vVấn đề biểu diễn một số tự nhiên thành tổng của ba số có dạng n2 a và giả thuyết của farhi

Mở đầuTrong Lý thuyết số, ta đã biết có rất nhiều kết quả về việc biểu diễn một số tự nhiên thành tổng các bình phương của một số cố định các số nguyên.Lagrange đã chứng minh mỗi số tự n

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THÚY HẠNH

VẤN ĐỀ BIỂU DIỄN MỘT SỐ TỰ NHIÊN THÀNH TỔNG CỦA BA SỐ CÓ DẠNG jna2k

VÀ GIẢ THUYẾT CỦA FARHI

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2017

NGUYỄN THÚY HẠNH

VẤN ĐỀ BIỂU DIỄN MỘT SỐ TỰ NHIÊN THÀNH TỔNG CỦA BA SỐ CÓ DẠNG jna2k

VÀ GIẢ THUYẾT CỦA FARHI

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS NÔNG QUỐC CHINH

Thái Nguyên - 2017

2.1 Giả thuyết 1 của Farhi 16 2.2 Giả thuyết 2 của Farhi 22 2.2.1 Giả thuyết của Farhi về biểu diễn số nguyên thành tổng của

ba số có dạngjn32k (n ∈ N) 22 2.2.2 Một số trường hợp đặc biệt 28

a≡ b (mod p) ađồng dư với b theo modulo p

a6≡ b (mod p) akhông đồng dư với b theo modulo p

Mở đầu

Trong Lý thuyết số, ta đã biết có rất nhiều kết quả về việc biểu diễn một

số tự nhiên thành tổng các bình phương của một số cố định các số nguyên.Lagrange đã chứng minh mỗi số tự nhiên có thể biểu diễn thành tổng củabốn hạng tử là bình phương của 4 số nguyên Gauss cũng đã chỉ ra rằng mỗi

số tự nhiên N ≡ 3 (mod 8) đều có thể biểu diễn được thành tổng các bìnhphương của ba số lẻ Vấn đề này cũng được Fermat và Cauchy nghiên cứu

và đã có nhiều kết quả Legendre đã chứng minh được rằng mỗi số tự nhiên

có thể viết được thành tổng các bình phương của 5 số nguyên mà một trong

5 số đó là 0 hoặc 1 Legendre cũng chứng minh được rằng mỗi số tự nhiênkhông có dạng 4h(8k + 7) với h, k ∈ N đều có thể viết được thành tổng cácbình phương của 3 số nguyên

Năm 2013, B Farhi đã có bài báo trình bày việc biểu diễn một số tựnhiên thành tổng của ba số có dạng

j

n2a

kvới a = 8, a = 4 và đưa ra hai giảthuyết:

GIẢ THUYẾT 1 “Mỗi số tự nhiên đều có thể viết thành tổng của 3 số có

dạng

j

n2a

k

”,

và trường hợp tổng quát hơn với giả thuyết sau:

GIẢ THUYẾT 2 “Với k > 2, luôn tồn tại một số a(k) sao cho mỗi số tự

nhiên đều có thể biểu diễn thành tổng của (k + 1) số có

dạng

j

n2a

k

, n ∈ N”.

Mục tiêu của luận văn là trình bày các kết quả năm 2013 của Farhi trong[3] và việc giải quyết một phần của hai giả thuyết đã nêu của Farhi thôngqua hai bài báo [5] và [6]

Ngoài các phần Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo, luận văn gồm haichương như sau:

• Chương 1 Sự phân tích một số nguyên thành tổng các bình phương.

