Sáng kiến kinh nghiệm Một phương pháp tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số

Sau đó đưa ra một số vấn đề dạy học giải một số bài tập khó trong đềthi tuyển sinh đại học theo định hướng bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinhVấn đề 1: Rèn luyện tư duy sáng tạo qua v

PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ

Trong việc rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh ở trường phổ thông, mônToán đóng vai trò rất quan trọng Bởi vì, Toán học có một vai trò to lớn trong sựphát triển của các ngành khoa học và kỹ thuật; Toán học có liên quan chặt chẽ và

có ứng dụng rộng rãi trong rất nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ,sản xuất và đời sống xã hội hiện đại; Toán học còn là một công cụ để học tập vànghiên cứu các môn học khác

Vấn đề bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh đã được nhiều tác giả trong

và ngoài nước quan tâm nghiên cứu Với tác phẩm "Sáng tạo toán học" nổi tiếng,

nhà toán học kiêm tâm lý học G.Polya đã nghiên cứu bản chất của quá trình giải

toán, quá trình sáng tạo toán học Đồng thời trong tác phẩm "Tâm lý năng lực toán học của học sinh", Krutecxiki đã nghiên cứu cấu trúc năng lực toán học của học

sinh Ở nước ta, các tác giả Hoàng Chúng, Nguyễn Cảnh Toàn, Phạm Văn Hoàn,Nguyễn Bá Kim, Vũ Dương Thụy, Tôn Thân, Phạm Gia Đức,… đã có nhiều côngtrình giải quyết những vấn đề về lý luận và thực tiễn việc phát triển tư duy sáng tạocho học sinh

Những năm gần đây, bài toán khó nhất trong đề thi tuyển sinh đại học củacác khối A, A1, B, D thường là các bài toán chứng minh bất đẳng thức hoặc là bàitoán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức (Bài toán khó trong đề thi tuyểnsinh đại học) Các bài toán này thường gây ra cho học sinh rất nhiều khó khăn, đa

số học sinh “ngại” bài toán này vì các bài toán này thường đa dạng phong phú vàhọc sinh bế tắc trong việc định hướng để tìm ra lời giải Ngoài ra một lý do nữakhiến học sinh “ngại” bài toán này là các học sinh thường cảm thấy mãn nguyệnkhi tìm được một lời giải cho bài toán mà các em ít có ý thức tìm kiếm các lời giảikhác, khai thác đào sâu kết quả bài toán đó như rút ra định hướng cụ thể tìm lờigiải từ bài toán đó; ra các bài toán mới Như vậy, việc bồi dưỡng và phát triển

tư duy sáng tạo trong hoạt động dạy học toán được rất nhiều nhà nghiên cứu quantâm Tuy nhiên, việc bồi dưỡng tư duy sáng tạo thông qua dạy giải một số bài tậpkhó trong đề thi tuyển sinh đại học thì các tác giả chưa khai thác và đi sâu vào

nghiên cứu cụ thể Vì vậy, tôi chọn đề tài: "Bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học

sinh trung học phổ thông qua dạy học giải một số bài tập khó trong đề thi tuyển sinh đại học".

Trong đề tài này, tôi đưa ra cơ sở lý luận và thực tiễn của đề tài đặc biệt làđánh giá thực trạng của vấn đề dạy và học một số bài tập khó trong đề thi tuyểnsinh đại học Sau đó đưa ra một số vấn đề dạy học giải một số bài tập khó trong đềthi tuyển sinh đại học theo định hướng bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh(Vấn đề 1: Rèn luyện tư duy sáng tạo qua việc hướng dẫn học sinh tìm ra nhiềucách giải trong một bài toán; Vấn đề 2: Rèn luyện tư duy sáng tạo qua việc hướng

sinh đại học; Vấn đề 3: Rèn luyện tư duy sáng tạo qua việc hướng dẫn học sinh đưa

ra một số bài toán mới) Cuối cùng là một số kết quả của việc ứng dụng đề tài vànhững kết luận

