Phương pháp lặp ẩn lai ghép đường dốc nhất giải bất đẳng thức biến phân

Phương pháp lặp ẩn lai ghép đường dốc nhất giải bất đẳng thức biến phânPhương pháp lặp ẩn lai ghép đường dốc nhất giải bất đẳng thức biến phânPhương pháp lặp ẩn lai ghép đường dốc nhất giải bất đẳng thức biến phânPhương pháp lặp ẩn lai ghép đường dốc nhất giải bất đẳng thức biến phânPhương pháp lặp ẩn lai ghép đường dốc nhất giải bất đẳng thức biến phânPhương pháp lặp ẩn lai ghép đường dốc nhất giải bất đẳng thức biến phânPhương pháp lặp ẩn lai ghép đường dốc nhất giải bất đẳng thức biến phânPhương pháp lặp ẩn lai ghép đường dốc nhất giải bất đẳng thức biến phânPhương pháp lặp ẩn lai ghép đường dốc nhất giải bất đẳng thức biến phânPhương pháp lặp ẩn lai ghép đường dốc nhất giải bất đẳng thức biến phân

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

——————–o0o——————–

QUÁCH THỊ TUYẾT NHUNG

PHƯƠNG PHÁP LẶP ẨN

LAI GHÉP ĐƯỜNG DỐC NHẤT GIẢI BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN, 10/2017

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

——————–o0o——————–

QUÁCH THỊ TUYẾT NHUNG

PHƯƠNG PHÁP LẶP ẨN

LAI GHÉP ĐƯỜNG DỐC NHẤT GIẢI BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Mã số: 60 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN PGS.TS NGUYỄN THỊ THU THỦY

THÁI NGUYÊN, 10/2017

Mục lục

Chương 1 Bất đẳng thức biến phân trong không gian

1.1 Một số đặc trưng hình học của không gian Banach 4

1.1.1 Không gian Banach phản xạ, lồi đều và trơn 4

1.1.2 Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc 8

1.1.3 Giới hạn Banach 9

1.1.4 Ánh xạ không giãn và điểm bất động 12

1.2 Bất đẳng thức biến phân trong không gian Banach 15

1.2.1 Bất đẳng thức biến phân đơn điệu 15

1.2.2 Bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu 17

1.2.3 Phương pháp lai ghép đường dốc nhất 19

Chương 2 Phương pháp lặp ẩn lai ghép đường dốc nhất giải bất đẳng thức biến phân 20 2.1 Phương pháp lặp ẩn lai ghép đường dốc nhất 21

2.1.1 Mô tả phương pháp 21

2.1.2 Sự hội tụ 22

2.2 Ví dụ minh họa 33

2.2.1 Bài toán cực trị 33

2.2.2 Minh họa cho phương pháp (2.2) 34

2.2.3 Minh họa cho phương pháp (2.5) 35

2.2.4 Minh họa cho phương pháp (2.6) 36

Kết luận 38

Bảng ký hiệu

H không gian Hilbert thực

X không gian Banach

X∗ không gian đối ngẫu của X

SX mặt cầu đơn vị của X

R tập các số thực

∀x với mọi x

D(A) miền xác định của ánh xạ A

R(A) miền ảnh của ánh xạ A

I ánh xạ đồng nhất

lp, 1 < p < ∞ không gian các dãy số khả tổng bậc p

Lp[a, b], 1 < p < ∞ không gian các hàm khả tích

bậc p trên đoạn [a, b]

d(x, C) khoảng cách từ phần tử x đến tập hợp Clim supn→∞xn giới hạn trên của dãy số {xn}

lim infn→∞xn giới hạn dưới của dãy số {xn}

xn → x0 dãy {xn} hội tụ mạnh về x0

xn * x0 dãy {xn} hội tụ yếu về x0

J ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc

j ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc đơn trị

Fix(T ) tập điểm bất động của ánh xạ T

∂f dưới vi phân của hàm lồi f

Mở đầu

Bài toán bất đẳng thức biến phân được nhà toán học người Italia,Stampacchia (xem [11] và [16]), nghiên cứu và đưa ra đầu tiên vào cuốinhững năm 60 và đầu những năm 70 của thế kỷ trước Từ đó đến nay,bất đẳng thức biến phân luôn là một đề tài thời sự, thu hút được nhiềunhà toán học quan tâm nghiên cứu do vai trò quan trọng của bài toántrong lý thuyết toán học cũng như trong nhiều ứng dụng thực tế.Khi tập ràng buộc C của bài toán bất đẳng thức biến phân