Chương này sẽ trình bày lại một kết quả về sự phân tích một số nguyênthành tổng các bình phương Các phân tích được quan tâm là sự biểudiễn một số thành một số chẵn các bình phương

• Chương 2 Hai giả thuyết của Farhi Mục tiêu của Chương 2 là trình

bày về hai hai giả thuyết của Farhi Trước hết là sự biểu diễn của một số

tự nhiên thành tổng của ba số tự nhiên có dạng bna2c (n ∈ N), trong đó

a là một số nguyên dương cố định Phần này sẽ được tham khảo chínhtrong B Farhi [3] Tiếp theo, chúng tôi sẽ là trình bày kết quả về việcgiải quyết một phần của hai giả thuyết đã nêu của Farhi (trong Chương1) thông qua các tài liệu [5, 6]

Tác giả hi vọng rằng luận văn này sẽ là một tài liệu tham khảo hữu ích

về lĩnh vực Lý thuyết số và ứng dụng Luận văn cũng sẽ có ích trong việcbồi dưỡng giáo viên, sinh viên, học viên và những ai có nhu cầu tìm hiểu về

Lý thuyết số nói chung

Luận văn này được thực hiện tại Trường Đại học Khoa học - Đại họcThái Nguyên và hoàn thành với sự hướng dẫn của PGS.TS Nông Quốc

Chinh Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới ngườihướng dẫn khoa học của mình, người đã đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiềuthời gian hướng dẫn và tận tình giải đáp những thắc mắc của tác giả trongsuốt quá trình làm luận văn Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệuTrường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Ban Chủ nhiệm KhoaToán-Tin, cùng các giảng viên đã tham gia giảng dạy, đã tạo mọi điều kiệntốt nhất để tác giả học tập và hoàn thành khóa học.

Thái Nguyên, ngày 20 tháng 9 năm 2017

Tác giả

Nguyễn Thúy Hạnh

Chương 1

Sự phân tích một số nguyên thành tổng các bình phương

Trong chương này tôi nghiên cứu về phân tích một số nguyên thành tổngcác bình phương Tài liệu tham khảo chính của chương này là Đoàn Quang

Vụ [1] (xem thêm M.B Nathanson [7])

1.1 Tóm tắt kết quả

Trong phần này ta xét một số dạng bậc hai mà trong đó số tự nhiên n chotrước được biểu diễn dưới dạng tổng các bình phương của các số nguyên.Với mỗi số nguyên dương s và số nguyên không âm n, ta có Rs(n) biểuthị số các bộ số nguyên x1, x2, , xs thỏa mãn

n= x21+ x22+ + x2s.trong đó các số nguyên xi có thể âm, dương hoặc bằng 0 Với mọi s > 1, tacó

Rs(0) = 1

Vì 0 = 02+ + 02 là dạng biểu diễn của số 0 dưới dạng tổng của s hạng tử

là bình phương Ta có đồng nhất thức của Liouville rút ra được bài toán biểu

diễn một số nguyên dưới dạng tổng của s số bình phương, khi s = 2, 4, 6, 8

và 10 Biểu diễn một số nguyên n dưới dạng tổng của s số bình phương làmột vấn đề trong lý thuyết số, nhưng cách giải quyết cho giá trị lẻ của s luônliên quan tới một tổng các số chia của n, là một chủ đề cơ bản trong lý thuyếtsố

Ở đây, d và δ là các số nguyên dương và ∑d|n và ∑n=dδ ta sẽ hiểu làtổng các ước của n

Định lí 1.2 (xem [1, Định lí 1.2]) Có Φ là một hàm số xác định đối với tất

cả các số nguyên không âm n sao cho Φ(0) = 1 và

1.3 Biểu diễn số tự nhiên thành tổng của một số chẵn

các bình phương

Tổng của 2 số nguyên bình phương

Định lí 1.3 (xem [1, Định lí 1.3]) Giả sử n được biểu diễn dưới dạng phân

tích chuẩn

n= 2r∏psiiqtjj trong đó pi≡ 1 (mod 4) và qj ≡ 3 (mod 4)

Điều kiện cần và đủ để n biểu diễn thành tổng của hai bình phương là các

Từ đồng nhất thức Liouvill người ta đã chứng minh được hệ quả sau:Cho hàm số f (x, y) lẻ đối với các biến x và y Khi đó với mỗi số nguyêndương n ta có

