Nền tảng của lý thuyết thông tin lượng tử

vài trăm chữ số, trong khí đó các máy tính lượng tử có thể thực hiện nhiệm vụnày trong khoảng chưa đầy một giây.Những phát triển gần đây của lý thuyết thông tin lượng tử đã đem lạirất nh

LỜI CẢM ƠN

Lần đầu tiên được làm quen với công việc nghiên cứu khoa học emkhông tránh khỏi sự bỡ ngỡ và gặp nhiều khó khăn Tuy nhiên dưới sự giúp

đỡ, động viên nhiệt tình của các thầy, cô giáo và các bạn sinh viên trong khoa

em đã hoàn thành được luận văn của mình

Qua đây em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất đến thầy giáo hướng dẫn

Th.S Nguyễn Minh Vương người đã tận tình giúp đỡ và chỉ bảo em hoàn

thành bản luận văn này

Em xin chân thành cảm ơn các thầy, cô trong khoa Vật lý đã giúp đỡ

em rất nhiều trong quá trình làm việc và nghiên cứu khoa học

Bước đầu làm quen với công việc nghiên cứu nên luận văn không tránhkhỏi những sai sót, hạn chế Em rất mong nhận được những ý kiến đóng gópquý báu của các thầy cô giáo và bạn đọc để luận văn của em được hoàn thiệnhơn

Sinh viên thực hiện

NGUYỄN THỊ NHUNG

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận tốt nghiệp “Nền tảng của lý thuyết thông tin lƣợng tử”

được hoàn thành hoàn toàn dưới sự nỗ lực của bản thân và sự hướng dẫn tận

tình của Th.S Nguyễn Minh Vương.

Em xin cam đoan đây là kết quả nghiên cứu của em

Em xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong khóa luận này là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác

Em cũng xin cam đoan rằng các thông tin trích dẫn trong khóa luận đã được chỉ rõ nguồn gốc

Hà Nội, ngày 10 tháng 05 năm 2012

Sinh viên

Nguyễn Thị Nhung

1.Lý do

chọ

n đề tài

.1

2.Mụ

c đích nghiên

cứu

.2

3.Nhiệm

vụ

nghi

ên cứu

.2

4 Đối tượ

ng nghi

ên cứu 2

5 Phương phá

p nghi

ên cứu 2

6.Cấutrúc

41.2.2 R

ố

i lượng

tử

10Chương 2:

Trạng thái lượng tử rời rạc và các biến số liên tục 13

2.1 Giới

thi

ệu 132.2 Hệ thố

ng lượ

ng

tử hữ

u hạnchiều142.2.1.Trạ

ng

thái

lượng

tử 142.2.2.Hoạ

t độn

g lượng

tử 16

2.3 Cá

c biế

n số

liê

n tục 172.3.1 G

ia

i đoạn

không

gian

172.3.2 T

rạng

thá

i Gau

2.3.6 Hoạt động không Gaussian 28

Chương 3: Ước lượng tử Cloning 29

3.1 Giới thiệu 29

3.2 Định lý không nhân bản 30

3.3 Trạng thái phụ thuộc Clnoing 31

3.4 Giai đoạn hiệp biến Cloning 42

3.5 Phổ Cloning 45

3.5.1 Trường hợp của Bit lượng tử 45

3.5.2 Kích thước cao hơn 50

3.5.3 Cấu trúc rối 51

3.6 Không đối xứng Cloning 52

3.7 Xác suất Cloning 53

3.8 Thí nghiệm lượng tử Cloning 53

3.9 Tóm tắt và cách nhìn 55

KẾT LUẬN 56

TÀI LIỆU THAM KHẢO 57

A MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong hơn hai thập kỉ qua, khoa học thông tin lượng tử đã trở thànhmột trong những lĩnh vực thu hút được nhiều sự quan tâm nhất của các nhàkhoa học Nó được xem là một lĩnh vực mới có khả năng tạo ra sự đột phámạnh mẽ trong lĩnh vực khoa học và kỹ thuật có liên quan đến sự tính toán,thông tin liên lạc, phép đo chính xác và khoa học lượng tử cơ bản

Claude Shannon đặt nền móng về lý thuyết thông tin năm 1948 Cuốn

sách của ông “A Maththemathical Theroy of Communication ” (Một lý thuyết toán học của sự truyền thông tin) được xuất bản trong Tạp chí Bell System

