học tốt môn TOÁN lớp 12 HÌNH học, cô NGUYỄN THỊ LANH

Hình chóp tam giác đều Tứ diện đều Là hình chóp có đáy là tam giác đều, hình | Là hình chóp có 4 mặt là tam giác đều chiếu vuông góc của đỉnh trùng với tâm tam giác đáy... Khi đó: Veawe

NGUYEN THI LANH

B NHÀ XUẤT BẢN DÂN TRÍ

HỌC TỐT MÔN TOÁN LỚP 12 - HÌNH HỌC ööKš LỜI ĐỀ TẶNG

Đây là một món quà dành riêng cho em

Đọc nó em có một kho kiến thức Nghe nó em có một trí nhớ siêu đẳng Dùng nó em

có một tương lai tốt đẹp Chia sẻ nó em có một mối quan hệ tuyệt vời!

Cuốn sách này dành tặng cho bố mẹ tôi, chồng tôi và con gái yêu dấu của tôi

LỜI CẢM ƠN

Đây là một cuốn sách có sự đóng góp của một nhóm những con người tuyệt vời Do đó tôi xin bày tỏ lòng biết ơn của mình đến những con người đã dành tâm huyết và nỗ lực của họ

để cuốn sách này ra đời

Cảm ơn các cộng sự Nguyễn Thị Lan Anh, Nguyễn Đức Hoạch, Trần Thị Thủy, Trịnh Ngọc Liên đã hỗ trợ để cuốn sách này được hoàn thành | Cảm ơn Giáo sư Bùi Văn Nghị đã định hướng cho cuốn sách

Cảm ơn thầy Lê Đăng Khương đã truyền cảm hứng cho tôi để tôi có ý tưởng viết cuốn sách này và đã giúp tôi rất nhiều trong thời gian hoàn thành cuốn sách Cảm ơn Tony Buzan đã sáng tạo ra phương pháp sơ đồ tư duy (Mindmap) vô cùng tuyệt diệu giúp tôi có cách hệ thống kiến thức một cách đơn giản, hiệu quả Cảm ơn Tiến sĩ 4J Hoge, chuyên gia số 1 thế giới về đào tạo tiếng Anh đã truyền cảm hứng cho tôi tạo ra những đoạn audio để nhớ mãi không thôi Cảm ơn Adam Khoo, tác giả cuốn sách “Tôi tài giỏi-Bạn cũng thế” đã truyền cảm hứng cho tôi

Cảm ơn các thầy cô ở Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã truyền đạt cho tôi những kiến thức và kỹ năng vô cùng tuyệt vời

Cảm ơn các thầy cô ở Trường THPT Lý Thái Tổ - tỉnh Bắc Ninh đã dạy bảo tôi nên người,

đã cho tôi một môi trường học tập tuyệt vời và truyền cảm hứng cho tôi luôn nỗ lực hết mình Cảm ơn thầy Nguyễn Hữu Mại, người mà tôi luôn đành một sự ngưỡng mộ và kính phục

về đạo đức và tâm hồn Thầy là người truyền cảm hứng mạnh mẽ trong sự nghiệp dạy học Cảm ơn các thầy cô ở Trường Tiểu học Tương Giang, Trường THCS Tương Giang - tỉnh Bac Ninh da cho tôi cơ hội học tập và giúp đỡ em phát triển

Cảm ơn thầy, Luật sư Phạm Thành Long đã dạy bảo tôi, truyền cảm hứng để tôi quyết định hoàn thành cuốn sách, giúp lan tỏa giá trị kiến thức đến nhiều học sinh hơn nữa với tỉnh thần “Đừng đợi hoàn hảo mới làm, hãy làm rồi sẽ hoàn hảo”

Cảm ơn các thầy cô, đồng nghiệp và học sinh Trường THPT Ngô Gia Tự - tỉnh Bắc Ninh đã tạo điều kiện và động viên tôi vươn lên, tạo cho tôi cơ hội học tập và làm việc tại tổ Bộ môn Toán

Cảm ơn những người bạn học cùng tôi từ cấp 1 đến cao học, các bạn tham gia các khóa học phát triển bản thân và hàng nghìn bạn trên facebook của tôi Các bạn đã ủng hộ tôi hết mình về tỉnh thần để cuốn sách này đến nhanh với độc giả

NGUYỄN THỊ LANH

= -EO'TDE-TANG=LOT-CAM-ON——— | 4 HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG 6

| CHUYÊN FT 0 7 \À TỌA 'ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

PHÉP TÍNH TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

Dạng 1: Bài tập về mặt cầu, khối cầu 98 Dạng 2: Phương pháp xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp 103 :hình chóp