Tìm điểm x0 ∈ C thỏa mãn: hAx0, x − x0i ≥ 0 ∀x ∈ C, (1)

ở đây A : H → H là một ánh xạ trong không gian Hilbert H, C làtập con lồi đóng của H, được cho dưới dạng ẩn là tập điểm bất độngcủa một ánh xạ không giãn hoặc tập điểm bất động chung của một họ(hữu hạn hoặc vô hạn) các ánh xạ không giãn thì bài toán (1) còn cónhiều ứng dụng trong các bài toán thực tế như xử lý tín hiệu, khôi phụcảnh, bài toán điều khiển tối ưu Đối với lớp bài toán này, năm 2001Yamada đã đề xuất phương pháp lai ghép đường dốc nhất để giải Dựatrên cách tiếp cận của Yamada, đã có nhiều nghiên cứu nhằm mở rộng

và cải biên phương pháp lai ghép dạng đường dốc nhất cho bất đẳngthức biến phân trên tập ràng buộc C là tập điểm bất động chung củamột họ hữu hạn, họ vô hạn đếm được hay nửa nhóm các ánh xạ khônggiãn

Luận văn trình bày phương pháp lặp ẩn lai ghép đường dốc nhất giảibất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của nửa nhómánh xạ không giãn trong không gian Banach trên cơ sở bài báo [17] của

Nguyễn Thị Thu Thủy và các đồng tác giả công bố năm 2015 Nội dungcủa đề tài luận văn được trình bày trong hai chương:

Chương 1 "Bất đẳng thức biến phân trong không gian Banach": giớithiệu về bất đẳng thức biến phân đơn điệu và bất đẳng thức biến phânj-đơn điệu trong không gian Banach và một số kiến thức liên quan.Chương 2 "Phương pháp lặp ẩn lai ghép đường dốc nhất giải bất đẳngthức biến phân": giới thiệu 3 phương pháp lặp ẩn lai ghép đường dốcnhất giải bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung củanửa nhóm ánh xạ không giãn, trình bày sự hội tụ của 3 phương pháp

và trình bày ví dụ minh họa

Thái Nguyên, tháng 10 năm 2017

Tác giả luận văn

Quách Thị Tuyết Nhung

Chương 1

Bất đẳng thức biến phân trong

không gian Banach

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và kết quả vềđặc trưng hình học của không gian Banach, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc,toán tử đơn điệu, toán tử j-đơn điệu, giới hạn Banach, ánh xạ khônggiãn và điểm bất động, nửa nhóm ánh xạ không giãn, phương pháp laighép đường dốc nhất giải bất đẳng thức biến phân Các kiến thức củachương được tham khảo từ các tài liệu [1], [2], [3] và [5]

1.1 Một số đặc trưng hình học của không gian Banach

Cho X là một không gian Banach thực, X∗ là không gian đối ngẫucủa X và hx, x∗i là ký hiệu giá trị của x∗ ∈ X∗ tại x ∈ X Ký hiệu 2X

là một họ các tập con khác rỗng của X Cho T là một ánh xạ với miềnxác định là D(T ), miền giá trị là R(T ) và Fix(T ) là tập điểm bất độngcủa ánh xạ T , nghĩa là

Fix(T ) = {x ∈ D(T ) : T x = x}

Kí hiệu mặt cầu đơn vị của X là SX, trong đó SX = {x ∈ X : kxk = 1}

1.1.1 Không gian Banach phản xạ, lồi đều và trơn

Định nghĩa 1.1.1 Không gian tuyến tính định chuẩn X được gọi làmột không gian phản xạ nếu phép nhúng chuẩn tắc H không gian X

vào không gian liên hợp thứ hai X∗∗ của nó là một toàn ánh.

