Tiểu luận quản trị rủi ro tài chính chương 13 mô phỏng lịch sử và lý thuyết giá trị cực trị

Nó bao gồm việc sử dụng các giá trị thay đổi hàng ngày của các biến thị trường đã được quan sát trong quá khứ theo cách trực tiếp để ước lượng sự phân bố xác suất của sự thay đổi giá trị

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ TP.HỒ CHÍ MINH

CHƯƠNG 13

MÔ PHỎNG LỊCH SỬ VÀ LÝ THUYẾT GIÁ TRỊ CỰC TRỊ

Trong chương này, chúng ta đề cập đến cách tiếp cận phổ biến nhất để tính giá trị rủi ro (VaR) và Thâm hụt kỳ vọng (ES) cho rủi ro thị trường Đó được gọi là mô phỏng lịch sử

Nó bao gồm việc sử dụng các giá trị thay đổi hàng ngày của các biến thị trường đã được quan sát trong quá khứ theo cách trực tiếp để ước lượng sự phân bố xác suất của sự thay đổi giá trị của danh mục hiện tại giữa ngày hôm nay và ngày mai

Sau khi mô tả cơ học của cách tiếp cận mô phỏng lịch sử, chương này giải thích một số phần mở rộng có thể cải thiện độ chính xác Nó bao gồm VaR nhấn mạnh và ES được nhấn mạnh, được các nhà quản lý sử dụng (hoặc sẽ sử dụng sớm) để xác định vốn đối với rủi ro thị trường Cuối cùng, nó bao gồm lý thuyết giá trị cực trị Đây là một công cụ có thể được

sử dụng để cải thiện ước lượng VaR và ES và tăng mức độ tin tưởng cho các ước tính này Tất cả các mô hình được trình bày trong chương này được minh họa bằng một danh mục đầu tư bao gồm đầu tư vào bốn chỉ số chứng khoán khác nhau Dữ liệu lịch sử về các chỉ

số và tính toán VaR có thể được tìm thấy tại

www.2.rotman.utoronto.ca/~hull/RMFI/VaRExample

13.1 PHƯƠNG PHÁP LUẬN

Mô phỏng lịch sử liên quan đến việc sử dụng dữ liệu trong quá khứ dự phóng cho những

gì sẽ xảy ra trong tương lai Giả sử chúng ta muốn tính VaR cho một danh mục đầu tư sử dụng thời gian một ngày, mức độ tin cậy 99%, và 501 ngày dữ liệu (Khoảng thời gian và mức độ tin cậy là mức thường được sử dụng cho tính VaR, rủi ro thị trường, chúng ta sử dụng 501 ngày dữ liệu bởi vì, như chúng ta thấy, nó dẫn đến 500 kịch bản được tạo ra.) Bước đầu tiên là xác định các biến số thị trường ảnh hưởng đến danh mục đầu tư Đây thường là tỷ giá hối đoái, lãi suất, chỉ số chứng khoán, v.v Dữ liệu sau đó được thu thập

về sự biến động của các biến thị trường này trong 501 ngày gần nhất Điều này cung cấp

500 kịch bản thay thế cho những gì có thể xảy ra giữa ngày hôm nay và ngày mai Cho biết ngày đầu tiên mà chúng tôi có dữ liệu là Ngày 0, ngày thứ hai là Ngày 1 và v.v Trường hợp 1 là nơi thay đổi phần trăm trong các giá trị của tất cả các biến giống như giữa khoảng Ngày 0 và Ngày 1, trường hợp 2 là thời điểm tương tự giữa Ngày 1 và Ngày 2, v.v Đối với mỗi kịch bản, tính bằng đô la thay đổi giá trị của danh mục đầu tư giữa ngày hôm nay

và ngày mai Điều này định nghĩa sự phân bố xác suất cho tổn thất hàng ngày (với lợi ích được tính là tổn thất âm) trong giá trị của danh mục đầu tư Phân vị 99 của phân phối có

thể được ước lượng là kết quả tồi tệ thứ nhất1 Ước tính của VaR là tổn thất khi chúng ta ở điểm phân vị 99 này Chúng tôi chắc chắn 99% rằng chúng tôi sẽ không mất nhiều hơn ước tính của VaR nếu biến động của các biến thị trường trong 500 ngày qua là đại diện cho điều gì sẽ xảy ra giữa ngày hôm nay và ngày mai