Technical là cơ sở cho sự phát triển toàn bộ viễn thông đã diễn ra trong suốt

năm thập kỷ qua Lý thuyết thông tin cổ điển do Claude Shanon phát minh racách đây hơn 50 năm đã phát triển và trở thành một trong những nhánh saiquả và đẹp nhất của ngành toán học Hiện nay, nó thật sự là một lý thuyếtkhông thể thiếu trong lĩnh vực công nghệ thông tin, bất cứ ở đâu mà thông tinđược lưu trữ và xử lý Mặc dù đã có những thành công không thể nào phủnhận được song thông tin cổ điển vẫn còn tồn tại rất nhiều hạn chế do nó chỉbám rễ trong phạm vi của vật lý cổ điển Chính vì vậy, việc nghiên cứu và ápdụng lý thuyết lượng tử vào việc xử lý thông tin luôn thôi thúc các nhà khoahọc,và gần đây, nó đã mang lại nhiều thành công đáng kinh ngạc Kể từ năm

1990, Khi Max Planck đề xuất giả thuyết về tính gián đoạn của bức xạ điện từphát ra từ các vật - giả thuyết lượng tử - để giải thích những kết quả thựcnghiệm về bức xạ nhiệt của vật đen thì vật lý học lượng tử đã ra đời Sự xuấthiện của vật lý lượng tử và thuyết tương đối là cuộc cách mạng của ngành vật

lý học vào cuối thế kỷ 19 và đầu thế kỷ 20 và là cơ sở khoa học của nhiềungành

Chính vì vậy, việc nghiên cứu và áp dụng lý thuyết lượng tử vào việc

xử lý thông tin luôn thôi thúc các nhà khoa học,và gần đây, nó đã mang lạinhiều thành công đáng kinh ngạc

Vì thế, việc tìm hiểu và nghiên cứu về khoa học thông tin lượng tử là

một việc làm rất hợp thời đại Đó cũng là lý do để tôi chọn đề tài “Nền tảng

của lý thuyết thông tin lượng tử” Nó sẽ giúp bản thân em có cái nhìn sâu

sắc hơn về vật lý lượng tử

2 Mục đích nghiên cứu

Nền tảng của lý thuyết thông tin lượng tử

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Tìm hiểu cơ sở của lý thuyết thông tin lượng tử

4 Đối tượng nghiên cứu

Cơ sở của lý thuyết thông tin lượng tử

5 Phương pháp nghiên cứu

Đọc và nghiên cứu tài liệu

Các phương pháp của vật lý lý thuyết

6 Cấu trúc luận văn

Chương 1 Khái quát về thông tin lượng tử

Chương 2 Trạng thái lượng tử rời rạc và các biến số liên tục

Chương 3 Ước lượng tử Cloning

B NỘI DUNG CHƯƠNG 1 GIỚI THIỆU VÀ CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ THÔNG TIN

LƯỢNG TỬ

1.1 Giới thiệu

Những nghiên cứu mới về cơ học lượng tử trong thời gian gần đây đã

và đang hướng đến một lĩnh vực mới Khoa học thông tin lượng tử Việc ápdụng vật lý lượng tử và công nghệ thông tin có thể làm thay đổi hẳn cáchchúng ta giao tiếp và xử lý thông tin Điều mấu chốt khi tìm hiểu lĩnh vực này

là sự tách biệt rõ ràng giữa dấu hiệu hàng ngày của thông tin cổ điển và bảnđối ứng lượng tử kém trực giác của nó Thông tin cổ điển có thể bị đọc và saochép lại y nguyên mà không hề để lại một dấu vết nào về sự đọc trộm và saochép đó Trong khi đó, thông tin lượng tử không thể nào sao chép đượcnguyên vẹn và bất cứ một sự đọc trộm nào đều có thể bị phát hiện Đây là mộtđặc điểm rất quan trọng của cơ học lượng tử mà có thể được tận dụng để traođổi thông tin một cách hoàn toàn tuyệt mật Các trạng thái rối lượng tử còn cóthể tạo ra một mức độ song song trong tính toán cao hơn hẳn một máy tính cókích thước bằng cả vũ trụ Đó là các tính toán được thực hiện một cách hoàntoàn mới, gọi là tính toán lượng tử

Năm 1985, David Deutsch đã giới thiệu về máy tính lượng tử và chothấy rằng lý thuyết lượng tử có thể giúp các máy tính thực hiện công việcnhanh hơn rất nhiều Trong khi các máy tính số ngày nay xử lý thông tin cổđiển được mã hoá theo các bit thì máy tính lượng tử lại xử lý thông tin lượng

tử theo các qubit Máy tính lượng tử có thể được sử dụng để thực thi nhữngnhiệm vụ rất khó thực hiện đối với máy tính số thông thường Ví dụ, các siêumáy tính số ngày nay phải mất một thời gian dài hơn cả tuổi thọ của vũ trụ để

có thể tìm ra được các thừa số nguyên tố của một số nguyên lớn có khoảng

vài trăm chữ số, trong khí đó các máy tính lượng tử có thể thực hiện nhiệm vụnày trong khoảng chưa đầy một giây.

