Sáng kiến kinh nghiệm Một số định hướng để giải bài toán phương pháp tọa độ

Bản chất hình học của một số bài toán hình học giải tích Khi gặp một số bài toán hình học giải tích học sinh thường không chú ý tớicác tính chất hình học có liên quan mà cứ tập trung vào

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Mục đích của việc đổi mới phương pháp dạy học ở trường phổ thông là thayđổi lối dạy học truyền thụ một chiều sang dạy học theo phương pháp dạy học tíchcực nhằm giúp học sinh phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo, rènluyện thói quen và khả năng tự học, tinh thần hợp tác, kĩ năng vận dụng kiến thứcvào những tình huống khác nhau trong học tập và trong thực tiễn; tạo niềm tin,niềm vui hứng thú trong học tập

Trong chương trình toán học phổ thông, hình học giải tích có một vị trí nhấtđịnh Những năm gần đây các bài toán về hình học giải tích luôn xuất hiện trongcác đề thi học sinh giỏi Tỉnh, đề thi tuyển sinh đại học và cao đẳng Trong các đềthi tuyển sinh đại học và cao đẳng những năm gần đây các bài toán hình học giảitích luôn chiếm tỉ lệ thấp nhất là 20% và gây ra nhiều khó khăn cho học sinh Phầnlớn học sinh “không tự tin” khi “gặp phải” bài toán này vì các bài toán này thường

đa dạng phong phú và có một số bài toán dạng này nếu chỉ sử dụng thuần túy công

cụ đại số để giải thì sẽ gặp nhiều khó khăn hoặc lời giải sẽ rất dài dòng nhưng nếuchúng ta biết kết hợp công cụ đại số với các tính chất hình học thuần túy, lấy thêmcác điểm thì chúng ta lại có thể dễ dàng giải được bài toán và lời giải cũng rất ngắngọn Ngoài ra một lý do nữa khiến học sinh học “không tự tin” khi “gặp phải” bàitoán này là các học sinh thường cảm thấy mãn nguyện khi tìm được một lời giảicho bài toán mà các em không có ý thức tìm kiếm các lời giải khác, khai thác đàosâu kết quả bài toán đó Phần lớn các tài liệu viết về bài toán hình học giải tích đềumang nặng tính liệt kê các bài toán hoặc dạng toán mà chưa đi sâu vào việc phântích bản chất hình học của nó do đó chưa bắt kịp được với xu thế ra đề hiện nay

Trong một số trường hợp, từ một bài toán nếu chúng ta có thể tìm đượcnhiều lời giải cho bài toán, đưa ra các bài toán mới thì chúng ta sẽ tìm được rấtnhiều thú vị, tạo ra niềm vui hứng thú cho học sinh

Vì vậy, chúng tôi quyết định chọn đề tài: “Bản chất hình học của một số bài toán hình học giải tích”.

Trong đề tài này chúng tôi quan tâm đến các vấn đề: Phân tích tầm quantrọng của việc sử dụng tính chất hình học để tìm lời giải của một số bài toán hìnhhọc giải tích; Đưa ra một số tính chất hình học hay sử dụng và một số cách lấythêm điểm khi giải một số bài toán hình học giải tích; Khai thác đào sâu kết quảmột số bài toán hình học giải tích

Đề tài được hoàn thành tại trường THPT Hà Huy Tập Trong quá trình thựchiện đề tài chúng tôi đã nhận được nhiều sự chỉ bảo của các thầy cô giáo đi trước

về bố cục, nội dung Nhân đây cho phép chúng tôi bày tỏ lời cảm ơn chân thànhđến các thầy cô giáo, bạn bè đồng nghiệp, đặc biệt là các thầy cô trong tổ Toán -Tin trường THPT Hà Huy Tập

Cuối cùng do nhiều nguyên nhân, đề tài hoàn toàn không tránh khỏi đượcnhững sai sót Chúng tôi mong nhận được sự góp ý chân thành của các thầy côgiáo và các độc giả để ngày càng hoàn thiện hơn trong quá trình nghiên cứu khoahọc và viết các đề tài

