Tạp chí olympic ứng dụng của bất đẳng thức trong giải toán vật lý nguyễn đức thắng du hiền vinh

ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC TRONG GIẢI TOÁN Vật lý Nguyễn Đức Thắng Du Hiền Vinh sưu tầm và trình bày Xct :)) Page 4 Biết giá trị cûa E và r . Tìm R để công suçt mäch ngoài đät cực đäi. Lời giâi: Áp dýng Định luêt Ohm đối với toàn mäch, ta đþợc cþờng độ dòng điện là E I R r   Công suçt mäch ngoài là 2 2 2 2 2 2 2 2 2 E E R E P I R R R r R Rr r r R r R                Để công suçt mäch ngoài đät cực đäi (hay P đät giá trị lớn nhçt) thì 2 2 r R r R   sẽ đät giá trị nhô nhçt. Áp dýng bçt đîng thĀc AM GM cho 2 số thực dþơng R và 2 r R ta có 2 2 2 2 . 2 4 r r R r R r r R R      Tÿ đó dễ dàng suy ra 2 2 2 4 2 E E P r r R r R     Dçu đîng thĀc xây ra khi r R R  hay R  r . Ví dụ 2: Dòng điện chay qua một vòng dåy dån täi hai điểm A, B. Dåy dén täo nên vòng dåy là đồng chçt, tiết diện đều và có điện trở R  25. Góc AOB  . Tìm  để điện trở tþơng đþơng cûa vòng dåy lớn nhçt.

ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC

TRONG GIẢI TOÁN

Lời mở đầu

Với bân chçt là các môn học tự nhiên, sự tþơng quan cûa Toán học và Vêt lý học nìm ở nhiều mặt Tuy nhiên, về cơ bân, bân chçt cûa các môn học này luôn đào såu, đi såu vào những Āng dýng cüng nhþ tích hợp kiến thĀc giữa các môn học Tÿ đó làm cơ sở và nền tâng để hình thành các phþơng pháp giâi bài têp bìng cách áp dýng kiến thĀc cûa môn học này vào môn học kia mà ở đåy là Toán học vào Vêt lý Ở đåy ta xét một Āng dýng thþờng thçy, đó chính là việc áp dýng Bçt đîng thĀc Toán học vào giâi các bài toán Vêt lý Phþơng pháp này cüng giúp ta giâi quyết một số cåu hôi trong các đề thi tuyển sinh đäi học môn vêt lý (tìm giá trị cực đäi, cực tiểu…)

Cà Mau, ngày 20 tháng 11 năm 2016

ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC TRONG GIẢI TOÁN Vật lý

1 Ứng dụng của bất đẳng thức AM – GM

Ví dụ 1: Cho mäch điện nhþ hình vẽ:

Biết E20; r4W và R là biến trở Tìm R để công suçt mäch ngoài đät cực đäi

Lời giâi:

Áp dýng Định luêt Ohm đối với toàn mäch, ta đþợc cþờng độ dòng điện là

20 4

E I

R r R

 

  Công suçt mäch ngoài là

2 2

2

16

8

R

R R

Để công suçt mäch ngoài đät cực đäi (hay P đät giá trị lớn nhçt) thì R 16 8

R

  sẽ đät giá trị nhô

nhçt Áp dýng bçt đîng thĀc AM GM cho 2 số thực dþơng R và 16

R ta có

16 16 8

P R R

 

Dçu đîng thĀc xây ra khi R 16

R

 hay R4

Từ ví dụ trên ta có thể tổng quát bài toán lên như sau:

Cho mäch điện nhþ hình vẽ:

Biết giá trị cûa E và r Tìm R để công suçt mäch ngoài đät cực đäi

Lời giâi:

Áp dýng Định luêt Ohm đối với toàn mäch, ta đþợc cþờng độ dòng điện là

E I

R r



 Công suçt mäch ngoài là

2

2

2 2

2

2

r

R r R Rr r

R

Để công suçt mäch ngoài đät cực đäi (hay P đät giá trị lớn nhçt) thì R r2 2r

R

  sẽ đät giá trị

nhô nhçt Áp dýng bçt đîng thĀc AM GM cho 2 số thực dþơng R và r2

R ta có

4 2

P

R

 