Những phát triển gần đây của lý thuyết thông tin lượng tử đã đem lạirất nhiều sự tiến bộ trong sự hiểu biết cơ học lượng tử và khả năng ứng dụngrộng rãi vào công nghệ tương lai.Những ý tưởng tính toán lượng tử xuất phát

từ việc cho rằng các máy tính thực chất là các hệ vật lý và các quá trình tínhtoán là các quá trình vật lý Đến một thời điểm nào đó thì việc áp dụng cácquy luật cơ học lượng tử để xử lý thông tin trong tính toán là không thể tránhkhỏi

1.2 Các khái niệm cơ bản

1.2.1 Bit lượng tử

Đơn vị cơ bản của thông tin cổ điển là bit Một bit có thể nhận hai giátrị hoặc là 0 hoặc 1 và chứa lượng thông tin nhỏ nhất Một bit có thể đượchiện thực hoá trong một hệ vật lý đơn giản ví dụ như một tín hiệu điện “tắt’hoặc “mở” Quá trình sử lý thông tin cổ điển liên quan đến việc làm thế nào

để lập mã, giải mã, lưu trữ, truyền và bảo mật thông tin cổ điển mà trong đó

nó được mô tả bởi các bit theo những cách có hiệu quả Shannon, trong côngtrình đầu tiên của mình, đã giải quyết vấn đề làm sao để giải nén và truyềnmột cách đáng tin cậy thông tin cổ điển Về nguyên tắc, thông tin mã hoá bởicác bit có thể đọc trộm mà không ai biết hoặc sao chép ra bao nhiêu bản cũngđược mà không hề để lại dấu vết gì trên nguyên bản

Cơ học lượng tử sử dụng hai công cụ chủ yếu để mô tả tự nhiên: các đạilượng vật lý quan sát được và các véctơ trạng thái Mỗi đại lượng vật lý ứngvới một toán tử Hermitic Giá trị đo được của đại lượng vật lý tuỳ thuộc vàoviệc nó được đo trong véctơ trạng thái nào Khác với vật lý cổ điển, vật lýlượng tử cho phép một sự chồng chập tuyến tính (hay tổ hợp tuyến tính) củanhiều trạng thái khả dĩ khác nhau Chúng ta hãy xét một hạt lượng tử A và giả

sử rằng x1 biểu diễn trạng thái của hạt ở xung quanh vị trí x1, x2 biểu diễn

trạng thái của hạt ở xung quanh vị trí x2 Ví

dụ, chúng

ta có thể giả sử hai giếng thế

hệ riêng biệt như hình được

vẽ ở hình 1.1 Trong

đó, các trạng tháix

và

x2 có thể được xem

là các bó sóng Gauss.Tron

g khi mộthạt cổ điểnchỉ có thể

giếng thếnày hoặcgiếng thếkia thì mộthạt lượng

Hình 1.1: Sơ đồ về sự chồng chập tuyến tính của hai bó sóng Gauss trong

một giếng thế kép Một hạt cổ điển phải ở một trong hai giếng thế vào một thời điểm nào đó nhưng một hạt lượng tử thì có thể ở trong một sự chồng chập của hai trạng thái khác nhau giống như (c).

Một trong những điểm đáng chú ý của trạng thái chồng chập (1.2) là sựgiao thoa giữa các trạng thái x1 và x

2 có thể ảnh hưởng đến sự phân bốxác suất của phép đo toạ độ lên trạng thái (1.2) Mức độ giao thoa thay đổi tuỳtheo giá trị của φ Biểu thức (1.2) không có nghĩa rằng hạt A hoặc là ởxung quanh x1 hoặc là ở xung quanh x2 và xác suất của chúng là bằngnhau như một trường hợp của hỗn hợp thống kê: Một trạng thái tươngứng với một

trạng thái trộn của x1 và x2 với các xác suất bằng nhau được mô tả bởimột toán tử mật độ 1/2 (