Đề tài được hoàn thành tại trường THPT Hà Huy Tập Trong quá trình thựchiện đề tài tôi đã nhận được nhiều sự chỉ bảo của các thầy cô giáo đi trước về bốcục, nội dung Nhân đây cho phép tôi bày tỏ lời cảm ơn chân thành đến các thầy côgiáo, bạn bè đồng nghiệp, đặc biệt là các thầy cô trong tổ Toán- Tin trường THPT

Hà Huy Tập

Do nhiều nguyên nhân, đề tài hoàn thành không tránh khỏi được những saisót Tôi luôn mong muốn nhận được sự góp ý chân thành của các thầy cô giáo vàcác độc giả để ngày càng hoàn thiện hơn trong quá trình nghiên cứu khoa học vàviết các đề tài

PHẦN II NỘI DUNG

2.1 Cơ sở lý luận và thực tiễn

2.1.1 Tư duy sáng tạo

Theo từ điển triết học: "Tư duy, sản phẩm cao nhất của vật chất được tổ chứcmột cách đặc biệt là bộ não, là quá trình phản ánh tích cực thế giới khách quantrong các khái niệm, phán đoán, lý luận Tư duy xuất hiện trong quá trình hoạtđộng sản xuất xã hội của con người và đảm bảo phản ánh thực tại một cách giántiếp, phát hiện những mối liên hệ hợp quy luật Tư duy chỉ tồn tại trong mối liên hệkhông thể tách rời khỏi hoạt động lao động và lời nói, là hoạt động chỉ tiêu biểucho xã hội loài người cho nên tư duy của con người được thực hiện trong mối liên

hệ chặt chẽ với lời nói và những kết quả của tư duy được ghi nhận trong ngôn ngữ.Tiêu biểu cho tư duy là những quá trình như trừu tượng hoá, phân tích và tổng hợp,việc nêu lên là những vấn đề nhất định và tìm cách giải quyết chung, việc đề xuấtnhững giả thiết, những ý niệm Kết quả của quá trình tư duy bao giờ cũng là một ýnghĩ nào đó"

Theo định nghĩa trong từ điển thì sáng tạo là tìm ra cái mới, cách giải quyếtvấn đề mới không bị gò bó và phụ thuộc vào cái đã có Nội dung của sáng tạo gồmhai ý chính có tính mới (khác cái cũ, cái đã biết) và có lợi ích (giá trị hơn cái cũ).Như vậy sự sáng tạo cần thiết cho bất kỳ hoạt động nào của xã hội loài người Sángtạo thường được nghiên cứu trên nhiều phương diện như là một quá trình phát sinhcái mới trên nền tảng cái cũ, như một kiểu tư duy, như là một năng lực của conngười

Theo định nghĩa thông thường và phổ biến nhất của tư duy sáng tạo thì đó là

tư duy tạo ra cái mới Thật vậy, tư duy sáng tạo dẫn đến những tri thức mới về thếgiới về các phương thức hoạt động

Tư duy sáng tạo là tư duy tích cực và tư duy độc lập nhưng không phải trong

tư duy tích cực đều là tư duy độc lập và không phải trong tư duy độc lập đều là tưduy sáng tạo và có thể biểu hiện mối quan hệ giữa các khái niệm dưới dạng vòngtròn đồng tâm

Tư duy tích cực

Tư duy độc lập

Tư duy sáng tạo

Có thể nói đến tư duy sáng tạo khi học sinh tự khám phá, tự tìm cách chứngminh mà học sinh đó chưa biết đến Bắt đầu từ tình huống gợi vấn đề, tư duy sáng tạogiải quyết mâu thuẫn tồn tạo trong tình huống đó với hiệu quả cao, thể hiện ở tính hợp

lý, tiết kiệm, tính khả thi và cả ở vẻ đẹp của giải pháp

Nói chung tư duy sáng tạo là một dạng tư duy độc lập, tạo ra ý tưởng mớiđộc đáo và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao

Theo nghiên cứu của các nhà tâm lý học, giáo dục học, … về cấu trúc của tưduy sáng tạo, có năm đặc trưng cơ bản sau:

có sự biểu hiện các yếu tố đặc trưng của tư duy sáng tạo Điều quan trọng là ngườigiáo viên phải có phương pháp dạy học thích hợp để có thể bồi dưỡng và phát triểntốt hơn năng lực sáng tạo ở các em

2.1.2 Đánh giá thực trạng của vấn đề dạy và học một số bài tập khó (Các bài toán chứng minh bất đẳng thức; tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức; …) trong đề thi tuyển sinh đại học

2.1.2.1 Người dạy

Hướng thứ nhất: Đưa ra một số bài toán chứng minh bất đẳng thức; tìm giátrị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức cho học sinh giải Nếu học sinh giải đượcthì nhận xét về cách trình bày lời giải của học sinh sau đó đưa ra bài toán khác;

Nếu học sinh không giải được thì hướng dẫn lời giải cho học sinh sau đó yêu cầuhọc sinh trình bày lại Thông qua tìm hiểu các bạn bè và đồng nghiệp có rất nhiềugiáo viên thực hiện theo hướng này, đặc biệt là các giáo viên tham gia bồi dưỡnghọc sinh giỏi ở các trường không phải nằm ở trung tâm của các huyện.

Hướng thứ hai: Giao các tài liệu cho học sinh đọc rồi kiểm tra quá trình đọctài liệu của học sinh Qua khảo sát, tôi thấy có rất nhiều giáo viên ngại các bài toándạng này hoặc hiểu không thật sâu sắc các bài toán dạng này và lúc đó giáo viênthường chọn hướng thứ hai

2.1.2.2 Người học

Qua tìm hiểu học sinh, tôi thấy hiện nay các em đa số xác định bỏ bài toándạng này vì bài toán này thường là bài toán khó nhất trong đề thi đại học hiện nay.Thậm chí một số học sinh khá giỏi cũng xác định vậy vì các em sợ tập trung vàobài toán này sẽ không có thời gian để kiểm tra lại các bài toán dễ hơn đã làm được.Bên cạnh đó một số giáo viên không tự tin về năng lực của học sinh nên động viêncác em bỏ luôn bài toán dạng này nếu không thấy quen thuộc hoặc không giải ngayđược

Theo quan điểm của cá nhân tôi, đối với những học sinh khá giỏi môn Toánthì chúng ta nên dạy các bài toán dạng này cho các em vì xu thế hiện nay các bàitoán dạng này trong đề thi đại học có thể giải được bằng cách dùng một số bấtđẳng thức đúng đã biết kết hợp với công cụ đạo hàm và không quá khó đối với họcsinh khá giỏi; đồng thời thông qua các bài toán dạng này chúng ta có thể bồi dưỡng

tư duy sáng tạo cho các em

2.1.3 Tiềm năng của một số bài tập khó (Các bài toán chứng minh bất đẳng thức; tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức; …) trong đề thi tuyển sinh đại học trong việc bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh

Trong quá trình học Toán thì kỹ năng vận dụng Toán học là quan trọng nhất,nhà trường phổ thông không chỉ cung cấp cho học sinh những kiến thức Toán học,

mà còn luyện cho học sinh kỹ năng vận dụng tính độc lập, sự độc đáo và khả năngsáng tạo

Các nhà tâm lý học cho rằng: "Sáng tạo bắt đầu từ thời điểm mà các phươngpháp logic để giải quyết nhiệm vụ là không đủ và gặp trở ngại hoặc kết quả khôngđáp ứng được các đòi hỏi đặt ra từ đầu, hoặc xuất hiện giải pháp mới tốt hơn giảipháp cũ"

Chính vì vậy điều quan trọng là hệ thống bài tập cần phải được khai thác và

sử dụng hợp lý nhằm rèn luyện cho học sinh khả năng phát triển tư duy sáng tạobiểu hiện ở các mặt như: khả năng tìm hướng đi mới (khả năng tìm nhiều lời giảikhác nhau cho một bài toán), khả năng tìm ra kết quả mới (khai thác các kết quảcủa một bài toán, đưa ra các bài toán mới)