II NỘI DUNG

1 Bản chất hình học của một số bài toán hình học giải tích

Khi gặp một số bài toán hình học giải tích học sinh thường không chú ý tớicác tính chất hình học có liên quan mà cứ tập trung vào các các công thức đã xâydựng được cùng với các phép biến đổi đại số để tìm lời giải cho bài toán đó.Nhưng trên thực tế và xu thế ra đề thi đại học và cao đẳng, đề thi học sinh giỏiTỉnh hiện nay thì có rất nhiều bài toán hình học giải tích nếu chúng ta không biếtcác tính chất hình học liên quan, không biết lấy thêm các điểm thì có thể chúng takhông tìm được lời giải hoặc tìm được lời giải không ngắn gọn

1.1 Một số ví dụ

Sau đây chúng tôi xin nêu ra một số ví dụ minh họa tính ưu việt của việc sửdụng tính chất hình học để giải một số bài toán hình học giải tích

Ví dụ 1.1.1 (Bài 15.h trang 89 – SGK Hình học nâng cao lớp 12)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm H(2; 1; 1) Viết phươngtrình mặt phẳng đi qua điểm H và cắt các trục tọa độ tại các điểm A, B, C sao cho

H là trực tâm của tam giác ABC

Khi gặp bài toán này học sinh thường giải như sau: “Vì điểm H không thuộccác mặt phẳng tọa độ nên các điểm A, B, C đều khác điểm O Không mất tính tổngquát ta có thể giả sử A(a,0,0), B(0,b,0), C(0,0,c) với abc0, khi đó mặt phẳng(ABC) có phương trình x y z 1

khi và chỉ khi điểm H là hình chiếu của điểm O trên mặt phẳng (ABC)” (Bài 17

trang 103 SGK Hình học 11 Nâng cao) thì học sinh có thể tìm được lời giải sau:

H O

x

yz

Hình 1.1.1

BC

A

“Vì điểm H không thuộc mặt phẳng tọa độ nên các điểm A, B, C đều khácđiểm O Tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc nên H là hìnhchiếu vuông góc của O lên (ABC)

Do đó OH  (ABC)  (ABC) chứa điểm H và nhận OH (2;1;1) làm vectơ pháptuyến Vậy (ABC) có phương trình 2x + y + z – 6 = 0”

Như vậy, nếu học sinh biết cách sử dụng tính chất hình học liên quan đến bài toán này một cách hợp lý thì học sinh sẽ làm được bài với lời giải rất ngắn gọn.

Ví dụ 1.1.2 (Câu VI.a.1 trong đề thi tuyển sinh đại học năm 2011 – Khối A)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng : x + y + 2 = 0 và đườngtròn (C) : x2 + y2 – 4x – 2y = 0 Gọi I là tâm của (C), M là điểm thuộc  Qua M

kẻ các tiếp tuyến MA và MB đến (C) (A và B là các tiếp điểm) Tìm tọa độ điểm

M, biết tứ giác MAIB có diện tích bằng 10

Khi gặp bài toán này, học sinh có thể định hướng như sau:

+ Tìm tọa độ tâm I và bán kính đường tròn (C)

+ Vì điểm M thuộc đường thẳng nên M(t; -t -2)

+ Tìm tọa độ các tiếp điểm A, B

+ Tính diện tích tứ giác MAIB theo t

+ Từ giả thiết diện tích tứ giác MAIB bằng 10

Trong bài toán có giả thiết MA, MB là hai tiếp tuyến của (C) cắt nhau tại M,gợi cho chúng ta liên tưởng đến tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau Tiếp tục phântích bài toán: “Các yếu tố đã biết trong bài toán là tâm I và bán kính R của đườngtròn (C), đường thẳng  Do đó để tìm tọa độ điểm M ta cần tính IM theo R” Từnhững suy luận trên, học sinh có thể tìm được lời giải sau:

“Đường tròn (C) có tâm I(2; 1) và bán kính IA 5

Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, tứ giác MAIB có

MAI MBI  và MA = MB Suy ra SMAIB = IA.MA

Do đó SMAIB10 IA.MA 10  5MA 10  MA 2 5

Ví dụ 1.1.3 (Câu 4 trong đề thi HSG Tỉnh môn Toán lớp 12 năm học 2010 2011) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm G(1; 2) Gọi H là

-trực tâm của tam giác ABC Biết đường tròn đi qua ba trung điểm của ba đoạnthẳng HA, HB, HC có phương trình là: : x2 y2  2x 4y 4 0   Viết phươngtrình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Khi gặp bài toán này, học sinh sẽ gặp khó khăn nếu không sử dụng các tính chấthình học liên quan để giải bài này Như vậy, vấn đề đặt ra là chúng ta sẽ lựa chọntính chất hình học nào và vì sao lại lại chọn tính chất hình học đó?

