SKKN Một số phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng trong hình học THCS

SKKN Một số phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng trong hình học THCSSKKN Một số phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng trong hình học THCSSKKN Một số phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng trong hình học THCSSKKN Một số phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng trong hình học THCSSKKN Một số phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng trong hình học THCSSKKN Một số phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng trong hình học THCSSKKN Một số phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng trong hình học THCSSKKN Một số phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng trong hình học THCSSKKN Một số phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng trong hình học THCSSKKN Một số phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng trong hình học THCSSKKN Một số phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng trong hình học THCSSKKN Một số phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng trong hình học THCS

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI

TRƯỜNG PT DÂN TỘC NỘI TRÚ LIÊN HUYỆN TÂN PHÚ-ĐỊNH QUÁN



Mã số: ………

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

“MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BA ĐIỂM

SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC

I THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN

1 Họ và tên: Nguyễn Thị Hòa

2 Ngày tháng năm sinh: 12/08/1988

3 Nam, nữ: Nữ

4 Địa chỉ: Tổ 5- Ấp 7 – xã Nam Cát Tiên - Tân Phú - Đồng Nai

5 Điện thoại: 0613856483 (cơ quan), ĐTDĐ : 0949889637

6 Fax: ………… E-mail: Hoadtnt88@gmail.com

II TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO

- Học vị (hoặc trình độ chuyên môn nghiệp vụ) cao nhất: Cử nhân đạihọc sư phạm

- Năm nhận bằng: 2014

- Chuyên ngành đào tạo: Toán

III KINH NGHIỆM KHOA HỌC

- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Giảng dạy môn Toán THCS

- Số năm có kinh nghiệm: 5 năm

- Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây:

+ SKKN: “Một vài ứng dụng của phương pháp tam giác đồng dạng trong hình học 8”

+ SKKN: “Phương pháp chứng minh bất đẳng thức”

+ SKKN: “Một số phương pháp so sánh hai phân số”

2

Tên SKKN: “MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG

HÀNG TRONG HÌNH HỌC THCS”

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Là giáo viên của trường PT Dân tộc nội trú, nhận thấy trình độ của học sinh thường không đồng đều ở các bộ môn, học sinh thường yếu về các môn tự nhiên, năng lực tư duy cũng như khả năng lập luận của học sinh còn rất nhiều hạn chế, do vậy làm thế nào để học sinh có hứng thú học tập bộ môn và có khả năng giải quyết tốt một số bài tập là một câu hỏi đặt ra cho tất cả giáo viên toán có tâm huyết với nghề nghiệp

Như chúng ta đã biết, ở lứa tuổi học sinh THCS phần lớn các em còn ham chơi,chứa chú trọng đến việc học tập, định hướng về mục đích học tập cũng chưa thật rõràng Môn toán là bộ môn có thể nói là rất khó đối với học sinh, đặc biệt là phầnhình học vì vậy nếu chúng ta không có giải pháp hữu hiệu sẽ dẫn đến tình trạnghọc sinh chán học bộ môn hình thành thói quen xấu là trông chờ, ỷ lại ở chính bảnthân người học

Dạng toán chứng minh 3 điểm thẳng hàng ở phân môn hình học được coi nhưmột dạng toán chứng minh rắc rối và khó tìm hướng giải nhất đối với học sinh.Nhưng lại là dạng toán tổng hợp bởi nó vận dụng đến nhiều kiến thức liên quantrong bộ môn hình học bậc THCS Giúp học sinh có hướng giải quyết dạng toánnày chúng ta đã giúp học sinh nắm chắc được kiến thức của hầu như cả bậc họcTHCS

Chính vì vậy mà tôi chọn đề tài “Một số phương pháp chứng minh ba điểm

thẳng hàng trong hình học THCS” Trong sáng kiến này, tôi xin đưa ra một số

phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng thường gặp trong chương trình hìnhhọc THCS; Mỗi phương pháp đưa ra ví dụ minh họa có phân tích định hướng giải

và một số bài tập vận dụng, nhằm giúp học sinh có định hướng được phương phápchứng minh ba điểm thẳng hàng; hứng thú hơn khi học về hình học nói riêng và bộmôn Toán nói chung

Hy vọng với phần tài liệu này, có thể giúp các em vận dụng linh hoạt kiến thứcvào bài toán chứng minh ba điểm thẳng cũng như các bài tập khác liên quan Qua

đó học sinh lĩnh hội được kiến thức một cách chủ động, sáng tạo và hình thành thóiquen vận dụng kiến thức vào các môn học, vào thực tiễn

II CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1 Cơ sở lý luận

Toán học là một môn khoa học tự nhiên có một vai trò rất quan trọng trong cáclĩnh vực khoa học, toán học nghiên cứu rất nhiều, rất đa dạng và phong phú Toánhọc có vai trò quan trọng trong đời sống, trong khoa học và trong công nghệ hiệnđại, việc nắm vững các kiến thức toán học giúp cho học sinh có cơ sở nghiên cứucác bộ môn khoa học khác, đồng thời có thể hoạt động có hiệu quả trong mọi lĩnhvực Trong đó, dạng toán chứng minh ba điểm thẳng hàng là một dạng toán vậndụng đến nhiều kiến thức liên quan trong bộ môn hình học bậc THCS và có rấtnhiều ứng dụng trong giải toán hình học; để giải các bài toán hình học, bên cạnh

việc nắm vững khái niệm và các tính chất, định lí thì mỗi học sinh phải có sự đam

mê, tìm tòi, chủ động lĩnh hội các kiến thức

2 Cơ sở thực tiễn

Đa số học sinh thường ngại khi học hình học, các em chưa định hướng đượccách giải các bài toán một cách rõ ràng, không biết dùng kiến thức nào vào giải cácbài toán Một số học sinh ý thức tự học chưa cao, không tích cực và chủ động lĩnhhội kiến thức

Ngoài ra, trong các bài kiểm tra, thi thì số điểm của hình học thường chiếm tỉ lệ

ít hơn nên một số học sinh không chú trọng đến bài toán hình Do đó học sinhkhông có hứng thú khi học hình học

Tâm lý các em ngại học hình Đối tượng giảng dạy là những học sinh ngườidân tộc thiểu số vùng sâu, vùng xa đến từ hai huyện Tân Phú - Định Quán, hoàncảnh kinh tế gia đình khó khăn; sự quan tâm của gia đình đến việc học của các emcũng chưa thật sâu sắc Mặt khác, đa số các em chỉ thích học các môn vận động,năng khiếu, khả năng tư duy các môn tự nhiên chậm, đặc biệt với những bài toánchứng minh hình học Từ những giải pháp đã có trong sách vở, trong SKKN này,tôi xin nêu ra và hệ thống một số phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàngthường gặp trong hình học THCS, các ví dụ minh họa và các bài tập vận dụng Cácgiải pháp trong đề tài là giải pháp thay thế một phần giải pháp đã có và chưa từng

áp dụng tại đơn vị trường PT DTNT

Giải pháp: “Một số phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng trong hình học THCS”

1 Sử dụng khái niệm hai góc kề bù có ba điểm nằm trên hai cạnh là hai tia đối nhau

Ta có: KD là đường trung trực của AC

 DA = DC  ADC cân tại D  Dˆ 1 Dˆ2 (1)

Lại có: DI là đường trung trực của AB  DA = DB

 ABD cân tại D  Dˆ 3 Dˆ4 (2)

Từ (1) và (2) suy ra  Dˆ 1 Dˆ4=Dˆ 2 Dˆ3

Ta có: DK // AI (cùng vuông góc với AC)

Mà I  90 0 suy ra 0

90 K D

1 2 3

4

B D

A

I

C K

Vậy ba điểm B, D, C thẳng hàng.

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông ở A, M là trung điểm AC Kẻ tia Cx vuông góc

CA (tia Cx và điểm B ở hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ AC) Trên tia Cx lấy điểm

D sao cho CD = AB Chứng minh ba điểm B, M, D thẳng hàng

Gợi ý: Muốn B, M, D thẳng hàng cần chứng minh B MˆC  C Mˆ D  180 0

Bài 1: Cho tam giác ABC Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AC,

trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE = AB Gọi M, N lần lượt là trungđiểm của BE và CD Chứng minh ba điểm M, A, N thẳng hàng

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông ở A có A BˆC  60 0 Vẽ tia CxBC (tia Cx vàđiểm A ở phía ở cùng phía bờ BC), trên tia Cx lấy điểm E sao cho CE = CA Trêntia đối của tia BC lấy điểm F sao cho BF = BA Chứng minh ba điểm E, A, F thẳnghàng

2 Sử dụng tiên đề về đường thẳng song song

Tiên đề Ơclít: Qua một điểm ở ngoài một đường thẳng chỉ kẻ được duy nhất

một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho.

Do đó, nếu qua điểm A ta kẻ được AB và AC cùng song song với một đường thẳng d nào đó thì A, B, C thẳng hàng.

CB // d

CA // d

2.1 Ví dụ

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC cân tại A Trên cạnh AB lấy điểm D Kẻ DF song

song BC (FAC) Trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho CE = BD Gọi I làtrung điểm của DE Chứng minh ba điểm B, I, C thẳng hàng

GIẢI

Ta có A DˆF  Bˆ (cặp góc đồng vị)

B C A D

F

Aˆ  ˆ (cặp góc đồng vị)

Mà Bˆ A CˆB (tam giác ABC cân tại A)

Suy ra A DˆF  A FˆD  ADF cân tại A

Mặt khác

CF BD AF

AC CF

AD AB BD

 A, B, C thẳng hàng

=

N C

M

x

O

D B

A

 IC là đường trung bình của DEF CI // DF (tính chất đường trung bình)

Mà BC // DF suy ra B, I, C thẳng hàng

Ví dụ 2: Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tai trung điểm O của mỗi

đoạn Trên tia AB lấy lấy điểm M sao cho B là trung điểm AM, trên tia AD lấy điểm N sao cho D là trung điểm AN Chúng minh ba điểm M, C, N thẳng hàng

Hướng dẫn: Chứng minh: CM // BD và CN // BD từ đó suy ra M, C, N thẳng hàng.