đó giữa x1 và x2 Cũng thật nguy hiểm khi nói rằng hạt A đồng thời ở cả xungquanh x1 và x2 tại cùng một thời điểm Nó thật rộng bởi vì chẳng ai có thể xácminh được nó nếu không tiến hành một phép đo trực tiếp Đã có một số ví dụnghịch lý để minh hoạ tính chất kỳ lạ này Nghịch lý con mèo củaSchrödinger cho thấy sự mô tả của cơ học lượng tử về tự nhiên kỳ lạ như thếnào khi nó được áp dụng vào các hệ vât lý vĩ mô Thí nghiệm hai khe hẹp giảithích hiệu ứng giao thoa của một hạt lượng tử đơn trong một trạng thái chồngchập Nghịch lý của Hardy minh hoạ cách mà một sự chồng chập lượng tử tạo

ra một kết quả vô nghĩa khi kể đến sự tương tác giữa vật chất và phản vậtchất Những ví dụ này đều cho thấy làm thế nào mà một sự chồng chập lượng

tử của hai trạng thái A và B có thể dẫn đến một kết quả thực nghiệm thứ

ba do sự giao thoa lượng tử mà không bao giờ thu được từ A , B giống như

từ hỗn hợp cổ điển của A và B Những hiệu ứng này (ví dụ như vân giaothoa trong thí nghiệm hai khe hẹp) biến mất khi bất kỳ một phép đo nào đượcthực hiện để theo dõi tiến trình của một hiện tượng lượng tử Vẫn còn rấtnhiều tranh luận về nguồn gốc của sự kỳ lạ này bao gồm cả những nỗ lực thựcnghiệm để chấm dứt những tranh luận này

Nguyên tắc chủ yếu của vật lý lượng tử gợi mở việc đưa ra một kháiniệm mới về đơn vị của thông tin lượng tử, gọi là bit lượng tử (tức “quantumbit” hay viết tắt là qubit) Một qubit được định nghĩa như là một chồng chậpcủa hai trạng thái giá trị, một cho giá trị 0 và một cho giá trị 1 Nó không phải

là một trường hợp của một hỗn hợp thống kê của 0 và 1, cũng không phải làmột giá trị trung gian của cả hai trạng thái này Qubit được định nghĩa trongmột không gian Hilbert hai chiều H có véctơ cơ sở trực chuẩn:

là sự chồng chập tuyến tính của hai trạng thái cơ bản với các số phức a và bbất kỳ

Hình 1.2: Sơ đồ về các bit và bit lượng tử Trong khi một bit chỉ chiếm

một trong hai cực tương ứng với 0 hoặc 1 thì một bit lượng tử lại có thể ở bất

kỳ điểm nào trên bề mặt quả cầu Bloch vì nó có thể ở trong trạng thái chồng chập khác nhau Nói chung, một bit lượng tử có thể được đặt bất cứ một điểm nào ở bên trong quả cầu nếu như nó ở trong một trạng thái hỗn hợp.

Thoả mãn điều kiện chuẩn

với bán kính đơn vị (xem hình 1.2), gọi là quả cầu Bloch Nếu một qubit ởtrong một trạng thái sạch thì điểm tương ứng của nó luôn luôn nằm trên mặtcầu.

Người ta có thể nghĩ rằng người này hay người kia nhận được nhiềuthông tin từ một bit lượng tử hơn là một bit bởi vì một qubit có thể tồn tại như

là một số vô hạn trong các trạng thái chồng chập khác nhau Nhưng thật ra,không có nhiều thông tin hơn có thể thu được từ một qubit bởi vì kết quả đọc

ra của một qubit là một quá trình đo cơ học lượng tử Nói chung, cơ họclượng tử không cho phép người ta đo một trạng thái lượng tử mà không pháhuỷ nó Vì vậy, nói chung, một qubit không thể bị đọc mà không biến mấttrong khi một bit thì lại có thể Một quá trình đọc ra của một qubit ψ sẽlàm

cho trạng thái qubit xẹp xuống là 0 hoặc 1 tuỳ thuộc vào kết quả đo Cùng

lý do đó mà một qubit bất kỳ không thể được nhân bản một cách hoàn hảo, đó

là nội dung của định lý “không nhân bản” được tìm ra năm 1982 và là mộtđịnh lý đóng vai trò quan trọng trong xử lý thông tin lượng tử

Đã có một số đề xuất hiện thực hoá các qubit đối với quá trình xử lýthông tin lượng tử trong các hệ vật lý như nguyên tử, các hệ vật chất ngưng tụ

và quang học Theo nguyên tắc, bất kỳ một hệ lượng tử hai chiều nào đều cóthể được xem như là một hệ qubit Một hạt Spin -1/2, một nguyên tử hai mức,một trạng thái photon phân cực… là những ví dụ quen thuộc Tuy nhiên, đểtìm ra một hệ qubit thích hợp cho quá trình xử lý thông tin lượng tử lại là mộtchuyện khác, hệ qubit đó phải có thể nhập vào, kiểm soát, đo đạt và có thểđọc được trước khi nó bị phá vỡ bởi tương tác với môi trường xung quanh Cóhai loại qubit đó là: qubit quang học (không có khối lượng) rất tốt cho truyềntin và qubit vật thật (có khối lượng) rất tốt cho tính toán lượng tử Việcchuyển hoá thông tin lượng tử từ các qubit quang học sang các qubit vật chất