Ví dụ 1.1.2 Rn là một không gian phản xạ Thật vậy, vì

kxk2 + kyk2

i=1

x2i

!12, x = (x1, x2, , xn) ∈ Rn

là một không gian lồi chặt

Ví dụ 1.1.6 Không gian X = Rn, n ≥ 2 với chuẩn kxk1 định nghĩa bởi

Ví dụ 1.1.7 Không gian X = Rn, n ≥ 2 với chuẩn kxk∞ định nghĩabởi

kxk∞ = max |xi| , i = 1, n, x = (x1, x2, , xn)không phải là một không gian lồi chặt Thật vậy, với

x = (1, 0, , 0), y = (1, 1, 0, , 0),

ta thấy x 6= y, kxk∞ = kyk∞ = 1 nhưng kx + yk∞ = 2

Định nghĩa 1.1.8 Không gian Banach X được gọi là một không gianlồi đều nếu với mọi ε ∈ (0, 2], với mọi x, y ∈ X thỏa mãn kxk ≤ 1, kyk ≤

1, kx − yk ≥ ε, tồn tại δ = δ(ε) > 0 sao cho

Ví dụ 1.1.10 Không gian l1 không phải là không gian lồi đều Thậtvậy, chọn x = (1, 0, 0, ), y = (0, −1, 0, 0, ) và ε = 1,

Ví dụ 1.1.11 Không gian l∞ không phải là không gian lồi đều Thậtvậy, chọn x = (1, 1, 1, 0, 0, ), y = (1, 1, −1, 0, 0, ) và ε = 1 Khi đó

Do đó, l∞ không phải là không gian lồi đều

Định lý 1.1.12 (xem [2]) Mọi không gian Banach lồi đều là không gianlồi chặt

Định nghĩa 1.1.13 Không gian Banach X được gọi là

(i) có chuẩn khả vi Gâteaux (hay không gian trơn) nếu giới hạn

limt→0

kx + tyk − kxk

ttồn tại với mỗi x, y ∈ SX;

(ii) có chuẩn khả vi Gâteaux đều nếu giới hạn trên đạt được đều với

x ∈ SX

Ví dụ 1.1.14 lp, Lp[a, b] (1 < p < ∞) là các không gian Banach trơn

Định nghĩa 1.1.15 Cho X là một không gian Banach, hàm số

ρ0X(0) = lim

t→0

ρX(t)

t = 0.

Ví dụ 1.1.17 Các không gian lp (1 < p ≤ 2) là những không gian trơnđều Thật vậy,

limt→0

ρlp(t)

t = limt→0

(1 + tp)1p − 1

t = 0.

1.1.2 Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc

Định nghĩa 1.1.18 Cho X∗ là không gian đối ngẫu của không gianBanach X Ánh xạ (nói chung đa trị) J : X −→ 2X∗ được gọi là mộtánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc nếu

J x = {x∗ ∈ X∗ : hx, x∗i = kxk2 = kx∗k2}

Ví dụ 1.1.19 Trong không gian Hilbert H, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc

là ánh xạ đồng nhất Thật vậy, lấy x ∈ H, x 6= 0 Ta biết rằng H = H∗và

hx, xi = kxk kxk ⇒ x ∈ Jx

Giả sử y ∈ J x Từ định nghĩa của J , ta có hx, yi = kxk kyk và kxk =kyk Bởi vì

kx − yk2 = kxk2 + kyk2 − 2hx, yi,suy ra x = y Do đó, J x = {x}

Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc có một số tính chất sau:

Mệnh đề 1.1.20 (xem [3]) Giả sử X là một không gian Banach Khiđó

(i) J x là tập lồi, J (λx) = λJ x, với mọi λ > 0;

