SKKN Phương trình mặt phẳng và đường thẳng trong không gian

SKKN Phương trình mặt phẳng và đường thẳng trong không gianSKKN Phương trình mặt phẳng và đường thẳng trong không gianSKKN Phương trình mặt phẳng và đường thẳng trong không gianSKKN Phương trình mặt phẳng và đường thẳng trong không gianSKKN Phương trình mặt phẳng và đường thẳng trong không gianSKKN Phương trình mặt phẳng và đường thẳng trong không gianSKKN Phương trình mặt phẳng và đường thẳng trong không gianSKKN Phương trình mặt phẳng và đường thẳng trong không gianSKKN Phương trình mặt phẳng và đường thẳng trong không gianSKKN Phương trình mặt phẳng và đường thẳng trong không gianSKKN Phương trình mặt phẳng và đường thẳng trong không gianSKKN Phương trình mặt phẳng và đường thẳng trong không gian

Tên sáng kiến kinh nghiệm:

khó và nhầm lẫn trong quá trình giải toán

- Tuy là các em đã làm quen với đường thẳng trong chương trình ở bậc học THCS

và sau đó đến chương trình hình học 10 các em cũng đã được làm quen với cách viết phương trình đường thẳng trong hệ trục Oxy Nhưng khi các em học nội dung viết phương trình đường thẳng và phương trình mặt phẳng trong không gian thì các

em lúng túng và sai sót nhiều Lý do thường là các em không nắm lý thuyết, nhầm lẫn nội dụng này sang nội dung kia Các em chưa phân biệt được các dạng bài toán, những yếu tố cần để có thể làm được bài toán

- Để học sinh tự tin và hứng thú tiếp thu nội dung học này và cũng để chuẩn bị cho

kỳ thi tốt nghiệp THPTQG sắp tới.Tôi chọn đề tài “ Phương trình mặt phẳng và đường thẳng trong không gian”

II CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ CƠ SỞ THỰC TIỄN

- Ý thức học tập của nhiều học sinh còn chưa cao, và chưa có phương pháp học tập hiệu quả vẫn còn nhiều học sinh học thuộc lòng

- Học sinh trong một lớp đa số là không đồng đều về học lực

BM03-TMSKKN

b, Cơ sở lý luận

Toán học trong chương trình phổ thông là môn học có rất nhiều ứng dụng trong thực tế và cả các bộ môn khác Nhưng do học sinh học toán một cách rất máy móc chỉ biết học trên lý thuyết chứ ít khi đặt ra vấn đề: nội dung này học để làm gì, có

áp dụng vào thực tế không? Thông thường các em thường học với mục đích là hoàn thành nội dung thầy cô dạy trên lớp, kiểm tra và thi Chính vì vậy nên việc học của các em thường không tự giác dẫn đến các em không có hứng thú và đương

nhiên là luôn cảm thấy khó hiểu Nội dung “Phương trình mặt phẳng và đường thẳng trong không gian” trong chương trình hình học lớp 12 cũng gây rất nhiều

khó khăn cho các em Nguyên nhân chính là các em thường không tự tổng hợp được các nội dung kiến thức các bài gây nhẫm lẫn giữa nội dung bài học này với bài học kia Và thấy khó khăn khi áp dụng từ lý thuyết đi đến thực hành và làm các bài tập liên quan Đặc biệt là chuẩn bị đến các kỳ thi quan trong cùng với việc đổi mới trong kiểm tra và thi gây cho các em rất hoang mang Vì vậy giáo viên cần chỉ rõ, cụ thể và hướng dẫn cho học sinh biết tổng hợp lý thuyết và áp dụng chúng vào các dạng toán cụ thể

- Chính vì vậy tôi chọn đề tài “ Phương trình mặt phẳng và đường thẳng trong không gian” Nội dung đề tài gồm có tóm tắt lý thuyết và đưa ra các một số dạng

toán cơ bản liên quan đến phương trình đường thẳng và phương trình mặt phẳng trong không gian

III TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP

 Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC

2 2 2

R a   b c d

II Phương trình mặt phẳng

1 Vectơ pháp tuyến – Cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng

 Vectơ n0là VTPT của mặt phẳng ( ) nếu giá của n vuông góc với ( )

 Hai vectơ ,a b là một cặp VTCP của ( ) nếu giá của chúng song song hoặc nằm trên ( )

Chú ý :

+ Nếu n là một VTPT thì kn k( 0)cũng là VTPT của ( )

+ Nếu ,a b là một cặp VTCP của ( ) thì n[ , ]a b là một VTPT của ( )

2 Phương trình tổng quát của mặt phẳng

 Phương trình mặt phẳng đi qua M x y z và có một VTPT 0( ;0 0; )0 n( ; ; )A B C là

A x x B yy C z z 

 Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn đi qua A(a;0;0) , B( 0;b;0),

1 Phương trình tham số của đường thẳng

 Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua M x y z và có VTCP 0( ;0 0; )0

( ; ; )

u a b c

d:

0 0 0

2 Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng ; 'd d có phương trình tham số là

0 0 0:

Ví dụ 2:Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm M (1;2;2) Viết phương

trình mặt phẳng ( ) đi qua M sao cho khoảng cách từ O đến mặt phẳng ( ) là lớn nhất

Ví dụ 3: Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz Viết phương trình mặt phẳng

( ) đi qua M (3;2;1) và cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B,C sao cho M là trực tâm của tam giác ABC

* Vì ( ) đi qua A,B,C nên nhận n làm VTPT

* Viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua A và có VTPT n

Ví dụ 4: Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz ,viết phương trình mặt phẳng

Ví dụ 6 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M (2;-3;1) Gọi A, B,C

lần lượt là hình chiếu của điểm M lên các trục Ox,Oy, Oz Viết phương trình mặt phẳng ( ABC)

Giải:

* Hình chiếu của M lên trục Ox là điểm A (2;0;0)

* Hình chiếu của M lên trục Oy là B ( 0;-3;0)

* Hình chiếu của M lên trục Oz là C (0;0;1)

* Ta có phương trình (ABC) theo đoạn chắn là

*Vậy phương trình ( ) : 2x5y 3z 30 0

Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua M x y z và vuông góc với ( ;0 0; )0đường thẳng d:

0 0 0

Ví dụ 9: Trong không gian hệ trục Oxyz, cho ba điểm A (-1;0;2), B (-2;0;1),

C(-5;1;3) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng

*Mặt phẳng ( ) có VTPT n ( ; ; )A B C

*Tính n AB n,  

*Vì ( ) đi qua A,B và vuông góc với ( ) nên nhận n làm VTPT

* Viết phương trình mặt phẳng ( ) qua A và VTPT n

Ví dụ 10: Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng

( ) đi qua A (-1;2;2) ,B (0;1;1) và vuông góc với mp ( ) : 2x-y- 2z - 6=0

*Vì ( ) chứa d và ( ) vuông góc với ( ) nên nhận n làm VTPT

* Viết phương trình mặt phẳng ( ) qua M và VTPT n

Ví dụ 11: Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz ,viết phương trình mặt phẳng ( )chứa đường thẳng d:

1 23

*Vậy phương trình mp ( ) đi qua điểm M và có VTPT nlà x2y 2 0

Dạng 8: Viết phương trình mặt phẳng ( ) song song với mặt phẳng

Ví dụ 13 : Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng

( ) đi qua song song ( ) : 2x-y- 2z - 6=0 và cách ( ) một đoạn bằng 3

*Vậy phương trình ( ) : 2x y 2z 3 0     hay ( ) : 2x y 2z 15 0    

Dạng 9: Viết phương trình mặt phẳng ( ) tiếp xúc với

(x a )  (y b)  (z c) R tại điểm M x y z ( ;0 0; )0

Cách làm:

*Mặt cầu (S) có tâm I (a;b;c) và bán kính R

*Vì ( ) tiếp xúc với (S) tại M nên VTPT của ( ) là IM

* Viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua M và có VTPT IM

Ví dụ 14: Viết phương trình mặt phẳng ( ) tiếp xúc với

(x1)  (y 2)  (z 3) 9 tại điểm M(3;0;4)

Giải:

*Mặt cầu (S) có tâm I (1;2;3) và bán kính R= 3

*Vì ( ) tiếp xúc với (S) tại M nên VTPT của ( ) là IM(2; 2;1)

*Vậy phương trình mặt phẳng ( ) đi qua M và có VTPT IM (2; 2;1)  là

*Vậy phương trình mặt phẳng ( ) đi qua M và có VTPT IA (1;1;2) là

* Mặt cầu (S) có tâm I (a;b;c) và bán kính R

* Vì ( ) song song với ( ) nên phương trình mặt phẳng ( ) có dạng

Giải:

* Trục Oy có VTCP j  (0;1;0)

* Mặt cầu (S) có tâm I (1;2;3) và bán kính 3

* Vì ( ) vuông góc với Oy nên phương trình mặt phẳng ( ) có dạng y D 0

*Vì ( ) tiếp xúc với (S) nên ( ,( )) 3d I   (*)

* Vậy phương trình ( ) : y 1 0 hay ( ) : y 5 0

Dạng 11: Viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua M x y( ;0 0; )z và vuông góc với 0

hai mặt phẳng ( ) :P Ax By Cz D   0và ( ) : 'Q A x B y C z D '  '  ' 0

Cách làm:

*Mặt phẳng (P) có VTPT n1( ; ; )A B C

*Mặt phẳng (Q) có VTPT n2 ( '; '; ')A B C

* ( ) vuông góc với hai mặt phẳng (P) và (Q) nên ( ) có VTPT nn n1, 2

*Vậy phương trình mp ( ) đi qua điểm M và có VTPT n

Ví dụ 18: Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz ,cho mặt phẳng ( )  đi qua điểm A(-3;0;1) vuông góc với hai mặt phẳng ( ) : 2P x3y z  2 0và

* ( ) vuông góc với (P) và (Q) nên ( ) có VTPT n n n1, 2(2;0; 2)

Vậy phương trình ( ) : x z 2 20hay ( ) :x z 2 20

Dạng 12: Viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua điểm M và chứa một đường thẳng d không chứa M

*Viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua M và VTPT n

Ví dụ 20: Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz ,cho mặt phẳng ( ) đi qua điểm M(1;2;3) và chứa đường thẳng d:

1 22

* Gọi ( ) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB

* Gọi I là trung điểm đoạn AB Tìm tọa độ điểm I

* Tìm AB

*Mặt phẳng ( ) đi qua I và VTPT AB

*Viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua I và VTPT AB

Ví dụ 21: Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz ,viết phương trình mặt phẳng

trung trực của đoạn thẳng AB biết A (2;3;-1) và B (4;-1;1)

Giải:

* Gọi ( ) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB

* Gọi I là trung điểm đoạn AB Suy ra tọa độ điểm I (3;1;0)

* Viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua M và có VTPT n

Ví dụ 22: Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz ,viết phương trình mặt phẳng

( ) đi qua điểm M(2;3;0) , song song với đường thẳng d :

*Mặt phẳng ( ) song song với đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng ( )

' ' '' ' '' ' '

*Mặt phẳng ( ) song song với đường thẳng d và d’có VTPT n [ , ']u u

* Viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua M và có VTPT n

Ví dụ 23: Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz ,viết phương trình mặt phẳng

( ) đi qua điểm M(1;2;3), song song với đường thẳng d :

2 223

Dạng 16: Viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua điểm chứa d :

0 0 0

' ' '' ' '' ' '

* Viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua M và có VTPT n

Ví dụ 24: Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz ,viết phương trình mặt phẳng

* Vậy phương trình ( ) : 4( x 8) 5(y 5) 6(z 8) 0    4x5y 6z 41 0

Vấn đề 2: Viết phương trình đường thẳng ( phương trình tham số)