và ngược lại là cần thiết và đã được nghiên cứu khá kỹ

Gần đây, các nghịch lý đã được thảo luận trong chương trước lại xuấthiện và đóng góp vào rối của các hệ vật lý hơn là giải thích cũ dựa trênnguyên lý bất định Heisenberg Như đã được giải thích bởi Shrödinger, cáctrạng thái rối có thể sinh ra do tương tác giữa các hệ lượng tử, ví dụ như khihai hạt được tạo ra một cách đồng thời với một số yêu cầu là spin hay xunglượng phải được bảo toàn Tuy nhiên, một trạng thái rối có thể mất rối dotương tác với môi trường Rối đóng vai trò không thể thay thế như là nguồntài nguyên trong các quá tình xử lý thông tin lượng tử bao gồm viễn chuyểnlượng tử, mật mã lượng tử và tính toán lượng tử Giả sử một trạng thái hai hệ

1 và 2 được định nghĩa trong một không gian Hilbert H1 ⊗H2 như sau:

Khi đó (1.6) được gọi

là một trạng thái rối Khi a ≠

cực đại ứng với trường hợp a = b Bốn trạng thái rối cực đại trong

khônggian H1 ⊗H2 tạo thành một hệ đủ trực chuẩn là

( 0 0

2 ± 1 1

),

(1.7)

ψ± = 1 ( 0

12

0 )

(1.8)được gọi là các trạng thái Bell hay các cặp EPR Một cách tổng quát, chúng tanói

rằng trạngthái

ψlà rối trongH

nó không thể được biểu

12

diễn như là một tích trựctiếp của hai trạng thái bất kỳ

ψ

≠ ψ

⊗ ψ'

12 1 2

(1.9)

với

ψψ' 1 2

là vectơ trạng thái của

hệ 1 (2)

Sự rối không phảichỉ xảy ra giữa hai hệlượng tử mà cũng có thểxảy ra giữa nhiều hệlượng tử khác nhau Khi

đó ta có rối đa hệ Rối đa

hệ rất quan trọng đối vớicác giao thức lượng tử đanhân trong một mạng lướilượng tử Các trạng tháirối cực đại là những kênhlượng tử rất tốt trong xử

1 2

lý thông tin lượng tử Ví

dụ, trong viễn chuyểnnếu một kênh lượng tử

sử dụng không phải là rốicực đại thì xác suất thànhcông sẽ luôn bé hơn xácsuất thành công của việc

sử dụng rối cực đại Đểtạo được một trạng tháilượng tử rối cực đại làmột việc làm không dễ.Tuy nhiên, các giao thứccũng đã phát triển để chắtlọc ra một số ít cáctrạng thái rối cực đại từmột số lớn các trạng thảirối không cực đại bằngcách sử dụng các tácdụng định xứ và các giaotiếp cổ điển Những sơ đồnày được gọi là chiết hay

sự chắt lọc rối

Hình 1.3: (a) hai hệ vật lý tách riêng A và B không rối với nhau; (b) A và

B tương tác với nhau; (c) A và B trở nên rối; (d) A và B tương tác với môi trường C và giảm độ rối hoặc mất rối hoàn toàn.

CHƯƠNG 2: TRẠNG THÁI LƯỢNG TỬ RỜI RẠC

VÀ CÁC BIẾN SỐ LIÊN TỤC

2.1 Giới Thiệu

Phần lớn các lý thuyết của khoa học thông tin lượng tử ban đầu đã đượcphát triển trong lĩnh vực của các bit lượng tử và trits, như vậy cho hệ thốnglượng tử hữu hạn chiều Tín hiệu tương tự gần nhất với các bít cổ điển làtrạng thái của hai hệ lượng tử, và thực tế, khá nhiều trực giác của lý thuyếtthông tin cổ điển tiến hành trên lĩnh vực lượng tử [1], [2] Tuy nhiên, cần phảinói, rất nhiều hệ lượng tử không thuộc thể loại này là hữu hạn chiều, quenthuộc đơn giản, cơ học lượng tử dao động điều hòa là một ví dụ Dao động cóthể được nhận thấy như một lĩnh vực chế độ của ánh sáng hoặc như mức độrung động tự do của một ion trong một cái bẫy Ngoài ra, spin chung của mẫunguyên tử có thể để một phép tính xấp xỉ thỏa đáng được mô tả như một hệthống lượng tử dạng này Trước đây không phải rất lâu hệ thống lượng tử vôhạn chiều trở nên rõ ràng là như vậy cũng rất hấp dẫn để xử lý thông tin lượng

tử, cả hai từ một lý thuyết và từ một quan điểm thực nghiệm [3], [6]