(ii) J là ánh xạ đơn trị nếu X∗ là không gian lồi chặt

Trong trường hợp ánh xạ J đơn trị ta kí hiệu là j

Nếu X là không gian Banach trơn thì ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J

là đơn trị Nếu X là không gian Banach trơn đều thì ánh xạ đối ngẫuchuẩn tắc J liên tục đều trên các tập con bị chặn của X

Bổ đề 1.1.21 [14] Cho X là không gian tuyến tính định chuẩn Khi đó,bất đẳng thức sau thỏa mãn

kx + yk2 ≤ kxk2+ 2hy, j(x + y)i ∀x, y ∈ X j(x + y) ∈ J(x + y)

1.1.3 Giới hạn Banach

Cho S là một tập hợp khác rỗng Ký hiệu B(S) chỉ không gian cáchàm số thực xác định và giới nội trên S Khi đó, l∞ = B(N)

Với f ∈ l∞, ta kí hiệu f (xm+1, xm+2, xm+3, , xm+n, ) bởi fn(xn+m)

Định nghĩa 1.1.22 Một phiếm hàm tuyến tính liên tục f trên l∞ đượcgọi là một giới hạn Banach nếu

(i) kf k = f (1) = 1,

(ii) fn(xn) = fn(xn+1) với mỗi x = (x1, x2, ) ∈ l∞

Ta kí hiệu giới hạn Banach bởi LIM

Định lý 1.1.23 (xem [3]) Tồn tại một phiếm hàm tuyến tính liên tục

f trên l∞ sao cho kf k = f (1) = 1 và fn(xn) = fn(xn+1) với mỗi

p(αx) = αp(x) ∀x ∈ c, α ≥ 0

Do đó, p là một phiếm hàm dưới tuyến tính với l(x) = p(x) Theo định

lí Hahn–Banach,tồn tại một mở rộng L : l∞ → R của l (từ c vào l∞) saocho

L(x) ≤ l(x) ∀x ∈ l∞

−p(−x) ≤ Lx) ≤ p(x) ∀x ∈ l∞

Do đó, ta có

p(1, 1, 1, ) = 1và

với mọi x = (x1, x2, , xn, ) ∈ l∞ Vậy L là một giới hạn Banach

Mệnh đề 1.1.24 Cho LIM là một giới hạn Banach Khi đó

limn→∞inf xn ≤ LIM (x) ≤ lim

n→∞sup xnvới mỗi x = (x1, x2, ) ∈ l∞ Hơn nữa, nếu xn → a thì LIM (x) = a

Mệnh đề 1.1.25 (xem [3]) Cho a là một số thực và (x1, x2, ) ∈ l∞.Khi đó, các khẳng định sau là tương đương

(i) LIMn(xn) ≤ a với mọi giới hạn Banach LIM ;

(ii) Với mỗi  > 0, tồn tại m0 ∈ N sao cho

xn+ xn+1+ · · · + xn+m−1

m < a + với mọi m ≥ m0 và n ∈ N

Mệnh đề 1.1.26 (xem [3]) Cho a là một số thực và (x1, x2, ) ∈ l∞sao cho LIMn(xn) ≤ a với mọi giới hạn Banach LIM và limn→∞sup(xn+1−

xn) ≤ 0 Khi đó limn→∞sup xn ≤ a

Bổ đề 1.1.27 (xem [3]) Cho C là tập con lồi trong không gian Banach

X có chuẩn khả vi Gâteaux đều Giả sử {xn} là dãy bị chặn trong X, z

là một điểm trong C và LIM là giới hạn Banach Khi đó,

LIM kxn− zk2 = min

u∈C LIM kxn− uk2khi và chỉ khi LIM hu − z, j(xn − z)i ≤ 0 với mọi u ∈ C

Chứng minh Với u ∈ C và số thực λ thỏa mãn 0 ≤ λ ≤ 1, ta có

kxn− zk2 = kxn − λz − (1 − λ)u + (1 − λ)(u − z)k2

≥ kxn− λz − (1 − λ)uk2+ 2(1 − λ)hu − z, j(xn− λz − (1 − λ)u)i

Với ε > 0 cho trước, vì chuẩn của X là chuẩn khả vi Gâteaux đều, ánh

xạ đối ngẫu là liên tục đều trên các tập con bị chặn của X từ tô pômạnh của X tới tô pô∗ yếu của X∗ nên