Để diễn đạt tiếp cận đại số, xác định vi là giá trị của một biến thị trường vào Ngày i và giả

sử ngày hôm nay là Ngày n Kịch bản thứ i trong cách tiếp cận mô phỏng lịch sử giả định rằng giá trị của biến thị trường vào ngày mai sẽ là

Giá trị dưới và Kịch bản = v n

𝒗𝒊 𝒗𝒊−𝟏

Hình minh họa

Để minh họa các tính toán của phương pháp tiếp cận, giả sử một nhà đầu tư ở Hoa Kỳ là chủ sở hữu, vào ngày 25/9/2008, một danh mục trị giá 10 triệu USD bao gồm các khoản đầu tư vào bốn chỉ số chứng khoán: Trung bình Công nghiệp Dow Jones (DJIA) ở Hoa Kỳ,

FTSE 100 tại Anh (Chỉ số được xem như phong vũ biểu của nền kinh tế Anh và là chỉ số cổ phiếu hàng đầu ở châu Âu Nó được duy trì bởi FTSE Group, một công ty độc lập mà ban đầu là kết quả của sự liên doanh giữa Financial Times và LSE (FTSE chính là viết tắt của Financial Times Stock Exchange). ), CAC

40 ở Pháp(Chỉ số thị trường chứng khoán tiêu chuẩn của Pháp CAC 40 (FRA40) là tên viết tắt của Cotation Assistée en Continu, đại diện cho nhóm 40 công ty đứng đầu trong số 100 công ty có giá trị vốn hóa thị trường lớn nhất giao dịch trên Sàn chứng khoán Euronext Paris của Pháp ), và Nikkei 225 tại

Nhật Bản Giá trị của khoản đầu tư vào mỗi chỉ số vào ngày 25/9/2008 được thể hiện trong Bảng 13.1 Một bảng tính Excel chứa 501 ngày dữ liệu lịch sử về giá đóng cửa của bốn chỉ

số và một bộ tính toán VaR hoàn chỉnh nằm trên trang web của tác giả:2

1 Có những lựa chọn thay thế ở đây Một trường hợp có thể được thực hiện để sử dụng thiệt hại tồi tệ thứ năm, mất mát tồi tệ nhất thứ sáu, hoặc trung bình của hai Trong hàm PERCENTILE của Excel, khi có n quan sát và k là một số nguyên, thì phân số k/(n - 1) là quan sát được xếp k + 1 Các phần trăm khác được tính bằng cách sử dụng nội suy tuyến tính.

2 Để giữ cho ví dụ càng đơn giản càng tốt, chỉ những ngày khi cả bốn chỉ số giao dịch được bao gồm trong việc biên soạn dữ liệu Đây là

lý do tại sao 501 dữ liệu của dữ liệu kéo dài từ ngày 7/8/2006 đến ngày 25/9/2008 Trong thực tế, có thể có một nỗ lực để lúng túng trong

dữ liệu trong những ngày không phải là kỳ nghỉ của Hoa Kỳ.

www-2.rotman.utoronto.ca/∼hull∕RMFI∕VaRExample Các tính toán cho phần này nằm trong bảng 1 đến 3

Vì chúng tôi đang xem xét nhà đầu tư Hoa Kỳ, nên các giá trị của FTSE 100, CAC 40 và Nikkei 225 phải được đo bằng đô la Mỹ Chẳng hạn, FTSE 100 đứng ở mức 5.823,40 vào ngày 10/8/2006, khi tỷ giá hối đoái là 1,8918 USD/GBP Điều này có nghĩa là, được đo bằng đô la Mỹ, ở mức 5.823,40 x 1,8918 = 11.016,71 Trích từ dữ liệu với tất cả các chỉ số được đo bằng đô la Mỹ được thể hiện trong Bảng 13.2

Ngày 25/9/2008, là một ngày thú vị để lựa chọn trong việc đánh giá đầu tư vốn cổ phần

Sự hỗn loạn trong thị trường tín dụng, bắt đầu vào tháng 8/2007, đã hơn một năm Giá cổ phiếu đã giảm trong vài tháng Sự biến động đã tăng lên Lehman Brothers đã bỏ trốn để phá sản 10 ngày trước đó Chương trình cứu trợ tài sản bị rắc rối trị giá 700 tỷ USD của Thư ký Bộ Tài chính chưa được Quốc hội Hoa Kỳ thông qua