Một số bài tập khó (Các bài toán chứng minh bất đẳng thức; tìm giá trị lớnnhất, nhỏ nhất của một biểu thức; …) trong đề thi tuyển sinh đại học chứa đựngnhiều tiềm năng to lớn trong việc bồi dưỡng và phát huy năng lực sáng tạo cho họcsinh

Trong quá trình dạy học giáo viên cần dẫn dắt học sinh giải quyết hệ thốngbài tập, tạo cho học sinh phát hiện vấn đề mới, đó là vấn đề quan trọng mà ta cầnquan tâm bồi dưỡng cho học sinh

Có nhiều phương pháp khai thác khác các bài tập khó (Các bài toán chứngminh bất đẳng thức; tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức;…) trong đềthi tuyển sinh đại học, để tạo ra các bài toán có tác dụng rèn luyện tính mềm dẻo,tính nhuần nhuyễn, tính độc đáo của tư duy

Trên cơ sở phân tích khái niệm tư duy sáng tạo cùng những yếu tố đặc trưngcủa nó và dựa vào quan điểm: bồi dưỡng từng yếu tố cụ thể của tư duy sáng tạocho học sinh là một trong những biện pháp để phát triển năng lực tư duy sáng tạocho các em Các bài tập chủ yếu nhằm bồi dưỡng tính mềm dẻo của tư duy sángtạo với các đặc trưng: dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trítuệ khác, suy nghĩ không rập khuôn; khả năng nhận ra vấn đề mới trong điều kiệnquen thuộc, khả năng nhìn thấy chức năng mới của đối tượng quen biết Các bàitập chủ yếu nhằm bồi dưỡng tính nhuần nhuyễn của tư duy sáng tạo với các đặctrưng: khả năng tìm được nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và hoàn cảnh khácnhau, khả năng xem xét đối tượng dưới những khía cạnh khác nhau Các bài tậpchủ yếu nhằm bồi dưỡng tính nhạy cảm vấn đề của tư duy sáng tạo với các đặctrưng: nhanh chóng phát hiện những vấn đề tìm ra kết quả mới, tạo được bài toánmới, khả năng nhanh chóng phát hiện ra các mâu thuẫn, thiếu logic

Như vậy tiềm năng của một số bài tập khó (Các bài toán chứng minh bấtđẳng thức; tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức; …) trong đề thi tuyểnsinh đại học trong việc bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh, đặc biệt là học sinhkhá giỏi là rất lớn Việc bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua quátrình dạy học giải bài tập toán là rất cần thiết bởi qua đó chúng ta giúp học sinh họctập tích cực hơn và kích thích được tính sáng tạo của học sinh trong học tập vàtrong cuộc sống Vậy công việc của mỗi giáo viên trong quá trình dạy học là tìm rađược các phương pháp nhằm phát triển và rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh

2.2 Một số vấn đề dạy học giải một số bài tập khó (Các bài toán chứng minh bất đẳng thức; tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức; …) trong đề thi tuyển sinh đại học theo định hướng bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh

2.2.1 Vấn đề 1: Rèn luyện tư duy sáng tạo qua việc hướng dẫn học sinh tìm ra nhiều cách giải trong một bài toán

Trong cuốn: "Sáng tạo Toán học", G.Polya cho rằng: "Một tư duy gọi là cóhiệu quả nếu tư duy đó dẫn đến lời giải một bài toán cụ thể nào đó Có thể coi làsáng tạo nếu tư duy đó tạo ra những tư liệu, phương tiện giải các bài toán sau này.Các bài toán vận dụng những tư liệu phương tiện này có số lượng càng lớn, códạng muôn màu muôn vẻ, thì mức độ sáng tạo của tư duy càng cao Thí dụ: lúcnhững cố gắng của người giải vạch ra được các phương thức giải áp dụng chonhững bài toán khác Việc làm của người giải có thể là sáng tạo một cách gián tiếp,chẳng hạn lúc ta để lại một bài toán tuy không giải được nhưng tốt vì đã gợi ra chongười khác những suy nghĩ có hiệu quả".

