Thuyết trình quản trị rủi ro tài chính chương 13 mô phỏng lịch sử và lý thuyết giá trị cực trị

Nó bao gồm việc sử dụng các giá trị thay đổi hàng ngày của các biến thị trường đã được quan sát trong quá khứ theo cách trực tiếp để ước lượng sự phân bố xác suất của sự thay đổi giá trị

Chương 13:

MÔ PHỎNG LỊCH SỬ VÀ

LÝ THUYẾT GIÁ TRỊ CỰC TRỊ

GVHD: PGS.TS Nguyễn Thị Ngọc Trang Lớp Tài chính Khóa 26

1 Lê Thị Ngoan

2 Châu Thanh Hảo

3 Dương Thị An

GIỚI THIỆU

Trong chương này, chúng ta đề cập đến cách tiếp cận phổ biến nhất để tính giá trị rủi ro (VaR) và Thâm hụt kỳ vọng (ES) cho rủi ro thị trường Đó được gọi là mô phỏng lịch sử Nó bao gồm việc sử dụng các giá trị thay đổi hàng ngày của các biến thị trường đã được quan sát trong quá khứ theo cách trực tiếp để ước lượng sự phân bố xác suất của sự thay đổi giá trị của danh mục hiện tại giữa ngày hôm nay và ngày mai

1 Phương pháp luận

Khái niệm: Mô phỏng lịch sử liên quan đến việc sử dụng dữ liệu trong quá khứ dự phóng cho những gì sẽ xảy ra trong tương lai

Ví dụ: Giả sử chúng ta muốn tính VaR cho một danh mục đầu tư sử dụng thời gian một ngày, mức độ tin cậy 99%,

và 501 ngày dữ liệu

Bước đầu tiên là xác định các biến số thị trường ảnh hưởng đến danh mục đầu tư Đây thường là tỷ giá hối đoái, lãi suất, chỉ số chứng khoán, v.v Dữ liệu sau đó được thu thập về sự biến động của các biến thị trường này trong 501 ngày gần nhất Điều này cung cấp 500 kịch bản thay thế cho những gì có thể xảy ra giữa ngày hôm nay và ngày mai.

Công thức tính giá trị kịch bản ngày thứ i:

Giá trị kịch bản thứ i = v n 𝐯𝐢

𝐯

𝐢−𝟏

(13.1)

Trong đó: vi là giá trị của một biến thị trường vào ngày i

và giả sử ngày hôm nay là ngày n

Ví dụ: Để minh họa các tính toán của phương pháp tiếp cận, giả sử một nhà đầu tư ở Hoa Kỳ là chủ sở hữu, vào ngày 25/9/2008, một danh mục trị giá 10 triệu USD bao gồm các khoản đầu tư vào bốn chỉ số chứng khoán như sau:

Ví dụ: Vì chúng ta đang xem xét nhà đầu tư Hoa Kỳ, nên các giá trị của FTSE 100, CAC 40 và Nikkei 225 phải được đo bằng đô la Mỹ

 Trích từ dữ liệu với tất cả các chỉ số được đo bằng

đô la Mỹ được thể hiện trong Bảng 13.2:

Ngày 25 tháng 9 năm 2008, là một ngày thú vị để lựa chọn trong việc đánh giá đầu tư vốn cổ phần:

 Sự hỗn loạn trong thị trường tín dụng, bắt đầu vào

 Chương trình cứu trợ tài sản bị rắc rối trị giá 700

tỷ USD của Thư ký Bộ Tài chính chưa được Quốc hội Hoa Kỳ thông qua

Bảng 13.3 Cho thấy các giá trị của các chỉ số (đo

bằng đô la Mỹ) vào ngày 26/9/2008 cho các kịch bản được xem xét như sau:

 DJIA là 11.022,06 vào ngày 25/9/2008 Vào ngày

8/8/2006, đã là 11.173,59, giảm từ 11.219,38 vào ngày 7/8/2006 Giá trị của DJIA trong Kịch bản 1 nên ta có:

 Tương tự, giá trị của FTSE 100, CAC 40 và

Nikkei 225 (đo bằng USD) lần lượt là 9.569,23, 6.204,55 và 115,05 Giá trị của danh mục đầu tư trong Kịch bản 1 là (tính $000):