Dˆ  ˆ (cmt)

AB = BM ( B là trung điểm AM)Vậy DAB = CBM (c.g.c)  A BˆD  B Mˆ C

Do đó BD // CM (1)

Lập luận tương tự ta được BD // CN (2)

Từ (1) và (2) , theo tiên đề Ơ-Clit suy ra ba điểm M, C, N thẳng hàng

2.2 Bài tập vận dụng

Bài 1 Cho tam giác ABC Vẽ cung tròn tâm C bán kính AB và cung tròn tâm B

bán kính AC Đường tròn tâm A bán kính BC cắt các cung tròn tâm C và tâm B lần lượt tại E và F ( E và F nằm trên cùng nửa mặt phẳng bờ BC chứa A) Chứng minh ba điểm F, A, E thẳng hàng

Bài 2: Cho tam giác ABC Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC,

AB Trên các đường thẳng BM và CN lần lượt lấy các điểm D và E sao cho M là trung điểm BD và N là trung điểm EC Chứng minh ba điểm E, A, D thẳng hàng

3 Chứng minh hai đường thẳng cùng đi qua một điểm và cùng vuông góc với một đường thẳng cho trước:

thẳng hàng

C H

B A

D

B C

Gợi ý: - Chứng minh AM, PM, QM cùng vuông góc BC

- Hoặc AP, AQ là tia phân giác của góc BAC

Vậy ΔABM và ΔACM có: ABM = ΔABM và ΔACM có: ACM (c.c.c)

Suy ra: A Mˆ B  A Mˆ C (hai góc tương ứng)

Mà A MˆB  A MˆC  180 0 (hai góc kề bù) nên

0

90 C

Chứng minh tương tự ta được: ΔABM và ΔACM có: BPM = ΔABM và ΔACM có: CPM (c.c.c)

Suy ra: P Mˆ B  P Mˆ C (hai góc tương ứng)

d) Chứng minh ΔABM và ΔACM có: BAC = ΔABM và ΔACM có: BDF và D, E, F thẳng hàng

4 Chứng minh ba điểm cùng thuộc tia phân giác của một góc:

hàng thang C

B A y

A x giác phân tia

là

CA

y A x giác phân tia

là

BA

, , ˆ

í d ụ 1 : Cho tam giác ABC có AB = AC Gọi M là một điểm nằm trong tam

giác sao cho MB = MC Gọi N là trung điểm của BC Chứng minh ba điểm A, M,

Hình 10

=

= / /

M

A

Bˆ  ˆ

  AM là tia phân giác B ˆAC (1)

Tương tự ABN=ACN (c.c.c)

N A

Ví dụ 2: Cho góc xOy Trên hai cạnh Ox và Oy lấy lần lượt hai điểm B và C sao

cho OB = OC Vẽ đường tròn tâm B và tâm C có cùng bán kính sao cho chúng cắt nhau tại hai điểm A và D nằm trong góc xOy Chứng minh ba điểm O, A, D thẳnghàng

Hướng dẫn: Chứng minh OD và OA là tia phân giác của góc xOy

GIẢI:

Xét ΔABM và ΔACM có: BOD và ΔABM và ΔACM có: COD có:

OB = OC (gt)

OD chung

BD = CD (D là giao điểm của hai

đường tròn tâm B và tâm C cùng bán kính)

Vậy ΔABM và ΔACM có: BOD =ΔABM và ΔACM có: COD (c.c.c)

Suy ra B OˆD  C OˆD

Điểm D nằm trong góc xOy nên tia OD nằm giữa hai tia Ox và Oy

Do đó OD là tia phân giác của x ˆO y

Chứng minh tương tự ta được OA là tia phân giác của x ˆO y

Góc xOy chỉ có một tia phân giác nên hai tia OD và OA trùng nhau

b) Gọi K là trung điểm BC Chứng minh ba điểm A, H, K thẳng hàng

Bài 2 Cho tam giác ABC có AB = AC Gọi H là trung điểm BC Trên nửa mặt

phẳng bờ AB chứa C kẻ tia Bx vuông góc AB, trên nửa mặt phẳng bờ AC chứa B

kẻ tia Cy vuông AC Bx và Cy cắt nhau tại E Chứng minh ba điểm A, H, E thẳng hàng

5 Sử dụng tính chất đường phân giác của một góc, tính chất đường trung

trực của đoạn thẳng, tính chất ba đường trung trực, ba đường phân giác, ba đường cao trong tam giác

5.1 Chứng minh ba điểm cùng thuộc đường trung trực của một đoạn thẳng

A thuộc đường trung trực của MN

B thuộc đường trung trực của MN

C thuộc đường trung trực của MN

Ví dụ: Cho ba tam giác cân ABC, DBC và EBC có chung đáy BC Chứng minh

rằng ba điểm A, D, E thẳng hàng

8

=> A, B, C thẳng hàng

A B C

C G

A

D

C E

B

A

C

E P Q

B

A

C A

D B

I

A

K x

M

GIẢI

Ta có: ABC cân tại A suy ra AB = AC

 AA thuộc đường trung trực của BC (1)

Lại có DBC cân tại D suy ra DB = DC

 D

A thuộc đường trung trực của BC (2)

Có EBC cân tại E suy ra EB = EC

 E thuộc đường trung trực của BC (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra ba điểm A, D, E thẳng hàng

5.2 Áp dụng đường trung tuyến của một tam giác thì phải đi qua trọng tâm.