Lene đã chỉ ra hai trong số các thuộc tính của tư duy sáng tạo là:

- Kỹ năng nhìn thấy nhiều lời giải, nhiều cách nhìn đối với việc tìm hiểu lờigiải (khả năng xem xét đối tượng ở những phương thức đã biết thành một phươngthức mới)

- Kỹ năng sáng tạo một phương pháp giải độc đáo tuy đã biết nhưng phươngthức khác (Lene - dạy học nên vấn đề - NXBGD - 1977)

Học sinh phổ thông thường có thói quen khi đã tìm được lời giải bài toán thìthỏa mãn, ít đi sâu kiểm tra lại lời giải xem có sai lầm, thiếu sót gì không, ít quantâm tới việc nghiên cứu, cải tiến lời giải, tìm nhiều lời giải Tìm nhiều lời giải chomột bài toán giúp cho học sinh có cách nhìn toàn diện, biết hệ thống hóa, sử dụngcác kiến thức, các kĩ năng và phương pháp giải toán một cách chắc chắn, mềm dẻo,linh hoạt Đó cũng là năng lực đặc trưng của giải toán Tập hợp nhiều cách giải vàtìm được cách giải tối ưu cho bài toán giúp học sinh thấy rõ ưu, khuyết của từngphương pháp giải toán, thu nhận, hợp thức hóa, làm phong phú thêm tri thức củangười giải toán và tạo ra được sự hứng thú cho học sinh khi giải toán

Vì vậy, trong quá trình dạy học, giáo viên cần chú ý cho học sinh thườngxuyên tìm nhiều phương án giải bài toán, sử dụng kết quả bài toán này để giải bàitoán khác Xét các ví dụ sau:

Bài toán 2.2.1.1 (Câu V – Đề thi tuyển sinh đại học khối A năm 2003)

Cho x, y,z là ba số thực dương thỏa mãn x y z 1+ + ≤ Chứng minh rằng

243 160 160 160

182

2.2.2 Vấn đề 2: Rèn luyện tư duy sáng tạo qua việc hướng dẫn học sinh rút ra định hướng cụ thể để giải một số bài tập khó (Các bài toán chứng minh bất đẳng thức; tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức; …) trong đề thi tuyển sinh đại học

Hàng trăm, hàng nghìn mạch nước nhỏ tạo thành dòng suối, rất rất nhiềudòng suối đổ về con sông, các con sông đổ ra biển Không thể có biển nếu không

có những mạch nước nhỏ Toán học mênh mông như biển cả, rất nhiều bài toánkhó liên quan đến các bài toán dễ hơn Muốn tìm được lời giải cho một bài toánkhó chúng ta phải biết được một số kiến thức dễ hơn và một số định hướng liênquan đến bài toán đó

Sáng tạo được nghiên cứu trên nhiều phương diện như là một quá trình phátsinh cái mới trên nền tảng cái cũ, như một kiểu tư duy, như là một năng lực củacon người Vì vậy sau khi học sinh giải được một bài toán nào đó, giáo viên nênđộng viên các em nêu ra được định hướng giải cụ thể như trong lời giải đó nếu cóthể và đưa ra một số bài toán giải được theo định hướng đó Việc làm này giúp các

em tự tin hơn khi gặp một số bài toán dạng này đặc biệt là đối với các bài toán cóđịnh hướng tương tự Từ đó dần dần các em không còn “ngại” bài toán dạng này

2.2.2.1 Một số bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số

Bài toán 2.2.2.1.1 (Câu IV.1 – Đề thi tuyển sinh đại học khối D năm 2003)

Nhận xét Để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y f x= ( ) trên đoạn

[ ]a;b ta có thể dùng phương pháp tương tự như trên hoặc lập bảng biến thiên củahàm số y f x= ( ) trên đoạn [ ]a;b rồi tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất củahàm số y f x= ( ) trên đoạn [ ]a;b Để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất củahàm số y f x= ( ) trên tập D không phải là một đoạn, ta có thể lập bảng biến thiêncủa hàm số y f x= ( ) trên D rồi tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