|hu − z, j(xn − λz − (1 − λ)u) − j(xn− u)i| < εnếu λ đủ gần 1 Vì vậy,

LIM hu − z, j(xn− z)i ≥ 0, ∀u ∈ C

Ta chứng minh chiều ngược lại Cho u, z ∈ C, từ

kxn − uk2− kxn − zk2 ≥ 2hz − u, j(xn− z)ivới LIM hu − z, j(xn− u)i ≤ u, ta có

LIM kxn− zk2 = min

u∈C LIM kxn− uk2

1.1.4 Ánh xạ không giãn và điểm bất động

Định nghĩa 1.1.28 Cho ánh xạ T : X → X Điểm x được gọi là điểmbất động của ánh xạ T nếu T x = x

Tập hợp tất cả các điểm bất động được kí hiệu là

Fix(T ) = {x ∈ C|T x = x} Nhận xét 1.1.29 Việc tìm điểm bất động của ánh xạ T được qui vềviệc giải phương trình

T x = x

Ví dụ 1.1.30 Xét ánh xạ A : R → R, Ax = x2 Do x2 = x ⇔ x = 0hoặc x = 1 nên Fix(A) = {0; 1}

Ví dụ 1.1.31 Xét ánh xạ A : R → R, Ax = x2+ 1 Do không tồn tại xthỏa mãn x2 + 1 = x nên Fix(A) = ∅

Ví dụ 1.1.32 Xét ánh xạ A : R → R, Ax = x Do mọi số thực x đềuthỏa mãn Ax = x nên Fix(A) = R

Định nghĩa 1.1.33 Cho C là một tập con lồi, đóng, khác rỗng củakhông gian Banach X Ánh xạ T : C → C thỏa mãn

kT x − T yk ≤ kx − yk ∀x, y ∈ Cđược gọi là một ánh xạ không giãn

Ví dụ 1.1.34 Ánh xạ A : R → R, Ax = 2x không phải là một ánh xạkhông giãn vì tồn tại x = 1, y = 2 thỏa mãn

|Ax − Ay| = 3 > |x − y| = 1

Ví dụ 1.1.35 Ánh xạ A : R → R, Ax = x là một ánh xạ không giãn vìvới mọi x, y ∈ R, |Ax − Ay| = |x − y|

Định nghĩa 1.1.36 Ánh xạ A được gọi là giả co nếu

kAx − Ayk ≤ kx − yk2+ k(I − A)x − (I − A)yk2, ∀x, y ∈ D(A)trong đó I là ánh xạ đồng nhất

Định nghĩa 1.1.37 Ánh xạ A : X → X được gọi là γ−giả co chặt nếuvới mỗi x, y ∈ D(A), tồn tại j(x − y) ∈ J (x − y) sao cho

hAx − Ay, j(x − y)i ≤ kx − yk2 − γkx − y − (Ax − Ay)k2

với mỗi γ ∈ (0, 1)

Định nghĩa 1.1.38 Cho C là một tập con lồi đóng và khác rỗng củakhông gian Banach X Tập hợp {T (s) : s > 0} được gọi là một nửanhóm ánh xạ không giãn trên C nếu nó thỏa mãn:

(i) Với mỗi s > 0, T (s) là một ánh xạ không giãn trên C;

(ii) T (0)x = x với mọi x ∈ C;

(iii) T (s1 + s2) = T (s1) ◦ T (s2) với mọi s1, s2 > 0;

(iv) Với mỗi x ∈ C, ánh xạ T (·)x từ (0, ∞) vào C là liên tục

Ví dụ 1.1.39 Cho ánh xạ T (t) : R → R xác định bởi

T (t)x = e−3tx, x ∈ R

Khi đó {T (t) : t ≥ 0} là một nửa nhóm ánh xạ không giãn trên R vớitập điểm bất động chung F = {0} Thật vậy, hiển nhiên các điều kiện(ii) và (iv) thỏa mãn Với t > 0, thì T (t)x = e−3tx là ánh xạ không giãn,đồng thời T (t + s)x = e−3t−3sx = e−3t(e−3sx), nên điều kiện (iii) cũngthỏa mãn