Dçu đîng thĀc xây ra khi R r

R

 hay Rr

Ví dụ 2: Dòng điện chay qua một vòng dåy dån täi hai điểm A, B Dåy dén täo nên vòng dåy là

đồng chçt, tiết diện đều và có điện trở R 25 Góc AOB Tìm  để điện trở tþơng đþơng cûa vòng dåy lớn nhçt

Lời giâi:

Đặt điện trở độn vịng dåy AMB là R với 1 1

360

R   R

Đặt điện trở độn vịng dåy cịn läi là R2 với 2 1 360

360 360

R  R R  R  R  R

Tÿ đĩ suy ra điện trở tþơng đþơng cûa vịng dåy là  

2

360 360

td

R  R



Đến đåy áp dýng bçt đỵng thĀc AM GM cho hai số thực dþơng 360 và  ta cĩ

2

2

360

Suy ra

2

360

td

R

R   R

Vêy  max

4

td

R

R  đät đþợc khi 360   hay  180o

Vêy, khi A, B là hai điểm xuyên tåm đối cûa vịng dåy thì điện trở tþơng đþơng cûa vịng dåy lớn nhçt

Ví dụ 3: Hai điện tích q1q2  q 0 đặt täi A, B trong khơng khí (hay  1) Cho biết AB2a

Điểm M nìm trên đþờng trung trực cûa độn thỵng AB và cách AB một không cách bìng h Xác định h để E M đät cực đäi Tính giá trị cực đäi đĩ

Lời giâi:

Ta có E M E1E2

1

E và E læn lþợt có hþớng 2 AM và BM và có độ lớn đþợc cho bởi

1 q 2 q 2 2q 2

 Vêy E có hþớng OM và có độ lớn đþợc xác định bởi M

1 2 2 2 2

2 cos 2

M



Hay

 2 23

2

M

kqh E

a h





Trong biểu thĀc cûa E M ta áp dýng bçt đîng thĀc AM GM cho ba số thực dþơng 2

2

a , 2

2

a và

2

h để có

2 2 4 2

2 2 2 3

3

Tþơng đþơng

 2 23 3 3 2

2

a h  a h

Tÿ đó ta suy ra

Vêy,  max 4 2

3 3

M

kq E

a

2

a

h  hay

2

a

h

Nhận xét:

Việc tách 2 2 2

a a

a   để áp dýng bçt đîng thĀc AM GM cho ba số thực dþơng 2

2

a , 2

2

a và 2

h

đþợc làm nhþ sau:

Để đâm bâo dçu bìng xây ra, ta sẽ tách 2

a thành n số häng a2

n và 2

h thành m số häng h2

m (với

*

,

m n )

Áp dýng bçt đîng thĀc AM GM cho m n số thực dþơng a2

n và h2

m , ta có

2 2

2 2 2 2

n m m n a h m n a h

n m

Suy ra

3 1

3 3 3 3

3

2

m

m n





 

Để E M không còn phý thuộc vào h nữa thì bêc cûa biến h sẽ bìng 0 Cý thể là 1 3m 0

m n

 



tþơng đþơng n2m Lçy m1 thì n2 Tÿ đó ta tách đþợc 2 2 2 2 2

a a

a h   h để mang läi một lời giâi khá gọn đẹp

Ví dụ 4: Một ô tô chuyển động tÿ A đến B dài 800m Khởi hành tÿ A, ô tô chuyển động nhanh

dæn đều, sau đó ô tô chuyển động chêm dæn đều và dÿng läi ở B Biết độ lớn gia tốc cûa xe không

2m s/ Hãy tính thời gian ngín nhçt mà ô tô chäy tÿ A đến B

Lời giâi:

Gọi a , 1 a là độ lớn cûa ơ tơ trong hai giai độn 2

Áp dýng 2

2

t

v  as và v t

t a



Ta cĩ 2

max 2 1 1 2 2 2

v  a s  a s

Suy ra 1 2

2 1

s a

1 1 2

1 2 1 2

800

max

1 2

40 a a

v

a a





Ta cĩ

max max 1 2

1 2

1 2 1 2 2 1

40

t t t

       

