ứng dụng của máy tính cầm tay trong giải phuông trình vô tỷ

Chức năng của máy tính Khi giải phương trình vô tỷ, mục đích của chúng ta là tìm một cách giải logic để tìm tất cảnghiệm của phương trình chứ không phải chỉ tìm một nghiệm, cho nên máy t

SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO TRONG VIỆC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ

I Chức năng của máy tính

Khi giải phương trình vô tỷ, mục đích của chúng ta là tìm một cách giải logic để tìm tất cảnghiệm của phương trình chứ không phải chỉ tìm một nghiệm, cho nên máy tính chỉ được sửdụng như một công cụ hỗ trợ các tính toán phức tạp và dự đoán chứ không phải máy tính sẽ thựchiện giải các bài toán đưa ra Tuy nhiên nếu biết khai thác triệt để các tính năng của máy tính thì

ta không chỉ tìm được lời giải cho bài toán mà còn tìm được nhiều cách giải khác nhau, đồng thời

có thể mở rộng và làm mới bài toán

Một số tính năng của máy tính:

Khi nhập biểu thức đại số chứa biến, phím CALC sẽ hỏi giá trị biến và tính ra giá trị biểuthích ứng với giá trị biến ta vừa nhập Phím chức năng này cho phép ta tính một biểu thức cồngkềnh với nhiều giá trị khác nhau chỉ với một lần nhập, tiết kiệm khoảng thời gian đáng kể

Nguyên tắc hoạt động của chức năng này là khi ta nhập một giá trị bất kì thì màn hình hiểnthị ”X=?” thì bộ xử lý sẽ quay một hình tròn có tâm là điểm ta vừa nhập trên trục hoành, với bánkính lớn dần Khi gặp giá trị gần nhất thỏa mãn thì máy sẽ dừng lại và hiển thị giá trị đó dướidạng phân số tối giản hoặc số thập phân Nếu trong một thời gian nhất định mà máy vẫn chưatìm được nghiệm thì máy sẽ hiển thị giá trị gần nhất máy tìm được thỏa mãn phương trình vớisai số hai vế là thấp nhất L-R ở hàng thứ hai trên màn hình chính là sai số ở hai vế (thôngthường sai số này rất bé khoảng 106

trở xuống)

Chức năng này cho phép hiển thị đồng thời các kết quả của một biểu thức trong đó các giá trịbiến ta gán là cấp số cộng Chức năng này cho phép ta nhìn tổng thể các giá trị của biểu thức,thuận lợi cho việc sử dụng tính liên tục và dấu của biểu thức để dự đoán khoảng chứa nghiệmmột cách tiết kiệm thời gian

II CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ VỚI SỰ HỖ TRỢ CỦA MÁY TÍNH CASIO

DẠNG 1: PHÂN TÍCH BIỂU THỨC THÀNH TÍCH CÁC NHÂN TỬ:

Cơ sở toán học:

Đặt điều kiện cho phương trình (*) xác định

Với điều kiện trên, bình phương 2 vế của (*) ta được:

2

(ax bx c)   (dx e) Ax Bx C  0(**)

Giả sử: phương trình (**) có 2 nghiệm x1, x2và x1.x2=P1, x1+x2=S1 thì theo định lý Viete ta có x1

và x2 là nghiệm của phương trình X2– S1X+P1=0

Vế trái của (**) là một đa thức bậc 4 nên có thể phân tích thành tích của 2 tam thức bậc 2 nên(**) trở thành: (X2 –S1X+P1 )( X2 - S2X +P2) =0 Khi đó việc giải phương trình (*) đưa về giải haiphương trình bậc 2

Tìm nghiệm của hai phương trình trên, kết hợp với điều kiện ban đầu ta được nghiệm củaphương trình (*)

Máy tính CASIO sẽ giúp ta dễ dàng tìm ra 2 nghiệm x1, x2 và các hệ số của 2 tam thức bậc 2cũng như giải 2 phương trình bậc 2 nói trên

Ví dụ áp dụng:

Giải phương trình sau:10x23x 6 2(3x 1) 2x   2 1 0(1)

Điều kiện của phương trình:

2 2



 không là nghiệm của phương trình ban đầu

Phần 1: Tìm nghiệm.

