
2 2 3 2 2 3 2 2 3
H
4,0
+ x2 +2y+ =3 (x2+ +1) 2y+ ≥2 2(x y+ +1)
Tương tự: y2+2z+ ≥3 2(y z+ +1),z2+2x+ ≥3 2(z x+ +1) 1,0 Suy ra 1
H
2
0,5
Trước hết ta chứng minh được BĐT sau nhờ Bunhiacosky :
Với , , , , ,a b c m n k>0 ta có :
2 2 2 ( )2
+ +
+ + Thật vậy:
2 2
(a b c) a m b n c k
≤ + + ÷ + +
2 2 2 ( )2
+ +
+ + (dấu bằng xảy ra khi :
m = =n k )
0,5
Khi đó:
(*) ( 1)( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 1)
VT
2
( 1)( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 1)
x y z
+ + +
≥
Lại có:
(x+1)(x y+ + + +1) (y 1)(y z+ + + +1) (z 1)(z x+ +1)
1
2 2 2
≤ + + + + + + + + + + (vì x2+y2+ ≤z2 3)
1,0
Suy ra
2
2 1
( 1)( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 1) ( 3)
2
Suy ra x+1 + y+1 + z+1 ≥2
0,5
Trang 6Suy ra 1
2
H ≤ , dấu bằng xảy ra khi x= = =y z 1 0,25
max
2
H = khi x= = =y z 1
Câu 4
(4,0
điểm)
a) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho điểm (3; 3) A − và đường thẳng d có
phương trình x−2y+ =1 0 Viết phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với d tại
(1;1)
B và đi qua A
2,0
+ Tâm I của đường tròn (C) nằm trên đường thẳng d’ vuông góc với d tại B 0,25
+ Viết được phương trình đường thẳng d’ là 2 x y+ − =3 0 0,5
+ Bán kính của đường tròn (C) là R= 5 0,25
Suy ra phương trình đường tròn (C) là: (x−2)2+ +(y 1)2 =5 0,25
b) Cho tam giác ABC vuông tại A, H là chân đường cao vẽ từ A của tam giác ABC; D
và E lần lượt là hình chiếu vuông góc của H lên AB và AC; I là giao điểm của AH và
DE Điểm A nằm trên đường thẳng ∆ có phương trình 2 x−3y− =4 0, phương trình
đường thẳng DE là 3x y+ − =2 0; 7; 5
4 4
M− −
là trung điểm của BC, I có hoành
độ nhỏ hơn 1, E có hoành độ dương và tứ giác ADHE có diện tích bằng 4 Tìm tọa
độ 4 điểm A, D, H, E.
2,0
M
-7
4
;-5 4
( )
(∆):2x-3y-4=0
3x+y-2=0
_
\
K I D
E
H B
A
C
+ Gọi K là giao điểm của DE và AM
+ ·ECH =IAD· (cùng phụ với ·HAC)
Mà ·ECH =MAC· Do đó ·IDA MAC=·
Lại có MAC MAD· +· = 90 0 nên ·IDA MAD+· = 90 0
+ Viết được phương trình đường thẳng (AM):x-3y-2=0 Suy ra được A(2;0) 0,25
+S ADHE = ⇒ 4 S IAE = 1, ( , ) 4
10
+ Gọi I(a;2-3a) nằm trên DE, với a<1
( ; )
+ I là trung điểm của AH suy ra H(-1;1) 0,25
+ Viết phương trình đường tròn (C) ngoại tiếp hình chữ nhật ADHE 0,25 + D và E là hai giao điểm của đường tròn (C) với DE suy ra được: E(1;-1), D(0;2) 0,25
Câu 5 Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O; I và J lần lượt là
3,0
Trang 7điểm) a) Gọi M và N lần lượt nằm trên DJ và DC sao cho: MD MJ+ =0 và NC+2ND=0
Chứng minh rằng: B, M, N thẳng hàng 1,5
O
N
M I
J
D
C B
A
+ MD MJuuuur uuur r+ =0⇔ 1 1
BM = BD+ BC
uuuur uuur uuur
0,5
+ NCuuur+2uuur rND=0⇔ BNuuur=13BCuuur+23BDuuur 0,5
Suy ra 3
4
uuuur uuur
Do đó BMuuuur và BNuuur cùng phương
Suy ra B, M, N thẳng hàng
0,5
b) Gọi H và K lần lượt là trực tâm của ∆OAB và ∆OCD Chứng minh HK vuông
J M
K H
D'
B'
C'
A'
I
O
B
A
D
C
+Trước tiên, ta chứng minh: 1( )
2
IJ = DB AC+ uur uuur uuur
1
2.
2
uur uuur uuur uur uuur uuur
VP DB AC=uuur uuur uuur uur uur uur uur uuur+ =DI IJ JB AI IJ JC+ + + + + = DI AIuuur uur+ + IJuur+ uur uuurJB JC+ = IJ VTuur=
0,5
Ta có :
HK IJ = HK DB HK AC+ = A C DB B D AC+ = AC DB BD AC+
uuur uur uuur uuur uuur uuur uuuuur uuur uuuuur uuur uuur uuur uuur uuur 0,5
.0 0
2AC DB BD 2AC
HK IJ
Ghi chú: Nếu học sinh có cách giải khác đúng thì Ban Giám khảo thảo luận và thống nhất thang điểm
cho phù hợp với Hướng dẫn chấm