Dang 3: Bài tập về mặt trụ, hình trụ, khối trụ tròn xoay 111 Đạng 4: Bài tập về mặt nón, hình nón, khối nón tròn Xoay 118

Dạng 2: Ứng dụng của tích vô hướng - 136

Dạng 3: Ứng dụng của tích có hướng 143

PHƯƠNG TRÌNH MAT PHANG VA DUONG THANG S 452°

TRONG KHONG GIAN

Dạng 1: Vị trí tương đối của đường thẳng, mặt phẳng 157 trong không gian

2 Dạng 2: Phương trình mặt phẳng 167

Dạng 3: Phương trình đường thẳng 185 Dạng 4: Các bài toán về hình chiếu trong không gian 204 Dạng 5: Bài toán về khoảng cách 216

HỌC TỐT MÔN TOÁN LỚP 12 - HÌNH HỌC Øööks

Đạng 1: Tìm điểm thuộc mặt phẳng thỏa mãn điều kiện 263

HỌC TỐT MÔN TOÁN LỚP 12 - HÌNH HỌC Đöjöi&

| PGSKS CHUYÊN ĐỀ 1: THỂ TICH VA KHOANG CACH

Khối chop cut Với §, S’ la dién tich hai day, h là

chiều cao khối chóp cụt

+ Chú ý

Hình chóp tứ giác đều Hình lăng trụ đều

Là hình chóp có đáy là hình vuông và hình | Là hình lăng trụ đứng có đáy là äa giác chiếu vuông góc của đính trên mặt đáy | đều

trùng với tâm đáy

Hình chóp tam giác đều Tứ diện đều

Là hình chóp có đáy là tam giác đều, hình | Là hình chóp có 4 mặt là tam giác đều chiếu vuông góc của đỉnh trùng với tâm

tam giác đáy

HỌC TỐT MÔN TOÁN LỚP 12 - HÌNH HỌC GöK&

2 Tỉ số thể tích

Cho hình chóp S.ABC Trên các đoạn thẳng SA, SB, S

SC lần lượt lấy ba điểm A’, B’, C' khác với S Khi đó:

Veawe _ SA' SH' SC' Wsmc SA SB SC S.ABC

Hình chóp có một mặt bên vuông góc với mặt đáy thì chiều

cao của hình chóp là đường thẳng thuộc mặt bên, kể từ đỉnh

và vuông góc với giao tuyến của mặt bên và mặt đáy

Hình chóp có hai mặt cùng vuông góc với đáy thì giao

tuyến của hai mặt đó chính là đường cao của khối chóp

HOOKS CHUYEN DE 1: THE TICH VA KHOANG CACH

ˆ†ƑHình chóp có các cạnh bên bằng-nhau-hoặc-các-cạnh-bên-

cùng tạo với đáy các góc bằng nhau thì chân đường cao là

tâm đường tròn ngoại tiếp đáy

Hình chóp có các mặt bên cùng tạo với đáy các góc bằng

nhau thì chân đường cao là tâm đường tròn nội tiếp đáy

® Một số lưu ý khi tính thể tích: Cho AABC vuông tại A, chiều cao AH

> Hệ thức lượng trong tam giác vuông

e© AB?+ AC? =BCˆ (Định lí Pitago) A

(R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam AABC)

> Công thức tính diện tích tam giác bất kì

S=5ah, =jabsinC="-=pr=4/p(p—a)(p—b)(p—c) 1 1 abc:

NGUYEN THI LANH &

HỌC TỐT MÔN TOÁN LỚP 12 - HÌNH HỌC Paks

R, r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác đó

2

v3a , với chiều cao

œ Chú ý: Diện tích tam giác đều cạnh a là: S= 5

B CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Thể tích khối chóp V= 25h với S là diện tích đáy, h là chiều cao khối chóp

ASAB vuông tại A có SB = a3, AB=anên

SA =^2/SE? — AB? =2/3a?—a? =2/2a? =-/2a

Diện tích đáy là: Sapcp =a.a= a"

Vậy thể tích của khối chóp là:

#OoKs CHUYEN DE 1: THỂ TÍCH VÀ KHOẢNG CÁCH `

Câu 3: Cho hình chóp 5.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, AB = a, BAC = 609, cạnh bên SA vuông góc với đáy, SA = a3 Tính theo a thé tích khối chóp S.ABC

