Điều kiện tối ưu và tính đối ngẫu cho bài toán tối ưu đa mục tiêu không trơn (LV thạc sĩ)

Điều kiện tối ưu và tính đối ngẫu cho bài toán tối ưu đa mục tiêu không trơn (LV thạc sĩ)Điều kiện tối ưu và tính đối ngẫu cho bài toán tối ưu đa mục tiêu không trơn (LV thạc sĩ)Điều kiện tối ưu và tính đối ngẫu cho bài toán tối ưu đa mục tiêu không trơn (LV thạc sĩ)Điều kiện tối ưu và tính đối ngẫu cho bài toán tối ưu đa mục tiêu không trơn (LV thạc sĩ)Điều kiện tối ưu và tính đối ngẫu cho bài toán tối ưu đa mục tiêu không trơn (LV thạc sĩ)Điều kiện tối ưu và tính đối ngẫu cho bài toán tối ưu đa mục tiêu không trơn (LV thạc sĩ)Điều kiện tối ưu và tính đối ngẫu cho bài toán tối ưu đa mục tiêu không trơn (LV thạc sĩ)Điều kiện tối ưu và tính đối ngẫu cho bài toán tối ưu đa mục tiêu không trơn (LV thạc sĩ)Điều kiện tối ưu và tính đối ngẫu cho bài toán tối ưu đa mục tiêu không trơn (LV thạc sĩ)Điều kiện tối ưu và tính đối ngẫu cho bài toán tối ưu đa mục tiêu không trơn (LV thạc sĩ)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

TRẦN THỊ LAN HƯƠNG

ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU VÀ TÍNH ĐỐI NGẪU

CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU KHÔNG TRƠN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2017

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

TRẦN THỊ LAN HƯƠNG

ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU VÀ TÍNH ĐỐI NGẪU

CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU KHÔNG TRƠN

Mục lục

chính thường và cô lập của bài toán tối ưu đa mục tiêu

1.1 Các định nghĩa và kết quả bổ trợ 4

1.2 Điều kiện tối ưu và đối ngẫu cho các nghiệm hữu hiệu chính thường và cô lập 7

1.3 Đối ngẫu cho nghiệm hữu hiệu chính thường 18

2 Điều kiện tối ưu và đối ngẫu cho các nghiệm hữu hiệu và nghiệm hữu hiệu yếu của bài toán tối ưu đa mục tiêu không trơn 24 2.1 Các kết quả bổ trợ 24

2.2 Điều kiện tối ưu 28

2.3 Các định lý đối ngẫu 38

2.3.1 Đối ngẫu kiểu Wolfe 38

2.3.2 Đối ngẫu kiểu Mond - Weir 44

Mở đầu

1 Lí do chọn đề tài

Điều kiện tối ưu và đối ngẫu là các hướng nghiên cứu quan trọng của

lý thuyết tối ưu đa mục tiêu Với một bài toán tối ưu không trơn, người

ta thường dùng các khái niệm dưới vi phân để thiết lập các điều kiệntối ưu và các định lý đối ngẫu như các dưới vi phân lồi, Clarke, Michel -Penot, Mordukhovich, dưới vi phân suy rộng T.D Chuong [2], 2013
đã

sử dụng giải tích biến phân, dạng không trơn của quy tắc Fermat và dưới

vi phân Mordukhovich để thiết lập các điều kiện tối ưu và các định lý đốingẫu kiểu Wolfe cho nghiệm hữu hiệu chính thường và nghiệm hữu hiệu

cô lập của bài toán tối ưu đa mục tiêu có ràng buộc đẳng thức và bấtđẳng thức T.D Chuong - D.S Kim [3], 2014
đã thiết lập các điều kiệntối ưu và các định lý đối ngẫu kiểu Wolfe và Mond - Weir cho nghiệm hữuhiệu và nghiệm hữu hiệu yếu của bài toán đó Đây là đề tài được nhiềutác giả quan tâm nghiên cứu Chính vì thế tôi chọn đề tài: "Điều kiện tối