Nếu (u, d, δ ) ∈ S(n) thì (−u, d, δ ) ∈ S Từ đây suy ra nếu k là một sốnguyên lẻ và g(d, δ ) là một hàm tùy ý thì

i

= 4(1 + 1) = 8

Vậy có 8 bộ hai số nguyên (x1, x2) thỏa mãn 5 = x21+ x22, trong đó có mộttọa độ là ±1, một tọa độ là ±2

Tổng của 4 số nguyên bình phương

Định lí 1.6 (Định lý Jacobi, xem [1]) Với mọi số nguyên dương n ta có

Ví dụ 1.7 Với n = 1 ta có R4(1) = 8 · 1 = 8 Vậy có 8 bộ bốn số nguyên(x1, x2, x3, x4) thỏa mãn 1 = x21+ x22+ x23+ x24 trong đó có một tọa độ là ±1,còn lại là 0.

Với n = 2 ta có R4(2) = 8(1 + 2) = 24 Vậy có 24 bộ bốn số nguyên(x1, x2, x3, x4) thỏa mãn 2 = x21+ x22+ x23+ x24 trong đó có hai tọa độ là ±1,còn lại là 0

Tổng của 6 số nguyên bình phương

Định lí 1.8 (xem [1, Định lí 2.3]) Cho n là một số nguyên dương, n = 2am,

Có 26 = 64 bộ (x1, x2, x3, x4, x5, x6), xi= ±1

Có 23· C63· C31 = 480 bộ có dạng (x1, x2, x3, x4, x5, x6), mà một tọa độ là

±2, hai tọa độ là ±1, còn lại là 0

Như vậy có số 6 có 544 các biểu diễn thành tổng bình phương của 6 sốnguyên.

Bây giờ ta có kết quả ước lượng sau đây:

Định lí 1.10 (xem [1, Định lí 2.4]) Với mọi số nguyên dương n ta có

3n2

2 < R6(n) < 40n2

Tổng của 8 số nguyên bình phương

Định lí 1.11 (xem [1, Định lí 2.5]) Cho n là một số nguyên dương, nếu n lẻ

Tổng của 10 số nguyên bình phương

Chúng ta sẽ xác định số lượng các đại diện như tổng của mười số nguyênbình phương Trong trường hợp này thì công thức R10(n) bao gồm hai sốhạng Số thứ nhất là các ước, đó là, một tổng các ước của n, và số hạng thứhai là tổng các đại diện của n như tổng cả hai số nguyên bình phương

Định lí 1.13 (xem [1, Định lí 2.6]) Cho n là số nguyên dương, n = 2am, khi

Như vậy có 8424 cách biểu diễn số 5 như là tổng các bình phương của 10 sốnguyên Nói các khác có 8424 bộ 10 số nguyên sắp thức tự (x1, x2, , x10)thỏa mãn

Chương 2

Hai giả thuyết của Farhi

Chương này dành để trình bày hai giả thuyết của Farhi về việc biểu diễncủa một số tự nhiên thành tổng của ba số tự nhiên có dạng bna2c (n ∈ N),trong đó a là một số nguyên dương cố định Tài liệu tham khảo chính củachương này là [3] và [5, 6]

2.1 Giả thuyết 1 của Farhi

Trong chương này, nếu không có chú ý đặc biệt, ta ký hiệu N là tập hợpcác số nguyên không âm, Z là tập hợp các số nguyên, và b·c và h·i tươngứng ký hiệu cho hàm phần nguyên và hàm phần lẻ Đối với một tập hợp Xcho trước, lực lượng của nó được ký hiệu là #X và ··
là ký hiệu Jacobi

Định lí 2.1 Mọi số tự nhiên có thể được biểu diễn thành tổng của ba số có

dạng bn82c (n ∈ N).

Chứng minh. Theo Định lý số tam giác Gauss, mọi số tự nhiên có thể đượcbiểu diễn thành tổng của ba số có dạng k22+k (k ∈ N) Để kết luận, chỉ cần

để ý rằng k22+k = bn82c với n = 2k + 1

Định lí 2.2 Mọi số tự nhiên có thể được biểu diễn thành tổng của ba số có

dạng bn42c (n ∈ N).