 Sự thua lỗ cho 500 kịch bản khác nhau sau đó được

xếp hạng Rút ra từ kết quả này được thể hiện trong Bảng 13.4 Tình huống tồi tệ nhất là số 494 Giá trị rủi ro 99% trong một ngày có thể được ước tính là tổn thất tồi tệ nhất thứ năm là $253.385

 Như được giải thích trong Phần 12.6, VaR 99% 10

ngày thường được tính bằng 10 lần so với VaR 99% trong một ngày Trong trường hợp này, VaR 10 ngày sẽ là

10 × 253.385 = 801.274

 Hình 13.1 và Bảng 13.4 mô dữ liệu lịch sử của

tổn thất của các kịch bản được xem xét cho ngày 25-26/09/2008:

Tóm lại:

Kịch bản i giả định rằng tỷ lệ phần trăm thay đổi trong các chỉ số từ ngày 25/9 đến ngày 26/9 giống như giữa ngày (i – 1) và ngày i cho 1 ≤ i ≤ 500

500 hàng trong Bảng 13.3 là 500 kịch bản

Trên thực tế, danh mục đầu tư của một tổ chức tài chính quốc tế phức tạp hơn nhiều so với danh mục chúng tôi đã xem xét ở đây Nó có khả năng bao gồm hàng ngàn hoặc hàng chục vị thế

 Trung bình tổn thất cho các kịch bản này là

$327,18 Đây là dự báo thâm hụt dự kiến

VaR tăng cường và ES tăng cường (Stressed VaR and Stressed ES)

 Các tính toán cho trước cho rằng dữ liệu gần đây nhất

được sử dụng cho mô phỏng lịch sử vào bất kỳ ngày nào

 Ví dụ, khi tính VaR và ES cho ví dụ 4 chỉ số, chúng ta

đã sử dụng dữ liệu từ 501 ngày liền ngay trước đó

 Tuy nhiên, mô phỏng lịch sử có thể dựa trên dữ liệu

từ bất kỳ giai đoạn nào trong quá khứ

 Các chu kỳ biến động cao sẽ có xu hướng mang lại

giá trị cao cho VaR và ES, trong khi những khoảng thời gian biến động thấp sẽ có xu hướng mang lại giá trị thấp

VaR tăng cường và ES tăng cường (Stressed VaR and

 Sự thay đổi trong các biến thị trường giữa Ngày 0 và Ngày 1 của khoảng thời gian 251 ngày được sử dụng để tạo ra kịch bản đầu tiên; các biến đổi thị trường giữa Ngày 1 và Ngày 2 của thời kỳ 251 ngày được sử dụng để tạo ra kịch bản thứ hai; và như vậy Tổng cộng có 250 kịch bản được tạo

ra

 Một ngày 99% VaR tăng cường có thể được tính như là sự mất mát giữa

sự mất mát của kịch bản xấu thứ hai và sự mất mát của kịch bản xấu thứ

ba ES 99% trong một ngày có thể được tính như 0.4c1 + 0.4c2 + 0.2c3 trong đó c1, c2 và c3 là ba tổn thất tồi tệ nhất với c1> c2> c3

2 Độ chính xác của VaR

 Cách tiếp cận mô phỏng lịch sử ước tính sự phân bố của

danh mục đầu tư thay đổi từ một số lượng giới hạn các quan sát Kết quả là, các ước lượng phân vị của phân phối có thể bị sai số

 Kendall và Stuart (1972) mô tả cách tính khoảng tin cậy

cho phân vị của một phân bố xác suất khi chúng được ước tính từ dữ liệu mẫu

 Giả sử phân vị q của phân phối được ước tính là x Sai

số chuẩn của ước tính là:

Trong đó: n là số quan sát và f(x) là

ước tính hàm mật độ xác suất của

tổn thất được đánh giá ở x

Độ chính xác của VaR

Sử dụng Excel, phân vị thứ 99 là NORMINV (0.99,0,10) hoặc 23,26 Giá trị của f (x) là NORMDIST (23.26,0,10, FALSE) hoặc 0,0027

VÍ DỤ 13.1

Sai số chuẩn của ước lượng được thực hiện là

Nếu ước lượng phân vị thứ 99 bằng cách sử dụng mô phỏng lịch sử là 25 triệu đô la, khoảng tin cậy 95% là từ [25 - 1,96 x 1,67] tới [25 + 1,96 x 1,67], tức là từ 21,7 triệu đô la đến 28,3 triệu đô la

