Tìm hiểu phương pháp lượng tử hoá lần thứ hai trong lý thuyết các hệ nhiều hạt

Hamiltoinan của hệ điện tử - phonon...27 Chuơng III: Các toán tử thống kê trong phép biểu diễn luợng tử hóa lần thứ hai.. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨUTìm hiểu phương pháp lượng tử hóa lần thứ hai

LỜI CẢM ƠN

Trong quá trình thực hiện khóa luận tốt nghiệp này, em đã nhận đượcnhiều sự quan tâm, giúp đỡ của các thầy cô và các bạn sinh viên Em xin chânthành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Vật Lý – trường Đại học Sư phạm

Hà Nội 2, các thầy cô đã dạy em trong suốt bốn năm học và qua đó đã giúp

em hoàn thành khóa luận này

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới PGS.TS Lưu Thị KimThanh, người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo em trong suốt quá trình thựchiện khóa luận này

Do còn nhiều hạn chế về kiến thức và thời gian nên khóa luận vẫn cònnhiều thiếu sót Em rất mong nhận được sự giúp đỡ, góp ý, nhận xét của cácthầy cô và của các bạn để khóa luận này được hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 05 năm 2012

Sinh viên

Hoàng Thị Thúy

LỜI CAM ĐOAN

Sau một thời gian nghiên cứu, được sự chỉ bảo, hướng dẫn tận tình củaPGS.TS Lưu Thị Kim Thanh, em đã hoàn thành đề tài khóa luận tốt nghiệpđúng thời hạn Đề tài có sự kế thừa những kết quả nghiên cứu trước đó Emxin cam đoan đây là những kết quả nghiên cứu của mình, không trùng với cáckết quả của tác giả khác Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

Hà Nội, tháng 05 năm 2012

Sinh viên

Hoàng Thị Thúy

MỤC LỤC

MỞ ĐẦ U

1 Lý do chọn đề tài 5

2 Đối tượng nghiên cứ u 6

3 Mục đích nghiên cứu 6

4 Phạm vi nghiên cứu 6

5 Phương phá p nghiên cứ u 6

NỘI DUNG Chương I: Phuơng pháp luợng tử hóa lần thứ hai cho hệ các hạt đồng nhất 7

1.1 Hệ các hạt vi mô đồng nhất 7

1.1.1 Nguyên lý về tính không thể phân biệt được các hạt đồng nhất 7

1.1.2 Các trạng thái đối xứng và phản đối xứng Các boson và Fermion 8

1.1.3 Nguyên lý loại trừ 11

1.1.4 Các hàm sóng cho hệ các fermion và boson 14

1.2 Phương pháp lượng tử hoá lần thứ hai cho hệ các hạt đồng nhất 16

1.2.1 Mở đầu 16

1.2.2 Phương pháp lượng tử hóa lần thứ hai 17

Chương II: Hamiltonian của hệ điện tử và hệ điện tử-phonon 26

2.1 Hamiltonian của hệ điện tử 26

2.2 Hamiltoinan của hệ điện tử - phonon 27

Chuơng III: Các toán tử thống kê trong phép biểu diễn luợng tử hóa lần thứ hai Ma trận tán xạ trong biểu diễn tuơng tác 31

3.1 Các toán tử thống kê trong biểu diễn lượng tử hóa lần thứ hai 31

3.2 Ma trận tán xạ trong biểu diễn tương tác 35

3.2.1 Các toán tử và các vecto trạng thái trong biểu diễn tương tác 35

3.2.2 Phép biểu diễn Schrodinger và biểu diễn Heisenberg 36

3.2.3 Phép biểu diễn tương tác 37

3.3.Ma trận tán xạ 38

KẾT LUẬN 46

TÀI LIỆU THAM KHẢO 47

MỞ ĐẦU

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Vậ t lý họ c là mộ t môn khoa họ c thự c nghiệ m chuyên nghiên cứ

u cá c qui luậ t tự nhiê,ncấ u trú c củ a vậ t chấ t thông qua hệ thố ng cá c đị

nh, đluị nậ th ly.́

Bằ ng công cụ toá n họ c thì đã giú p vậ t lý họ c đã thu đượ c nhiề u kế t quả mong muố n Tuy nhiên vớ i qui luậ t h ạt vi mô , vi mô dưới tác dụng của các trườ ng khá c nhau thì việ c giả i quyế t trở nên rấ t khó khăn Từ đó ngườ i ta xây dự ng lên chuyên nghà nh Vậ t lý lý thuyế t , nó đã nâng cao và khái quát hóa nhữ ng đị nh luậ t thà nh qui luậ t tạo ra một “Bứ c tranh” tổ ng quá t về vậ t lý họ c