Chứng minh. Giả sử N là một số tự nhiên Do (4N + 1) không có dạng

4h(8k + 7) (h, k ∈ N) nên bởi Định lí Legendre (4N + 1) có thể được biểudiễn thành tổng của ba bình phương số tự nhiên Giả sử

4

+ c2

4

+ a2

4

+ b2

4

+ c2

4



.Bây giờ do thặng dư toàn phương modulo 4 là 0 và 1 nên

 a2

4

+ b2

4

+ c2



Vì vậy, lấy phần nguyên ở hai vế của đẳng thức cuối cùng ta được

N = a2

4

+ b24

+ c24



mà đây là điều cần chứng minh

Định lí 2.3 Mọi số tự nhiên N 6≡ 2 (mod 24) có thể được biểu diễn thành

tổng của ba số có dạng bn32c (n ∈ N).

Chứng minh. Cho N là một số tự nhiên thỏa mãn N 6≡ 2 (mod 24) Ta phânbiệt hai trường hợp sau đây:

Trường hợp 1 N 6≡ 2 (mod 8) Trong trường hợp này ta có thể tìm r ∈ {1, 2}

sao cho 3N + r 6≡ 0, 4, 7 (mod 8), do vậy (3N + r) không có dạng 4h(8k + 7)(h, k ∈ N) Theo Định lí Legendre (3N + r) có thể được biểu diễn như sau:

3

+ c2

3

+ a2

3

+ b2

3

+ c2

3



(2.1)Bây giờ do modulo thặng dư toàn phương 3 là 0 và 1 nên

 a2

3

+ b2

3

+ c2

 a2

3

+ b2

3

+ c2

3

+ c2

+ c23

,

ta có điều phải chứng minh

Trường hợp 2: N ≡ 2 (mod 8).

Trong trường hợp này, ta có 3N + 3 ≡ 1 (mod 8) Theo Định lí Legendre(3N + 3) có thể được biểu diễn như sau:

3N + 3 = a2+ b2+ c2 (2.3)

(với a, b, c ∈ N) Chia hai vế của (2.3) cho 3 và tách phần nguyên và phần

lẻ, ta được

N+ 1 = a2

3

+ b23

+ c23

+ a2

3

+ b23

+ c23



(2.4)

Bây giờ, do a2+ b2+ c2 ≡ 0 (mod 3) (theo (2.3)) thì ta có một trong hai

a2 ≡ b2 ≡ c2 ≡ 0 (mod 3) hoặc a2 ≡ b2 ≡ c2 ≡ 1 (mod 3) Bây giờ ta sẽchứng minh rằng quan hệ a2 ≡ b2 ≡ c2 ≡ 0 (mod 3) không thể xảy ra Giả

sử rằng a2 ≡ b2≡ c2≡ 0 (mod 3), thì a ≡ b ≡ c ≡ 0 (mod 3) Ta có thể viết

a= 3a0, b = 3b0, c = 3c0(a0, b0, c0∈ N) Kết hợp với (2.3) ta nhận được (saukhi rút gọn):

N+ 1 = 3a02+ 3b02+ 3c02.Điều này suy ra rằng N + 1 ≡ 0 (mod 3), do đó N ≡ 2 (mod 3) Nhưng(N ≡ 2 (mod 8) và N ≡ 2 (mod 3)) là tương đương với N ≡ 2 (mod 24) mâuthuẫn với giả thiết N 6≡ 2 (mod 24) Do đó,

3

+ c2

3

.Định lí được chứng minh

Hệ quả 2.4 Mọi số tự nhiên là tổng của bốn số có dạng bn32c (n ∈ N), mà

một trong số đó là 0 hoặc 1.