G là trọng tâm tam giác ABC

AM là trung tuyến tam giác ABC

V

í d ụ : Cho tam giác ABC, kẻ trung tuyến AM Trên AM lấy hai điểm P, Q sao

cho AQ = PQ = PM Gọi E là trung điểm của AC Chứng minh ba điểm B, P, Ethẳng hàng

GIẢI

Trong  ABC có AM là trung tuyến

mà AQ = QP = PM (gt)

 AAP = 23AM

 PA là trọng tâm ABC

Vì E là trung điểm của AC nên BE là trung tuyến của ABC

 ABE đi qua trọng tâm P hay ba điểm B, P, E thẳng hàng

5.3 Chứng minh đường phân giác của tam giác thì đi qua giao điểm chung của chúng:

I là giao điểm 2 đường phân giác B ˆ ˆ, C

AD là phân giác của Aˆ

 Ba điểm A, I, D thẳng hàng.

V í d ụ: Cho tam giác ABC, các tia phân giác các góc A và C cắt nhau tại I Các

đường phân giác các góc ngoài tại đỉnh A và C cắt nhau ở K Chứng minh ba điểm

A E

B

F O

A

C M

D B

H D A

hình 11

K' K E

F

N

M

C B

A

=

=

 KB là tia phân giác Bˆ

Vì I là giao điểm của hai tia phân giác A ˆ ˆ, C nên:

BI là tia phân giác Bˆ (gt)  Ba điểm B, I, K thẳng hàng

5.4 Chứng minh đường cao của tam giác thì đi qua trực tâm của tam giác đó:

H là trực tâm  ABC

AD là đường cao ABC

 A, H, D ba điểm thẳng hàng

V

í d ụ : Cho tam giác ABC cân tại A, vẽ đường cao BH và CK cắt nhau tại I.

Gọi M là trung điểm của BC Chứng minh A, I, M thẳng hàng

GIẢI

Vì I là giao điểm hai đường cao BH và CK nên I là trực tâm ABC

ABC cân tại A có AM là đường trung tuyến nên cũng là đường cao

 Đường cao AM đi qua trực tâm I

 Ba điểm A, I, M thẳng hàng

5.5 Chứng minh đường trung trực của một cạnh thì đi qua giao điểm hai đường trung trực của hai cạnh còn lại:

O là giao điểm 2 đường trung trực của 2 cạnh AC và BC

EF là đường trung trực của cạnh AB

=> E, F,O thẳng hàng

V

í d ụ : Cho tam giác ABC cân tại A, M là trung điểm của BC Đường trung

trực của AB, AC cắt nhau ở D Chứng minh A, D, M thẳng hàng

GIẢI

ABC cân tại A có MB = MC nên: AM là đường trung tuyến ABC

 AM cũng là đường trung trực của ABC

Mà D là giao điểm hai đường trung trực cạnh AB, AC

Nên AM đi qua D  Ba điểm A, D, M thẳng hàng

6 Mỗi đoạn thẳng chỉ có một trung điểm

Nếu K là trung điểm BD, K ’ là giao điểm của BD và AC Nếu K ’ Là trung điểm

BD thì K ’  K thì A, K, C thẳng hàng.

6.1 Ví dụ Cho tam giác ABC cân ở A Trên cạnh AB lấy điểm M, trên tia đối tia

CA lấy điểm N sao cho BM = CN Gọi K là trung điểm MN Chứng minh ba điểm

Gọi K’ là giao điểm của BC và MN

MEK’ và NFK’ vuông ở E và F có: ME = NF (cmt), E Mˆ K'  F NˆK'(so le trongcủa ME // FN)

I

C B

Bˆ  , Gọi O là mộtđiểm nằm trên tia phân giác của góc C sao cho C BˆO  12 0 Vẽ tam giác đều BOM(M và A cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ BO) Chứng minh ba điểm C, A, Mthẳng hàng

Hướng dẫn: Chứng minh O CˆA  O CˆM từ đó suy ra tia CA và tia CMtrùng nhau

B C A

C

B

Aˆ  ˆ    (tính chất của tam giác cân)

Mà CO là tia phân giác của A ˆC B, nên O CˆA  B CˆO  18 0

Do đó B OˆC  150 0

ΔABM và ΔACM có: BOM đều nên B OˆM  60 0

Vậy: M OˆC  360 0 - (150 0  60 0) 150 0

ΔABM và ΔACM có: BOC và ΔABM và ΔACM có: MOC có:

OB = OM ( vì ΔABM và ΔACM có: BOM đều)

B ˆO C=M OˆC  150 0

OC chung

Do đó : ΔABM và ΔACM có: BOC = ΔABM và ΔACM có: MOC (c.g.c)

Suy ra: O CˆB  O CˆM mà O CˆB  O CˆA (gt) nên O CˆA  O CˆM

Hai tia CA và CM cùng nằm trên nửa mặt phẳng bờ CO và O CˆA  O CˆMnên tia

7.1 Ví dụ : Cho ABC có trực tâm H nội tiếp (O) đường kính CM, gọi I là trung

điểm của AB Chứng minh rằng H, I, M thẳng hàng

A

 AB cắt MH tại trung điểm I của AB và MH (t/c hình bình hành)

 H, I, M thẳng hàng

7.2 Bài tập vận dụng

Cho ABC và điểm M bất kỳ trong tam giác Gọi A1, B1, C1 thứ tự là cácđiểm đối xứng của M qua các trung điểm của các cạnh BC, CA, AB Gọi O là giaođiểm của BB1 và CC1 Chứng minh các điểm A, O, A1 thẳng hàng

8 Sử dụng các tính chất của đường tròn.

Khi B là tâm của đường tròn đường kính AC, hoặc các đường tròn tâm A và đường tròn tâm C tiếp xúc nhau tại B thì 3 điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó.