Bước 1: Đoán khoảng nghiệm.

Với điều kiện trên (1) tương đương với (10x23x 6) 2 [2(3x 1) 2x 21]20(1').

Màn hình hiển thị f(X)= ta nhập biểu thức

2

Vào rồi nhấn dấu Chú ý rằng chữ x trong biểu thứcf(x) được nhập bằng tổ hợp phím

ALPHA X Màn hình máy tính hiển thị chữ Start? Nhấn

Tiếp theo nhấnmàn hình hiện ra chữ Step? Nhấn rồi nhấn

Khi đó máy hiện một bảng gồm các giá trị của x từ -10 đến 10

=

0

1-

Cần chú ý tới hai giá trị của x liên tiếp giả sử là x1 và x2 (giả sử x1<x2) mà ứng với hai giá trị của

x này ta được hai giá trị f(x1) và f(x2) trái dấu Khi đó, phương trình sẽ có thể có nghiệm trongkhoảng (x1;x2)

Cơ sở toán học: Hệ quả định lý giá trị trung gian:

Cho f là hàm số liên tục trên đoạn [a; b] Nếu f(a) f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có nghiệm

x (a; b)

Giáo trình giải tích hàm một biến - TS Nguyễn Cam – trang 53

Trong ví dụ này ta được nghiệm trong khoảng (1;2), (-1;1) và (-2;-1)

Chú ý: Khi cho bước nhảy (Step?) càng nhỏ tức càng thu hẹp được khoảng nghiệm, bằng cách nhấn tiếp =

Ta được một bảng giá trị của f(x) từ 1 tới 2

Tương tự cho2 khoảng nghiệm còn lại

- Khoảng nghiệm (-1;1)có khoảng nghiệm hẹp hơn là (-0.9; -0.8) và (-0.8; 0.8)

- Khoảng nghiệm (-2; -1) có khoảng nghiệm hẹp là (-1.8; -1.7)

Màn hình hiện kết quả X=-0.820852384

Gánkết quả này vào phím B :

Ở ví dụ này, tính A+B và AB

4

7, AB =Vậy A và B là nghiệm của phương trình

Ở những bài mà bằng cách đoán nghiệm, ta không thể tìm được đủ 4 nghiệm cũng có thể sửdụng phương pháp này , sau khi biết được tam thức bậc 2 thứ nhất, ta sẽ tìm tam thức còn lạibằng cách chia đa thức.

Ta đã biết : an - bn = (a - b) ( an-1+ an-2b+ + abn-2+ bn-1) gọi là hai biểu thức liên hợp của nhau.Việc xử dụng các biểu thức liên hợp để bỏ căn thức là một yếu tố quan trọng nhất trong việc sửdụng phương pháp nhân lượng liên hợp trong giải phương trình vô tỉ mà ta sẽ bắt đầu nghiên cứu

Bước 2: Viết phương trình dưới dạng: 8x 5 2 4x  21 3 0 1   

Bước 3: Nhập vế trái của phương trình  1 vào màn hình máy tính

Bước 4: Dùng chức năng có sẵn của máy tính để giảiphương trình trên, tìm nghiệm đúng hoặc gần đúng

Bấm máy hiện ra “Solve for X”,

Bấm (vì 1D) hoặc có thể chọn số khác

Đợi trong vài giây máy hiển thị kết quả là nghiệm đúng hoặc gần đúng của phương trình Đốivới bài này ta được nghiệm

1 x 2



Bước 5: Giải bài này khi biết được 1 nghiệm của nó.