Sau khi nắm vững giả thiết và kết luận của bài toán, ta thấy bài toán liênquan đến trọng tâm G, trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp I của tam giácABC và nghĩ đến tính chất hình học: GH =-2GI Nhưng chỉ mới sử dụng tính chấtnày thì chưa giải được bài toán Chúng ta tiếp tục phân tích, bài toán liên quan đếnđường tròn đi qua ba trung điểm của ba đoạn thẳng HA, HB, HC và đường trònngoại tiếp tam giác ABC Do đó chúng ta sẽ tìm mối quan hệ giữa hai đường trònnày Ta có phép vị tự V(H; 2) biến đường tròn đi qua ba trung điểm của ba đoạnthẳng HA, HB, HC thành đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Từ những suy luậntrên, ta có thể giải bài toán trên như sau:

“Gọi đường tròn (I;R) và (I1;R1) lần lượt là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

và đường tròn đi qua ba trung điểm của ba đoạn thẳng HA, HB, HC

Theo giả thiết, ta có: I1(1;-2), R1=1

Vì các điểm G, H, I lần lượt là trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoạitiếp của tam giác ABC nên ta có:

N

C M

biến đường tròn đi qua ba trung điểm của ba cạnh AB, BC, AC thành đường trònngoại tiếp tam giác ABC Do đó, để viết đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thì ta

có thể tìm phương trình đường tròn đi qua ba trung điểm của ba cạnh AB, BC, AChay cần tìm mối liên hệ giữa đường tròn đi qua ba trung điểm của ba cạnh AB, BC,

AC và đường tròn đi qua ba trung điểm của ba đoạn thẳng HA, HB, HC Từ đóchúng ta nghĩ đến tính chất hình học: “Ba trung điểm của ba đoạn thẳng HA, HB,

HC và ba trung điểm của ba cạnh AB, BC, AC cùng thuộc một đường tròn” Vớicách nhìn nhận này, chúng ta có thể giải bài toán theo cách khác như sau:

“Gọi các điểm M, N, P, I, E, F lần lượt là trung

điểm của các đoạn BC, CA, AB, HA, HB, HC

Ta có: EH  AC  EH  IF (Vì IF//AC)

Mà MF//EH  MF  IF  IFM 90 0

Tương tự  IEM 90 0 nên M thuộc đường

tròn ngoại tiếp tam giác IEF

Tương tự ta có N, P cũng thuộc đường tròn

ngoại tiếp tam giác IEF

Dễ thấy C là ảnh của MNP qua phép

vị tự tâm G tỉ số k = -2

 đường tròn ngoại tiếp ABC là ảnh của

đường tròn ngoại tiếp MNP qua phép vị tự tâm G tỉ số k = -2 Ta có đường trònngoại tiếp MNP có phương trình x2 y2  2x 4y 4 0   Vậy phương trìnhđường tròn ngoại tiếp ABC là (x 1) 2 (y 10) 2 4”

Như vậy, nếu học sinh biết cách áp dụng các tính chất hình học liên quan đến bài toán theo các cách khác nhau thì học sinh có thể giải bài toán này theo nhiều cách khác nhau.

Qua các ví dụ trên, chúng ta thấy rằng nếu không biết các tính chất hình họcliên quan đến các bài toán đó thì việc tìm được lời giải của các bài toán đó là rấtkhó khăn

1.2 Một số tính chất hình học và cách lấy thêm điểm thường dùng

Trong quá trình giảng dạy và giải các đề thi tuyển sinh đại học cao đẳng, đềthi học sinh giỏi Tỉnh chúng tôi rút ra được một số kinh nghiệm quý báu về việc sử

BH

Aa

Hình 1.2.1

A

CI

1.2.1 Nếu đường thẳng a cắt đường tròn (I;

R) tại hai điểm phân biệt A và B, H là chân

đường vuông góc kẻ từ I đến đường thẳng a

thì H là trung điểm của đoạn thẳng AB và

+) Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm

+) Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau

(Hình 1.2.2)

(Trang 105 SGK Toán 9 tập 1)

1.2.3 Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:

+) Điểm đó cách điều hai tiếp điểm

+) Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.+) Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi quacác tiếp điểm (Hình 1.2.3)

(Định lí về hai tiếp tuyến cắt nhau – Trang 114 SGK Toán 9 tập 1)