Bảng 13.3 cho thấy các giá trị của các chỉ số (đo bằng đô la Mỹ) vào ngày 26/9/2008 cho các kịch bản được xem xét Kịch bản 1 (hàng đầu tiên trong Bảng 13.3) cho thấy giá trị của các chỉ số vào ngày 26/9/2008, giả định rằng tỷ lệ phần trăm thay đổi của họ từ ngày 25/9 đến ngày 26/9/2008, giống như thời điểm từ ngày 7/8 đến ngày 8/8/2006; Kịch bản 2 (hàng thứ hai trong Bảng 13.3) cho thấy các giá trị của các chỉ số vào ngày 26/9/2008, giả định rằng những thay đổi tỷ lệ phần trăm này là giống nhau giữa tháng 8 và ngày 9/8/2006; và như vậy Nói chung, kịch bản i giả định rằng tỷ lệ phần trăm thay đổi trong các chỉ số từ

ngày 25 tháng 9 đến ngày 26 tháng 9 giống như giữa ngày i – 1 và ngày i cho 1 ≤ i ≤ 500

500 hàng trong Bảng 13.3 là 500 kịch bản xem xét

DJIA là 11.022,06 vào ngày 25/9/2008 Vào ngày 8/8/2006, đã là 11.173,59, giảm từ 11.219,38 vào ngày 7/8/2006 Giá trị của DJIA trong Kịch bản 1 là do đó

Tương tự, giá trị của FTSE 100, CAC 40, và Nikkei 225 (đo bằng Đô la Mỹ) lần lượt là 9.569,23; 6.204,55 và 115.05 Giá trị của danh mục đầu tư trong Kịch bản 1 là do (trong $ 000):

Do đó, danh mục đầu tư có mức tăng 14.334 đô la trong Kịch bản 1 Tính toán tương tự được thực hiện cho các kịch bản khác Biểu đồ cho các tổn thất (lợi ích là tổn thất âm) được thể hiện trong hình 13.1 (Các thanh trên biểu đồ đại diện cho tổn thất, 000 đô la, trong khoảng 450-550, 350 đến 450, 250 đến 350, v.v.)

Sự thua lỗ cho 500 kịch bản khác nhau sau đó được xếp hạng Rút ra từ kết quả này được thể hiện trong Bảng 13.4 Tình huống tồi tệ nhất là số 494 Giá trị rủi ro 99% trong một ngày có thể được ước tính là tổn thất tồi tệ nhất thứ năm Đây là $253.385

Như được giải thích trong Phần 12.6, VaR 99% 10 ngày thường được tính bằng √10 lần

so với VaR 99% trong một ngày Trong trường hợp này, VaR 10 ngày sẽ là:

√10 × 253.385 = 801.274 hoặc $ 801.274

Mỗi ngày, ước tính VaR trong ví dụ của chúng ta sẽ được cập nhật bằng cách sử dụng dữ liệu gần đây nhất trong 501 ngày Chẳng hạn, hãy xem xét, điều gì xảy ra vào ngày 26/9/2008 (Ngày 501) Chúng ta đưa ra các giá trị mới cho tất cả các biến thị trường và có thể tính toán một giá trị mới cho danh mục đầu tư của chúng ta Sau đó chúng ta sẽ trải qua quy trình mà chúng ta đã vạch ra để tính toán một VaR mới Dữ liệu về các biến số thị trường từ ngày 8/8/2006 đến ngày 26/9/2008 (ngày 1 đến ngày 501) được sử dụng để tính toán (Điều này cho phép chúng ta yêu cầu 500 quan sát về sự thay đổi tỷ lệ phần trăm trong các biến thị trường, ngày 07/8/2006, ngày 0, giá trị của các biến thị không được sử dụng lâu) Tương tự như vậy, vào ngày giao dịch tiếp theo, ngày 29/9/2008 (Ngày 502),

dữ liệu từ ngày 9/8/2006 đến ngày 29/9/2008 (Ngày 2 đến Ngày 502) được sử dụng để xác định VaR; và tiếp tục như vậy

Trên thực tế, danh mục đầu tư của một tổ chức tài chính quốc tế, dĩ nhiên, phức tạp hơn nhiều so với danh mục chúng tôi đã xem xét ở đây Nó có khả năng bao gồm hàng ngàn hoặc hàng chục vị thế Thông thường một số vị thế có trong các hợp đồng chuyển tiếp, các lựa chọn, và các dẫn xuất khác Ngoài ra, danh mục đầu tư tự nó có thể thay đổi theo từng ngày Nếu hoạt động kinh doanh của các tổ chức tài chính dẫn đến một danh mục đầu tư rủi ro hơn, mức rủi ro 99% trong 10 ngày sẽ tăng lên; nếu nó dẫn đến một danh mục đầu

tư ít rủi ro, thì VaR thường giảm VaR vào bất kỳ ngày nào được tính dựa trên giả định rằng danh mục đầu tư sẽ không thay đổi trong ngày làm việc tiếp theo