Biết phương trình có 1 nghiệm

1 x 2

 Ta tính

1

2  Vậy biểu thức  8x 5 3   

sẽ chonhân tử:2x 1  sau khi nhân lượng liên hợp Còn biểu thức 2 4x21 2 2x 1 2x 1       đã cósẵn nhân tử

Vậy lời giải bài toán như sau :

2x 1 0

2 2x 1

2x 1 0(vô nghiêm) 8x 5 3



Biến đổi phương trình về dạng: B a(x-x 1)(x-x2)g(x)=0 với x1, x2là nghiệm của phương trình

Ví dụ: Giải phương trình

 2

Màn hình hiển thị“f(X)=” nhập biểu thức “

2

3x  x 3   3x 1   5x 4  ”vào rồi nhấn dấu

Màn hình máy tính hiển thị chữ Start? Tiếp theo nhấn “

1 2



”

Tiếp theo nhấn “=” màn hình hiện ra chữ End?, nhấn “10”

Tiếp theo nhấn “=” màn hình hiện ra chữ Step?, nhấn “1

Nhìn vào bảng giá trị ta thấy tại x=0 và x=1 thì ta nhận được giá trị bằng 0 Vậy x=0 và x=1là hainghiệm của phương trình.

Bước 3:

Tách ghép rồi nhân lượng liên hợp để có nhân tử chung là x(x-1)

Ta thấy phương trình có sẵn là 3x2 nên cần thêm -3x nữa Vậy ta được

2

1và số 4 trong cả hai căn thức thì chúng ta tách 2x+3=(x+1)+(x+2)

Bây giờ công việc của chúng ta là đặt ần phụy theo x sao cho có thể đưa phương trình (1) vềdạng phương trình đối xứng loại 2 Tacần xác định hệ số m, n hữu tỉ sao cho cách đặt:

my n   2x 1  (*) có thể đưa phương trình (1) về dạng hệ phương trình đối xứng

Nhận xét hệ số a=1  m=1 Vậy việc còn lại là ta cần xác định n nữa là xong Bây giờ ta cầnxác định lại mục đích của ta là đưa phương trình (1) về dạng hệ phương trình đối xứng x, y và hệ

đó phải có nghiệm x=y Điều này giúp ta xác định n một cách dễ dàng hơn

Ta tìm n dựa vào hệ thức (*) và nhận xét x=y

sao cho n là số hữu tỉ thì bài toán coi như được giải quyết xong

Bước 1: Đặt điều kiện của phương trình 2

1 x

x 2 2

Bước 2: Viết lại phương trình dưới dạng x2 2x 2 2x 1 0(1')  

Bước 3: Nhập vế trái của (1’) vào màn hình của máy tính

Bước 4: Dùng chức năng có sẵn của máy tính để giải phương trình trên, tìm nghiệm đúng hoặc

gần đúng

Gán kết quả này vào phím A bằng cách nhấn

máy tính rồi nhấn dấu “=”

1 x

2

1 x

So điều kiện ban đầu x 2  ta được nghiệm của phương trình là x 2  2

Vậy nghiệm của phương trình là x 2  2

DẠNG 4: DÙNG MÁY TÍNH ĐOÁN NGHIỆM VÀ ĐƯA PHƯƠNG TRÌNH VỀ DẠNG KHẢO SÁT HÀM SỐ

Kế đến chúng ta cùng tìm hiểu phương pháp tiếp theo sử dụng một công cụ hỗ trợ mạnh nhất đốivới học sinh trung học phổ thông – khảo sát hàm số

Cơ sở toán học:

Dựa trên cơ sở tính đơn điệu của hàm số ta có thể tìm được nghiệm phương trình vô tỷ

Định lí 1: Nếu hàm số y = f(x) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) và liên tục trên D thìsốnghiệm của phương trình trên D: f(x) = k không nhiều hơn một và f(x) = f(y) khi và chỉ khi x =yvới mọi x,y thuộc D

Chứng minh: Giả sử phương trình f(x) = k có nghiệm x = a, tức là f(a) = k

Do f(x) đồng biến nên

* x > a suy ra f(x) > f(a) = k nên phương trình f(x) = k vô nghiệm

Chú ý:

* Từ định lí trên, ta có thể áp dụng vào giảiphương trình như sau: Bài toán yêu cầu giảiphươngtrình:F(x) = 0 Ta thực hiện các phép biến đổi tươngđương đưa phương trình về dạng f(x) = khoặc f(u) = f(v) ( trong đó u = u(x), v = v(x)) và tachứng minh được f(x) là hàm luôn đồng biến(nghịch biến)

Nếu là phương trình: f(x) = k thì ta tìm một nghiệm, rồi chứng minh đó là nghiệm duy nhất Nếu là phương trình: f(u) = f(v) ta có ngay u = v giải phương trình này ta tìm được nghiệm