M

A

I

B

I K

A

B

Hình 1.2.3

1.2.4 Nếu hai tiếp tuyến tại A và B của đường tròn tâm I cắt nhau tại M thì tâm

đường tròn nội tiếp của tam giác MAB là giao điểm của đoạn MI với đường tròn

đó (Hình 1.2.4)

Hình 1.2.4

Chứng minh: Gọi K là giao điểm của đoạn MI với đường tròn đó

Theo tính chất 1.2.3 ta có MK là đường phân giác trong của góc M của tam giác MAB

Mặt khác MAK KBA ; KBA KAB  MAK KAB

hay AK là đường phân giác trong của góc A của tam giác MAB

Vậy K là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác MAB

1.2.5 Nếu hai đường tròn cắt nhau

thì giao điểm đối xứng với nhau qua

đường nối tâm Nếu hai đường tròn

tiếp xúc nhau thì tiếp điểm nằm trên

đường nối tâm (Hình 1.2.5)

Hình 1.2.5

B

A’

C I

1.2.6 Cho tam giác ABC có  là đường

phân giác trong hoặc ngoài của góc A

Nếu điểm M thuộc đường thẳng AB và

N là điểm đối xứng của M qua  thì N

thuộc đường thẳng AC (Hình 1.2.6)

1.2.7 Cho tam giác ABC có tâm đường tròn

nội tiếp hoặc bàng tiếp là I Nếu A ' là giao

điểm của AI với đường tròn ngoại tiếp của

tam giác ABC (A ' khác A) thì

A 'B A 'C A 'I  (Hình 1.2.7)

Chứng minh: Ta có

BIA BAI ABI ; IBA'CBA 'CBI

Mà IBC IBA ; CBA'CAI BAI

Suy ra BIA'IBA' A I' A B'

Tương tự A I' A C'

1.2.8 Cho tam giác ABC không cân tại A có

đường cao AH, tâm đường tròn ngoại tiếp I

Nếu d là đường thẳng chứa phân giác trong

của góc A của tam giác ABC thì d là đường

thẳng chứa phân giác trong hoặc ngoài của

góc AIH (Hình 1.2.8)

Chứng minh: Gọi giao điểm của d và đường

tròn ngoại tiếp tam giác ABC là D (D khác

A) ta có D là điểm chính giữa cung BDC

Do đó IDBC ID/ /AH  HAD IDA 

Mà IAD IDA Vậy HAD IAD

1.2.9 Nếu tam giác nhọn ABC có các đường

cao AQ, BR, CS đồng quy tại H thì H là tâm

đường tròn nội tiếp QRS (Hình 1.2.9)

1.2.10 Nếu tam giác ABC có trọng tâm G,

trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp I thì

(Trang 22 SGK Hình học nâng cao 10)

1.2.11 Nếu tam giác ABC có trực tâm H và

D (D khác A) là giao điểm của đường thẳng

AH với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

thì H và D đối xứng với nhau qua đường

thẳng BC (Hình 1.2.11)

(Bài 10 trang 13 SGK Hình học 11 Nâng cao)

1.2.12 Nếu tam giác ABC có trực tâm H và

tâm đường tròn ngoại tiếp I, M là trung

điểm của BC, D là điểm đối xứng của A qua

I thì M là trung điểm của đoạn thẳng HD

(Hình 1.2.12)

(Bài 17 trang 19 SGK Hình học 11 Nâng cao)

1.2.13 Cho đường tròn (I; R) và điểm M cố định Nếu đường thẳng đi qua M cắt

đường tròn đó tại hai điểm A và B thì MA.MB MI   2  R2

(Hình 1.2.13)

(Trang 49 SGK Hình học nâng cao 10)

M

R B A

I

M

R

B A

I

Hình 1.2.13

1.2.14 Cho hình bình hành ABCD có tâm I.

Nếu điểm M thuộc đường thẳng AB và N là

điểm đối xứng của M qua I thì N thuộc

1.2.15 Cho hình vuông ABCD Nếu M, N

lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và

1.2.16 Nếu mặt cầu S(I; R) cắt mặt

phẳng (P) theo một đường tròn tâm

cầu S(I; R) tại hai điểm phân biệt A

và B, H là chân đường vuông góc kẻ

từ I đến đường thẳng a thì H là trung

điểm của đoạn thẳng AB và H là

trung điểm của đoạn thẳng AB và

P

I H

Hình 1.2.16

1.2.18 Cho tứ diện SABC có ba

cạnh SA, SB, SC đôi một vuông

góc Nếu G, I lần lượt là trọng tâm,

tâm mặt cầu ngoại tiếp của tứ diện

SABC thì G là trung điểm của đoạn

Ví dụ 1.2.1 (Câu 6b trong đề thi tuyển sinh cao đẳng năm 2012 – Khối A)