Em có: SA L (ABC) => Vo gac =5-SASyoe 5

Xét A ABC vuéng tai B nén tan BAC= Be AB a/3

= Góc giữa SC và (ABC) chính là góc giữa SC, AC hay

~

NGUYEN TH] LANH BS}

HỌC TỐT MÔN TOÁN LỚP 12 - HÌNH HỌC öö&

Hướng dẫn giải

Gọi H là trung điểm của AB

Theo giả thiết em suy ra được SH.L (ABCD)

— Dap an D

Câu 6: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tai A, mat bén (SBC) 14 tam

đều cạnh a và vuông với mặt đáy Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC

vee" p v= 32) 24 C Va 24 p.va v3" 2

Hướng dan giải

Em có (SBC) L(ABG); (SBC)5(ABC)=BC Trong (SBC), kế SH.L BC (HeBC) thì

Câu 7: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt

phẳng đáy, mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng đáy (ABC) một góc bằng 60° Tinh theo a

Gọi I là trung điểm của BC, Ale; ` =

Ua NGUYEN THI LANH

Em có:+SI(SBC),SI.L BC

| Alc (ABC), AIL BC

= Góc giữa (SBC) và (ABC) chính là góc giữa SĨ và AI

Câu 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có cạnh AB = a, BC = 2a Hai mặt

bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy, SA=V11a Tính theo a thể tích

Câu 9: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tai A, AB =4⁄2a, SA = SB =SC

Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC) bằng 600 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC

3 3 3

Hướng dẫn giải Gọi H là trung điểm của BC — HA = HB = HC

Nên H là tâm đường tròn ngoại tiếp AABC

_ Mặt khác: SA = SB = SC nên SH là trục của đường tròn ngoại tiếp AABC = SH L (ABC)

NGUYEN THI LANH 84

HỌC TỐT MÔN TOÁN LỚP 12 - HINH HOC Øö&

= Hình chiếu vuông góc của SA trên (ABC) là AH

= Góc giữa 5A và (ABC) chính là góc giữa SA và

Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AB = AD = 2a,

CD = a, góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 60° Gọi I là trung điểm của cạnh

AD Biết hai mặt phẳng (SBI) va (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng(ABCD) Tinh theo a thể tích khối chóp S.ABCD

Mat Khe: S seo =2(ID=S_ 5 Sos =Sancp Saas —Sacox ==

Gọi E là trung điểm của AB => BC=/CE? +EB* = |(aB—cb)’ + AD? = 5a

=> IK- xo BC N58, oy 1x tango? 5 — V5 5

=> Ve snep =3-SI-S/» =—

— Dap anA

s0:3 NGUYEN THỊ LANH

#IOOKS CHUYEN DE 1: THE TICH VA KHOANG CACH

* Nang cao Câu 11: Cho hình chóp S.ABC có AB=2a, AC=4a, BC=3a Gọi H là hình chiếu của S nằm trong tam giác ABC Các mặt bên tạo với đáy một góc 45” Tính thể tích khối chóp S.ABC

Hướng dẫn giải

Theo giả thiết, các mặt bên tạo với đáy một góc 45°

nên hình chiếu vuông góc của 5 trên (ABC) chính là

tâm đường tròn nội tiếp AABC hay H là tâm đường

tròn nội tiếp AABC,

Em lại có: S.upc =p+ với r là bán kính đường tròn nội

tiếp tam giác ABC

Từ H, em kẻ HM, HN, HP lần lượt vuông góc với AB, AC, BC thì

r=HM=HN—HP—Saec - V154

Ma HNL AC; SH_L AC=> AC L(SHN)=> AC.LSN

= Góc giữa (SAC) và (ABC) chính là góc giữa SN và HN hay SNH = 459

= ASNH vuông cân tại H —SH=HN= v5,

=> Vo ape = — SHS S.ABC ~ 3 AABC “3° 4 =—, 8

~> Đáp án D

BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 12: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA = 3 3a Tinh theo a thể tích khối chóp S.ABC

3 3

Câu 13: Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB, AC và AD đôi một vuông góc với nhau; AB = 6a,

AC = 7a, AD = 4a Gọi M,N,P tương ứng là trung điểm các cạnh BC, CD, DB Tinh thé tich V của tứ dién AMNP