8.1 Ví dụ

Ví dụ 1: Từ một điểm M trên đường tròn ngoại tiếp ABC hạ các đường thẳng

MD, ME, MF lần lượt vuông góc với BC, CA, và AB Chứng minh D, E, F thẳng hàng (Đường thẳng sim sơn)

Hướng dẫn:

Chứng minh các tứ giác BDMF, MECD, AMBC, MFEA nội tiếp

Sử dụng tính chất hai góc nội tiếp cùng chắn một cung So sánh các góc: AME, góc AFE, góc DMB, góc DFB, góc DME và BMA  so sánh góc AME và góc DMB

So sánh hai góc DFB và AFE  ba điểm D, F, E thẳng hàng

O D

E

F

M

C B

A

Từ (1), (2)  DFB AFEˆ  ˆ  Ba điểm E, F, D thẳng hàng

Ví dụ 2 Cho (O) đường kính AB Điểm M chuyển động trên (O), M≠A; M≠B.

Kẻ MH vuông góc với AB Vẽ đường tròn (O1) đường kính MH cắt đường thẳng

Aˆ  (góc nội tiếp chắn nửa (O))

B O

H A

1

Chứng minh:

Ta có: MCB MAFˆ  ˆ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung MB)

Từ 3 tứ giác nội tiếp AMFE , MDBF và MDCE ta có:

Bài 1: Cho đường tròn (O) và dây cung AB Lấy I thuộc đoạn AB sao cho IA >

IB Gọi D là điểm chính giữa cung nhỏ AB, DI cắt (O) tại điểm thứ hai C Tiếptuyến với (O) tại C cắt AB tại K Lấy điểm E sao cho 1 ,

2

KE KI  IE ECcắt (O) tại

F Chứng minh rằng D, O, F thẳng hàng

Bài 2: Cho  ABC (AC > AB) Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác tiếp xúc với

AB, BC ở D và E Gọi M, N là trung điểm của AC, BC Gọi K là giao điểm của

MN và AI Chứng minh rằng:

a Bốn điểm I, E, K, C cùng thuộc một đường tròn

b Ba điểm D, E, K thẳng hàng

Hướng dẫn: IE BC  góc IEC = ?  I, E, C thuộc đường tròn đường kính IC,

vậy ta phải chứng minh điểm K thuộc đường tròn đường kính IC tức là góc

IKC=900

9 Thêm điểm

Để chứng minh 3 điểm A, B, C thẳng hàng có thể xác định thêm điểm D khác A,

B, C sau đó chứng minh hai trong ba bộ 3 điểm A, B, D; A, C, D; B, C, D thẳng hàng.

9.1.Ví dụ: Cho hình chữ nhật ABCD có O là giao điểm 2 đường chéo Điểm M

trên đoạn OB, lấy E đối xứng với A qua M; H là hình chiếu của điểm E trên BC, vẽhình chữ nhật EHCF Chứng minh M, H, F thẳng hàng

F I H

M

B A

Mà O DˆC  O CˆD và I FˆC  I CˆF(vì OCD cân tại O, ICF cân tại I, t/c hình chữnhật)

 O ˆC D=IˆF C  IF//AC mà IM //AC (do IM là đường trung bình ACE)

 M, I, F thẳng hàng (tiên đề Ơclít)

Kết hợp với (*) ta có: M, H, F thẳng hàng

9.2 Bài tập vận dụng

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đương tròn (O) Gọi E là giao điểm của AB và

CD Gọi F là giao điểm của AC và BD Các tiếp tuyến với (O) tại B và C cắt nhautại M Chứng minh rằng E, M, F thẳng hàng

10 Sử dụng sự đồng qui của các đường thẳng

10.1 Ví dụ:

Ví dụ 1: Cho hình thang ABCD, đáy lớn là AB Đường thẳng kẻ từ C song song

với AD cắt đường chéo BD tại M, cắt AB ở F Đường thẳng kẻ từ D song song với

BC cắt đường chéo AC ở N, cắt AB ở E Các đường thẳng kẻ từ E và F lần lượt song song với BD và AC cắt AD và BC theo thứ tự tại P và Q Chứng minh 4 điểm

M, N, P, Q thẳng hàng

Định hướng: Áp dụng định lý Talét thuận đảo đối với các  ADB, ABC, ADC, …

 ta phải chứng minh MQ // CD, MP // AB, MN // AB  điều phải chứng minh.