Các biến thị phải được xem xét trong tính toán VaR bao gồm tỷ giá hối đoái, giá cả hàng hóa và lãi suất Trong trường hợp lãi suất, một tổ chức tài chính thường yêu cầu Kho bạc

và LIBOR / hoán đổi cơ cấu lãi suất không coupon ở một số loại tiền tệ khác nhau để đánh giá danh mục đầu tư Các biến thị trường được xem xét là các biến mà từ đó các cấu trúc hạn này được tính toán (xem Phụ lục B để tính toán để có được cấu trúc kỳ lãi suất zero-coupon) Có thể có tới 10 biến thị trường cho mỗi đường cong zero mà tổ chức tài chính nới lỏng

THÂM HỤT KỲ VỌNG

Để tính toán sự thâm hụt kỳ vọng bằng cách sử dụng mô phỏng lịch sử, chúng ta tính trung bình sự quan sát trong phần đuôi của sự phân bố tổn thất Trong ví dụ của chúng ta, tổn thất tồi tệ nhất ($000) là từ các kịch bản 494; 339; 349; 329 và 487 (xem Bảng 13.4) Trung bình tổn thất cho các kịch bản này là $327,18 Đây là dự báo thâm hụt dự kiến

VaR tăng cường và ES tăng cường (Stressed VaR and Stressed ES)

Các tính toán cho trước cho rằng dữ liệu gần đây nhất được sử dụng cho mô phỏng lịch sử vào bất kỳ ngày nào Ví dụ, khi tính VaR và ES cho ví dụ 4 chỉ số, tác giả đã sử dụng dữ liệu từ 501 ngày liền ngay trước đó Tuy nhiên, mô phỏng lịch sử có thể dựa trên dữ liệu

từ bất kỳ giai đoạn nào trong quá khứ Các chu kỳ biến động cao sẽ có xu hướng mang lại giá trị cao cho VaR và ES, trong khi những khoảng thời gian biến động thấp sẽ có xu hướng mang lại giá trị thấp

Các nhà quản lý đã đưa ra các biện pháp được gọi là VaR tăng cường và ES tăng cường

Để tính toán các biện pháp, một tổ chức tài chính phải tìm kiếm khoảng thời gian 251 ngày trong đó VaR hoặc ES của nó sẽ là lớn nhất Dữ liệu cho khoảng thời gian 251 ngày đó đóng vai trò tương tự như khoảng thời gian 501 ngày trong ví dụ của chúng ta Sự thay đổi

trong các biến thị trường giữa ngày 0 và ngày 1 của khoảng thời gian 251 ngày được sử dụng để tạo ra kịch bản đầu tiên; các biến đổi thị trường giữa ngày 1 và ngày 2 của thời kỳ

251 ngày được sử dụng để tạo ra kịch bản thứ hai; và tiếp tục như vậy Tổng cộng có 250 kịch bản được tạo ra Một ngày 99% VaR tăng cường có thể được tính như là sự mất mát giữa sự mất mát của kịch bản xấu thứ hai và sự mất mát của kịch bản xấu thứ ba ES 99%

trong một ngày có thể được tính như 0.4c 1 + 0.4c 2 + 0.2c 3 trong đó c 1 , c 2 và c 3 là ba tổn

thất tồi tệ nhất với c 1 > c 2 > c 3

13.2 ĐỘ CHÍNH XÁC CỦA VAR

Cách tiếp cận mô phỏng lịch sử ước tính sự phân bố của danh mục đầu tư thay đổi từ một

số lượng giới hạn các quan sát Kết quả là, các ước lượng phân vị của phân phối có thể bị sai số

Kendall và Stuart (1972) mô tả cách tính khoảng tin cậy cho phần trăm phân bố xác suất khi chúng được ước tính từ dữ liệu mẫu

Giả sử Phân vị thứ q của phân phối được ước tính là x Sai số chuẩn của ước tính là:

trong đó n là số quan sát và f(x) là ước tính hàm mật độ xác suất của tổn thất được đánh giá