Để mô tả thế giớ i vi mô vớ i nhữ ng hạ t chuyể n độ ng có vậ n tố c nhỏ thì cơ họ c lượ ng tử đã ra đờ i đem lạ i nhiề u thà nh công rự c rỡ Vậ y mộ t câu hỏ i đặ t ra rằ ng khi hạ t chuyể n độ ng vớ i vậ n tố c lớ n thì

cơ họ c lượ ng tử cò n á p dụng được nữa hay không ? Và để khắc phục điềunày một lí thuyết mới ra

đờ i Đó là Lý thuyế t trườ ng lượ ng tử Có thể nói rằng Lý thuyết trườnglượng tử là lý thuyế t hạ t cơ bả n Nó là sự tổng hợp của Cơ học lượng tử và

lý thuyết tương đố i

Kiế n thứ c củ a nhân loạ i vố n rấ t bao la Vớ i mong muố n tì m tò i và mở

rộ ng kiế n thứ c củ a bả n thân về trườ ng lượ ng tử cho hệ nhiề u hạ t , vì vậy tôi lự a chọ n Lý thuyế t lượng tử là m đề tà i khó a luậ n củ a mì nh

Vớ i nộ i dung “tìm hiểu phương pháp lượng tử hóa lần thứ hai trong lý thuyết các hệ nhiều hạt” tôi muố n đi sâu và o nghiên cứ u phương phá p

hiể u công cụ sử dụng trong lượng tử hó a Tôi hy vọ ng thông qua đề tà i nà

y bạ n đọ c sẽ có thêm nhiề u kiế n thứ c cho riêng mì nh

II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Tìm hiểu phương pháp lượng tử hóa lần thứ hai trong lý thuyết các hệ nhiều hạt Và ma trận tán xạ trong biểu diễn tương tác

III NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

Để đạt được mục đích nghiên cứu đề ra ta cần thực hiện cácnhiệm vụ sau:

Tìm hiểu về hệ các hạt vi mô đồng nhất

Tìm hiểu phương pháp lượng tử hóa lần thứ hai trong lý thuyết các hệ nhiều hạt

Tìm hiểu nguyên lý loại trừ

Tìm hiểu về ma trận tán xạ trong biểu diễn tương tác

IV ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

Các công cụ sử dụng trong lý thuyết trường lượng tử

V PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Phương pháp của vật lý lý thuyết

NỘI DUNG CHƯƠNG I: PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG TỬ HOÁ LẦN

THỨ HAI CHO HỆ CÁC HẠT ĐỒNG NHẤT

1.1.1 Nguyên lý về tính không thể phân biệt được các hạt đồng nhất

Như chúng ta đã biết các véctơ trạng thái của trường lượng tử (trườngđiện tử, trường vô hướng …) diễn tả các trạng thái với số hạt khác nhau Do

đó, lý thuyết trường lượng tử là công cụ tốt để nghiên cứu các hệ nhiều hạt mà

ở đó số hạt có thể thay đổi Các vecto trạng thái của trạng thái của trườnglượng tử là các vecto trạng thái của hệ nhiều hạt đồng nhất tuân theo thống kêBose-Einstein hoặc Fermi-Dirac

Các hạt đồng nhất là các hạt có những đặc trưng giống nhau như khốilượng, điện tích, spin…

Trong cơ học cổ điển, ta có thể phân biệt được các hạt đồng nhất dựatheo quỹ đạo chuyển động của chúng Trong cơ học lượng tử ta không thểphân biệt được các hạt đồng nhất vì khái niệm quỹ đạo của các hạt không còn

có ý nghĩa (đó là hệ quả của nguyên lý bất định) Từ đó trạng thái của một hệcác hạt đồng nhất không thay đổi khi hoán vị các hạt Đó là nội dung củanguyên lý về tính không thể phân biệt được của các hạt đồng nhất