VÍ DỤ 13.1

Sai số chuẩn của VaR ước tính bằng cách sử dụng mô phỏng lịch sử có xu hướng khá cao Chỉ giảm xuống khi mức độ tin cậy của VaR giảm xuống Ví dụ, nếu trong ví dụ 13.1, mức độ tin cậy của VaR là 95% thay

vì 99%, sai số chuẩn sẽ là 0,95 triệu $ thay vì 1,67 triệu $

Sai số chuẩn giảm xuống khi kích thước mẫu tăng lên

- nhưng chỉ như là căn bậc hai của kích thước mẫu Nếu chúng ta tăng gấp bốn lần cỡ mẫu trong ví dụ 13.1 từ 500 lên 2.000 quan sát, sai số chuẩn đã giảm một nửa từ 1,67 triệu USD xuống còn khoảng 0,83 triệu USD

 Ngoài ra, mô phỏng lịch sử giả định rằng sự phân bố

chung của biến thị trường hàng ngày là ổn định qua thời gian

 Phân phối chuẩn không phải là một giả thuyết đặc biệt

tốt cho sự phân phối tổn thất, bởi vì tổn thất có đuôi lớn hơn phân phối bình thường (Độ dày của đuôi là 4,2 cho dữ liệu trong các bảng 13.1 đến 13.4)

 Ước tính sai số chuẩn tốt hơn có thể đạt được bằng

cách giả sử phân phối Pareto cho f(x)

3 Mở rộng của cách tiếp cận mô phỏng lịch sử

13.3 Mở rộng

 Sự phân bố xác suất thực nghiệm ước

tính cho các biến số thị trường trong quá khứ là một hướng dẫn tốt cho hành vi của các biến thị trường trong tương lai

 Sự biến động của một biến thị trường có

thể là cao hoặc thấp Trong phần này, đề cập đến các mở rộng của cách tiếp cận

mô phỏng lịch sử cơ bản trong Phần 13.1

để điều chỉnh cho sự không ổn định này

* Trọng số các quan sát

 Cách tiếp cận mô phỏng lịch sử cơ bản

giả định rằng mỗi ngày trong quá khứ được cho trọng số như nhau

 Nếu quan sát thấy những thay đổi hằng

ngày, mỗi một trong số chúng được cho một trọng số là 1/n

 Phương pháp trọng số tự nhiên là một

trong những phương pháp trọng số giảm theo cấp số nhân

* Trọng số các quan sát

 Trọng số được gán cho Kịch bản 1 (được tính

từ dữ liệu xa nhất) là λ lần được gán cho kịch bản 2 Điều này lần lượt là λ lần cho kịch bản 3, v.v Vì vậy mà các trọng số thêm lên đến 1, trọng số cho kịch bản i là:

 Trong đó n là số kịch bản Khi λ số lần tiếp cận

1, phương pháp tiếp cận phương pháp mô phỏng lịch sử cơ bản, trong đó tất cả các quan sát được cho một trọng số 1/n

 VaR được tính bằng cách xếp hạng các quan sát từ kết

quả xấu nhất Trọng số được tổng hợp cho đến khi đạt đến phần trăm bắt buộc của phân phối

 Ví dụ, nếu chúng ta tính VaR với mức độ tin cậy 99%,

chúng ta tiếp tục đếm trọng số cho đến khi tổng kết vượt quá 0,01 => đạt đến mức VaR 99%

 Một bất lợi của phương pháp trọng số mũ so với cách

tiếp cận mô phỏng lịch sử cơ bản là kích thước mẫu hiệu quả sẽ giảm Tuy nhiên, có thể bù đắp cho điều này bằng cách sử dụng một giá trị lớn hơn của n

* Trọng số các quan sát

 Bảng 13.5 cho thấy kết quả của việc sử dụng phương pháp này cho danh mục đầu tư xem xét trong Phần 13.1 với λ = 0,995

* Trọng số các quan sát

* Biến động của các biến thị trường

 Hull và White (1998) đề xuất một cách kết hợp các ước

tính về sự biến động vào cách tiếp cận mô phỏng lịch sử

 Xác định biến động hàng ngày của một biến thị trường

cụ thể ước tính vào cuối ngày i-1 là σi Giả sử rằng bây giờ là ngày n, ước tính hiện tại về sự biến động của biến thị trường là σn+1