ở x Mật độ xác suất, f(x), có thể được ước tính bằng cách lắp các dữ liệu thực nghiệm vào

phân phối thích hợp có các đặc tính được biết trước

VÍ DỤ 13.1

Giả sử chúng ta quan tâm đến việc ước lượng phân vị thứ 99 của sự phân bố tổn thất từ

500 quan sát sao cho n = 500 và q = 0,99 Chúng ta có thể ước tính f(x) bằng cách xấp xỉ

phân bố theo thực nghiệm với phân phối chuẩn mà các thuộc tính của nó được biết đến Giả sử phân phối chuẩn được chọn là phân phối chuẩn và trung bình tốt nhất và độ lệch chuẩn là 0 và tương ứng là 10 triệu

Sử dụng Excel, phân vị thứ 99 là NORMINV (0.99,0,10) hoặc 23,26 Giá trị của f(x) là

NORMDIST (23.26,0,10, FALSE) hoặc 0,0027 Sai số chuẩn của ước lượng được thực hiện là:

Nếu ước lượng phân vị thứ 99 bằng cách sử dụng mô phỏng lịch sử là 25 triệu đô la, khoảng tin cậy 95% là từ [25 - 1,96 x1,67] tới [25 + 1,96 x 1,67], tức là từ 21,7 triệu đô la đến 28,3 triệu đô la

Như ví dụ 13.1 minh họa, sai số chuẩn của VaR ước tính bằng cách sử dụng mô phỏng lịch

sử có xu hướng khá cao Nó giảm xuống khi mức độ tin cậy của VaR giảm xuống Ví dụ, nếu trong ví dụ 13.1, mức độ tin cậy của VaR là 95% thay vì 99%, sai số chuẩn sẽ là 0,95 triệu $ thay vì 1,67 triệu $

Sai số chuẩn giảm xuống khi kích thước mẫu tăng lên - nhưng chỉ như là căn bậc hai của kích thước mẫu Nếu chúng ta tăng gấp bốn lần cỡ mẫu trong ví dụ 13.1 từ 500 lên 2.000 quan sát, sai số chuẩn đã giảm một nửa từ 1,67 triệu USD xuống còn khoảng 0,83 triệu USD

Ngoài ra, chúng ta nên nhớ rằng mô phỏng lịch sử giả định rằng sự phân bố chung của biến thị trường hàng ngày là ổn định qua thời gian

Đây không phải là sự thật đúng và tạo thêm sự không chắc chắn về VaR

Trong trường hợp dữ liệu được xem xét trong các bảng 13.1 đến 13.4 khi tổn thất được đo bằng $000, trung bình là 0,870 và độ lệch chuẩn là 93,698 Nếu giả định rằng phân phối chuẩn, tính tương tự như trong Ví dụ 13.1 cho f(x) là 0,000284 và sai số chuẩn của ước tính (nghìn đô la) là:

Ước tính VaR là 253.385 đô la Điều này cho thấy rằng khoảng tin cậy 95% cho VaR là khoảng $220.000 đến $280.000

Phân phối chuẩn không phải là một giả thuyết đặc biệt tốt cho sự phân phối tổn thất, bởi vì tổn thất có đuôi lớn hơn phân phối bình thường (Độ dầy của đuôi là 4,2 cho dữ liệu trong các bảng 13.1 đến 13.4) Ước tính sai số chuẩn tốt hơn có thể đạt được bằng cách giả sử phân phối Pareto cho f (x), như thảo luận trong Phần 13.6

13.3 MỞ RỘNG

Giả thiết chính trong phương pháp tiếp cận mô phỏng lịch sử cho nonstressed VaR hoặc nonstressed ES lịch sử gần đây có ý nghĩa là một hướng dẫn tốt cho tương lai Chính xác hơn, sự phân bố xác suất thực nghiệm ước tính cho các biến số thị trường trong vài năm qua là một hướng dẫn tốt cho hành vi của các biến thị trường trong ngày hôm sau Thật không may, hành vi của các biến thị trường là không ngừng Đôi khi sự biến động của một biến thị trường là cao; đôi khi nó là thấp Trong phần này, chúng tôi đề cập đến các mở rộng của cách tiếp cận mô phỏng lịch sử cơ bản trong Phần 13.1 được thiết kế để điều chỉnh

cho sự không ổn định Chúng tôi cũng cho thấy một cách tiếp cận được gọi là phương pháp bootstrap có thể được sử dụng để xác định các sai số chuẩn