Sau đây chúng ta xét xem đối với hệ các hạt đồng nhất như vậy, trạngthái của nó được mô tả bởi hàm sóng có dạng như thế nào Như sẽ thấy, cáchàm sóng này sẽ đối xứng hoặc phản đối xứng tùy thuộc vào các hạt bosonhay fermion

1.1.2 Các trạng thái đối xứng và phản đối xứng Các boson và fermion

Ta giả sử hệ gồm N hạt đồng nhất Gọi là tập hợp 3 tọa độkhông gian (và có thêm tọa độ thứ tư là hình chiếu của spin) của hạt thứ i.Khi đó hàm sóng có thể viết thành:

Với m là khối lượng của mỗi hạt, U  i ,t là thế năng tương tác

của các hạt thứ i với trường ngoài, W  i ,k là năng lượng tương tác của các cặp hạt

thứ I và thứ k Rõ ràng là Hamiltonian này không thay đổi khi hoán vị tọa độ của một cặp hạt cho nhau

Ta đưa vào toán tử hoán vị cặp hạt

của các tọa độ hạt thứ i và thứ k như sau:

P ik tác động lên hàm

f  ,i

, ,k 

P ik f  ,i

, ,k Theo lý luận ở trên thì ta có:

ik 

Giả sử

 ,i , ,

k , 

là hàm sóng mô tả trạng thái của hệ N hạt

đồng nhất Khi hoán vị các hạt thứ i và thứ k, trạng thái của hệ được mô tả bởihàm sóng 

 ,

, ,

k i

,  Theo nguyên lý về tính không thể phân biệt



được các hạt đồng nhất ta suy ra trạng thái của hệ không thay đổi, tức là

mô tả cùng một trạng thái của hệ

Vì hàm sóng có thể xác định được sai khác một nhân tử không đổi nên

Từ đây ta có thể xác định được bằng cách tác động toán

tử lần nữa vào hai vế của (1.4) ta thu được:

Từ tính bình đẳng của các hạt ta thấy rằng không thể có hàm sóng đốixứng với một cặp hạt này và đồng thời phản đối xứng với một cặp hạt khác.

Ta đó ta đưa ra kết luận sau: chỉ có thể có hai lớp trạng thái cho các hạt đồngnhất, đó là:

nếu tại một thời điểm nào đó, hệ ở trạng thái đối xứng  (hoặc

phản đốixứng

 ) thì nó luôn ở trạng thái đối xứng (hoặc phản đối xứng).

Tính chất đối xứng hoặc phản đối xứng của hàm sóng mô tả hệ là xácđịnh tính chất nội tại của các hạt Các nghiên cứu thực nghiệm và lý thuyếtchứng tỏ rằng, các hạt có spin nguyên được mô tả bằng các hàm sóng đốixứng

s

, còn các hạt có spin bán nguyên được mô tả bởi các hàm sóng phản

đối xứng  Các hạt có spin nguyên được gọi là các hạt Bose (các

electron, proton, neutron, muon, neutrion và các phản hạt của chúng … Cáchạt phức tạp như hạt nhân, nguyên tử có spin nguyên hay bán nguyên tùythuộc vào số các hạt có spin bán nguyên tham gia tạo thành hạt phức hợp làchẵn hay lẻ.

1.1.3 Nguyên lý loại trừ

Hệ các hạt đồng nhất fermion được mô tả bởi các hàm sóng phản đốixứng tuân theo nguyên lý loại trừ Nguyên lý này được pauli đưa ra lần đầutiên khi áp dụng cho các electron trong nguyên tử và được phát biểu như sau:

“ trong hệ nhiều điện tử không thể có hai điện tử (hoặc nhiều hơn hai điện tử )