Chương này sớm là chủ yếu hướng tới "thiết lập tọa độ", giới thiệu kháiniệm cơ bản về trạng thái và hoạt động Một thời gian ngắn chúng ta sẽ cómột cái nhìn cụ thể trong trường hợp hữu hạn chiều Sau đó chúng ta sẽchuyển sang một mô tả về trạng thái và hoạt động trong trường hợp hệ thốnglượng tử vô hạn chiều Các câu hỏi về sự rối hoặc các giao thức như phân bốkhóa lượng tử được cố tình để lại và sẽ được đề cập cụ thể trong chương sau

Như vậy hệ thống lượng tử vô hạn chiều (boson) có tọa độ kinh điểntương ứng với vị trí và xung lượng Những quan sát không có giá trị riêng,nhưng là một phổ liên tục; do đó thuật ngữ " hệ thống biến đổi liên tục " đãđược đặt ra để mô tả các tình trạng Lúc đầu, ta có thể dẫn đến suy nghĩ rằngcác cuộc thảo luận về các trạng thái, các hoạt động học lượng tử và xử lý

thông tin lượng tử như vậy là quá tải với các kỹ thuật của không gian Hilbert

vô hạn chiều Thật vậy, một số điểm tinh tế xa lạ với các thiết lập hữu hạnchiều xuất hiện: ví dụ, không có thêm một ràng buộc, entropy và mức độ về

sự rối cho rằng vấn đề thông thường hầu hết ở khắp mọi nơi vô hạn Hầu hếtcác thuật ngữ chuyên môn có thể được thuần hóa, với sự giúp đỡ của các ràngbuộc tự nhiên với năng lượng trung bình hoặc hạn chế tuyến tính khác [7],[8]

Một số lượng lớn các giao thức và các thuộc tính về trạng thái lượng tử

và thao tác của họ, tuy nhiên, có thể được nắm bắt trong điều kiện tránhnhững vấn đề chuyên môn ngay lập tức: điều này là do thực tế rằng có nhiềutrạng thái xảy ra trong bối cảnh của khoa học thông tin lượng tử có thể được

mô tả một cách đơn giản về các thời điểm của họ Những trạng thái tự dohoặc bán Gaussian sẽ hoàn toàn ở trung tâm của sự chú ý trong phần phụ saucủa chương này Cuối cùng, chúng ta sẽ thấy rằng ngay cả khi ngôn ngữ đã cóđiều gì đó để nói khi chúng không xử lý với trạng thái Gaussian nhưng vớimột lớp của trạng thái không Gaussian đóng một vai trò trung tâm trong hệthống quang học lượng tử

2.2 Hệ thống lƣợng tử hữu hạn chiều

2.2.1 Trạng thái lượng tử

Trạng thái thể hiện tất cả các thông tin về quá trình chuẩn bị của một hệ

lượng tử có tiềm năng cho các phép đo sau thống kê Trạng thái tương ứng

với mật độ ρ nhà khai thác thỏa mãn [2], [3]:

Các thiết lập của tất cả các nhà khai thác mật độ thường được gọi là không

gian trạng thái.

Không gian trạng thái của một qubit duy nhất đặc biệt là trong suốt: nó

có thể được biểu diễn là các quả cầu đơn vị trong R3, gọi là quả cầu Bloch.

Các không gian Hilbert của qubit được kéo dài bởi {| 0 , |1} Trong điềukiện của cơ sở này, một trạng thái có thể được viết là:

Vì vậy, trạng thái của qubit duy nhất được đặc trưng bởi véctơ

( x1, x2, x3) ∈ R3 được lấy từ các quả cầu đơn vị, bởi véctơ Bloch.

Nói chung, không gian trạng thái của một hệ lượng tử d-chiều ( d2 -1)chiều lồi thiết lập: nếu ρ1 và ρ2 là trạng thái lượng tử có thực, sau đó sự kếthợp mặt lồi λρ1 +

lượng tử Một quy trình như vậy phản ánh sự pha trộn của hai trạng thái lượng

tử Các điểm đặc biệt của không gian trạng thái là trạng thái lượng tử tinh

khiết.