Áp dýng bçt đỵng thĀc AM GM cho 2 số thực dþơng 1

2

a

a và 2

1

a

a ta cĩ

1 2 1 2

2 1 1 2

a a a a

a  a  a a 

Cùng với chú ý

1 2 4

a a 

2 1

1 2

40

40

t

a a

   

Vêy, t đät cực tiểu là 40 giåy khi 2

1 2 2 /

a a  m s

Từ ví dụ trên ta cĩ thể tổng quát bài tốn lên như sau:

Một ơ tơ chuyển động tÿ A đến B với không cách l m Khởi hành tÿ A, ơ tơ chuyển động nhanh

dỉn đều, sau đĩ ơ tơ chuyển động chêm dỉn đều và dÿng läi ở B Biết độ lớn gia tốc cûa xe khơng vþợt quá a0 m s/ 2 Hãy tính thời gian ngín nhçt mà ơ tơ chäy tÿ A đến B

Lời giâi:

Làm tþơng tự các bþớc nhþ lời giâi ví dý 4 ở trên để đþợc

1 1 2

1 2 1 2

Và

1 2 max

1 2

2a a l v

a a





Ta có

max max 1 2

1 2

1 2 1 2 2 1

2

t t t

       

Áp dýng bçt đîng thĀc AM GM cho 2 số thực dþơng 1

2

a

a và 2

1

a

a ta có

1 2 1 2

2 1 1 2

a a a a

a  a  a a 

Cùng với chú ý

1 2 2 0

a a  a

1 2 2 1 0

2

2

t

   

Vêy, t đät cực tiểu là

0

2 l

a khi a1a2 a0

Ví dụ 5: Cæn phâi ném một hòn đá dþới một góc  đối với phþơng ngang với vên tốc ban đæu tối thiểu (v0 min) bìng bao nhiêu để nó đät tới độ cao h ? Thời gian t để hòn đá lên tới độ cao đó

bìng bao nhiêu?

Lời giâi:

Đặt gốc O cûa trýc tọa độ Oy thîng đĀng ở ngay điểm ném Khi đó phþơng trình chuyển động cûa hòn đá theo phþơng thîng đĀng là

2

0 sin

2

gt

yv t 

Täi thời điểm hòn đá ở độ cao h , ta có

2

0 sin

2

gt

v t  h

0 2sin sin

v

t

 

Áp dýng bçt đỵng thĀc AM GM cho 2 số thực dþơng

2 sin

gt

h

t  ta cĩ

2 2

gh

Suy ra 0 2

sin

gh v





Đỵng thĀc xây ra khi

gt h

t

2h t

g



Vêy, vên tốc cực tiểu cûa hịn đá là 0 2

sin

gh v



 và thời gian cỉn tìm là t 2h

g



Ví dụ 6: Một quâ cỉu nhơ rơi tự do tÿ điểm A đến một tçm chín đặt nghiêng một gĩc 0

45

với mặt phỵng ngang Sau khi va chäm đàn hồi trên tçm chín, quâ cỉu rơi xuống mặt đçt täi

điểm C cách đþờng thỵng đĀng AB một độn bìng s ( ABH ) Hơi phâi đặt tçm chín ở độ cao h bìng bao nhiêu mà khơng thay đổi hþớng cûa nĩ để s đät cực đäi Khi đĩ s bìng bao nhiêu? Bơ

qua sĀc cân cûa khơng khí

Lời giâi:

Áp dýng định luêt bâo tồn cơ nëng, ta xác định đþợc vên tốc cûa quâ cỉu ngay trþớc khi chäm vào tçm chín

2

2

mv

mg H h

Và

 

2

v g Hh

Sau khi va chäm đàn hồi, vên tốc không thay đổi về độ lớn, nhþng hþớng cûa nó thay đổi Theo

phþơng ngang quâ cæu bay đþợc một khoâng s vt , với t là thời gian quâ cæu bay tÿ lúc va chäm

trên tçm chín đến khi chäm đçt, còn theo phþơng thîng đĀng 2

2

gt

h Khi đó

2 h 2

g

Áp dýng bçt đîng thĀc AM GM cho 2 số thực dþơng h và H h ta có

H  h Hh  h H h

Vêy, smax H khi h H h  hay

2

H

h

Ví dụ 7: Một ngþời trþợt bëng trþợt trên khoâng cách l500m , ban đæu với vên tốc v không

đổi rồi sau đó hãm läi với gia tốc 2

0, 05 /

a m s Hôi với vên tốc v bìng bao nhiêu thì thời gian

ngþời đó chuyển động cho tới khi dÿng läi là bé nhçt?