* Ta cũng có thể áp dụng định lí trên cho bài toán chứng minh phương trình có duy nhất mộtnghiệm

Định lí 2: Nếu hàm số y = f(x) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) và hàm số y = g(x) luônnghịch biến (hoặc luôn đồng biến ) và liên tục trên D thì số nghiệm trên D của phương trình: f(x)

= g(x) không nhiều hơn một

Chứng minh:

Giả sử x = a là một nghiệm của pt: f(x) = g(x), tức là f(a) g(a).Ta giả sử f(x) đồng biến còn g(x)nghịch biến

*Nếu x > a suy ra f(x) > f(a) = g(a) > g(x) dẫn đến phương trình f(x) = g(x) vô nghiệm khi x > a

*Nếu x < a suy ra f(x) < f(a) = g(a) < g(x) dẫn đến phương trình f(x) = g(x) vô nghiệm khi x < a.Vậy pt f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm

Chú ý: Khi gặp phương trình F(x)=0 và ta có thể biến đổi về dạng f(x)=g(x), trong đó f(x) vàg(x) khác tính đơn điệu Khi đó ta tìm một nghiệm của phương trình và chứng minh đó lànghiệm duy nhất

Định lí 3: Nếu hàm số y=f(x) luôn đồng biến ( hoặc luôn nghịch biến) và liên tục trên D thì f(x) > f(y) nếu x > y (hoặc x < y )

Bước 3: Nhập vế trái của (1’) vào màn hình của máy tính

Bước 4: Dùng chức năng có sẵn của máy tính để giải phương trình trên, tìm nghiệm đúng hoặc

Gán kết quả này vào phím A bằng cách nhấn

3 2



”( có thể chọn sốkhác ) , nhấn “=”

Màn hình hiện thị kết quả X2=-0.618033988

Bây giờ ta sẽ thử tìm tam thức bậc 2 tạo từ hai nghiệm trên Nghĩa là ta cần tính A+B và AB

Thu được A+B=1, AB= -1

Điều đó đã chứng tỏ A, B là hai nghiệm của phương trình X2 – X- 1=0

Ta viết phương trình đã cho lại thành

Đến đây để xuất hiện nhân tử (x2 – x -1) thì(p23)x22pqx q 2 8 a(x 2 x 1) với a là một hệ

số Chọn a=4 thì ta được một cặp (p,q) thỏa mãn là (p,q)=(-1,2)

Lời giải:

18

2 3

2 2 2

2 2

2 2

DẠNG 5: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ DỰA VÀO PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA

Lượng giác hóa phương trình theo một số dấu hiệu chủ yếu sau đây

Nếu phương trình xuất hiện x2+ y2=a thì đặt

20

, t 0; , t 2

Do đó để giải ta chỉ cần xét  2 x 2  

Sử dụng chức năng TABLE và SHIFT SLOVE của máy ta thu được nghiệm x=2 ta còn được hainghiệm vô tỷ khác là x=-1,618033989 và x= -0,445041867 Sử dụng chức năng SHIFT STO đểgán 2 nghiệm của phương trình trên vào A,B rồi tính A+B, AB ta đều thu được hai số vô tỷ Như vậy ý định dùng phương pháp tách có vẻ không khả quan mấy

Ta sẽ đi tìm phương pháp khác Để ý x  2,2 nếu lấy xchia 2 ta nghĩ ngay đến lượng giác.Khi đó, ta đặt x 2cos t , điều kiện t0, Thay vào phương trình đã cho ta được

Do t0,nên chỉ lấy các nghiệm

 

k t

k t

Nhận xét: Tuy máy tính bỏ túi không được áp dụng phần lớn ở đây như các phương pháp trên,

nhưng vẫn đóng vai trò quan trọng trong việc đoán nghiệm, xử lý nghiệm và thử lại Phươngpháp lượng giác hóa cho ta những biến đổiàiđơn giản đồng thời khi bài toán giải được bằngphương pháp này thì khó giải được bằng các phương pháp khác (do đặc thù của hàm số lượnggiác)