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho

đường thẳng d : 4x – 3y + m = 0 và đường

tròn (C) : x2 y2  2x 4y 1 0   Tìm m

để d cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho

AIB 1200, với I là tâm của (C).

(Hướng dẫn: Gọi H là hình chiếu của I lên

d, theo tính chất 1.2.1 ta có khoảng cách

từ I đến d là IH = 1 Từ đó tìm được m = 7

hoặc m = -3)

Chú ý 1 Khi trong bài toán hình học giải tích có giả thiết đường thẳng d cắt đường

tròn tâm I tại hai điểm phân biệt ta thường gọi H là hình chiếu của I lên d và sửdụng tính chất 1.2.1

H

(d)B

A

I

(C)

Ví dụ 1.2.2 (Câu 7.b trong đề thi tuyển sinh đại học năm 2012 – Khối D)

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : 2x – y + 3 = 0 Viếtphương trình đường tròn có tâm thuộc d, cắt trục Ox tại A và B, cắt trục Oy tại C

và D sao cho AB = CD = 2

(Hướng dẫn: Gọi I là tâm của đường tròn

đó, theo tính chất 1.2.2 ta có

AB CD  d(I;Ox)=d(I;Oy) Từ đó tìm

được tọa độ I Dựa vào tính chất 1.2.1 tính

được bán kính của đường tròn đó)

Chú ý 2 Khi trong bài toán hình học giải

tích có giả thiết một đường tròn có hai dây

bằng nhau ta thường sử dụng tính chất

1.2.2

Ví dụ 1.2.3 (Thí dụ 3 trang 7 tạp chí

Toán học và tuổi trẻ tháng 1 năm 2013 –

số 427) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ

Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình

x 3 2 y 1 2 4 và đường thẳng d:

x + y + 5 = 0 Tìm tọa độ điểm M thuộc d

sao cho từ M kẻ được hai tiếp tuyến đến

(C) với các tiếp điểm là A, B và đoạn AB

có độ dài nhỏ nhất

(Hướng dẫn: Đường tròn (C) có tâm I(3;1) và bán kính R = 2 Gọi H là gia điểmcủa AB và MI M d  M(a; a 5)  , theo tính chất 1.2.3 ta có H là trung điểmcủa AB và tam giác AIM vuông tại A có đường cao AH suy ra

Chú ý 3 Khi trong bài toán hình học giải tích có giả thiết hai tiếp tuyến của đường

tròn cắt nhau tại một điểm ta thường sử dụng tính chất 1.2.3

(d)BA

I

(C)

OD

Cy

H

(C)

Ví dụ 1.2.4 (Câu VIa.1 trong đề thi thử đại học lần 4 năm 2011 – Khối A của trường THPT Chuyên thuộc đại học Vinh)

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(5:-6) và đường tròn

(C) : x y 2x 4y 20 0   Từ A vẽ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn(C) (B, C là các tiếp điểm) Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC.(Hướng dẫn: Gọi K là tâm của đường tròn

nội tiếp tam giác ABC Đường tròn (C) có

tâm I(-1;2) Theo tính chất 1.2.4, ta có K

là giao điểm của đoạn AI và đường tròn

(C) Viết phương trình dường thẳng AI

Tìm được tọa độ K; tính bán kính của

đường tròn nội tiếp tam giác ABC

Cách 2 Chứng minh được tam giác ABC

đều từ tìm được tọa độ K; tính bán kính

của đường tròn nội tiếp tam giác ABC)

Chú ý 4 Khi trong bài toán hình học giải tích có giả thiết hai tiếp tuyến tại A và B

của đường tròn tâm I cắt nhau tại M và đường tròn nội tiếp của tam giác MAB tathường sử dụng tính chất 1.2.4

Ví dụ 1.2.5 (Câu 7.a trong đề thi tuyển sinh đại học năm 2012 – Khối B)