Để viết phương trình đường thẳng d ta cần một điểm thuộc đường thẳng d và một VTCP

Dạng 1: Đường thẳng d đi qua một điểm M x y z và một VTCP ( ; ; )0 0 0 u( ; ; )a b c

Cách làm :

* Phương trình tham số của đường thẳng d:

0 0 0

*Viết phương trình đường thẳng d đi qua A ( hoặc B) và có VTCP AB

Ví dụ 26: Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz ,viết phương trình đường thẳng d

đi qua hai điểm A (1;2;4) và B(-2;3;5)

* Vậy đường thẳng d đi qua A và có VTCP AN (2;3;2)nên phương trình

*Vì d song song với nên d nhận u( ; ; )a b c làm VTCP

*Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và VTCP u( ; ; )a b c

Ví dụ 28: Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz ,viết phương trình đường thẳng d

đi qua M(2; 1;0) và song song với đường thẳng :

4 3

1 57

*Vì d song song với nên d nhận u làm VTCP

*Vậy đường thẳng d đi qua M (2;-1;0) và VTCP u(3;5; 1) có phương trình

Ví dụ 29: Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz ,viết phương trình đường thẳng d

đi qua M(5; 1;3) và song song với đường thẳng : 3 5

*Vì d song song với nên d nhận u làm VTCP

*Vậy phương trình đường thẳng d đi qua M (5;-1;3) và VTCP u(2; 1;3) :

Dạng 4: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M và vuông góc với mặt

phẳng (P):Ax By Cz D   0

Cách làm:

*Mặt phẳng (P) có VTPT n( ; ; )A B C

*Vì d song song với (P) nên d nhận n( ; ; )A B C làm VTCP

*Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và có VTCP n

Ví dụ 30: Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz ,viết phương trình đường thẳng d

đi qua điểm M (-3;1;2) và vuông góc với mặt phẳng (P): 2x y 4z 3 0

Giải:

*Mặt phẳng (P) có VTPT n(2; 1;4)

*Vì d song song với (P) nên d nhận n làm VTCP

*Vậy phương trình đường thẳng d đi qua M (-3;1;2) và có VTCP n(2; 1;4) là

Ví dụ 31: Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz ,cho tam giác ABC có A(1;1;0),

B(0;2;1) trọng tâm G(0;2;-1) Viết phương trình đường thẳng d đi qua C và vuông góc với mặt phẳng (ABC)

Dạng 5: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M và vuông góc với hai

' ' '' ' '' ' '

*Vì d vuông góc với  và ’nên d nhận u d [ , ']u u làm VTCP

*Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và VTCP u d

Ví dụ 32: Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz ,viết phương trình đường thẳng d

đi qua điểm M (1;0;5) và vuông góc với hai đường thẳng :

1 2

3 21

*Vì d vuông góc với  và ’nên d nhận u d [ , '] (5;5;0)u u  làm VTCP

*Vậy đường thẳng d đi qua M và VTCP u d (5;5;0)nên phương trình

x t

y t z

*Vì d vuông góc với AB và  nên d nhận u d [AB u, ] (7;2;4) làm VTCP

*Vậy đường thẳng d đi qua A và VTCP u d (7;2;4)nên phương trình d:

Dạng 6: Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng chéo

nhau ( Viết phương trình đường vuông góc chung)

' ' '' ' '' ' '

' ' '' ' '' ' '

*Gọi N d ' Giải điều kiện d   tìm được điểm N

* Viết phương trình đường thẳng d đi qua M, N

Ví dụ 35: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(1;2;3) và đường

thẳng

1 2:

* Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và có VTCP là AM

Ví dụ 36: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(-4;-2;4) và đường

( cho giá trị một ẩn tìm các ẩn còn lại)

* VTCP của đường thẳng d là u[ , ]n n1 2

* Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và có VTCP u

Ví dụ 37: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho (P): 4x y 2z 1 0 và ( Q): 2x2y z  3 0 Viết phương trình đường thẳng giao tuyến của (P) và (Q)