Chứng minh. Cho N là một số tự nhiên Nếu N 6≡ 2 (mod 24) thì theo Định

lí 2.3, N có thể được viết lại dưới dạng

N = a2

3

+ b23

+ c23



= a23

+ b23

+ c23

+ 023



Bây giờ, nếu N ≡ 2 (mod 24), thì N − 1 ≡ 1 (mod 24) 6≡ 2 (mod 24) vàtheo Định lí 2.3, (N − 1) có thể được viết thành

+ c23

+ 223

,đúng yêu cầu Hệ quả được chứng minh xong

B Farhi cho rằng trường hợp bị loại trừ (N ≡ 2 (mod 24)) của Định lí2.3 là vô lý! Điều này dẫn ta đến việc thiết lập giả thuyết sau đây:

Giả thuyết 1 Mọi số tự nhiên có thể được biểu diễn thành tổng của ba số

có dạng bn32c (n ∈ N).

Tổng quát hơn, Farhi đã đề xuất giả thuyết sau đây:

Giả thuyết 2 Cho k > 2 là một số nguyên Khi đó tồn tại một số nguyên

dương a(k) thỏa mãn tính chất sau đây:

Mọi số tự nhiên có thể được biểu diễn thành tổng của (k + 1) số có dạng

ba(k)nk c (n ∈ N).

Các Định lí 2.1 Định lí 2.2 chỉ ra rằng giả thuyết cuối cùng là đúng với

k= 2 và chúng ta có thể lấy a(2) = 8 hoặc 4

Bây giờ, bởi vì các số bn22c (n ∈ N) là chẵn, ta không thể viết mỗi số tựnhiên thành tổng của một số cố định các số như vậy, nhưng câu hỏi mà ta

có thể trả lời là như sau: Có đúng là mọi số tự nhiên chẵn là tổng của một

số cố định các số có dạng bn22c? Câu trả lời là đúng Định lý sau đây khẳng

+ c22

+ a2

2

+ b22

+ c22

−12

 (2.6)

Do mỗi ha22i, hb22i, hc22i thuộc {0,12} nên ha22i+hb22i+hc22i−12 thuộc {−12, 0,12, 1}.Nhưng do (theo (2.6)) ha22i + hb22i + hc22i −12 là một số nguyên chẵn (bởi vì

N, ba22c, bb22c, bc22c là các số nguyên chẵn) khi đó ha22i + hb22i + hc22i −12 = 0.Kết hợp với (2.6), ta nhận được

N = a2

2

+ b2

2

+ c2

2

.Phép chứng minh định lí được hoàn thành

Hệ quả 2.6 Mọi số tự nhiên có thể được biểu diễn thành tổng của ba số,

mỗi trong số đó có một trong hai dạng k2 hoặc (k2+ k) (k ∈ N).

Hệ quả được suy ra ngay từ Định lí 2.5.

2.2 Giả thuyết 2 của Farhi

Trong phần này chúng tôi sẽ dựa vào các tài liệu [5, 6] để trình bày một

số khía cạnh của giả thuyết Farhi Cụ thể, Farhi đã chứng minh rằng mọi

số tự nhiên N 6≡ 2 (mod 24) có thể được biểu diễn thành tổng của ba số códạng

2.2.1 Giả thuyết của Farhi về biểu diễn số nguyên thành tổng

của ba số có dạng jn32k (n ∈ N)

Định lí 2.7 (Định lí Legendre) Mọi số tự nhiên không có dạng 4h(8k + 7)

với h, k ∈ N có thể được biểu diễn thành tổng của ba bình phương của các

số tự nhiên.

Nhận xét rằng do 4h(8k + 7) là đồng dư với 0, 4 hoặc 7 modulo 8, mọi

số tự nhiên không đồng dư với 0, 4 hoặc 7 modulo 8 có thể được biểu diễnthành tổng của ba bình phương của các số tự nhiên

Cho R3(n) là số các biểu diễn của số nguyên dương n thành tổng của babình phương của các số nguyên Định lí sau đây cung cấp một công thức thú

vị cho R3(n), mà có thể chứng minh bằng cách sử dụng lý thuyết các hàmmodular.