ưu và đối ngẫu cho bài toán tối ưu đa mục tiêu không trơn"

2 Mục đích của đề tài

Luận văn trình bày các kết quả về điều kiện tối ưu và đối ngẫu củaT.D Chuong đăng trong tạp chí Nonlinear Analysis 76 (2013), 93 - 104cho nghiệm hữu hiệu chính thường và nghiệm hữu hiệu cô lập của bàitoán tối ưu đa mục tiêu có ràng buộc đẳng thức và bất đẳng thức, vàcủa T.D Chuong - D.S Kim đăng trong tạp chí Annals of OperationsResearch 217 (2014), 117 - 136 cho nghiệm hữu hiệu và nghiệm hữu hiệu

yếu của bài toán đó.

3 Nội dung của luận văn

Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận và danh mục tàiliệu tham khảo

Chương 1 "Điều kiện tối ưu và đối ngẫu cho các nghiệm hữu hiệu chínhthường và cô lập của bài toán tối ưu đa mục tiêu không trơn"

Trình bày các điều kiện cần cho các nghiệm hữu hiệu chính thường địaphương và cô lập địa phương của bài toán tối ưu đa mục tiêu có ràngbuộc đẳng thức và bất đẳng thức bằng cách sử dụng công cụ giải tíchbiến phân và vi phân suy rộng như: Quy tắc Fermat không trơn, dưới viphân Mordukhovich (hay còn gọi là dưới vi phân giới hạn) của hàm max,quy tắc tổng cho các dưới vi phân Fréchet và giới hạn Các điều kiện đủtối ưu được trình bày với các giả thiết về tính lồi suy rộng dưới ngôn ngữdưới vi phân giới hạn của hàm Lipschitz địa phương Các định lý đối ngẫuyếu, mạnh cũng được trình bày trong chương này Các kết quả trình bàytrong chương này được tham khảo trong [2], [1], [7], [8]

Chương 2 "Điều kiện tối ưu và đối ngẫu cho các nghiệm hữu hiệu và hữuhiệu yếu của bài toán tối ưu đa mục tiêu không trơn"

Trình bày các điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu và nghiệm hữu hiệuyếu của bài toán tối ưu đa mục tiêu với ràng buộc đẳng thức và bất đẳngthức bằng công cụ giải tích biến phân như: Nguyên lý cực trị xấp xỉ, quytắc tổng mờ cho vi phân Fréchet, quy tắc tổng cho vi phân giới hạn vàcông thức vô hướng hóa đối đạo hàm Các điều kiện đủ cho nghiệm hữuhiệu yếu và nghiệm hữu hiệu được trình bày với các giả thiết về tính lồisuy rộng dưới ngôn ngữ dưới vi phân giới hạn Các định lý đối ngẫu Wolfe

và Mond - Weir cũng được trình bày trong chương này Các kết quả đượctrình bày trong chương này được tham khảo trong [3], [7], [1]

Luận văn này được thực hiện tại Trường Đại học Khoa học - Đại họcThái Nguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Đỗ Văn

Lưu Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới ngườihướng dẫn khoa học của mình, người đã đặt vấn đề nghiên cứu, dànhnhiều thời gian hướng dẫn tận tình và đầy trách nhiệm để tác giả hoànthành luận văn này.

