SKKN Giải một số bài toán Đại số trong chương trình Toán phổ thông bằng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

SKKN Giải một số bài toán Đại số trong chương trình Toán phổ thông bằng phương pháp tọa độ trong mặt phẳngSKKN Giải một số bài toán Đại số trong chương trình Toán phổ thông bằng phương pháp tọa độ trong mặt phẳngSKKN Giải một số bài toán Đại số trong chương trình Toán phổ thông bằng phương pháp tọa độ trong mặt phẳngSKKN Giải một số bài toán Đại số trong chương trình Toán phổ thông bằng phương pháp tọa độ trong mặt phẳngSKKN Giải một số bài toán Đại số trong chương trình Toán phổ thông bằng phương pháp tọa độ trong mặt phẳngSKKN Giải một số bài toán Đại số trong chương trình Toán phổ thông bằng phương pháp tọa độ trong mặt phẳngSKKN Giải một số bài toán Đại số trong chương trình Toán phổ thông bằng phương pháp tọa độ trong mặt phẳngSKKN Giải một số bài toán Đại số trong chương trình Toán phổ thông bằng phương pháp tọa độ trong mặt phẳngSKKN Giải một số bài toán Đại số trong chương trình Toán phổ thông bằng phương pháp tọa độ trong mặt phẳngSKKN Giải một số bài toán Đại số trong chương trình Toán phổ thông bằng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI

Đơn vị: Trường PTDTNT – THCS – THPT Điểu Xiểng

Mã số: ………

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẠI SỐ TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN PHỔ THÔNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP

Tên SKKN: GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẠI SỐ TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN PHỔ THÔNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ

TRONG MẶT PHẲNG.

SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC

I THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN

1 Họ và tên: LÊ THỊ NGUYỆN

2 Ngày tháng năm sinh: 18 – 10 – 1990

8 Nhiệm vụ được giao: Giảng dạy môn Toán khối 10, chủ nhiệm 10A2

9 Đơn vị công tác: Trường PTDTNT – THCS – THPT Điểu Xiểng

II TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO

- Học vị (hoặc trình độ chuyên môn, nghiệp vụ) cao nhất: Cử nhân

- Năm nhận bằng: 2012

- Chuyên ngành đào tạo: Sư phạm Toán học

III KINH NGHIỆM KHOA HỌC

- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm:

Số năm có kinh nghiệm:

- Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây:

I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Phương pháp tọa độ là một trong những nội dung của chương trình hình họclớp 10 và lớp 12 của bậc trung học phổ thông Năm nay tôi được nhà trường phâncông dạy toán lớp 10, bồi dưỡng học sinh giỏi toán 10 Học sinh bắt đầu tiếp xúcvới phương pháp tọa độ trong mặt phẳng, đây là một nội dung trong nhiều đề thihọc sinh giỏi và thuộc chuẩn kiến thức của kì thi trung học phổ trông quốc gia, nênviệc hướng dẫn học sinh giải các bài toán bằng phương pháp này là rất cần thiết Cùng với nhiều phương pháp khác, phương pháp tọa độ là một trong nhữngphương pháp hữu hiệu để giải nhiều bài toán trong chương trình THPT Trong khi

đó, học sinh thường chỉ sử dụng phương pháp tọa độ để giải các bài toán về hìnhhọc mà chưa biết nhiều về việc sử dụng nó để giải các bài toán đại số Do vậy, việckhai thác các cách sử dụng phương pháp tọa độ trong giải toán đại số là việc làmcần thiết giúp các em có thêm tài liệu tham khảo phục vụ cho quá trình học tậpmôn toán

Vì những lý do nêu trên, với mong muốn giúp các em học sinh học tập môntoán tốt hơn, góp phần nâng cao chất lượng dạy và học môn toán, tôi chọn đề tài:

“Giải một số bài toán Đại số trong chương trình Toán phổ thông bằng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng” làm sáng kiến kinh nghiệm của mình trong năm học

2016 - 2017

II CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

Từ thời cổ đại, khái niệm tọa độ đã được hình thành và được các nhà toán học

Ai Cập ứng dụng vào việc xây dựng các công trình bằng các tọa độ song song (cácđoạn thẳng), các nhà Thiên văn Hy Lạp đã dùng tọa độ cầu (vĩ độ và kinh độ) đểxác định vị trí của các điểm khác nhau trên mặt đất Tuy nhiên đến thế kỉ XVII,phương pháp tọa độ mới thực sự ra đời và phát triển cho đến ngày nay