* Viết phương trình mặt phẳng (P) chứavà vuông góc với ( )

* Khi đó đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và ( )

* Viết phương trình tham số của đường thẳng d như dạng 9 đã nêu

Ví dụ 38: Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng :

* Gọi (P) là mặt phẳng chứa  và vuông góc với (Oxy) nên (P) đi qua M và có VTPT n P[ , ] ( 2;1;0)n u   nên (P) có phương trình (P): -2x+y+7=0

* Lấy A d là nghiệm của hệ phương trình 2 7 0

0

x y z

IV HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI

- Khi áp dụng nội dung của đề tài này vào trong các tiết giảng dạy Tôi thấy học

sinh có sự hứng thú trong tiết học hơn Học sinh sau khi được so sánh, phân tích và tổng hợp các dạng toán nên khi làm toán các em không còn bị mơ hồ nhẫm lẫn Việc này giúp các em rất nhiều trong quá trình học tập chương trình hình học 12, đồng thời cũng chuẩn bị cho kì thi THPT Quốc Gia sắp tới

- Nội dung đề tài này được áp dụng trong những năm giảng dạy khối 12 Tôi thấy các em tiếp thu nhanh và hứng thú trong các bài toán liên quan đến nội dung viết phương trình mặt phẳng và phương trình đường thẳng trong không gian Và ngay

cả những nội dung trong chương hình học trong không gian Oxyz

V ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG

- Nội dung của đề tài cũng là một phần trong bài thi trắc nghiệm toán trong kỳ thi THPT Quốc Gia sắp tới Dù đã cố gắng tham khảo và tìm tòi nhưng đôi khi còn nhiều thiếu sót Tôi rất mong được thầy cô trong tổ và hội đồng chuyên môn nhà trường góp ý, bổ sung để đề tài được hoàn thiện hơn và có thể triển khai áp dung rộng rãi để giảng dạy cho học sinh lớp 12 chuẩn bị kỳ thi THPT Quốc Gia sắp tới Tôi xin chân thành cảm ơn

VI TÀI LIỆU THAM KHẢO

Sách giáo khoa hình học lớp 12

Sách bài tập hình học lớp 12

Sách hướng dẫn ôn thi THPT Quốc Gia

Xuân Hưng, ngày 10 tháng 04 năm 2017

Người thực hiện

DƯƠNG THỊ YẾN

SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI

Đơn vị Trường THPT Xuân Hưng

–––––––––––

CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

––––––––––––––––––––––––

Xuân hưng , ngày tháng năm

PHIẾU ĐÁNH GIÁ, CHẤM ĐIỂM, XẾP LOẠI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Năm học: 2016 - 2017 Phiếu đánh giá của giám khảo thứ nhất

–––––––––––––––––

Tên sáng kiến kinh nghiệm: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG

TRONG KHÔNG GIAN

Họ và tên tác giả: DƯƠNG THỊ YẾN Chức vụ:

Đơn vị: Trường THPT Xuân hưng Họ và tên giám khảo 1: Chức vụ:

Đơn vị:

Số điện thoại của giám khảo:

* Nhận xét, đánh giá, cho điểm và xếp loại sáng kiến kinh nghiệm: 1 Tính mới

Điểm: …………./6,0 2 Hiệu quả

Điểm: …………./8,0 3 Khả năng áp dụng

Điểm: …………./6,0 Nhận xét khác (nếu có):

Tổng số điểm: /20 Xếp loại:

Phiếu này được giám khảo 1 của đơn vị đánh giá, chấm điểm, xếp loại theo quy định của Sở Giáo dục và Đào tạo; ghi đầy đủ, rõ ràng các thông tin, có ký tên xác nhận của giám khảo 1 và đóng kèm vào mỗi cuốn sáng kiến kinh nghiệm liền trước Phiếu đánh giá, chấm điểm, xếp loại sáng kiến kinh nghiệm của giám khảo 2

GIÁM KHẢO 1

(Ký tên, ghi rõ họ và tên)

BM01b-CĐCN