Tác giả đã học tập được rất nhiều kiến thức chuyên ngành bổ ích chocông tác và nghiên cứu của bản thân Nhân dịp này tác giả xin gửi lờicảm ơn sâu sắc tới các Thầy giáo, Cô giáo đã tham gia giảng dạy lớp Caohọc Toán K9Y; Nhà trường và các phòng chức năng của Trường; KhoaToán - Tin, trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã quantâm và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập tại trường

Cuối cùng tác giả xin cảm ơn gia đình, bạn bè và đồng nghiệp đã độngviên, ủng hộ và tạo mọi điều kiện cho tác giả trong suốt thời gian nghiêncứu và học tập

Thái Nguyên, ngày 05 tháng 9 năm 2017

Tác giả luận văn

Trần Thị Lan Hương

Chương 1

Điều kiện tối ưu và đối ngẫu cho các nghiệm hữu hiệu chính thường

và cô lập của bài toán tối ưu đa

mục tiêu không trơn

Chương 1 trình bày các điều kiện cần cho các nghiệm hữu hiệu chínhthường địa phương và cô lập địa phương của T.D Chuong [2], 2013
chobài toán tối ưu đa mục tiêu có ràng buộc đẳng thức và bất đẳng thứcbằng cách sử dụng công cụ giải tích biến phân và vi phân suy rộng Cácđiều kiện đủ tối ưu được trình bày với các giả thiết về tính lồi suy rộngdưới ngôn ngữ dưới vi phân giới hạn của hàm Lipschitz địa phương Cácđịnh lý đối ngẫu Wolfe cũng được trình bày trong chương này

1.1 Các định nghĩa và kết quả bổ trợ

Cho ánh xạ đa trị F : Rn ⇒ Rn, ta kí hiệu:

Lim sup

cận U của x sao cho Ω ∩ clU là tập đóng Ta nói Ω là đóng địa phương

từ các nón pháp tuyến Fréchet bằng việc lấy giới hạn trên Painlevé Kuratowski dãy như sau

-N (x, Ω) := Lim sup

x −→xΩ

b

Xét hàm chỉ δ(., Ω) được định nghĩa bởi δ(x, Ω) = 0 với x ∈ Ω và

Mordukhovich và dưới vi phân Mordukhovich của hàm chỉ như sau (xem[7]):

Trong chương này ta cũng xét dưới vi phân trên Fréchet của ϕ tại x với

|ϕ(x)| < ∞, được định nghĩa bởi

b

Quy tắc tổng cho dưới vi phân Fréchet như sau:

tục Lipschitz quanh x Khi đó,

Xét bài toán tối ưu đa mục tiêu có ràng buộc sau:

∀x ∈ U ∩ C, max

1≤k≤m{fk(x) − fk(x)} ≥ νkx − xk

(iii) Điểm x ∈ C được gọi là nghiệm hữu hiệu chính thường địa phương

cho

∀x ∈ U ∩ C, hλ, f (x)i ≥ hλ, f (x)i

Ta kí hiệu các tập nghiệm hữu hiệu địa phương, nghiệm hữu hiệu côlập địa phương, nghiệm hữu hiệu chính thường địa phương của bài toán

và cho g, h : R → R được xác định bởi g(x) := −|x| và h(x) := 0 với

x ∈ R Ta xét bài toán (1.11) với m = 2, Ω = R Chọn x = 0 ∈ C = R và

ν = 1 ta có

trong đó

f1(x) := −x4, f2(x) := x4, và cho g, h : R → R xác định bởi g(x) := x−1,h(x) := 0 với x ∈ R Ta xét bài toán (1.11) với m = 2, Ω = R Chọn

12

Định nghĩa 1.2 Ta nói điều kiện chính quy (CQ) được thỏa mãn tại

trên đúng nếu điều kiện chính quy Mangasarian - Fromovitz đúng trongtrường hợp trơn

Định lý sau đưa ra một điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu cô lập củabài toán (1.11) dưới định nghĩa trên (CQ)

Định lý 1.1 Cho (CQ) xác định trong Định nghĩa 1.2 thỏa mãn tại x ∈

1≤k≤m{fk(.) − fk(x)} + δ(., C)



Vì max

1≤k≤m{fk(.) − fk(x)} là hàm Lipschitz liên tục quanh x và hàm δ(., C)

là nửa liên tục dưới quanh điểm này, từ quy tắc tổng (1.10) áp dụng vào(1.18), và từ mối quan hệ trong (1.7) ta suy ra

max

(1.21)