NGUYEN THI LANH B&

HỌC TỐT MƠN TỐN LỚP 12 - HÌNH HỌC ưự&

Câu 14: Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy là tam giác đều cạnh 2a và thể tích bang a” Chiều cao

h của hình chĩp đã cho là

ana B pa, C pa D.h=x3a

Câu 15: Hình chĩp tam giác đều S.ABC cĩ cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a cĩ thể tích là

va” 37 B 33a? ST È V11a? — D V11a°

ar Câu 16: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh a, SA vuơng gĩc với mặt phẳng (ABCD), gĩc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) bang 45° Tinh theo a thể tích của khối chĩp S.ABCD

Câu 20: Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy ABC là tam giác vuơng tại A, AB =a, ABC = 609 Hình chiếu vuơng gĩc của S trên cạnh BC là điểm H sao cho BC = 4BH, sĩc giữa SA và đáy bằng

60° Tính theo a thể tích khối chĩp S.ABC

3 3 3 3

Câu 21: Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy ABC là tam giác đều cạnh a Hình chiếu vuơng gĩc của

S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HẠ = 2HB Gĩc giữa đường thẳng

YAN NGUYEN THI LANH

#OOKS | CHUYÊN ĐỀ 1: THE TICH VA KHOANG CACH

Câu 22: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Gọi M va N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AD; H là giao điểm của CN với DM Biết SH vuông gốc với mặt

phang (ABCD) va SH=2a¥3 Tinh theo a thể tích khối chóp S.CDNM

Câu 23: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a Gọi điểm M thuộc cạnh AB sao

cho MA = 2MB và hình chiếu vuông góc của S trên mặt (ABC) là trung điểm của CM Góc giữa

Câu 24: Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy bằng 2a, khoảng cách giữa hai đường thẳng SA

và CD bằng ^läa Thể tích khối chóp đều S.ABCD bằng

A ya B y- S55 C V=3a° D V=4V 3a",

Câu 25: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy và ©

SC tạo với mặt phẳng (SAB) một góc 309 Tính thể tích V của khối chóp đã cho

Câu 28: Cho tứ dién ABCD có cạnh AB = x và các cạnh còn lại bằng 2/3 Tim x để thể tích

khối tứ dién ABCD dat gia tri lớn nhất

HOC TOT MON TOAN LOP 12 - HÌNH HỌC " @OOKs

Em có: SA 1(ABC) =SA là chiều cao của hình chóp S

Do AB, AC, AD đôi một vuông góc nên em có:

Va pep = 5 ADS sg =F AD.ABAC==4a.6a.7a =28aŸ

Vì M,N, P lần lượt là trung điểm của BC, CD, BD nên

SG.L(ABC)

ya NGUYỄN THỊ LANH

| #IO0KS CHUYEN ĐỀ 1: THỂ TÍCH VÀ KHOANG CACH

= SG là đường cao của hinh chop

Suy ra SA=AC= aV2

Mà diện tích day: S,p¢p =a-a =a’

Theo giả thiết em có SA L (ABCD)=.SA.L AD,

Ma AD | AB=> AD_| (SAB)

=>SA là hình chiếu vuông góc của SD trên mặt

HOC TOT MON TOAN LOP 12 - HiNH HOC #IOOKS

SH = SB.sin SBC=2./3a.sin30° =-/3a

S JBA-BC= Ì3a-4a =6a”,

=AH là hình chiếu của SA trên (ABC)

= Góc giữa SA và (ABC) chính là góc giữa SA và AH

#IOOKS CHUYÊN ĐỀ 1: THE TICH VA KHOANG CACH

oe Em có: SH-L (ABC)= HClà hình chiếu vuông góc củaSC trên mặt phẳng (ABC) —

= Góc giữa SC và (ABC) chính là góc giữa SC và HC hay SCH = 600

khối chóp > V; con =3 SH Sconm-

Sconm =Sazcp ~Samn ~Spem

Goi H là trung điểm của CM —.SH L (ABC)

=> HC là hình chiếu của SC trên (ABC)

= Góc giữa 5C và (ABC) chính là góc giữa SC, CH

5ö CHUYEN DE 1: THE TÍCH VÀ KHOẢNG CÁCH

Gọi M, N là trung điểm của AB, CD

AABC cân tại Cnên AB.LMC

AAPD cân tại D nên AB.lL MD

HỌC TỐT MÔN TOÁN LỚP 12 - HÌNH HỌC BOOKS

AH 9 SA? AM? SA? AB? AC?