Trong mặt phẳng với hệ tọa

độ Oxy, cho các đường tròn

Viết phương trình đường

tròn có tâm thuộc (C2), tiếp

xúc với d và cắt (C1) tại hai

điểm phân biệt A và B sao

cho AB vuông góc với d

(Hướng dẫn: Gọi I là tâm của đường tròn đó, (C1) có tâm là O Theo tính chất 1.2.5

ta có IO // d, từ đó viết được phương trình của đường thẳng IO Tìm được tọa độ I;tính được bán kính của đường tròn đó)

Chú ý 5 Khi trong bài toán hình học giải tích có giả thiết hai đường tròn cắt nhau

(C1)

Ví dụ 1.2.6 (Câu VI.a.1 trong đề thi tuyển sinh đại học năm 2011 – Khối D)

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh B(-4;1), trọng tâmG(1;1) và đường thẳng chứa phân giác trong của góc A có phương trình

x y 1 0   Tìm tọa độ các đỉnh A và C

(Hướng dẫn: Gọi E là điểm đối xứng của

B qua đường thẳng chứa phân giác trong

của góc A Ta tìm được E(2;-5) thuộc

đường thẳng AC (theo tính chất 1.2.6),

tìm được tọa độ trung điểm M của cạnh

AC Viết phương trình AC Thử lại xem

B và C nằm cùng phía hay khác phía so

với đường thẳng chứa phân giác trong

của góc A và kết luận)

Chú ý 6 Khi trong bài toán hình học giải tích có giả thiết biết phương trình đường

thẳng chứa phân giác trong của góc A của tam giác ABC và tọa độ một điểm Mthuộc đường thẳng AB hoặc AC ta thường gọi N là điểm đối xứng của M quađường thẳng chứa phân giác trong của góc A và sử dụng tính chất 1.2.6

Ví dụ 1.2.7 (Câu IV trong đề thi HSG Tỉnh môn Toán lớp 12 năm học 2012 2013) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho điểm A( 1; 1)  và đường tròn

(T) : x 3  y 2 25 Gọi B, C là hai điểm phân biệt thuộc đường tròn (T)(B, C khác A) Viết phương trình đường thẳng BC, biết I 1;1 là tâm đường tròn 

nội tiếp tam giác ABC

(Hướng dẫn: Ta có A thuộc đường tròn

(T) Gọi A ' là giao điểm của AI với

Khi đó I nằm trong tam giác ABC.

Vậy phương trình đường thẳng BC là 3x + 4y – 17 = 0)

Chú ý 7 Khi trong bài toán hình học giải tích có giả thiết biết phương trình đường

tròn (K) ngoại tiếp tam giác ABC và tọa độ đỉnh A, tọa độ tâm đường tròn nội tiếp

I ta có thể nghĩ đến việc gọi A ' là giao điểm của AI với đường tròn (K) (A ' khácA) và sử dụng tính chất 1.2.7

Ví dụ 1.2.8 (Câu VI.a.1 trong đề thi thử đại học năm 2011 – Khối A của trường THPT Hà Huy Tập) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường tròn

(C) : x 3  y 4 25 và đường thẳng d: x – y = 0 Gọi A, B là hai điểmphân biệt thuộc đường tròn (C) Tìm tọa độ các điểm A, B, biết tam giác OAB cóđường phân giác trong của góc O nằm trên đường thẳng d và điểm M 3;6

2

  thuộcđường thẳng AB

(Hướng dẫn: Ta có (C) có tâm I(3;4) và O

thuộc (C) Vì I không thuộc d nên tam giác

OAB không cân tại O Gọi OH là đường cao

của tam giác OAB Theo tính chất 1.2.8 ta có

d là đường thẳng chứa phân giác trong hoặc

ngoài của góc OIH Gọi K là điểm đối xứng

của I qua d, tìm được tọa độ điểm K và K

thuộc OH (theo tính chất 1.2.6) Từ đó viết

được phương trình đường thẳng AB và tìm

được tọa độ các điểm A, B Thử lại xem A và

B có nằm khác phía so với d hay không và

kết luận)

Chú ý 8 Khi trong bài toán hình học giải tích có giả thiết biết phương trình đường

thẳng chứa phân giác trong của góc A của tam giác ABC và tọa độ tâm đường trònngoại tiếp tam giác ABC ta có thể nghĩ đến việc gọi đường cao AH của tam giácABC và sử dụng tính chất 1.2.8