Q P

Ví Dụ 2: Cho hai đường thẳng a và b song song Trên đường thẳng a lấy hai

điểm A và B, trên đường thẳng b lấy hai điểm C và D (A và C nằm cùng một nửamặt phẳng có bờ là BD) sao cho CD = 2AB Qua A kẻ đường thẳng c song songvới BD và cắt b tại M, cắt BC tại I Qua I kẻ đường thẳng d song song với đườngthẳng a và cắt BD tại N BM cắt DI tại K Chứng minh rằng ba điểm C, K, N thẳnghàng

BC = DE  AN AP

NC PD, từ đó ta có PN//CD (1)

Định hướng: hãy dự đoán vị trí của điểm M trên

đoạn CD, vị trí điểm I trên đoạn BC, vị trí điểm N

Từ (1), (2), (3)  BM, DI, CN là ba đường trung tuyến của BCD

Mà BM x DI tại K  theo định lý ba đường trung tuyến đồng qui ta có CN cũng qua điểm K  C, N, K thẳng hàng

10.2 Bài tập vận dụng: Cho tam giác ABC nội tiếp trong một đường tròn tâm O.

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC, P là điểm chính giữa của cung AC,

I là giao của AN và CM, K là giao của OP và AC Chứng minh rằng ba điểm B, I,

K thẳng hàng

Định hướng: AN và CM là hai đường trung tuyến của  ABC, AN và CM cắt nhau

ở I, do vậy I chính là trọng tâm của ABC Nhờ tính chất đồng qui của ba đường trung tuyến ta có thể dự đoán BK là trung tuyến thứ 3 của ABC Vấn đề đặt ra là

ta phải chứng minh được K là trung điểm của AC.

IV HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN

Qua quá trình vận dụng đề tài vào trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấyhọc sinh đã có sự hứng thú hơn trong quá trình làm các bài tập và tiết học hình họchứng thú hơn Các em mạnh dạn làm các bài tập hơn và bước đầu đã có sự tiến bộtrong quá trình học tập và định hướng tốt trong chứng minh ba điểm thẳng hàng

Số HS dưới trung bình

Sau khi áp

dụng

chuyên đề

Kết quả trên cho thấy số học sinh đạt điểm trên trung bình, khá, giỏi tăng lên

rõ rệt; tuy nhiên một số học sinh còn ẩu trong trình bày bài giải, vẽ hình

Trên đây là một số phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng trong hìnhhọc THCS Trong mỗi phương pháp đều có những ví dụ điển hình và các bài tậptương tự Chứng minh ba điểm thẳng hàng là một dạng toán khó, tổng hợp nhiềukiến thức, rất đa dạng về phương pháp chứng minh, tuy nhiên với khả năng củamình, tôi chỉ nêu một vài phương pháp thường gặp trong chương trình hình họcTHCS Dẫu biết rằng, phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng đã được nhiềutác giả đề cập ở nhiều khía cạnh khác nhau Do đó không thể có sự sáng tạo hoàntoàn mà chỉ dừng lại ở mức độ nhất định

Tôi tin chắc rằng kinh nghiệm của tôi cũng chỉ là một trong những biện phápnhỏ bé trong vô vàn phương pháp được đúc kết trong sách vở cũng như các quýthầy cô giáo đi trước Vì vậy bản thân tôi rất mong được sự đóng góp chân thành

từ các thầy cô giáo và bạn bè đồng nghiệp để giúp tôi hoàn thiện phương pháp củamình để phục vụ cho sự nghiệp giáo dục nhiều hơn Tôi xin trân thành cảm ơn!

V ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG

Tùy từng đối tượng học sinh giáo viên đưa ra các yêu cầu, bài tập vừa sứcnhằm tạo niềm tin cho học sinh từ đó các em có hứng thú hơn khi học hình học.Giáo viên nên có một vài tiết ngoài giờ để hệ thống lại một số kiến thức và phươngpháp chứng minh để các em nắm vững kiến thức và linh hoạt vận dụng trong khilàm bài tập cũng như trong thực tế cuộc sống SKKN này áp dụng chủ yếu cho họcsinh THCS Sáng kiến này thay thế một phần giải pháp, đề xuất đã có

VI TÀI LIỆU THAM KHẢO

- Bộ Giáo dục và Đào tạo (2016) Sách giáo khoa Toán 7, 8, 9, tái bản lần thứ

mười một, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, Hà Nội

- Tôn Thân và cộng sự (2009) Các dạng toán và phương pháp giải toán 7, 9,

- Phạm Thu (2005), Tổng hợp kiến thức toán THCS, NXBĐHSP, TP HCM.