ở cùng một trạng thái” Tuy nhiên không thể coi cách phát biểu này củanguyên lý pauli là hoàn toàn chính xác Vấn đề là ở chỗ trong hệ nhiều điện tửchỉ khi bỏ qua tương tác giữa các điện tử, ta chỉ có thể coi về trạng thái củamỗi điện tử riêng biệt mới được xác định một cách chặt chẽ Trong trườnghợp không bỏ qua tương tác giữa các điện tử, Ta chỉ có thể nói về trạng tháicủa một điện tử riêng biệt trong một sự gần đúng nào đó Ta hãy phát biểu lạinguyên lý pauli trên cơ sở lý thuyết tổng quát của hệ nhiều hạt sao cho nóthuận tiện trong các tương tác mạnh bất kỳ giữa các điện tử Để làm đượcđiều này, trước hết ta hãy xây dựng lý thuyết biểu diễn trong trường hợpnhiều hạt Biểu diễn cho hệ gồm N hạt cần phải được xác định 4N toán tử

giao hoán độc lập với nhau là F1 , F2 , , F N Ở đây

và vv……Giả sử đối với hạt thứ nhất có bốn toán tử giao

hoán với nhau i

(1.15)Chú ý là toán tử

F k (k = 1, 2, 3,……, N) chỉ tác dụng lên hàm của các

Điều khẳng định trên có thể coi là cách phát biểu tổng quát của nguyên

lý Paoli, nó đúng cho tất cả các fermion như: electron, positron, neutrion,

… Ví dụ như trong trường hợp của nguyên tử, hai electron không

thể có cùng xung lượng và spin (ở đây gồm các

có thể khai triển theo các

n1 ở trạng thái này là bằng

không Tương tự, nếu fermion thứ hai ở trạng thái n

2 thì xác suất tìm thấy giátrị n

1 2

Trong trường hợp hệ N hạt Bose ta cũng áp dụng khai triển (1.17) vàthực hiện tương tự như trên, và chỉ cần chú ý rằng xuất phát từ (1.9) ta sẽ có:

1.2 Phương pháp lượng tử hoá lần thứ hai cho hệ các hạt đồng nhất 1.2.1 Mở đầu

Phương pháp lượng tử hóa các trường sóng thực chất tương tự nhưphương pháp lượng tử hóa trong cơ học lượng tử phi tương đối tính Vấn đề là

ở chỗ có thể khảo sát trường sóng với vô hạn bậc tự do N khi N đủ lớn mà các

hệ với số N lớn đã được nghiên cứu ở cơ học lượng tử Một trường hợp riêngcủa các hệ này là hệ N dao động tử điều hòa

Công cụ quan trọng được áp dụng trong phương pháp lượng tử hóa cáctrường là phép biểu diễn các số lấp đầy (còn được gọi là phép biểu diễn lượng

tử hóa lần thứ hai hay phép biểu diễn Fock)

Theo nguyên lý về tính không thể phân biệt được các hạt đồng nhất,trạng thái của hệ các hạt đồng nhất không thay đổi khi hoán vị các hạt Ta hãytrả lời câu hỏi trạng thái của hệ các hạt đồng nhất được xác đinh bởi cái gì Cóthể xác định được trạng thái của hệ nếu chỉ rõ có bao nhiêu hạt ở trạng thái

khác nhau, tức là các số sau đây: N1 hạt ở trạng thái n1

trạng thái nào đó được gọi là số lấp đầy của trạng thái này

Ta nhớ lại lý thuyết biểu diễn Các biểu diễn có thể khác nhau Khi giảiquyết các bài toán cần lựa chọn biểu diễn để cho việc tính toán được thuậnlợi Việc nghiên cứu những tính chất của các hệ gồm nhiều hạt đồng nhấttrong các biểu diễn tọa độ, biểu diễn xung lượng…., trong đó các trạng tháicủa mỗi hạt được xét riêng rẽ gặp nhiều khó khăn và phức tạp Đối với hệnhiều hạt, người ta sử dụng phép biểu diễn các số lấp đầy các trạng thái( các

biến đôc lập được chọn là số hạt của hệ ở trạng thái khác nhau: N

1.2.2 Phương pháp lượng tử hóa lần thứ hai.

Phương trình Schrodinger cho hàm sóng của hệ gồm N hạt đồng nhấttrong biểu diễn tọa độ:

là toán tử năng lượng của hạt thứ i khi

không tính tương tác của nó với các hạt còn lại

, d, ), hạt thứ hai trong (  d ),…., hạt thứ N trong

d là yếu tố thể tích vô cùng bé trong toàn bộ không gian Xác suất tìm

thấy hạt thứ i nào đó trong khoảng  i ,i 

dd id

i

Các tích phân trên bao gồm cả phép lấy tổng theo các biến spin

Bây giờ ta chuyển sang biểu diễn mới, đó là F-biểu diễn được xác địnhbởi 4N toán tử giao hoán với nhau:

F i, F i, , F i, với i = 1, 2, 3, 4 Để đơn

giản ta coi các giá trị riêng của mỗi toán tử tạo thành phổ gián đoạn và xác

định bộ bốn số lượng tử cho mỗi hạt Ta kí hiệu chúng là: n1 ,n2 , ,n N Từ(1.17) ta có thể khai triển dưới dạng chuỗi Fourier theo các hàm riêng của chung của các toán tử nói trên:

Phương trình (1.38) là phương trình Schrodinger trong F- biểu diễn.

Do tính đồng nhất của các hạt, các yếu tố ma trận (1.39) và (1.40) chỉphụ thuộc vào giá trị của các số lượng tử m i 

Đối với cá hạt Bose ta đi viết phương trình Schrodinger trong biểu diễncác số lấp đầy của các trạng thái Muốn vậy ta hãy đi tìm sự phụ thuộc

thái 1, N2 hạt ở trạng thái 2,… , N m hạt ở trạng thái m và vv… Xác suất nàyđược biểu thị qua

Trên cơ sở của các nhận xét này và bằng cách thay (1.44) vào (1.43) và chia

cả hai vế của phương trình nhận được

Sử dụng các hệ thức (1.11) – (1.13) ta chứng minh được các toán tử này

có tinh chất sau đây:

Toán tử Hˆ ở (1.52) là Hamiltonian của hệ được biểu thị qua các toán tử

và aˆ Nó được gọi là Hamiltonian lượng tử hóa lần thứ hai Ngoài ra

toán tử này còn được viết dưới dạng khác tương ứng với năng lượng của mộttrường sóng nào đó Giả sử hàm sóng của một hạt là

 Ta khai triển hàm

này theo các hàm riêng

ˆ

và

lượng tử hóa, trường thể hiện tính chất hạt, gián đoạn phương pháp nàyđược gọi là “lượng tử hóa trường”.

Ở trên ta vừa đề cập đến sự lượng tử hóa trường cho trường hợp các hạtBose Bằng phương pháp tương tự như vậy, ta có thể thực hiện sự lượng tửhóa cho trường hợp các hạt fermi Sự khác biệt chỉ ở các tính chất của cáctoán tử aˆ, aˆ  Sau một số phép biến đổi , từ (1.38) ta lại thu được phương

trình

Schrodinger (1.51) với Hamiltonian (1.52) nhưng các toán tử

định nghia khác đi cụ thể là:

ra khỏi khuôn khổ của cơ học lượng tử) Thật vậy, có thể thực hiện điều nàynếu như bổ sung vào Hˆ số hạng, ví dụ như có dạng:

Ngoài lý thuyết lượng tử của các trường, lý thuyết lượng tử hóa lần thứhai còn được áp dụng rộng rãi trong linh vực thống kê lượng tử.

KẾT LUẬN: Trong chương I ta đã đi tìm hiểu về hệ các hạt vi mô đồngnhất và phương pháp lượng tử hoá lần thứ hai cho hệ đó Qua chương nàychúng ta đã biết được hệ vi mô đồng nhất là những hạt có những đặc trưnggiống nhau như cùng khối lượng, điện tích, spin Và biết được phương pháplượng tử hoá lần thứ hai là phương pháp chuyển từ số sang toán tử tức là ta dã

đi từ lý thuyết cổ điển sang lý thuyết lượng tử Sự mô tả chuyển động của mộthạt nhờ hàm sóng đã là sự lượng tử hóa, cho nên sự thay thế

các biên độ

a n thành các toán tử

aˆ được gọi là sự lượng tử hóa lần thứ hai và hàm sóng

ˆ được gọi là hàm sóng lượng tử hóa

n