=4 tit ay (BPR Cauchy) => x* y>8143

Dau “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = ah

= AB=AC=SA AM= ` Š, sụ _ 9⁄2 cos AM NB

—> Đáp án B

V4:Š NGUYÊN THỊ LANH

#OOKS CHUYEN DE 1: THE TICH VA KHOANG CACH

Dang 2: Thể tích khối lăng trụ V=S.h, với S là diện tích đáy, h là chiều cao lăng trụ

BÀI TẬP MẪU

va Co’ ban Câu 30: Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông can tai B,

AB =2a, AA' =+/2a Thể tích khối lăng trụ là |

A V=42a B V=4,/2a' "^^ D V=2./2a°

Hướng dẫn giải

Em có AA’ | (ABC) = AA’ Ia chiéu cao ca lang tru A’ C

= Vazcarsic: = AA'S sane

Diện tích của tam giác ABC là:

Saasc = SBA-BC=52a-2a=2a"

Thể tích của khối lăng trụ là: AR Ặ

,

B

—> Đáp án D

Câu 31: Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A'E'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a,

A'B = 3a Thể tích khối lăng trụ bằng

Diện tích tam giác ABC là: 5S, „« =

Xét A ABA' vuông tại à có

AA'=4A'E?—AB? =49a? Ta? =22/2a L

Thể tích của khối lăng trụ là: A C

3 3 3

NGUYỄN THỊ LANH

HOC TỐT MÔN TOÁN LỚP 12 - HÌNH HỌC öök

Hướng dẫn giải có Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC

Khi đó G=ANr¬CM là trọng tâm của AABC

Theo giả thiết em có A"G.L (ABC)

AN=(2a/2).XÖ = õa= Ag=2AN= 26a

Xét AA'AG, có A'G=+/A'A? -AQ2

Suuc =(2/2a} 8 = 23a’

Gọi H là trung điểm của AB = A'H L (ABC)

HC là hình chiếu vuông góc của A'C trên (ABC)

= Góc giữa A'C và (ABC) chính là góc giữa A'C và HC

hay A’CH = 60°

2

Vi AABC déu canh a nén cu, SAAB =

Mat khdc: A’H = CH.tan ren ®, tan60° = 24,

3

2 <> via — — Đáp án D

Câu 34: Cho hình lăng trụ đều ABC.A”E'Œ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, góc giữa hai mặt

phẳng (A'BC) và (ABC) bằng 60° Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A'B.C'

3 3 3 3

A y a8 8 B y-33a 8 C v8, 8 D -343a 24

Hướng dẫn giải

Em có: AA' L (ABC) =AA' là chiều cao của lăng trụ

Gọi D là trung điểm của BC thì BC_L AD và BC L A'D

KIỔ NGUYÊN THỊ LANH

—> Đáp án B

* Nang cao Câu 35: Cho hình lăng try ABCD.A’B’C’D’ cé day ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = V3 a

- Hình chiếu vuông góc của điểm A' trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm của AC và

BD Góc giữa hai mặt phẳng (ADD'A') và (ABCD) bằng 60” Tính theo a thể tích của khối

lãng trụ đã cho

3 3 3 3

Hướng dẫn giải

Gọi O là giao điểm của AC và BD B' C

=A'0_L(ABCD), gọi E là trung điểm của AD

=0O0ELAD,A'O.LAD—>A'ELAD

= Góc giữa (ADD'A') va (ABCD) chinh là góc

giữa A'E và OE hay A'EO = 60°

A'O = OE.tan A ABO tan60° = wa i

Diện tích đáy S„„„„ = AB- AD = 3a? “|

3

Câu 37: Cho lăng trụ ABC.A'E'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AC=2a Hình chiếu vuông góc của A' trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh AC, đường thẳng A'B tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 30” Thể tích khối lăng trụ ABC.A'E'C theo a là

3 3

NGUYEN THỊ LANH Ki

HOC TOT MON TOAN LOP 12 - HINH HOC #OOKS

Cau 38: Cho hình lăng trụ tam giac ABC.A ‘B’C’ cé day là tam giác đều cạnh a, góc giữa hai

mặt phẳng (A'BC) và (ABC) bằng 60°, A’A = A'B = A'C Thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'Œ là

3 3 3 3

A y-x3 24 B Va 8 C y-3 12 Dz y 03a 8

Câu 39: Cho lăng trụ diyng ABC.A’B’C’ cé AC = a, BC = 2a, ACB = 120° va đường thẳng A'C tạo

với mặt phẳng (ABB'A') góc 30° Tinh theo a thé tich khéi ling tru ABC.A'B’C’

Câu 41: Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a Hình chiếu của

A' xuống (ABC) là tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Biết AA' tạo với mặt phẳng