- Hữu Bình (2008), Nâng cao và phát triển toán 8, tái bản lần thứ tư, NXBGD, Hà

Nội

-chung-minh-3-diem-thang-hang/

https://sites.google.com/site/toanhoctoantap/kien-thuc-toan/14-phuong-phap-

-<http://hocdethi.blogspot.com/2014/05/chung-minh-3-iem-thang-hang-hinh-hoc.html>/

16

VII PHỤ LỤC

Trang

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI 01

II CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 01

1 Cơ sở lý luận 01

2 Cơ sở thực tiễn 02

III TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP 02

1 Sử dụng khái niệm hai góc kề bù có ba điểm nằm trên hai cạnh là hai tia đối nhau 02

2 Sử dụng tiên đề về đường thẳng song song 03

3 Chứng minh hai đường thẳng cùng đi qua một điểm và cùng vuông góc với một đường thẳng cho trước 04

4 Chứng minh ba điểm cùng thuộc tia phân giác của một góc 05

5 Sử dụng tính chất đường phân giác của một góc, tính chất đường trung trực của đoạn thẳng, tính chất ba đường trung trực, ba đường phân giác, ba đường cao trong tam giác 06

6 Mỗi đoạn thẳng chỉ có một trung điểm 08

7 Sử dụng tính chất hình bình hành 09

8 Sử dụng các tính chất của đường tròn 10

9 Thêm điểm 11

10 Sử dụng sự đồng qui của các đường thẳng 12

IV HIỆU QUẢ ĐỀ TÀI 13

V ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG 14

VI TÀI LIỆU THAM KHẢO 14

VII PHỤ LỤC 16

NGƯỜI THỰC HIỆN

Nguyễn Thị Hòa

ĐỀ KIỂM TRA KHẢO SÁT HỌC SINH

(Trước khi áp dụng đề tài)

Bài 1: Cho tam giác ABC vuông ở A, M là trung điểm AC Kẻ tia Cx vuông

góc CA (tia Cx và điểm B ở hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ AC) Trên tia Cx lấyđiểm D sao cho CD = AB Chứng minh ba điểm B, M, D thẳng hàng

Bài 2: Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tai trung điểm O của mỗi

đoạn Trên tia AB lấy lấy điểm M sao cho B là trung điểm AM, trên tia AD lấy điểm N sao cho D là trung điểm AN Chúng minh ba điểm M, C, N thẳng hàng

Bài 3 : Cho tam giác ABC có AB = AC Gọi M là một điểm nằm trong tam

giác sao cho MB = MC Gọi N là trung điểm của BC Chứng minh ba điểm A, M,

N thẳng hàng

Hết

18

ĐỀ KIỂM TRA KHẢO SÁT HỌC SINH

(Sau khi áp dụng đề tài)

Bài 1 : Cho ABC, trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB Trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE = AC Vẽ AH vuông góc BC (H

BC) Trên đoạn DE lấy điểm K sao cho BH = DK chứng minh ba điểm A, H, K thẳng hàng

Bài 2 Cho tam giác ABC có AB = AC Gọi H là trung điểm BC Trên nửa

mặt phẳng bờ AB chứa C kẻ tia Bx vuông góc AB, trên nửa mặt phẳng bờ AC chứa B kẻ tia Cy vuông AC Bx và Cy cắt nhau tại E Chứng minh ba điểm A, H,

E thẳng hàng

Bài 3 : Cho tam giác ABC, các tia phân giác các góc A và C cắt nhau tại I

Các đường phân giác các góc ngoài tại đỉnh A và C cắt nhau ở K Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng

Hết

SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI

Đơn vị

––––––––––– CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự do - Hạnh phúc –––––––––––––––––––––––– , ngày tháng năm PHIẾU ĐÁNH GIÁ, CHẤM ĐIỂM, XẾP LOẠI SÁNG KIẾN Năm học:

Phiếu đánh giá của giám khảo thứ nhất ––––––––––––––––– Tên sáng kiến:

Họ và tên tác giả: Chức vụ:

Đơn vị:

Họ và tên giám khảo 1: Chức vụ:

Đơn vị:

Số điện thoại của giám khảo:

* Nhận xét, đánh giá, cho điểm và xếp loại sáng kiến: 1 Tính mới

Điểm: …………./6,0. 2 Hiệu quả

Điểm: …………./8,0. 3 Khả năng áp dụng

Điểm: …………./6,0. Nhận xét khác (nếu có):

Tổng số điểm: /20 Xếp loại:

Phiếu này được giám khảo 1 của đơn vị đánh giá, chấm điểm, xếp loại theo quy định của Sở Giáo dục và Đào tạo; ghi đầy đủ, rõ ràng các thông tin, có ký tên xác nhận của giám khảo 1 và đóng kèm vào mỗi cuốn sáng kiến liền trước Phiếu đánh giá, chấm điểm, xếp loại sáng kiến của giám khảo 2.

GIÁM KHẢO 1

(Ký tên, ghi rõ họ và tên)

20 BM01b-CĐCN

SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI

Đơn vị

––––––––––– CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự do - Hạnh phúc –––––––––––––––––––––––– , ngày tháng năm PHIẾU ĐÁNH GIÁ, CHẤM ĐIỂM, XẾP LOẠI SÁNG KIẾN Năm học:

Phiếu đánh giá của giám khảo thứ hai ––––––––––––––––– Tên sáng kiến:

Họ và tên tác giả: Chức vụ:

Đơn vị:

Họ và tên giám khảo 2: Chức vụ:

Đơn vị:

Số điện thoại của giám khảo:

* Nhận xét, đánh giá, cho điểm và xếp loại sáng kiến: 1 Tính mới

Điểm: …………./6,0. 2 Hiệu quả

Điểm: …………./8,0. 3 Khả năng áp dụng

Điểm: …………./6,0. Nhận xét khác (nếu có):

Tổng số điểm: /20 Xếp loại:

Phiếu này được giám khảo 2 của đơn vị đánh giá, chấm điểm, xếp loại theo quy định của Sở Giáo dục và Đào tạo; ghi đầy đủ, rõ ràng các thông tin, có ký tên xác nhận của giám khảo 2 và đóng kèm vào mỗi cuốn sáng kiến liền trước Phiếu nhận xét, đánh giá sáng kiến của đơn vị.