Lời giâi:

Hiển nhiên thời gian chuyển động bao gồm thời gian chuyển động với vên tốc không đổi và thời gian chuyển dộng chêm dæn đều cho tới khi dÿng hîn läi

l v t

v a

 

Áp dýng bçt đîng thĀc AM GM cho 2 số thực dþơng l

v và v

a ta có

l v l v l

v a v a  a

Vêy tmin 2 l 200s

a

v a hay v la 5 /m s

Ví dụ 8: Tÿ hai bến A và B trên cùng một bờ sông có hai canô cùng khởi hành Khi nþớc chây

do sĀc đèy cûa động cơ, chiếc ca nô tÿ A chäy song song với bờ theo chiều tÿ A đến B với vên tốc

24km h , còn chiếc ca nô tÿ B chäy vuông góc với bờ có vên tốc 18/ km h Biết / AB1km Hôi

khoâng cách nhô nhçt giữa hai ca nô trong quá trình chuyển động là bao nhiêu nếu nþớc chây tÿ

A đến B với vên tốc 6km h Biết rìng sĀc đèy cûa động cơ không thay đổi /

Lời giâi:

Ở bài này ta chọn hệ quy chiếu gín với bờ sông

Vên tốc cûa mỗi canô đối với bờ sông

v v v    km h

2 2 2 2

v  v v    km h

Suy ra

18 3 10 sin

10

6 10

B

BO

v v

6 10 cos

10

6 10

O

BO

v v

Độ dài quãng đþờng hai canô đi đþợc trong quãng thời gian t là

30

AO

ACv t t

6 10

BO

BDv t t

.cos 6

BH BD  t

.sin 18

DHBD  t

Áp dýng định lý Pytago cho tam giác vuông CHD ta có

1 24 18 900 48 1

CD CH HD   t  t  t  t

Áp dýng bçt đîng thĀc AM GM cho 2 số thực dþơng 2

900t và 16

25 ta có

2 16 16 2

t   t  t

Hay

 

2

0,36

CD  km

Vêy CDmin 0, 6 km đät đþợc täi 2

75

t s

Ví dụ 9: Một mäch điện chĀa n pin Mỗi pin có suçt điện động E và điện trở trong r Các phin

này đþợc míc thành k nhóm nối tiếp, mỗi nhóm có n

k pin míc song song Xác định k để cþờng độ

dòng điện chäy qua điện trở mäch ngoài đät cực đäi

Lời giâi:

Áp dýng định luêt Ohm cho toàn mäch, cþờng độ dòng điện trong mäch bìng

2 2

kE nkE I

k r k r nR R

n





Dễ thçy cþờng độ dòng điện đät cực đäi thì phån số 1

nR kr k



đät cực đäi, hay kr nR

k

 đät cực

tiểu

Áp dýng bçt đỵng thĀc AM GM cho 2 số thực dþơng kr và nR

k ta cĩ

nR nR nR

Suy ra

max

2 2

nE E n I

rR rnR

Giá trị cực đäi đät đþợc khi kr nR

k

r



Ngồi ra nếu để ý thêm thì dçu bìng xây ra täi

2

b

rk nR

n nr

Ví dụ 10: Cho mäch điện R L C  nội tiếp cĩ điện trở thuỉn R 30 và 10 3

4

C





 (F) Đặt vào hai đỉu độn mäch một điện áp U AB 100 2 cos100t (V) thay đổi L để U đät giá trị cực đäi L

Lời giâi:

Ta cĩ

2

Z U

U I Z Z

Hay

1 2

L

U U

Z Z R



Để U đät giá trị cực đäi thì L

Z Z R

Đặt 1

L

x

Z  và

Z Z R

y

Ta cĩ

 

1 2 C C 2 1

R

         