Phương pháp tọa độ không chỉ được ứng dụng trong các bài toán hình học màcòn được khai thác trong các bài toán đại số Trong những năm gần đây, các bàitoán dùng phương pháp tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bấtphương trình được sử dụng rộng rãi, đặc biệt là trong các kì thi đại học, kì thi họcsinh giỏi Tuy trước đây đã có một số tài liệu tham khảo đề cập đến phương phápnày nhưng chưa khai thác triệt để và chưa có hệ thống

Trong đề tài này, ngoài việc giới thiệu các ứng dụng của phương pháp tọa độtrong việc giải các bài toán đại số, tác giả còn phân tích và chỉ ra các dấu hiệu đểhọc sinh có thể dễ dàng hiểu và vận dụng làm bài tập

Sau đây tác giả trình bày tóm tắt các kiến thức cơ bản trong mặt phẳng tọa độ

b) Tọa độ của một vectơ: u x y( ; ) ux i. y j.

trong đó x gọi là hoành độ,

y gọi là tung độ của vectơ u.

c) Tọa độ của một điểm: M x y( ; ) OM x i.  y j.

cùng phương với vectơ a r r 0

khi và chỉ khi có số k sao cho

x k x y k y

iv Biểu thức tọa độ của tích vô hướng: a b xx yyr r.  ' '

v Độ dài vectơ a được tính theo công thức a  x2 y2 .

a) Phương trình tổng quát của đường thẳng: ax + by + c = 0, ( a2b2  0).

b) Phương trình tham số của đường thẳng

Đường thẳng đi qua điểm M(x0 ; y0) và có VTCP u  (a; b) có phương trình tham số

c) Phương trình chính tắc của đường thẳng

Nếu a ≠ 0 và b ≠ 0 thì đường thẳng qua M x y 0 ; 0có vectơ chỉ phương ua b; 

r

cóphương trình chính tắc là

y k x x (  M) y M

d) Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

c) Đường thẳng ∆ tiếp xúc với đường tròn C(I; R) khi và chỉ khi d(I; ∆) = R

Khi đó, ta còn nói ∆ là tiếp tuyến của đường tròn (C)

ii Cho đường thẳng d có phương trình Ax + By + C = 0, (A2 + B2 0)

Điều kiện cần và đủ để đường thẳng d tiếp xúc với elip là A2a2 + B2b2 = C2

4 Một số kết quả hình học:

4.1 Bất đẳng thức tam giác

a) Trong một tam giác:

i Tổng độ dài của hai cạnh bất kì luôn lớn hơn cạnh còn lại

ii Hiệu độ dài của hai cạnh bất kì luôn nhỏ hơn cạnh còn lại

III TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP

Trong chương trình Toán phổ thông, phương pháp tọa độ giúp học sinh giảiquyết nhiều bài toán hình học một cách đơn giản và thuận lợi

Trong chương này, tác giả tập trung khai thác các ứng dụng khác của phươngpháp tọa độ trong việc giải các bài toán đại số bao gồm: giải phương trình - bấtphương trình - hệ phương trình, chứng minh bất đẳng thức, các bài toán về cực trị và

Ví dụ 1.1 Cho bốn số thực tùy ý a a b b1, , ,2 1 2 Chứng minh:

a a  b b  a b  a b

Phân tích:

Biểu thức a12 a22 gợi ta liên tưởng đến độ dài của vectơ u( ; )a a1 2

biểu thức b12 b22 liên tưởng đến độ dài của vectơ v( ; )b b1 2

(a b) (a b ) liên tưởng đến độ dài của vectơ w(a b a1 1; 2b2) u v 

Từ đó ta có lời giải cho bài toán trên như sau:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, với mọi số thực a, xét hai vectơ

Nhận xét:

i Với các bất đẳng thức có chứa tổng các căn bậc hai mà biểu thức dưới dấu căn cóthể phân tích thành tổng của các bình phương thì ta có thể xem mỗi căn thức là độdài của một vectơ

ii Việc chọn các vectơ ,u v  cần phải khéo léo.

b c c a    a b Đẳng thức xảy ra khi a = b = c

Ví dụ 1.7 Cho hai số thực a, b thỏa mãn a – 2b + 2 = 0 Chứng minh rằng:

Nếu xem mỗi căn thức là độ dài của một đoạn thẳng thì ta có cách giải cho ví dụnày như sau

Giải:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét hai điểm A(3; 5), B(5; 7) và M(a; b) là điểm tùy

ý thuộc đường thẳng d: x – 2y + 2 = 0 Dễ thấy hai điểm A, B nằm cùng phía sovới đường thẳng d Gọi A’(x’; y’) là điểm đối xứng của A qua d