( )

y f x= trên D

Một số bài tập có thể giải bằng định hướng tương tự như lời giải trên:

Bài toán 2.2.2.1.2 (Câu II.2 – Đề thi tuyển sinh đại học khối B năm 2004)

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

2

ln xy

x

= trên đoạn 1;e3

Bài toán 2.2.2.1.3 (Câu V – Đề thi tuyển sinh đại học khối D năm 2010)

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y= − +x2 4x 21+ − − +x2 3x 10+

2.2.2.2 Một số bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức hai biến

Bài toán 2.2.2.2.1 (Câu V – Đề thi tuyển sinh đại học khối D năm 2009)

Cho các số thực không âm x, y thay đổi và thỏa mãn x y 1+ = Tìm giá trị lớn nhất

và nhỏ nhất của biểu thức S=(4x2 +3y 4y)( 2 +3x) +25xy

Lời giải 1 Từ giả thiết ta có y = 1 – x với x∈[ ]0;1

Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất là 191

16 và giá trị lớn nhất là

25

2 Lời giải 2 Vì x + y = 1 nên S 16x y= 2 2 +12(x3+ y ) 9xy 25xy3 + +

2 2xy

Nhận xét Định hướng để tìm lời giải bài toán này theo lời giải 1 như trên là:

+) Từ giả thiết biến đổi S f (x)=

+) Từ giả thiết và các bất đẳng thức đúng đã biết chứng minh x D∈

Suy ra S f (x)= , với mọi x D∈ (1)

+) Tìm min f (x) mx D∈ = (m là hằng số) (2)

+) Từ (1) và (2) suy ra S m≥

Chỉ ra tồn tại x, y thỏa mãn giả thiết để S = m

Vậy giá trị nhỏ nhất của S bằng m

Nhận xét Định hướng để tìm lời giải bài toán này theo lời giải 2 như trên là:

+) Từ giả thiết biến đổi S f (t)= , với t g x; y= ( )

+) Từ giả thiết và các bất đẳng thức đúng đã biết chứng minh t D∈

Suy ra S f (t)= , với mọi t D∈ (1)

+) Tìm min f (t) mt D∈ = (m là hằng số) (2)

+) Từ (1) và (2) suy ra S m≥

Chỉ ra tồn tại x, y thỏa mãn giả thiết để S = m

Vậy giá trị nhỏ nhất của S bằng m

(Đối với bài toán tìm giá trị lớn nhất của biểu thức ta cũng có định hướng tương tự)

Một số bài tập có thể giải bằng định hướng tương tự trên

Bài toán 2.2.2.2.1.1 (Câu IV.2 – Đề thi tuyển sinh đại học khối B năm 2008)

Cho hai số thực x, y thay đổi và thỏa mãn x2 +y2 =1 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏnhất của biểu thức ( 2 )

2

2 x 6xyP

1 2xy 2y

+

=

Bài toán 2.2.2.2.1.2 (Câu V – Đề thi tuyển sinh đại học khối B năm 2011)

Cho a và b là các số thực dương thỏa mãn 2 a( 2 +b2) +ab= +(a b ab 2) ( + ) Tìmgiá

≥

Ta có: f '(t) 6(2t= 2 − − >3t 2) 0, suy ra 5

; 2

5 23min f (t)

⇔ (a; b) = (2; 1) hoặc (a; b) = (1; 2)

Bài toán 2.2.2.2.1.3 (Câu V – Đề thi tuyển sinh đại học khối D năm 2013)

Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện xy y 1≤ − Tìm giá trị lớn nhấtcủa biểu thức 2 2 ( )

Bài toán 2.2.2.2.2 (Câu IV.2 – Đề thi tuyển sinh đại học khối B năm 2006)

Cho x, y là các số thực thay đổi Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

A= x 1− +y + x 1+ +y + −y 2

Lời giải:

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, xét ur= −(1 x; y ; v) r=(x 1; y+ )