Lại có, với mọi t ≥ 0, T (t)x = x ⇔ e−3tx = x ⇔ x = 0 suy ra tậpđiểm bất động chung của nửa nhóm ánh xạ không giãn này là F = {0}

Ví dụ 1.1.40 Cho ánh xạ T (t) : R3 → R3 xác định như sau

F = {x ∈ R3 : x = (0, 0, x3)T}

Thật vậy, với mọi t ≥ 0 và x, y ∈ R3 ta có

T (t)x = (cos(2t)x1− sin(2t)x2, sin(2t)x1 + cos(2t)x2, x3)

và

T (t)y = (cos(2t)y1 − sin(2t)y2, sin(2t)y1 + cos(2t)y2, y3)

Suy ra

kT (t)x − T (t)yk = kx − yk = p(x1− y1)2 + (x2 − y2)2+ (x3− y3)2.Như vậy T (t) là ánh xạ không giãn, điều kiện (i) thỏa mãn Ta có

Bổ đề 1.1.41 (xem [6]) Cho C là tập con khác rỗng, bị chặn, lồi vàđóng trong không gian Banach lồi đều X Cho {T (s) : s ≥ 0} là nửanhóm ánh xạ không giãn trên C Khi đó, với bất kì r > 0 và h ≥ 0,

T (s)yds



−1t

Z t 0

T (s)yds = 0,

ở đây Br = {x ∈ X : kxk ≤ r}

1.2 Bất đẳng thức biến phân trong không gian Banach

1.2.1 Bất đẳng thức biến phân đơn điệu

Bài toán 1.2.1 Cho C là tập con khác rỗng lồi đóng của không gianBanach X và ánh xạ A : X → X∗, ở đây X∗ là không gian đối ngẫu của

X Bài toán bất đẳng thức biến phân, ký hiệu là VI(A, C), được phátbiểu như sau:

Định nghĩa 1.2.4 Cho C là tập con lồi đóng khác rỗng của không gianBanach X Ánh xạ A : C → X∗ được gọi là:

(i) đơn điệu trên C nếu

hAx − Ay, x − yi ≥ 0 ∀x, y ∈ C; (1.2)(ii) đơn điệu chặt trên C nếu dấu ” = ” trong (1.2) xảy ra khi và chỉkhi x = y;

(iii) đơn điệu đều trên C nếu tồn tại một hàm liên tục và tăng ngặt

α : [0, ∞) → [0, ∞) với α(0) = 0 và α(t) → ∞ khi t → ∞ sao cho

hAx − Ay, x − yi ≥ α(kx − yk)kx − yk ∀x, y ∈ C;

(iv) η-đơn điệu mạnh trên C nếu tồn tại hằng số η > 0 sao cho

hAx − Ay, x − yi ≥ ηkx − yk2 ∀x, y ∈ C;

(v) đơn điệu cực đại nếu A đơn điệu và đồ thị G(A) = {(x, Ax) ∈

C × X∗ : x ∈ C} của A không thực sự bị chứa trong đồ thị của một ánh

xạ đơn điệu nào khác

Định nghĩa 1.2.5 Cho C là một tập con lồi đóng của không gian nach X Ánh xạ A : C → X∗ được gọi là liên tục trên không giancon hữu hạn chiều của X nếu với mọi không gian con hữu hạn chiều

Ba-U ⊂ X, thu hẹp của ánh xạ A trên C ∩ Ba-U là liên tục yếu, tức là ánh xạ

Nhận xét 1.2.8 Nếu A là một ánh xạ liên tục, thì A là liên tục theotia Điều ngược lại không đúng Ngoài ra nếu A : X → X∗ là ánh xạ

đơn điệu và liên tục theo tia với D(A) = X thì A là ánh xạ đơn điệucực đại.