Hãy để chúng tôi kết thúc phần này với một nhận xét về thành phầncủa hệ thống lượng tử, mà có liên quan quan trọng khi nói về sự rối Cácthành phần của hệ thống lượng tử được kết hợp trong các khái niệm trạng

thái thông qua các sản phẩm tensor: không gian Hilbert của một hỗn hợp

hệ thống bao gồm các bộ phận với không gian Hilbert H1 và H2 đượcxác định làΗ =Η1 ⊗ Η2 Các cơ sở của H có thể sau đó đượcxác định là:

2.2.2 Hoạt động lượng tử

Một hoạt động học lượng tử hoặc một kênh lượng tử phản ánh bất kỳ

xử lý của thông tin lượng tử, hoặc bất kỳ cách nào một trạng thái có thể đượcthao tác bằng một thiết bị vật lý thực tế Khi nắm bắt khái niệm của một hoạtđộng học lượng tử, hai cách tiếp cận xuất hiện để được đặc biệt tự nhiên: trênmột mặt, có thể liệt kê các hoạt động cơ bản mà được biết đến từ bất kỳ cuốnsách giáo trình về cơ học lượng tử, và tưởng tượng được một hoạt động họclượng tử nói chung như một chuỗi nối tiếp của những thành phần này Mặtkhác, trong một cách tiếp cận tiên đề có thể xây dựng các yêu cầu tối thiểuhoạt động học lượng tử có ý nghĩa để thực hiện phù hợp với khung thống kêgiải thích của cơ học lượng tử Để bắt đầu với cách tiếp cận trước đây, bất kỳhoạt động học lượng tử:

có thể được coi là một hệ quả của việc áp dụng các hoạt động cơ bản sau đây:

• Unita động lực học: Thời gian tiến hóa theo Schodinger động lực đưa đến

một nhất thể hoạt động

• Thành phần của hệ thống: Đối với các trạng thái ω, đây là:

Đây là thành phần với một hệ thống bổ sung không tương quan

• Một phần dấu vết: Điều này để

chắn tuyến tính và dương: mật độ toán tử phải được ánh xạ vào các toán tửmật độ Giữ gìn dấu vết của bản đồ kết hợp các dấu vết của các nhà điều hànhmật độ vẫn được đưa ra bởi sự thống nhất.

2.3 Các biến số liên tục

Vì vậy, nhiều hệ thống lượng tử hữu hạn chiều Những gì chúng tôi cóthể nói bây giờ nếu hệ thống là hệ thống lượng tử vô hạn chiều [4-6], chẳnghạn như một hệ thống bao gồm các lĩnh vực chế độ của ánh sáng [9-12] hoặctập quay bậc tự do [13, 14]? Như đã đề cập trước đây, thuật ngữ " Hệ thốnglượng tử vô hạn chiều " đề cập đến một thực tế mà cơ bản không gian Hilbert

H vô hạn chiều Ví dụ nguyên mẫu của hệ thống như vậy là một chế độ duy

nhất, vì vậy gọi là một lượng tử dao động điều hòa duy nhất Tọa độ kinh

Không cần phải nói, các sóng mang của một trạng thái không phải làhữu hạn Ví dụ, trạng thái kết hợp quen thuộc quan trọng trong quang họclượng tử có trạng thái vector:

Vật lý của N kinh điển (boson) bậc tự do ─ hoặc các phương thức cho

rằng vấn đề ─ N dao động điều hòa Như một hệ lượng tử được mô tả trong

một không gian pha Các không gian pha của một hệ thống N mức độ tự do là

R2N, được trang bị với một hình thức kháng đối xứng song tuyến tính [3,6,15, 16] Sau đó bắt nguồn từ các mạch đảo kinh điển mối quan hệ giữa cáctọa độ kinh điển Viết tọa độ kinh điển là (R1, , R2N

Ma trận này là block chéo, như quan sát các mức độ khác nhau của tự

do chắc chắn đi lại với nhau Ở đây, đơn vị đã được chọn sao cho bằng 1

Một công cụ thuận tiện cho một mô tả của các trạng thái giai đoạn

trong không gian là các nhà điều hành dịch chuyển ─ hoặc, tùy thuộc vào giới khoa học, nhà điều hành Weyl Định nghĩa là: Wξ

nó là đơn giản để thấy rằng nhà điều hành này thực sự

tạo ra các bản dịch trong không gian pha

Đối với một mức độ tự do duy nhất của toán tử dịch chuyển này sẽ trởthành:

Tương đương với đề cập đến một trạng thái, là một toán tử mật độ người

ta có thể xác định trạng thái của một hệ thống với các tọa độ kinh điển bằngphương tiện của một chức năng thích hợp trong không gian pha Trong các tàiliệu tìm thấy rất nhiều các chức năng không gian pha, mỗi trong số đó được

trang bị với một giải thích vật lý nhất định Một trong số đó là hàm đặc trưng

[6, 17, 18] Nó được định nghĩa là giá trị kỳ vọng của các nhà điều hành

Một trong những tính chất hữu ích được gọi

hiệu với WA1 và WA2, chúng ta có:

tr [Α 1 Α 2] =

(

x p

)