 Giả sử rằng σn+1 là hai lần σi đối với một biến thị

trường cụ thể Khi thực hiện mô phỏng lịch sử và tạo ra một mẫu những gì có thể xảy ra giữa ngày hôm nay và ngày mai dựa trên những gì đã xảy ra giữa i-1 và i, do đó

nó có ý nghĩa để nhân sau này bằng 2

 Cách tiếp cận này có tính đến sự thay đổi biến

động một cách tự nhiên, trực quan và đưa ra các ước tính của VaR kết hợp nhiều thông tin hiện tại hơn Các ước tính VaR có thể lớn hơn bất kỳ tổn thất lịch sử nào có thể xảy ra cho danh mục đầu tư hiện tại trong giai đoạn lịch

sử xem xét

 Ước tính VaR và ES sử dụng cách tiếp cận

điều chỉnh tính biến động sẽ có hiệu quả hơn

so với cách tiếp cận chuẩn

* Biến động của các biến thị trường

 Bảng 13.6 cho thấy các ước tính biến động hàng ngày

được tính bằng phương pháp EWMA với thông số λ bằng 0.94 (Đối với dữ liệu trong Bảng 13.2 ):

* Biến động của các biến thị trường

 Bảng 13.7 trích từ một bảng xếp hạng những thiệt hại

từ cao nhất đến thấp nhất So sánh với bảng 13.4 , chúng

ta thấy rằng tổn thất lớn hơn nhiều VaR 99% trong một ngày là 602,968 USD ES một ngày là 750,078 USD Gấp đôi so với các ước tính được đưa ra bởi tính toán tiêu chuẩn

* Biến động của các biến thị trường

* Một cách tiếp cận đơn giản để điều chỉnh cho sự thay đổi biến động

 Một biến thể của cách tiếp cận mà chúng ta vừa mô tả

là sử dụng EWMA để theo dõi mức độ sai lệch chuẩn của tổn thất mô phỏng được đưa ra bởi các kịch bản liên tiếp trong cách tiếp cận chuẩn

 Điều chỉnh cho kịch bản lần thứ i bằng cách nhân sự

thiệt hại được đưa ra bởi cách tiếp cận chuẩn theo tỷ

lệ độ lệch chuẩn ước tính cho kịch bản cuối cùng (500) độ lệch chuẩn ước tính cho kịch bản lần thứ i

 Bảng 13.8 cho thấy việc tính sai lệch tiêu

chuẩn danh mục đầu tư và những tổn thất được điều chỉnh

* Một cách tiếp cận đơn giản để điều chỉnh cho sự thay đổi biến động

 Bảng 13.9 cho thấy các khoản lỗ được

điều chỉnh theo xếp hạng

* Một cách tiếp cận đơn giản để điều chỉnh cho sự thay đổi biến động

* Phương pháp bootstrap

 Phương pháp bootstrap là một biến thể của

cách tiếp cận mô phỏng lịch sử cơ bản, nhằm tính toán một khoảng tin cậy cho VaR

 Nó liên quan đến việc tạo ra một thay đổi

trong giá trị danh mục đầu tư dựa trên sự biến động lịch sử trong các biến thị trường theo cách thông thường Sau đó lấy mẫu thay thế từ những thay đổi này để tạo nhiều

bộ dữ liệu tương tự mới

4 Các vấn đề về tính toán

4 Các vấn đề về tính toán

 Mô phỏng lịch sử liên quan đến việc định giá

toàn bộ danh mục đầu tư của một tổ chức tài chính nhiều lần => Tính toán tốn thời gian

 Để giảm thời gian tính toán, các tổ chức tài

chính đôi khi sử dụng một phép tính xấp xỉ delta-gamma Xem xét một công cụ có giá P, phụ thuộc vào một biến thị trường duy nhất S Ước tính gần đúng của sự thay đổi ΔP trong P

do thay đổi ΔS trong S là:

 ΔP = δΔS + 1

2γ(ΔS)2 (13.3)

 Khi một công cụ phụ thuộc vào một số biến

5 Học thuyết giá trị cực trị

5 Học thuyết giá trị cực trị

Lý thuyết giá trị cực trị (EVT-EXTREME VALUE THEORY) là thuật ngữ được sử dụng để mô tả khoa học về ước tính đuôi của một phân bố