Phương trình đường thẳng AA’ có dạng 2x + y + c = 0,

vì AA’ đi qua A nên c = -11

Gọi I AA'd, tọa độ I là nghiệm của hệ

Vì I là trung điểm AA’ nên suy ra A’(5; 1)  A B' 6

Với mọi điểm M thuộc d ta luôn cóAM BM A M BM'  A B'

Vậy a 32 b 52  a 52 b 72 6 với a, b thỏa a – 2b + 2 = 0 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi M, A’, B thẳng hàng

2 Giải phương trình, bất phương trình vô tỷ

Phương pháp chung để giải phương trình và bất phương trình vô tỷ là khử cănthức bằng cách nhân lượng liên hợp, đặt ẩn phụ, lượng giác hóa, đưa phương trình

về dạng cơ bản thường gặp…

Trong đề tài này, với việc sử dụng phương pháp tọa độ để giải phương trình

và bất phương trình vô tỷ, tôi hi vọng mang đến một cách nhìn mới cho học sinh,giúp các em có thêm một phương pháp giải ngoài những phương pháp đại số đãbiết

2.1 Sử dụng các bất đẳng thức hình học

Ví dụ 2.1 Giải phương trình x2  x 1 x2  3x 1 2

Phân tích:

, ( 0)

u k v k  

3 1

x  

ii (x + 1) + (3 – x) = 2 xuất hiện trong vế phải của phương trình

Từ đó, ta có cách giải như sau:

Giải: Điều kiện   1 x 3

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét các vectơ u( ;1),x v( x1; 3 x),

ta có

2

u v x x   x u v   x 

Nên phương trình đã cho có dạng u v . u v .

Điều này xảy ra khi và chỉ khi

.0

u k v k

(Đề thi tuyển sinh đại học khối A năm 2010 )

Giải: Điều kiện: x 0

Cách 1

S   

Dễ thấy hai vectơ OA OB  ,

không cùng phương nên ba điểm O, A, B không thẳnghàng Do đó, dấu “=” không thể xảy ra

i Trong ví dụ này việc chọn điểm O(0; 0) như trên giúp đơn giản hóa việc tính

toán, lời giải ngắn gọn hơn Cũng có thể chọn các điểm

nằm khác phía so với trục Ox)

ii Ngoài ra, ta có thể xét các vectơ

2.2 Sử dụng phương trình của đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ Oxy

Ví dụ 2.8 Giải phương trình 2 33 x 2 3 6 5  x  8 0.

(Đề thi tuyển sinh Đại học, cao đẳng - Khối A năm 2009)

Phân tích: Nếu đặt X 3 3x 2 và Y  6 5 x thì phương trình đã cho trở thành2X + 3Y – 8 = 0, ta xem đây là phương trình tổng quát của đường thẳng trong mặtphẳng

Khi đó, phương trình tham số của đường thẳng trên là

4 32

2 2

2

2 0

t

x t

x t

t x

812

1 2

(**)1

Ví dụ 2.11 Biện luận theo m số nghiệm của phương trình 1 x 2  x m

Phương trình (1) là phương trình đường tròn (C)

Vì ∆ tiếp xúc với nửa trên của đường tròn (C) nên m =  2 Vậy:

- Với m   2hoặc m > 1 thì (C)  Phương trình vô nghiệm.

- Với m  2 hoặc -1< m < 1 thì (C) M

Phương trình có nghiệm duy nhất.

- Với  2 m1 thì (C)  M N, 

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

Ví dụ 2.12 Biện luận theo m số nghiệm của phương trình 12 3x 2 = x m 

2 -2

4

x-y=0 x-y=1

x

O

1 -1

1 x-y=-1 x-y= -

y

Vì d tiếp xúc với nửa trên của elip nên m = -4 Vậy:

- Với m < -4 hoặc m > 2 thì (E) d = Phương trình vô nghiệm

- Với m = -4 hoặc -2 < m < 2 thì (E) d = M

Phương trình có nghiệm duy nhất

- Với -4 < m  -2 thì (E) d =  

M N Phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Ví dụ 2.13 Biện luận theo m số nghiệm của phương trình x2  9  x m.