Đặt µi = 0 với i /∈ I(x), (1.13) được suy ra từ (1.20) - (1.21) Định lý

Đinh lí 1.1 có thể sai nếu điều kiện (CQ) không thỏa mãn tại điểmđang xét như trong ví dụ sau:

kiện (CQ) không thỏa mãn tại x Khi đó (1.13) không thỏa mãn

Để xây dựng điều kiện đủ cho cực tiểu cô lập địa phương của bài toán

hàm lồi địa phương (affine địa phương) tại x ∈ Ω nếu tồn tại một lân cận

U của x sao cho Ω ∩ U là tập lồi và ϕ là hàm lồi (affine) trên Ω ∩ U

Chứng minh

z∈BRn

νkx − xk ≤ max

1≤k≤m{fk(x) − fk(x)}

Ví dụ tiếp theo chỉ ra rằng tính lồi địa phương của hàm mục tiêu f tạiđiểm x trong Định lý 1.2 là rất quan trọng Cụ thể là, một điểm khả thi

x thỏa mãn (1.13) không cần thiết là cực tiểu cô lập của bài toán (1.11)nếu không có tính lồi địa phương của f tại x.

và gọi g, h : R → R được xác định bởi g(x) := x − 1 và h(x) := 0 với

x ∈ R Xét bài toán (1.11) với m = 2, Ω = R thì C = (−∞, 1] Chú ý rằng

Định lý sau đây trình bày điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu chínhthường địa phương của bài toán (1.11) với điều kiện (CQ) như trong Địnhnghĩa 1.2

Định lý 1.3 Giả sử điều kiện (CQ) thỏa mãn tại x ∈ Ω Nếu x ∈

không có ràng buộc sau:

Nhận xét 1.1 Như đã chỉ ra trong Ví dụ 1.3, kết quả của Định lý 1.3 cóthể không đúng nếu điều kiện (CQ) không thỏa mãn.

Để trình bày điều kiện đủ cho nghiệm hữu hiệu chính thường toàn cụccủa bài toán (1.11) trong định lý tiếp theo ta cần khái niệm lồi bất biến

vô hạn (suy rộng) cho hàm Lipschitz địa phương

Định nghĩa 1.3 Ta nói (f, g, h) là L - lồi bất biến trên Ω tại x ∈ Ω

(f, g, h) là L - lồi bất biến trên Ω tại ∀x ∈ Ω với v = x − x, x ∈ Ω.Định lý 1.4 Cho x ∈ C và giả sử (f, g, h) là L - lồi bất biến trên Ω tại

Chứng minh

−



X

Một điểm thỏa mãn (1.25) không nhất thiết là nghiệm hữu hiệu chínhthường của bài toán (1.11) thậm chí cả trong trường hợp trơn nếu tínhchất L - lồi bất biến trên Ω tại điểm x của (f, g, h) không đúng Điều đóđược minh họa bởi ví dụ sau.

đó, C = R, và do đó x = 0 ∈ C Ta thấy rằng x thỏa mãn (1.25) Tuy

1.3 Đối ngẫu cho nghiệm hữu hiệu chính thường

e

f (z, λ, µ, γ) := f (z) + hµ, g(z)ie + hγ, h(z)ie,

ứng nghiệm hữu hiệu chính thường) của bài toán (1.33) được kí hiệu bởi

Để thuận tiện, ta sử dụng kí hiệu:

Định lý sau miêu tả quan hệ đối ngẫu yếu giữa bài toán cơ sở (P) trong

Định lý 1.5 (Đối ngẫu yếu) Giả sử x ∈ C và (z, λ, µ, γ) ∈ Cw Nếu(f, g, h) là L - lồi bất biến trên Ω tại z, thì

Do tính chất L - lồi bất biến của (f, g, h) trên Ω tại z, với mỗi x như vậy

Như vậy, bằng cách đặt σj := γj

0 Vì vậy, (1.39) trở thành

Ví dụ sau chỉ ra rằng tính chất L - lồi bất biến của (f, g, h) trên Ω ởđịnh lý trên không thể bỏ được