Áp dýng bçt đîng thĀc AM GM cho 2 số thực dþơng  2 2 2

C

R Z x và 2

2 2

C

C

Z

R Z ta có

2 2 2

2 C 2 2

C

Z

R Z



Hay

2 2 2 2

2 2 2 2

y R Z x Z x

R Z R Z

Suy ra

max

2 2 min

C L

U R Z U

U



 

2 2 2

2 2 2 2 2

C

R Z x



Vêy U lớn nhçt khi L

2 2

62,5

C L

C

R Z Z

Z



2 Ứng dụng của bất đẳng thức Cauchy – Schwarz

Ví dụ 1: Cho mäch điện nhþ hình vẽ:

Biết tổng giá trị cûa R và 1 R2 không lớn hơn 2 và hiệu điện thế giữa 2 đæu nguồn là 12V Tìm giá trị cực đäi cûa cþờng độ dòng điện đi qua mäch chính

Lời giâi:

Theo giâ thiết suy ra R1R22

Ta tính đþợc công thĀc 12

1 2

1 1

R

R R

  và

12 12

12

AB AB

U I

 

Áp dýng bçt đîng thĀc CauchySchwarz, ta có 12

1 2 1 2

1 1 4 4

2 2

R

    

 Suy ra

12

12 6

AB

I

R

  Vêy giá trị cực đäi cûa cþờng độ dòng điện đi qua mäch chính là 6A Dçu đîng thĀc xây ra khi

1 2 1

R R  

Từ ví dụ trên ta có thể tổng quát bài toán lên như sau:

Cho mäch điện với n điện trở míc song song với nguồn sao cho tổng giá trị cûa chúng không lớn

hơn  Ω và hiệu điện thế giữa 2 đæu nguồn là V Tìm giá trị cực đäi cûa cþờng độ dòng điện đi qua mäch chính

Lời giâi:

Theo giâ thiết suy ra R1R2  R n 

Ta tính đþợc công thĀc

12

1 2

1 1 1

n

n

R

    và

12 12

AB AB

U I



 

Áp dýng bçt đîng thĀc CauchySchwarz däng cộng méu số, ta có

12

1 2 1 2

n

R

12

AB

n

I

 

Vêy giá trị cực đäi cûa cþờng độ dòng điện đi qua mäch chính là 2

n

 6A Dçu đîng thĀc xây ra

khi R1 R2 R n

n



    

Ví dụ 2: Một vêt có khối lþợng m , đþợc kéo đi với vên tốc khổng đổi bởi một lực F trên mặt phîng nghiêng góc  với mặt ngang Hệ số ma sát giữa vêt và mặt phîng nghiêng là k Xác định

góc  giữa lực F với mặt phîng nghiêng để cho lực F nhô nhçt Khi đó lực F có độ lớn bìng bao nhiêu?

Lời giâi:

Vêt trþợt đểu nên P F F ms N 0





Suy ra

cos sin

k mg F

k







Để F đät giá trị cự tiểu thì cosk.sin phâi đät cự đäi

Đặt ycosk.sin và áp dýng bçt đîng thĀc CauchySchwarz ta có

 2 2 2  2

y k   k    k

max 1

cosk.sin  1k hay  arctan k

min 2

sin cos 1

F

k





Ví dụ 3: Hệ cơ nhþ hình vẽ Hệ số ma sát giữa hai vêt m và M là k , giữa 1 M và sàn ngang là

2

k Tác dýng vào M một lực F hợp với phþơng ngang một góc  Khi  thay đổi (0o  90o) Tìm F nhô nhçt để M trþợt khôi vêt m

Lời giâi:

Vêt m có ma1 k mg1  a1 k g1

Vêt M có

2 1 1 2 2 2

.cos

.sin







   



Suy ra

2

F k F k mg k m M g a

M



Để M thoát khôi m thì a2 a1 hay

2

k k m M g F

k





Vêy F đät cự tiểu khi cosk2.sin đät cực đäi

Đặt ycosk.sin và áp dýng bçt đîng thĀc CauchySchwarz ta có

 2 2 2  2

y k  k    k

max 1 2

cosk sin 1k hay  arctan k2

min 2

sin cos

.sin 1

k

 





Tÿ đó suy ra đþợc  1 2 

min 2

2

1

k k m M g F

k