Phương trình (3) là phương trình đường thẳng d (d // ∆) Ta có:

A2(3; 0)  d  m = 3; A1(-3; 0)  d  m = -3

Do y  0 nên ta chỉ xét phần (H) phía trên trục Ox

- Với -3 < m 0 hoặc m > 3 thì (H)d =  Phương trình vô nghiệm

Có nhiều phương pháp tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số, trong phầnnày tác giả tập trung vào việc sử dụng phương pháp tọa độ để giải các bài toán cựctrị

Ví dụ 3.1 Cho các số thực x, y thỏa mãn 36x2 + 16y2 = 9 Tìm giá trị lớn nhất, giátrị nhỏ nhất của biểu thức A = y – 2x + 5

3 -3

12

    

và u v 2x y Sử dụng bất đẳng thức  u v . u v . u v . tađược

x y z  

.Vậy MinP = 82 khi

13

(Đề thi tuyển sinh đại học khối B năm 2006)

4 Cho x, y là các số thực Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:

7 Giải các phương trình sau:

IV.HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI

Đề tài đã và đang được sử dụng trong quá trình giảng dạy học sinh lớp 10, đặc biệt là trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi toán khối 10 Học sinh có học lực khá trở lên khá hứng thú với phương pháp này

V ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ VÀ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG

1 Đề xuất

Cùng với nhiều phương pháp khác, phương pháp tọa độ là một trong nhữngphương pháp hữu hiệu để giải nhiều bài toán Qua quá trình thực hiện đề tài, vớimong muốn giúp cho việc học tập của học sinh và quá trình giảng dạy đạt hiệu quảcao, tôi đưa ra một số đề xuất như sau:

- Nên trang bị nhiều sách tham khảo hơn cho học sinh tại trường có nội dungliên quan tới các ứng dụng của phương pháp tọa độ

- Học sinh cần nắm vững lý thuyết, rèn luyện kĩ năng thông qua các dạng bàitập, lựa chọn được phương pháp giải tối ưu nhất

- Trong quá trình giảng dạy nội dung Phương trình – Hệ phương trình – Bấtphương trình, giáo viên nên đưa thêm các dạng bài tập giải bằng phương pháp tọa

độ để học sinh làm quen và biết cách vận dụng

2 Khuyến nghị

Đề tài có thể tiếp tục mở rộng hướng nghiên cứu: sử dụng phương pháp tọa độgiải các bài toán quỹ tích, bài toán dựng hình, bài toán hình học không gian trongchương trình toán phổ thông

Tác giả rất mong nhận được sự quan tâm của Nhà trường, quý Thầy Cô cùngbạn đọc để có thể mở rộng hướng nghiên cứu này

VI DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Đoàn Quỳnh (2007), Giải tích nâng cao 10, 11, 12, NXB Giáo dục.

2 Đoàn Quỳnh, Văn Như Cương (2007), Hình học nâng cao 10, 11, 12, NXB

Giáo dục

3 Tạp chí toán học và tuổi trẻ, NXB Giáo dục.

4 Nguyễn Tất Thu, Sử dụng phương pháp tọa độ trong không gian để giải toán Đại số và Hình học tổng hợp, NXB Đại học sư phạm.

5 Các trang Web về toán học: www.mathvn.com; www.mathscope.com; diendantoanhoc.net…

SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI

Đơn vị Trường PTDTNT Điểu Xiểng

–––––––––––

CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc lập - Tự do - Hạnh phúc ––––––––––––––––––––––––

, ngày tháng năm

PHIẾU ĐÁNH GIÁ, CHẤM ĐIỂM, XẾP LOẠI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Năm học: 2016 – 2017 Phiếu đánh giá của giám khảo thứ nhất

–––––––––––––––––

Tên sáng kiến kinh nghiệm: Giải một số bài toán đại số trong chương trình toán phổ thông bằng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.

Họ và tên tác giả: Lê Thị Nguyện Chức vụ: Giáo viên

Đơn vị: Trường PTDTNT THCS & THPT Điểu Xiểng.

Họ và tên giám khảo 1: Chức vụ:

Đơn vị:

Số điện thoại của giám khảo:

* Nhận xét, đánh giá, cho điểm và xếp loại sáng kiến kinh nghiệm: 1 Tính mới

Điểm: …………./6,0. 2 Hiệu quả

Điểm: …………./8,0. 3 Khả năng áp dụng

Điểm: …………./6,0. Nhận xét khác (nếu có):

Tổng số điểm: /20 Xếp loại:

, ngày tháng năm

PHIẾU ĐÁNH GIÁ, CHẤM ĐIỂM, XẾP LOẠI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Năm học: 2016 – 2017 Phiếu đánh giá của giám khảo thứ hai

–––––––––––––––––

Tên sáng kiến kinh nghiệm: Giải một số bài toán đại số trong chương trình toán phổ thông bằng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.

Họ và tên tác giả: Lê Thị Nguyện Chức vụ: Giáo viên

Đơn vị: Trường PTDTNT THCS & THPT Điểu Xiểng.