Trọng số của các quan sát

Cách tiếp cận mô phỏng lịch sử cơ bản giả định rằng mỗi ngày trong quá khứ được cho trọng số như nhau Thêm một cách chính thức, nếu chúng ta quan sát thấy những thay đổi hằng ngày, mỗi một trong số chúng được cho một trọng số là 1/n Boudoukh, Richardson,

và Whitelaw (1998) cho thấy những quan sát gần đây cần được cân nhắc nhiều hơn bởi vì chúng phản ánh nhiều hơn những biến động hiện tại và các điều kiện kinh tế vĩ mô hiện tại Phương án trọng số tự nhiên để sử dụng là một trong những nơi trọng lượng giảm theo cấp số nhân (Chúng tôi đã sử dụng điều này khi phát triển mô hình trung bình động theo trọng số để theo dõi biến động trong Chương 10.) Trọng số được gán cho Kịch bản 1 (được tính từ dữ liệu xa nhất) là λ lần được gán cho kịch bản 2 Điều này lần lượt là λ lần cho kịch bản 3, v.v Vì vậy mà các trọng số thêm lên đến 1, trọng số cho kịch bản i là

trong đó n là số kịch bản Khi λ số lần tiếp cận 1, phương pháp tiếp cận phương pháp mô phỏng lịch sử cơ bản, trong đó tất cả các quan sát được cho một trọng số 1/n (Xem Vấn đề 13.2.)

VaR được tính bằng cách xếp hạng các quan sát từ kết quả tồi tệ nhất Bắt đầu từ kết quả tồi tệ nhất, trọng số được tổng hợp cho đến khi đạt đến phần trăm bắt buộc của phân phối

Ví dụ, nếu chúng ta tính VaR với mức độ tin cậy 99%, chúng ta tiếp tục đếm trọng số cho đến khi tổng kết vượt quá 0,01 Chúng ta đã đạt đến mức VaR 99% Tham số λ có thể được lựa chọn bằng cách thử các giá trị khác nhau Một bất lợi của phương pháp trọng số mũ so với cách tiếp cận mô phỏng lịch sử cơ bản là kích thước mẫu hiệu quả sẽ giảm Tuy nhiên, chúng ta có thể bù đắp cho điều này bằng cách sử dụng một giá trị lớn hơn của n Thật vậy, không cần thiết phải loại bỏ ngày cũ khi chúng ta di chuyển về phía trước theo thời gian, bởi vì chúng có trọng số tương đối ít

Bảng 13.5 cho thấy kết quả của việc sử dụng phương pháp này cho danh mục đầu tư xem xét trong Phần 13.1 với λ = 0,995 (Xem trang 4 và trang 5 của dữ liệu trang web.) Giá trị

của VaR khi mức độ tin cậy là 99% hiện là thua lỗ tồi tệ thứ ba, 282.204 đô la (không phải

mức thua lỗ tồi tệ thứ năm là 253.385 đô la) Lý do cho kết quả này là các quan sát gần đây được cho trọng số lớn hơn và tổn thấn lớn nhất đã xảy ra tương đối gần đây Tính toán tiêu chuẩn trong Phần 13.1 cho tất cả các quan sát với trọng số là 1/500 = 0,002 Mức thất thoát

cao nhất xảy ra trong Kịch bản 494 và kịch bản này có trọng số là:

Các đuôi 0,01 của phân phối tổn thất bao gồm xác suất 0,00528 của tổn thất $ 477.841, xác suất 0,00243 của tổn thất $ 345.435, và 0,01 - 0,00528 - 0,00243 = 0,00228 xác suất của một tổn thất 282.204 $ Do đó, sự thiếu hụt kỳ vọng có thể được tính như sau

Có tính đến các biến động của các biến thị trường

Hull và White (1998) đề xuất một cách kết hợp các ước tính về sự biến động vào cách tiếp cận mô phỏng lịch sử Xác định biến động hàng ngày của một biến thị trường cụ thể ước

tính vào cuối ngày i-1 là σ i Điều này có thể được coi là ước tính sự biến động hàng ngày giữa thời điểm kết thúc ngày i-1 và kết thúc ngày i Giả sử rằng bây giờ là ngày n để ước tính hiện tại về sự biến động của biến thị trường (nghĩa là độ biến động giữa ngày hôm nay

và ngày mai) là σ n+1

Giả sử rằng σ n+1 là hai lần σ i đối với một biến thị trường cụ thể Điều này có nghĩa là ước lượng biến động hàng ngày của biến thị trường sẽ tăng gấp đôi ngày hôm nay như trong