Định lí 2.8 (xem [2]) Với số nguyên dương n bất kỳ, ta có

2 a+1, nếu 4−an≡ 1, 2, 5, 6 (mod 8)

Bổ đề 2.9 Với nguyên dương n ≡ 1 (mod 8) bất kỳ, ta có

!1p

!−1

,trong đó b0 = b0(p) là ký hiệu số nguyên lớn nhất mà p2b0 | 9n Do n ≡

1 (mod 8), suy ra 40 = 1 là lũy thừa cao nhất của 4 chia n Kết quả này suy

ra χ2(n) = 2 Tương tự, ta có 9n ≡ 1 (mod 8) Do đó, 4 = 1 là lũy thừa caonhất của 4 chia 9n, mà χ2(9n) = χ2(n) = 32 Ngược lại, từ [2, p 84]

K(−4n)

Do n ≡ 1 (mod 8), nên từ Định lí Legendre n có thể được biểu diễn thànhtổng của ba bình phương của các số tự nhiên Do đó R3(n) 6= 0 Chia cho

R3(n) thì ta có nó tương đương với



1 p



1 p

!1p

−1

.Như vậy, trong cả hai trường hợp, nếu 32 | n thì



1 3



1 3

−1 ,

Trái lại 32 không chia hết n, vậy

!13

!−1

.Bây giờ ta chứng minh R3(9n) > 32 R3(n)

• Nếu 32 không chia hết n, b0= b0(3) = 1 là số nguyên lớn nhất mà 32b0 |9n Ta có được



1 3



1 3



1 3



1 3



= 1,2

3 hoặc 4

3.

Ta thu được kết quả sau đây trong tất cả các trường hợp:

−1

.Kết quả này suy ra

o

Theo định nghĩa của R3, ta có #S2 = R3(9(1 + 8k)) và #S1= R3(1 + 8k)

Do 1 + 8k ≡ 1 (mod 8), áp dụng Bổ đề 2.9 ta nhận được

R3(9(1 + 8k)) > 3

2 R3(1 + 8k) > R3(1 + 8k)

Ta thu được R3(9(1 + 8k)) > R3(1 + 8k), mà nó tương đương với #S2> #S1.

Ta định nghĩa ánh xạ

f : S1 −→ S2(a, b, c) 7−→ (3a, 3b, 3c)

Dễ thấy f hoàn toàn xác định và đơn ánh Do #S2 > #S1, ta có thể tìm(a, b, c) ∈ S2 sao cho (a, b, c) /∈ f (S1) Thêm nữa, ta có

= a23

+ b23

+ c23

+ a23

+ b23

+ c23

Do a2≡ b2 ≡ c2 ≡ 1 (mod 3), nên

 a2

3

+ b2

3

+ c2

N = a2

3

+ b23

+ c23

.Thay (a, b, c) ∈ Z3 bởi (|a|, |b|, |c|) ∈ N3 để ta có được câu trả lời mongmuốn Vậy giả thuyết đã được chứng minh

2.2.2 Một số trường hợp đặc biệt

Ta sẽ chứng minh một vài trường hợp của một giả thuyết của Farhi về

sự biểu diễn của mỗi số nguyên dương thành tổng của ba số hạng của dãyj

n2

a

k

Một kết quả cổ điển của Legendre [?] phát biểu rằng mọi số tự nhiên

không có dạng 4s(8t +7), s,t ∈ N có thể viết như là tổng của ba bình phương.Liên quan đến điều này, Farhi đã phỏng đoán rằng:

Giả thuyết 3 (Farhi [4]) Cho a > 3 là một số nguyên Khi đó mọi số tự

nhiên có thể được biểu diễn thành tổng của ba số hạng của dãy

j

n2a

Ta bắt đầu với việc giới thiệu tập hợp sau đây:

Định nghĩa 2.11 Với a ∈ N bất kỳ khác không, ta định nghĩa

Qa = {0 < ϕ < a | ∃x ∈ Z : ϕ ≡ x2 (mod a)}

Vậy Qa là tập hợp tất các các thặng dư toàn phương modulo a