đó, C = {−1, 0} và ta lấy x = −1 ∈ C

12

,

bất biến trên Ω tại x Khi đó,

Nhận xét 1.2 Không như những kết quả trước về đối ngẫu trong tối ưu

đa mục tiêu, ở đây tồn tại quan hệ

Quan hệ này không xuất hiện trong những bài toán xuất phát mà không

có ràng buộc đẳng thức, nghĩa là J = ∅ Với các bài toán xuất phát baogồm các điều kiện ràng buộc đẳng thức, quan hệ (1.41) tự động thỏa mãn

nếu h = 0 Tuy nhiên, quan hệ đã nói trên là một điều kiện có sẵn củabài toán với h 6= 0.

Định lý tiếp theo trình bày một quan hệ đối ngẫu mạnh giữa bài toán

(CQ) xác định trong Định nghĩa 2.1 thỏa mãn tại điểm này Khi đó, tồn

nếu (f, g, h) là L - lồi bất biến trên Ω tại mọi z ∈ Ω, thì (x, λ, µ, γ) ∈

Giả sử (f, g, h) là L - lồi bất biến trên Ω với mọi z ∈ Ω Sử dụng kết quả

đối ngẫu yếu trong Định lý 1.5 ta khẳng định f (x)  f (z, λ, µ, γ), ∀ (z, λ, µ, γ) ∈

Cần phải nói rằng điều kiện (CQ) ở định lý trên đóng một vai trò quan

trọng Nếu x là nghiệm hữu hiệu chính thường địa phương của bài toán

xuất phát mà điều kiện (CQ) không thỏa mãn, ta có thể không tìm đươc

bộ ba (λ, µ, γ) như mô tả trong Định lý 1.6 sao cho (x, λ, µ, γ) thuộc

tập chấp nhận được của bài toán đối ngẫu Trong trường hợp này, tất

nhiên ta không có quan hệ đối ngẫu mạnh Để thấy điều này, ta xem lại

Ví dụ 1.3

Nhận xét 1.3 Kết quả đối ngẫu mạnh trong Định lý 1.6 không xuất hiện

một cách thông thường Đó là, nghiệm của bài toán đối ngẫu không là

nghiệm hữu hiệu chính thường, chỉ là nghiệm hữu hiệu, mặc dù nghiệm

của bài toán xuất phát là nghiệm hữu hiệu chính thường Ví dụ sau chỉ

ra nói chung ta không thể thu được nghiệm hữu hiệu chính thường cho

bài toán đối ngẫu, kể cả trong trường hợp lồi Tuy nhiên, với một số giả

thiết thêm, ta có thể thu được nghiệm hữu hiệu chính thường cho bài

toán đối ngẫu

g(x) = x − 1 với x ∈ R Xét bài toán (1.11) với m = 2, Ω = R, I =

thấy điều kiện (CQ) thỏa mãn tại x Vì fk, k = 1, 2 và g là hàm lồi,(f, g) là L - lồi bất biến trên Ω tại mọi z ∈ Ω Theo Định lý 1.6 tồn tại

Vì phân số cuối trong (1.45) tiến đến vô cùng khi µ → 1 và z → ∞ nên

ta thu được mâu thuẫn

Chương 2

Điều kiện tối ưu và đối ngẫu cho các nghiệm hữu hiệu và nghiệm

hữu hiệu yếu của bài toán tối ưu

đa mục tiêu không trơn

Chương 2 trình bày các điều kiện cần có nghiệm hữu hiệu yếu và nghiệmhữu hiệu của T.D Chuong và D.S Kim [3] cho bài toán tối ưu đa mụctiêu với ràng buộc đẳng thức và bất đẳng thức bằng công cụ giải tíchbiến phân Các điều kiện đủ cho nghiệm hữu hiệu yếu và nghiệm hữuhiệu được trình bày với các giả thiết về tính lồi suy rộng dưới ngôn ngữdưới vi phân giới hạn Các định lý đối ngẫu yếu, mạnh kiểu Wolfe vàMond - Weir cũng được trình bày trong chương này