Chú ý 1.2.9 Nếu A là ánh xạ đơn điệu thì bài toán (1.1) được gọi làbất đẳng thức biến phân đơn điệu

Bổ đề 1.2.10 (Bổ đề Minty) (xem [10]) Cho C là một tập con lồi đóngkhác rỗng của X và A : C → X∗ là ánh xạ đơn điệu và liên tục trênkhông gian con hữu hạn chiều của X Khi đó, x0 ∈ C là nghiệm của(1.1) khi và chỉ khi

hAx, x − x0i ≥ 0 ∀x ∈ C (1.3)

Định lý 1.2.11 (xem [4]) Cho C là một tập con khác rỗng lồi đóng củakhông gian Banach X và A : C → X∗ là ánh xạ đơn điệu và liên tụctheo tia với C = D(A) Khi đó tập nghiệm của bài toán (1.1) là khácrỗng Ngoài ra nếu A là ánh xạ đơn điệu chặt thì nghiệm của (1.1) làduy nhất

1.2.2 Bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu

Cho X là không gian Banach và j : X → X∗ là ánh xạ đối ngẫu chuẩntắc đơn trị của X Trong phần này ta luôn giả sử ánh xạ A : X → X làđơn trị

Bài toán 1.2.12 Bài toán bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu, ký hiệu

là VI∗(A, C), được phát biểu như sau:

Tìm x0 ∈ C thỏa mãn: hAx0, j(x − x0)i ≥ 0 ∀x ∈ C, (1.4)với j(x − x0) ∈ J (x − x0)

Định nghĩa 1.2.13 Ánh xạ A : X → X được gọi là

(i) J -đơn điệu nếu tồn tại j(x − y) ∈ J (x − y) sao cho

hAx − Ay, j(x − y)i ≥ 0 ∀x, y ∈ D(A);

(ii) J -đơn điệu ngặt nếu dấu bằng ở bất đẳng thức trên chỉ đạt đượckhi x = y;

(iii) J -đơn điệu đều nếu tồn tại một hàm tăng γ(t), t ≥ 0, γ(0) = 0 vàj(x − y) ∈ J (x − y) sao cho

hAx − Ay, j(x − y)i ≥ γ(kx − yk) ∀x, y ∈ D(A);

(iv) η-J -đơn điệu mạnh nếu γ(t) = ηt2, η > 0 là một hằng số

Bổ đề sau nêu mối liên hệ giữa ánh xạ J -đơn điệu và giả co

Bổ đề 1.2.14 (xem [8]) Cho T : D(T ) ⊂ X −→ X là một ánh xạ Khi

đó, T là ánh xạ J -đơn điệu khi và chỉ khi I − T là ánh xạ giả co, với I

là ánh xạ đơn vị trong X

Bổ đề 1.2.15 (xem [8]) Cho X là không gian Banach trơn và A : X →

X là ánh xạ η-j-đơn điệu mạnh và γ-giả co chặt với η + γ > 1 Khi đó,(i) Ánh xạ I − A là ánh xạ co với hệ số co p(1 − η)/γ

(ii) Với mọi λ ∈ (0, 1), I − λA là ánh xạ co với hệ số co 1 − λτ , trong

đó τ = 1 −p(1 − η)/γ ∈ (0, 1)

Định nghĩa 1.2.16 Ánh xạ QC : X → C được gọi là phép co rút khônggiãn theo tia từ X lên C nếu QC thỏa mãn:

(i) QC là phép co rút trên C, tức là Q2C = QC;

(ii) QC là ánh xạ không giãn;

(iii) QC là ánh xạ theo tia, tức là với mọi 0 < t < ∞

(i) QC là ánh xạ không giãn theo tia

(ii) hx − QC(x), j(y − QC(x))i ≤ 0 ∀x ∈ X, y ∈ C

Chú ý 1.2.18 Khi X là không gian Hilbert H thì ánh xạ QC chính làphép chiếu mêtric PC từ H lên C