Do ur + ≥ +vr u vr r nên (x 1)− 2 +y2 + (x 1)+ 2 +y2 ≥ 4 4y+ 2 =2 1 y+ 2

Do đó: A 2 1 y≥ + 2 + − =y 2 f (y)

+) Với y ≤ 2 thì f (y) 2 1 y= + 2 + −2 y

2

2y

y 1

+

2

f '(y) 0= ⇔2y= 1 y+

≥



= +



Do đó ta có bảng biến thiên

y

−∞ 1

3 2

f '(y) - 0 +

f (y)

2+ 3

+) Với y 2≥ ⇒f (y) 2 1 y≥ + 2 ≥2 5 2> + 3

Vậy A 2≥ + 3 với mọi số thực x, y

Khi x = 0 và y 1

3

= thì A 2= + 3 nên giá trị nhỏ nhất của A là 2+ 3.

Nhận xét Định hướng để tìm lời giải bài toán này như trên là:

+) Dùng bất đẳng thức đúng đã biết chứng minh

A f (y)≥ , với mọi y R∈ (1) +) Tìm min f (y) my R∈ = (m là hằng số) (2)

+) Từ (1) và (2) suy ra A m≥

Chỉ ra tồn tại x, y R∈ để A = m

Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng m

(Đối với bài toán tìm giá trị lớn nhất của biểu thức ta cũng có định hướng tương tự)

Bài toán 2.2.2.2.3 (Câu V – Đề thi tuyển sinh đại học khối B năm 2009)

Cho các số thực x, y thay đổi và thỏa mãn ( )3

x y+ +4xy 2≥ Tìm giá trị nhỏ nhấtcủa biểu thức A 3 x= ( 4 +y4 +x y2 2) (−2 x2 +y2) +1

+) Từ giả thiết và các bất đẳng thức đúng đã biết chứng minh t D∈

Suy ra A f (t)≥ , với mọi t D∈ (1)

+) Tìm min f (t) mt D∈ = (m là hằng số) (2)

+) Từ (1) và (2) suy ra A m≥

Chỉ ra tồn tại x, y thỏa mãn giả thiết để A = m

Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng m.

(Đối với bài toán tìm giá trị lớn nhất của biểu thức ta cũng có định hướng tương tự)

Một số bài tập có thể giải bằng định hướng tương tự trên

Bài toán 2.2.2.2.3.1 (Câu V – Đề thi tuyển sinh đại học khối D năm 2012)

Cho các số thực x, y thỏa mãn ( ) (2 )2

x 4− + y 4− +2xy 32≤ Tìm giá trị nhỏ nhấtcủa biểu thức A x= 3 +y3 +3 xy 1 x y 2( − ) ( + − )

= = thì dấu bằng xảy ra

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 17 5 5

4

2.2.2.3 Một số bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức ba biến

Bài toán 2.2.2.3.1 (Câu V – Đề thi tuyển sinh đại học khối B năm 2012)

Cho các số thực x, y,z thỏa mãn các điều kiện x y z 0+ + = và x2 +y2 +z2 =1.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P x= 5 +y5 +z5

Vậy giá trị lớn nhất của P là 5 6

Nhận xét Định hướng để tìm lời giải bài toán này như trên là:

+) Từ giả thiết biến đổi P f (x)=

+) Từ giả thiết và các bất đẳng thức đúng đã biết chứng minh x D∈

Suy ra P f (x)= , với mọi x D∈ (1)

+) Tìm min f (x) mx D∈ = (m là hằng số) (2)

+) Từ (1) và (2) suy ra P m≥

Chỉ ra tồn tại x, y thỏa mãn giả thiết để P = m

Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng m

(Đối với bài toán tìm giá trị lớn nhất của biểu thức ta cũng có định hướng tươngtự)

Bài toán 2.2.2.3.2 (Câu V – Đề thi tuyển sinh đại học khối B năm 2010)

Cho các số thực không âm a,b,c thỏa mãn a b c 1+ + = Tìm giá trị nhỏ nhất củabiểu thức M 3 a b= ( 2 2 +b c2 2 +c a2 2) +3 ab bc ca( + + ) +2 a2 +b2 +c2