−

∞

Tương

tự

như

vậy,

giá trị kỳ vọng của toán tử động lực thu được là:

của họ [3, 6] Những khoảnh khắc đầu tiên là giá trị kỳ vọng của các tọa độ

Những khoảnh khắc thứ hai, lần lượt, có thể

được thể hiện trong thực tế đối xứng 2N × 2N - ma trận γ Các mục trong đóđược cho bởi:

Bây giờ trạng thái Gaussian có ý nghĩa như thế nào? Trạng thái kết hợp

với véctơ trạng thái như trong Eq (2.1) tạo thành ví dụ quan trọng của trạngthái Gaussian, có một ma trận hiệp biến γ = I2: trạng thái kết hợp là gì nhưngtrạng thái chân không, di dời trong không gian pha Ma trận hiệp biến của một

trạng thái chân không ép được cho bởi

n = 0 + 1 + 1

→

U ρU † ,

U = exp

□ i H k ,l R k R l ,

2 k ,l

H là thực và đối xứng, tương ứng với một boson Hamilton bậc hai

Unitaries này tương ứng với một đại diện của các Symplectic nhóm

Những unitaries Gaussian được năng lượng bảo toàn thường được gọi

là thụ động Trong bối cảnh quang học, unitaries như bảo vệ tổng số photon.

Chúng tương ứng trong quy ước được chọn trong chương này:

− sin(ϕ )

sin (ϕ ),

cos(ϕ

∈ [0, 2π ).

Cho dù chuyển đổi là thụ động hoặc không có thể dễ dàng được đọc từcác ma trận S: các ma trận S tương ứng với hoạt động thụ động là chính xácnhững trực giao, S ∈ SO ( N ) Những biến đổi này một lần nữa tạo

thành mộtnhóm, Sp (2N , R)

∩

O (2N

).

Nhóm này là một đại diện của U (N), đây là một

thuộc tính mà thuận tiện có thể được khai thác khi đánh giá nhiệm vụ thôngtin lượng tử có thể truy cập sử dụng quang học thụ động (xem, ví dụ.,Tài liệutham khảo [33])

Chuyển đổi hoạt động, ngược lại, không bảo toàn tổng số photon Hoạt

động gây ép trong các hệ thống quang học chuyển đổi như vậy đang hoạtđộng Ví dụ nổi bật nhất là một unita ép các trạng thái lượng tử của một chế

ma trận này sẽ xác định chuyển đổi vào mức độ của các ma trận hiệp biến

Bất kỳ thực sự đối xứng 2N × 2N-ma trận là một ma trận hiệp biến hợplệ? Câu trả lời chỉ có thể là "không"; nguyên lý bất định Heisenberg hạn chếnhững khoảnh khắc thứ hai của bất kỳ trạng thái lượng tử Các nguyên tắcHeisenberg bất định có thể được diễn tả như hạn chế:

Sγ S T = N i = 1

S i I2 .

(2.3)

Các con số S1, ., SN có thể xác định được phần dương cực của quang phổ

iσγ Đây là phân rã của chế độ bình thường, kết quả từ các quá trình

quen thuộc của phép tách một hệ thống kết hợp của dao động điều hòa

Ma trận hiệp biến của Eq (2.3) sau đó là các ma trận hiệp biến của một hệthống N chế độ đồng đều, mỗi trong số đó là ở trong trạng thái nhiệt của "sốphoton"

có nghĩa là i = (S1 − 1) / 2

[15,16].

Bây giờ, có điều này trong ghi nhớ, chúng

ta có thể giảm (2.2) đến một vấn đề duy nhất chế độ, cho một ma trận hiệpbiến của mẫu γ

= diag (s,

s).

Đối với ma trận hiệp biến của một trong các chế

độ đồng đều, lần lượt nguyên lý bất định Heisenberg trở thành: ∆X ∆P ≥

Phân rã chế độ bình thường là một công cụ rất hữu ích khi đánh giá bất

kỳ số lượng phụ thuộc vào trạng thái lượng tử unitarily bất biến Ví dụ, để

tính toán (Von Neu- Mann) entropy S (ρ ) = − tr

[ρ log ρ ] của một trạng thái

Gaussian trở thành một doanh nghiệp đơn giản, một khi vấn đề được giảmđến một vấn đề duy nhất chế độ bằng cách sử dụng mẫu đơn này Williamsonbình thường

Cuối cùng, trong phần phụ này, chúng không phải là trạng tháiGaussian có thể được đặc trưng bởi các biểu thức entropy: Cụ thể, Gaussian lànhững trạng thái lượng tử cố định thứ nhất và thứ hai những khoảnh khắc có