Ví dụ 1.2.9 (Câu VI.b.1 trong đề dự bị đại học năm 2006 – Khối A)

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho cho tam giác nhọn ABC Viết phươngtrình đường thẳng AC, biết tọa độ chân các đường cao hạ từ các đỉnh A, B, C lầnlượt là Q(-1;-2), R(2;2), S(-1;2)

H

(Hướng dẫn: Gọi H là trực tâm của tam

giác ABC Theo tính chất 1.2.9 ta có H là

tâm đường tròn nội tiếp của tam giác

QRS Do đó AC là đường phân giác

ngoài của góc R của tam giác QRS Ta

viết được các đường phân giác trong và

ngoài của góc R của tam giác QRS từ đó

viết được phương trình đường thẳng AC)

Chú ý 9 Khi trong bài toán hình học giải

tích có giả thiết tam giác nhọn ABC có

các đường cao AQ, BR, CS ta có thể nghĩ đến việc gọi H là trực tâm của tam giácABC và sử dụng tính chất 1.2.9

Ví dụ 1.2.10 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh

(Hướng dẫn: Gọi I là tâm đường tròn

ngoại tiếp tam giác ABC Theo tính chất

1.2.10 ta có GH  2GI

từ đó tìm đượctọa độ I)

Chú ý 10 Khi trong bài toán hình học giải

tích có giả thiết liên quan đến trọng tâm, trực

tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp của một

tam giác ta thường sử dụng tính chất 1.2.10

Ví dụ 1.2.11 (Câu 6 trong đề thi Giáo viên giỏi trường THPT Lê Viết Thuật năm 2013) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho cho tam giác nhọn ABC.

Đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A và đường thẳng BC lần lượt có phương trình3x 5y 8 0,x y 4 0      Đường thẳng qua A vuông góc với BC cắt đườngtròn ngoại tiếp tam giác ABC tại D(4;-2) Viết phương trình các đường thẳng AB,

AC biết hoành độ điểm B không lớn hơn 3

(Hướng dẫn: Viết phương trình đường

thẳng AD và tìm được tọa độ A Gọi H là

trực tâm của tam giác ABC, K là giao

điểm của AD và BC Từ giả thiết của bài

toán ta tìm được tọa độ K Theo tính chất

1.2.11 thì K là trung điểm của HD, suy ra

tọa độ H B BC  B(t;t 4) , t 3 tìm tọa độ C theo t Từ AC BH tìm t)

A

S

RH

A

I

HG

A

DHK

Chú ý 11 Khi trong bài toán hình học giải tích có giả thiết đường cao đi qua A của

tam giác ABC đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, trực tâm H, giao điểm khác Acủa AH và đường tròn đó ta thường sử dụng tính chất 1.2.11

Ví dụ 1.2.12 (Câu VI.a.1 trong đề thi tuyển sinh đại học năm 2010 – Khối D)

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho cho tam giác ABC có đỉnh A(3;-7), trựctâm là H(3;-1), tâm đường tròn ngoại tiếp là I(-2;0) Xác định tọa độ đỉnh C, biết C

có hoành độ dương

(Hướng dẫn: Gọi M là trung điểm của BC,

D là điểm đối xứng của A qua I Theo tính

chất 1.2.12 ta có M là trung điểm của

đoạn thẳng HD Tìm được tọa độ D, M

Viết được phương trình BC (BC đi qua M

và vuông góc với AH), viết được phương

trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

từ đó tìm được tọa độ C)

Chú ý 12 Khi trong bài toán hình học giải tích có giả thiết trực tâm H tam giác

ABC, đường tròn ngoại tiếp (I) của tam giác ABC ta có thể nghĩ đến việc gọi M làtrung điểm của BC, D là điểm đối xứng của A qua I và sử dụng tính chất 1.2.12

Ví dụ 1.2.13 (Thí dụ 4 trang 8 tạp chí Toán học và tuổi trẻ tháng 1 năm 2013 –

số 427)

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình

x 1 2 y 2 2 9 và điểm M(2;3) Viết phương trình đường thẳng  qua Mcắt (C) tại A và B sao cho MA2 MB2 18

(Hướng dẫn: Đường tròn (C) có tâm

Chú ý 13 Khi trong bài toán hình học giải tích có giả thiết đường thẳng cắt đường

tròn tại hai điểm A, B và mối quan hệ giữa MA và MB ta thường sử dụng tính chất1.2.13

I

AM