EVT có thể được sử dụng để cải thiện ước tính VaR và trong các tình huống mà các nhà phân tích ước tính VaR với mức độ tự tin rất cao

Giả sử rằng F(v) là hàm phân bố tích luỹ cho biến v (như vậy

như sự thua lỗ của một danh mục đầu tư trong một thời gian

nhất định) và u là một giá trị của v ở vế bên tay phải của

 𝑭𝒖 𝒚 = 𝑭 𝒖+𝒚𝟏−𝑭−𝑭(𝒖)

(𝒖)

 Biến 𝑭𝒖 𝒚 xác định đuôi bên phải của phân bố xác suất

Đây là sự phân bố xác suất tích lũy cho số tiền mà v vượt quá u cho rằng nó không vượt quá u

 Đối với một lớp phân phối rộng rãi F(v), sự phân bố của

𝑭𝒖 𝒚 hội tụ đến sự phân bố Pareto tổng quát khi ngưỡng u tăng lên Sự phân bố Pareto tổng quát (tích luỹ) là

 𝑮𝝃,𝜷(𝒚) = 1- 𝟏 + 𝝃 𝒚

𝜷

−𝟏/𝝃

(13.5)

 𝑮𝝃,𝜷(𝒚) = 1- 𝟏 + 𝝃 𝜷𝒚 −𝟏/𝝃

 Phân phối có hai tham số cần được ước tính từ dữ liệu

Đây là ξ và β Tham số ξ là tham số hình dạng và xác định độ nặng của phần đuôi Tham số β là một tham số quy mô

 Khi biến v có phân phối chuẩn, ξ = 0. Khi đuôi phân bố trở nên nặng hơn, giá trị của ξ tăng lên Đối với hầu hết các dữ liệu tài chính, ξ là dương và trong khoảng từ 0,1 đến 0,4

Hàm mật độ xác suất, 𝑔𝜉,𝛽(𝑦), của phép phân phối tích lũy trong phương trình (13.5) được tính bằng cách phân biệt 𝐺𝜉,𝛽(𝑦) với

trọng tâm y 𝒈𝝃,𝜷 𝒚 = 𝟏

𝜷 (𝟏 + 𝝃𝒚

Đầu tiên chọn một giá trị cho u (Một giá trị gần điểm phân vị

thứ 95 của phân phối thực nghiệm)

Sau đó, xếp hạng các quan sát v từ cao nhất tới thấp nhất và tập trung vào những quan sát mà v> u Giả sử có những 𝑛𝑢 quan sát như vậy và 𝑣𝑖 (1≤ i ≤ 𝑛𝑢) Chức năng xác suất (giả định ξ ≠ 0) là

- Xác suất v>u + y với điều kiện v > u là 1-𝐺𝜉,𝛽(𝑦)

- Xác suất v> u là 1-𝐹(𝑢)

- Xác suất không điều kiện v > x (khi x> u)

𝟏 − 𝑭(𝒖) 𝟏 − 𝑮𝝃,𝜷(𝒙 − 𝒖) Nếu n là tổng số các quan sát, ước tính 1-𝐹(𝑢), được tính từ dữ

Tính tương đương của Phân phối quy tắc lũy thừa

Nếu chúng ta đặt u = β /ξ, phương trình (13.8):

Prob (v > x) = 𝒏𝒖

𝒏

𝝃𝒙 𝜷

=> Điều này cho thấy phương trình (13.8) phù hợp với

phân phối quy tắc lũy thừa

Vế bên trái phương trình

Nếu chúng ta quan tâm đến vế trái của sự phân bố xác

suất, chúng ta có thể xem xét với -v thay vì v

Ví dụ, một công ty dầu mỏ đã thu thập dữ liệu về tỷ lệ phần trăm tăng hàng ngày trong giá dầu và muốn ước tính một VaR đó là sự suy giảm tỷ lệ phần trăm trong một ngày giá dầu có xác suất không vượt quá 99,9% Đây là một số liệu thống kê tính từ vế trái của sự phân bố xác suất của việc tăng giá dầu Công ty dầu lửa sẽ thay đổi dấu hiệu của mỗi mục dữ liệu (dữ liệu đo lường sự giảm giá dầu chứ không phải tăng)