Họ và tên giám khảo 2: Chức vụ: Đơn vị:

Số điện thoại của giám khảo:

* Nhận xét, đánh giá, cho điểm và xếp loại sáng kiến kinh nghiệm:

1 Tính mới

Điểm: …………./6,0.

2 Hiệu quả

Điểm: …………./8,0.

3 Khả năng áp dụng

Điểm: …………./6,0.

Nhận xét khác (nếu có):

, ngày tháng năm

PHIẾU NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Năm học: 2016 – 2017

–––––––––––––––––

Tên sáng kiến kinh nghiệm: Giải một số bài toán đại số trong chương trình toán phổ thông bằng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.

Họ và tên tác giả: Lê Thị Nguyện Chức vụ: Giáo viên

Đơn vị: Trường PTDTNT THCS & THPT Điểu Xiểng.

Lĩnh vực: (Đánh dấu X vào các ô tương ứng, ghi rõ tên bộ môn hoặc lĩnh vực khác)

- Quản lý giáo dục  - Phương pháp dạy học bộ môn: 

- Phương pháp giáo dục  - Lĩnh vực khác: 

Sáng kiến kinh nghiệm đã được triển khai áp dụng: Tại đơn vị  Trong Ngành 

1 Tính mới (Đánh dấu X vào 1 trong 3 ô dưới đây)

- Đề ra giải pháp thay thế hoàn toàn mới, bảo đảm tính khoa học, đúng đắn 

- Đề ra giải pháp thay thế một phần giải pháp đã có, bảo đảm tính khoa học, đúng đắn 

- Giải pháp mới gần đây đã áp dụng ở đơn vị khác nhưng chưa từng áp dụng ở đơn vị mình, nay tác giả tổ chức thực hiện và có hiệu quả cho đơn vị 

2 Hiệu quả (Đánh dấu X vào 1 trong 5 ô dưới đây)

- Giải pháp thay thế hoàn toàn mới, đã được thực hiện trong toàn ngành có hiệu quả cao 

- Giải pháp thay thế một phần giải pháp đã có, đã được thực hiện trong toàn ngành có hiệu quả cao 

- Giải pháp thay thế hoàn toàn mới, đã được thực hiện tại đơn vị có hiệu quả cao 

- Giải pháp thay thế một phần giải pháp đã có, đã được thực hiện tại đơn vị có hiệu quả 

- Giải pháp mới gần đây đã áp dụng ở đơn vị khác nhưng chưa từng áp dụng ở đơn vị mình, nay tác giả tổ chức thực hiện và có hiệu quả cho đơn vị 

3 Khả năng áp dụng (Đánh dấu X vào 1 trong 3 ô mỗi dòng dưới đây)

- Cung cấp được các luận cứ khoa học cho việc hoạch định đường lối, chính sách:

Trong Tổ/Phòng/Ban  Trong cơ quan, đơn vị, cơ sở GD&ĐT  Trong ngành 

- Đưa ra các giải pháp khuyến nghị có khả năng ứng dụng thực tiễn, dễ thực hiện và dễ đi vào cuộc sống: Trong Tổ/Phòng/Ban  Trong cơ quan, đơn vị, cơ sở GD&ĐT  Trong ngành 

- Đã được áp dụng trong thực tế đạt hiệu quả hoặc có khả năng áp dụng đạt hiệu quả trong phạm vi rộng: Trong Tổ/Phòng/Ban  Trong cơ quan, đơn vị, cơ sở GD&ĐT  Trong ngành 

Xếp loại chung: Xuất sắc  Khá  Đạt  Không xếp loại 

Cá nhân viết sáng kiến kinh nghiệm cam kết không sao chép tài liệu của người khác hoặc sao chép lại nội dung sáng kiến kinh nghiệm cũ của mình.

Tổ trưởng và Thủ trưởng đơn vị xác nhận sáng kiến kinh nghiệm này đã được tổ chức thực hiện tại đơn vị, được Hội đồng khoa học, sáng kiến đơn vị xem xét, đánh giá, cho điểm, xếp loại theo quy định.

Phiếu này được đánh dấu X đầy đủ các ô tương ứng, có ký tên xác nhận của tác giả và người có thẩm quyền, đóng dấu của đơn vị và đóng kèm vào cuối mỗi cuốn sáng kiến kinh nghiệm.

NGƯỜI THỰC HIỆN SKKN

(Ký tên và ghi rõ họ tên)

XÁC NHẬN CỦA TỔ CHUYÊN MÔN

(Ký tên và ghi rõ họ tên)

THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

(Ký tên, ghi rõ

họ tên và đóng dấu của đơn vị)

Hết