(ABC) một góc 45” Thể tích khối lăng trụ là

3 3 3

Câu 42: Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' mà mặt bên ABB'A' có diện tích là 4 Khoảng

cach tir CC’ dén mặt phẳng (ABB'A') bằng 6/3 Tính thể tích lăng trụ đó

3 3 3 3

va B y- 223 C vais D y= es

Câu 45: Cho hình lăng trụ đứng tam gidc ABC.A’B’C’ cé cac canh đáy lần lượt là 19, 20, 37

và đường cao có độ dài bằng trung bình nhân của hai cạnh nhỏ nhất trong tam giác đáy Thể tích hình lăng trụ đó là

| ØĐöö& CHUYÊN ĐỀ 1: THỂ TÍCH VÀ KHOÁNG CÁCH

Câu 47: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có AA'=A3a Gọi 1 là giao điểm của AB’ va

vã

A'B Biết khoảng cach tir I đến mặt phẳng (BCC'B') bang = Thể tích theo a khối lăng

Câu 48: Cho hình lăng trụ đứng tam gidc ABC.A’B’C’ cé day ABC 14 tam giác đều cạnh a,

đường thẳng AB' tạo với (BCC'B ‘) một góc 30” Thể tích theo a khối lăng trụ ABC.A'B'C

Câu 49: Cho hinh lang tru ABCD.A’B’C’D’ cd day ABCD 1a hinh cht nhat v6i AB =a,

AD= 3a va A’B = 3a Hình chiếu vuông góc của điểm A' trên mặt phẳng (ABCD) trùng với

tâm O của hình chữ nhật ABCD Thể tích của khối lăng trụ ABCD.A'E'CDP” theo a là

A 2y3a3, - - B 26a’ C 6a’ D v/3aẺ

Câu 50: Cho khối lăng trụ đứng tam giác ABC.A'B'C' có đáy là tam giác cân với AB = AC =a,

BÁC = 1200, mặt phẳng (AB'C') tạo với đáy một góc 60” Thể tích theo a khối lăng trụ

ABC.A'B'C'

3 3 3 3

A va22_, | 8 B y=22 , 8 C V=Ê- 8 D v=2" 4

Câu 51: Cho hinh lang tru ABCD.A’B’C’D’ véi day ABCD có BD = 5cm, BAD = 90°,

DCB = 90°, ABD = œ, ÁCD = 8 Mặt phẳng (ACC'A') vuông góc với day, tir gidc ACC’A’ Ia

hinh thoi, A’AC = 60° Giá trị của œ, Blần lượt là bao nhiêu để thể tích khối lăng trụ

DODAIHOC

HOC TOT MON TOAN LOP 12 - HINH HOC #?OOKS

HƯỚNG DẪN GIẢI

=> A'A là chiều cao của lăng trụ NY

Ma AA'=VAB?—A'B”? =1/4a? —a? =,/3a

v3a?

4

Diện tích của AABC là: S,„„e = 5 AB-AC -sinBAC =

Thể tích của khối lăng trụ là:

Vậpcasgc = AA “SAAnc = —> Đáp án B

Cau 37:

- Gọi H là trung điểm của AC= A’H | (ABC)

=> HB là hình chiếu vuông góc của A'B trên mặt phẳng (ABC)

= Góc giữa A'B và (ABC) chính là góc giữa A'B

Em có : BH= AC=a Và S„„pẹ =2BH-AC =a? sự

AA”HB vuông tại H, A'H=HB.tan30° =—

Thể tích của khối lăng trụ là: A (

: ne /3a_ 303 sa

— Đáp án B

Câu 38:

Em có A”.ABC là hình chóp tam giác đều

Gọi H là trọng tâm của AABC, M và N lần lượt là trung điểm của BC và AB

Khi đó A'H L (ABC) = A'H là chiều cao của lăng trụ

(A'BC) (ABC) =BC

Em thay :4A’M1BC

AM LBC

=> Géc gifra (A'BC) va (ABC) chinh la géc gitta

A’M va AM pay AMA = 60°,

#IOOKS | CHUYÊN ĐỀ 1: THỂ TÍCH VÀ KHOÁNG CÁCH

KếCH LAB (HeAB) = CH.L(ABB'A') nên ÄH là hình

chiếu vuông góc của A’C trên mặt phẳng (ABB'A`)

Do đó, góc giữa A'C và (ABB'A') chính là góc giữa A'C và

A'H hay CATH = 300

Ap dụng định lí côsin trong AABC có:

AB=V/AC?+ BC? —2ACBC.cos120° =V7a

2 Sane =CA.CB.sin BCA=a-2a-sin120° no

= = Suse _ 214, gig CH - 2, —, INCA =x3°2 =,

Gọi 1 là trung điểm BC Do tam giác ABC đều cạnh

2cm nên Al=——— 25 = 3cm SAapc =3 cn”

Diện tích tam giác A'BC là S suse assem

Tam giác A'AI vuông tại Anén

Tam giác ABC đều cạnh a nên S, „e =v A&e== =-~=

anal =AO= 2an- V5, B

3

va Tam giác AA?O có Ä'AO = 459, AO=-——~ > A'0=A0.tan45° =

NGUYỄN THỊ LANH EE

Giả sử H là hình chiếu vuông góc của A' trên (ABC)

Góc tạo bởi A'C và (ABC) bằng 60” nên em có

53 A'CH = 60° => A'H=A'C.sin60° =

Diện tích tam giác ABC là: S,„„ = 5 AB -AC=1

53 ¬

Thể tích khối lăng trụ là: V =

—> Đáp án D

Câu 44:

Diện tích tam giác đều ABC là S= 3a" a

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của A'B' và AB

Cách 1: Trong (CC'N), kẻ CK LC'N

=>d(A'B',(C'AB))=d(B',(C'AB))=d(C,(C'AB))=CK Theo

gia thiét, a(arB,(c’aB)) =" nên em có cx,

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông CƠN em

được:——=— + a - cc = Vea

cK" ŒŒ CN 2 J3a? J6a _ 32a

4 4

Cách 2: Trong (MC'N), ké MH 1 C’N (HeC'N) thi MH=d(A'B',(C'AB))

kt NGUYEN THỊ LANH

#00KS CHUYEN DE 1: THE TICH VA KHOANG CACH

Ma AB 1(C'MN) = AB MH=> MHL (C'AB)

Ma A’B'//AB nén em cé: dla’ B' (c AB))=d(M,(C'AB)) = MH = fa

Câu 45:

Áp dụng công thức Hê-rông cho tam giác đáy ta được:

S=,/p.(p—a)(p—b)(p—c) =114

Đường cao hinh lang tru la: h=-/19.20 =2V95

Vậy thể tích hình lăng trụ là: V=Sh=114.2/95=228/95 ->ĐápánA

Tam gidc AA’H vuéng tai A, c6 A'HA = 30° nén:

Cách khác để tính diện tích AABC: Em có: S,„se =5S;apc.COosØ với ø là góc giữa hai

mặt phẳng (ABC) và (A'BC) => S,agc =8.c0830° = 4/3

Câu 47:

Gọi E là trung điểm của BC, N là trung điểm của BE, M là trung điểm của AB

Do IM//(BCC'B') nên em suy ra được:

Diện tích mặt đáy là: S=-(3a?

—=V=AA'-S, uc =v3a-^/3a? =3aŸ — Đáp án A

NGUYEN THI LANH Ev

HOC TOT MON TOAN LOP 12 - HiNH HOC MOoKs

Cau 48:

Gọi M là trung điểm của BC, do AABC đều nên AM L BC

=> Hình chiếu vuông góc của AB trên (BCC'B’) là MB’ Le

= Góc giữa AB và (BCC'B') chính là góc gitta AB’ va MB’

Diện tích hình chữ nhat ABCD 1a: S =AB.AD = /3a’

AABD vudéng tai A nén BD= AB? + AD? =2a

=EBO= ; BD=a

AA'OB vuéng tai O nén A'O=VA'B?-BO? =2V2a

Thể tích của khối lăng tru la: V=S,,,,-A'O =2V6a’

#BO0KS CHUYÊN ĐỀ 1: THỂ TÍCH VÀ KHOANG CACH

Do (ACC!A').L(A'B'C'D') nên trong (ACC'A'), ké CH

vuông góc với A'C' thì CH.L(A'B'C'D))

Do ACC’A’ l hình thoi, rựt = 609 nên CC’A’ = 60° => CH=CC'.sin60° AS

Áp dụng định lí cosin trong AABC em được: AC” = AB’ +BC? ~2AB.BC.cosB

=Ac=Jý [ cos” œ+cos” đ~2.cos ơ.cos,/.cos(ø + /) | =5.sin(a+ f)

=> CH = sin(ø+ đ) —Vaseoacp: =CH-Sapep = = sin’ (a+ 8).cos(œ~ 8)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi |

— Dap an C

NGUYEN THI LANH [Bd

HỌC TỐT MÔN TOÁN LỚP 12 - HÌNH HỌC #IOOKS

Dang 3: TỈ số thể tích

Bài toán áp dụng: Cho hình chóp S.ABC Trên các đoạn thẳng SA, SB, SC lần lượt

lay ba diém A’, BY, C khác với S Khi đó Vsazc SA’ SB’ SC’

case «| SA SB SC’

Chứng minh Gọi H và H lần lượt là hình chiếu vuông góc của A' và A trên mặt phẳng (SBC)

—=A'H/AH— 2 H SA AH SA

TH Su

=> oe = on - =

S.ABC ASBC —AHS 3 ASBC

_ SA' 2SBSCsinB'SC - SA' SB' SC"

Câu 52: Cho hình chóp S.ABC va A’, B’, C' lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB, SC Gọi

V, là thể tích của khối chóp S.A"BC và V, là thể tích khối chóp S.ABC Tính tỉ số a, : ,

#OOKS CHUYEN DE 1: THE TICH VA KHOANG CACH

Câu 54: Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' Gọi V, là thế tích của khối tứ diện ABA'C và V,

là thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ Tinh ti sé o

Hướng dẫn giải Cách 1: Giả sử diện tích đáy của hình lãng trụ là 5, Te A B

chiều cao là h, thể tích khối lăng trụ là V x7

Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng SB, SC Tính thể tích

của khối chóp A.BCNM

33a" 50 n.v-2v 38, 25 cya 888, 50 p v=2va2" 25

Hướng dẫn giải Gọi V là thể tích của khối chóp S.ABC

Vo.anc = Về An VẠ gcNM-

NGUYEN THI LANH £3t

HỌC TỐT MÔN TOÁN LỚP 12 - HÌNH HỌC ØökKE

Vv

Mat khd4c: “Sau 24 SM SN _ »Ñ:5G

Vease SA SB SC SB? SC?

Mà ASAB và ASAC vuông tai A, AM | SB, AN _| SC=> SM-SB=SA?, SN-SC=SA?;

SB’ =SA’ + AB? =5a?,SC? = 5a”,

Wsuuụy _ SA” SA” _ 4a” 4a? 16

Vsanc SB’ SC? 5a? 5a? 25

4 6 Vậy thể tích của khối chóp A.BCNM là

khối chóp S.MNPQ với khối chóp S.ABCD là

NP//BC (P SC); PQ//CD (QeSD) => (a) chinh la (MNPQ)

Vs ainpo = Vs.une + Vs mop:

POOKS | CHUYÊN ĐỀ 1: THỂ TÍCH VÀ KHOẢNG CÁCH

+ Nâng cao Câu 57: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, AB=a; SA =a42 Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm

_ của SA, SB, CD Tính thể tích khối chóp A.MNP

Ma V5 app = 50S sapp = 790-5 Sascn =| 50S asco => Vane =F O5 ApCD

Tứ giác ABCD là hình vuông cạnh a nên S,u«p =4”

ASAO vuông tại 0 nên SO=¬jSA?—0A? = (av2 2) (8) wea,

Veg S.MNP = 505,09 = 24 ABCD — 24 —.a 6a a? = 6 2 48

—> Đáp án D

Câu 58: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên tạo với ới đầy

góc 60” Gọi M là trung diém SC, mat phẳng (a) di qua AM và song song với BD cắt SB tai

E va cắt SD tại F Thế tích khối chóp C.AEMF là |

2véa" 13 ¬" 6 c v68” 36 p, 6A, 18

Hướng dẫn giải Goi O là tâm của hình vuông ABCD, I là giao điểm của SO với AM =Ie(2)

HỌC TỐT MÔN TOÁN LỚP 12 - HÌNH HỌC 200K

Vo EME = Vo ane + Vs ame

Vo ancp =780°S spe =5 OA-tan60" a= 6a?

6

Em có M là trung điểm SC nên =

Vì O, M là trung điểm của AC, SC; AM cắt SO tại

I nên I là trọng tâm tam giác SAC— = = =,

Lấy A' là điểm thuộc SA thỏa mãn SA =3SA' Tính thể tích khối chóp S.A'B'C' theo V

Câu 62: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, BC = 2a Cạnh bên SA

vuông góc với mặt phẳng đáy Góc tạo bởi cạnh bên SB và mặt phẳng (ABCD) bằng 60” Gọi

H R hình chiếu của A trên cạnh SB Tính thể tích khối chóp H.ACD

A

visa" 9 D 2, 9

C NGUYEN THỊ LANH