2.1 Các kết quả bổ trợ

Ta kí hiệu chuẩn trong không gian tuyến tính định chuẩn là k.k Trongkhông gian X ×Y thì chuẩn được xác định bởi k(x, y)k = kxk+kyk, ∀ x ∈

kính r > 0; hình cầu đơn vị đóng trong X thường kí hiệu là BX Baođóng tôpô và phần trong tôpô của Ω ⊂ X kí hiệu tương ứng là clΩ vàintΩ Nón cực của Ω ⊂ X là tập hợp

Trong chương này X được giả thiết là không gian Ausplund, tức là mộtkhông gian Banach mà mọi không gian con tách được của X đều có đốingẫu tách được

Nhắc lại: Không gian định chuẩn X (vô hạn chiều) được gọi là táchđược nếu X có một tập con đếm được trù mật trong X

của x sao cho Ω ∩ clU là tập đóng Ω được gọi là đóng địa phương nếu Ω

bị đóng quanh x với mọi x ∈ Ω

Các nón pháp tuyến Fréchet của Ω quanh x ∈ Ω được xác định bởi

nón pháp tuyến Fréchet bằng cách lấy giới hạn trên Painlevé - Kuratowskidãy như sau

N (x, Ω) = Lim sup

x −→xΩ

b

Nếu x /∈ Ω ta đặt N (x, Ω) = ∅.

Ta nhắc lại khái niệm cực trị địa phương của tập hợp Ta nói rằng

Giả sử X là không gian Asplund, nguyên lý cực trị xấp xỉ đúng trong X

Dưới vi phân Mordukhovich và dưới vi phân Fréchet của ϕ tại x ∈ X với

Cho f : X → Rm và y∗ ∈ Rm, ta định nghĩa hy∗, f i(x) := hy∗, f (x)i, x ∈

Quy tắc tổng dưới vi phân giới hạn sau là cần thiết có các chứng minhtiếp theo

là compact pháp tuyến dãy (SNC) tại x ∈ X nếu gphϕ là (SNC) tại(x, ϕ(x)) Theo [7] ϕ là (SNC) tại x ∈ X nếu nó liên tục Lipschitz quanhx.

Sau đây là quy tắc tương giao cho nón pháp tuyến giới hạn với điềukiện (SNC)

2.2 Điều kiện tối ưu

Phần này trình bày các điều kiện tối ưu cho bài toán tối ưu đa mụctiêu

Cho Ω là tập con khác rỗng, đóng địa phương của X và K := {1, 2, , m};

I := {1, 2, , p} ∪ ∅, J := {1, 2, , q} ∪ ∅ là các tập chỉ số Giả sử

vectơ với thành phần Lipschitz địa phương trên X Sau đây, Ω luôn đượcgiả thiết là (SNC) tại điểm đang được xét, giả định này tự động đượcthỏa mãn khi X là không gian hữu hạn chiều

Xét bài toán tối ưu đa mục tiêu có ràng buộc (P) sau:

Định nghĩa 2.1 (i) Ta nói rằng x ∈ C được gọi là nghiệm hữu hiệu củabài toán (P) và viết x ∈ S(P ), nếu

Định nghĩa 2.2 Ta nói điều kiện (CQ) thỏa mãn tại x ∈ Ω nếu không

Bây giờ ta phát biểu điều kiện Karush - Kuhn - Tucker (KKT)

Định lý 2.1 Giả sử điều kiện (CQ) thỏa mãn tại x ∈ Ω Nếu x ∈ Sw(P ),thì x thỏa mãn điều kiện (KKT).

Chứng minh

Đặt y := f (x) và giả sử f là hàm Lipschitz quanh x với hằng số