GIÁM KHẢO 2

BM01b-CĐCN

Tân Phú., ngày tháng 05 năm 2017

PHIẾU NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN

Năm học: 2016 - 2017

–––––––––––––––––

Tên sáng kiến: “MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG TRONG

HÌNH HỌC THCS”

Họ và tên tác giả: Nguyễn Thị Hòa Chức vụ: Giáo viên

Đơn vị: Trường PTDTNT liên huyện Tân Phú – Định Quán

Lĩnh vực: (Đánh dấu X vào các ô tương ứng, ghi rõ tên bộ môn hoặc lĩnh vực khác)

- Quản lý giáo dục  - Phương pháp dạy học bộ môn: Toán 

- Phương pháp giáo dục  - Lĩnh vực khác: 

Sáng kiến đã được triển khai áp dụng: Tại đơn vị  Trong ngành 

1 Tính mới (Đánh dấu X vào 1 trong 4 ô dưới đây)

- Chỉ lập lại, sao chép từ các giải pháp, đề xuất đã có 

- Chỉ thay thế một phần giải pháp, đề xuất đã có với mức độ trung bình hoặc lần đầu áp dụng giải pháp ứng dụng tiến bộ kỹ thuật mới đã có tại đơn vị và đã khắc phục được hạn chế trong thực tế của đơn vị 

- Chỉ thay thế một phần giải pháp, đề xuất đã có với mức độ khá 

- Chỉ thay thế một phần giải pháp, đề xuất đã có với mức độ tốt hoặc giải pháp, đề xuất thay thế hoàn toàn mới so với giải pháp, đề xuất đã có 

2 Hiệu quả (Đánh dấu X vào 1 trong 5 ô dưới đây)

- Không có minh chứng thực tế hoặc minh chứng thực tế chưa đủ độ tin cậy, độ giá trị 

- Có minh chứng thực tế đủ độ tin cậy, độ giá trị để thấy sáng kiến có thay thế một phần giải pháp, đề xuất đã có hoặc lần đầu áp dụng giải pháp ứng dụng tiến bộ kỹ thuật mới tại đơn vị 

- Có minh chứng thực tế đủ độ tin cậy, độ giá trị để thấy được hiệu quả giải pháp, đề xuất của tác giả thay thế hoàn toàn mới giải pháp, đề xuất đã có được triển khai thực hiện tại đơn vị 

- Có minh chứng thực tế đủ độ tin cậy, độ giá trị để thấy được sáng kiến đã thay thế một phần giải pháp, đề xuất đã có trong toàn ngành; được Phòng GD&ĐT hoặc Sở GD&ĐT triển khai thực hiện



- Có minh chứng thực tế đủ độ tin cậy, độ giá trị để thấy được sáng kiến đã thay thế hoàn toàn mới giải pháp,

đề xuất đã có trong toàn ngành; được Phòng GD&ĐT hoặc Sở GD&ĐT triển khai thực hiện 

3 Khả năng áp dụng (Đánh dấu X vào 1 trong 4 ô mỗi dòng dưới đây)

- Sáng kiến không có khả năng áp dụng 

- Sáng kiến chỉ có khả năng áp dụng riêng cho Tổ/Khối/Phòng/Ban của đơn vị 

- Sáng kiến chỉ có khả năng áp dụng riêng cho đơn vị 

- Sáng kiến có khả năng áp dụng cho toàn ngành hoặc sáng kiến có khả năng áp dụng tốt cho cơ sở giáo dục chuyên biệt 

Xếp loại chung: Xuất sắc  Khá  Đạt  Không xếp loại 

Cá nhân viết sáng kiến cam kết và chịu trách nhiệm không sao chép tài liệu của người khác hoặc sao chép lại nội dung sáng kiến cũ của mình đã được đánh giá công nhận.

Lãnh đạo Tổ/Phòng/Ban và Thủ trưởng đơn vị xác nhận sáng kiến này đã được tác giả tổ chức thực hiện, được Hội đồng thẩm định sáng kiến hoặc Ban Tổ chức Hội thi giáo viên giỏi của đơn vị xem xét, đánh giá, cho điểm, xếp loại theo quy định.

Phiếu này được đánh dấu X đầy đủ các ô tương ứng, có ký tên xác nhận của tác giả và người có thẩm quyền, đóng dấu của đơn vị và đóng kèm vào cuối mỗi cuốn sáng kiến.

NGƯỜI THỰC HIỆN SÁNG KIẾN

(Ký tên và ghi rõ họ tên)

XÁC NHẬN CỦA TỔ/PHÒNG/BAN

(Ký tên và ghi rõ họ tên)

THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

(Ký tên, ghi rõ

họ tên và đóng dấu của đơn vị)

22BM04-NXĐGSK

Hết