Xấp xỉ nghiệm của một lớp bài toán bất đẳng thức biến phân ba cấp

Bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian hữuhạn chiều, cũng như vô hạn chiều cùng với các ứng dụng của nó được giới thiệukhá chi tiết trong cuốn sách "An Introduction to Variati

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS Trương Minh Tuyên

Thái Nguyên – 2017

Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy hướng dẫn TS.Trương Minh Tuyên đã dành nhiều thời gian hướng dẫn và chỉ bảo tác giả trongsuốt quá trình làm luận văn.

Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy cô trong Ban giám hiệu, cácthầy cô của khoa Toán - Tin và các phòng chức năng của trường Đại học Khoahọc, Đại học Thái Nguyên đã quan tâm và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gianhọc tập tại trường

Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn tới các bạn trong lớp K9HY, bạn bè vàngười thân trong gia đình đã động viên, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian qua

Một số ký hiệu và viết tắt

H không gian Hilbert

X không gian Banach

h., i tích vô hướng trên H

Mở đầu

Bài toán "Bất đẳng thức biến phân" được nảy sinh trong quá trình nghiêncứu và giải các bài toán thực tế như bài toán cân bằng trong kinh tế, tài chính,bài toán mạng giao thông, lý thuyết trò chơi, phương trình vật lý toán Bàitoán này được giới thiệu lần đầu tiên bởi Hartman P.và Stampacchia G vào năm

1966 trong tài liệu [6] Bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian hữuhạn chiều, cũng như vô hạn chiều cùng với các ứng dụng của nó được giới thiệukhá chi tiết trong cuốn sách "An Introduction to Variational Inequalities andTheir Applications" của D.Kinderlehrer và Stampacchia G xuất bản năm 1980[7]

Từ đó, bài toán bất đẳng thức biên phân được nghiên cứu và phát triển mạnh

mẽ, thu hút sự được sự quan tâm của nhiều người làm toán trong và ngoài nước.Một trong những hướng nghiên cứu quan trọng của bài toán bất đẳng thức biếnphân là việc xây dựng các phương pháp giải Có nhiều phương pháp giải đã được

đề suất như phương pháp gradient, gradient tăng cường hay phương pháp điểmbất động

Bài toán bất đẳng thức biến phân có dạng: Tìm một phần tử x∗ ∈ C, sao cho

hF (x∗), x − x∗i ≥ 0, ∀x ∈ C,trong đó F là một ánh xạ liên tục từ không gian Hilbert H vào chính nó, C làtập con lồi và đóng trong H Bài toán này có ý nghĩa quan trọng trong việc giảibài toán tối ưu lồi có ràng buộc và một trường hợp đặc biệt là bài toán chấpnhận lồi nổi tiếng Khi tập chấp nhận được C là tập nghiệm của một bài toánkhác (tập điểm bất động của ánh xạ không giãn, tập không điểm của toán tửđơn điệu, tập nghiệm của một bất đẳng thức biến phân khác ) thì bài toántrên còn được gọi là bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp Trong trường hợpbấy kỳ ta có thể xem C là tập điểm bất động của phép chiếu mêtric PC từ H lên

C, do đó bài toán trên luôn có thể xem như bài toán bất đẳng thức biến phân

trên tập điểm bất động của một ánh xạ không giãn PC Như vậy có thể nói bàitoán bất đẳng thức biến phân nói chung hay bài toán bất đẳng thức biến phânhai cấp nói riêng đóng vai trò quan trọng trong lĩnh vực giải tích phi tuyến.Trong những năm gần đây, bài toán bất đẳng thức biến phân ba cấp

V I(A2, V I(C, A1)) với C là tập nghiệm của một bài toán khác cũng là mộtchủ đề quan trọng trong lĩnh vực tối ưu hóa Lớp các bài toán này hiện đang thuhút đông đảo người làm toán trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu

Mục đích của luận văn là trình bày lại kết quả của Ceng L.C., Ansari Q.H.,Petrusel A và Yao J.C trong tài liệu [4] về sự kết hợp các phương pháp lặpMann, phương pháp xấp xỉ gắn kết và phương pháp đường dốc nhất cho bàitoán bất đẳng thức biến phân ba cấp, với miền chấp nhận được là tập nghiệmcủa bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động của một ánh xạ không giãn.Nội dung chính của luận văn được chia làm hai chương Chương 1 trình bày

về một số tính chất đặc trưng của không gian Hilbert thực, bài toán tìm điểmbất động của ánh xạ không giãn, bài toán bất đẳng thức biến phân cổ điển cùngvới các bài toán liên quan trong không gian hữu hạn chiều Rn, bài toán bất đẳngthức biến phân trong không gian Hilbert và cuối cùng là một số bổ đề bổ trợ cần

sử dụng đến trong chứng minh các định lý được đề cập trong Chương 2 của luậnvăn Chương 2 của luận văn trình bày về một thuật toán của Ceng L.C., AnsariQ.H., Petrusel A và Yao J.C trong tài liệu [4] cùng với đó là ba định lý (với cácgiả thiết khác nhau đặt lên các dãy tham số) về sự hội tụ mạnh của thuật toán

về một nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân ba cấp trong không gianHilbert

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị

Chương này bao gồm năm mục chính Mục 1.1 đề cập đến một số đặc trưng

cơ bản của không gian Hilbert thực, Mục 1.2 giới thiệu sơ lược một số kết quả

về bài toán tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn Mục 1.3 trình bày về bàitoán bất đẳng thức biến phân cổ điển trong không gian hữu hạn chiều Rn vàcác bài toán liên quan, Mục 1.4 giới thiệu về bài toán bất đẳng thức biến phântrong không gian Hilbert Mục 1.5 trình bày một số bổ đề cần sử dụng đến trongChương 2 của luận văn Nội dung của chương này phần lớn được tham khảo từcác tài liệu [2] và [3]

1.1 Một số đặc trưng của không gian Hilbert

Ta luôn giả thiết H là không gian Hilbert thực với tích vô hướng được kí hiệu

là h., i và chuẩn được kí hiệu là k.k

Mệnh đề 1.1 (Bất đẳng thức Schwars) Trong không gian Hilbert thực H taluôn có bất đẳng thức sau:

|hx, yi| ≤ kxk.kyk,với mọi x, y ∈ H

Chứng minh Nếu y = 0 thì bất đẳng thức cần chứng minh hiển nhiên đúng.Nếu y 6= 0, thì từ tính chất của tích vô hướng, ta có

hx + ty, x + tyi ≥ 0,

Từ đó ta nhận được điều phải chứng minh.

Mệnh đề 1.2 (Đẳng thức hình bình hành) Trong không gian Hilbert thực H taluôn có đẳng thức sau:

kx + yk2+ kx − yk2 = 2(kxk2+ kyk2),với mọi x, y ∈ H

Chứng minh Ta luôn có

kx + yk2 = kxk2+ 2hxx, yi + kyk2,

kx − yk2 = kxk2− 2hxx, yi + kyk2.Cộng hai đẳng thức trên ta nhận được điều phải chứng minh

Mệnh đề 1.3 Trong không gian Hilbert thực H ta luôn có đẳng thức sau

kx − yk2+ kx − zk2 = ky − zk2+ 2hx − y, x − zi,với mọi x, y, z ∈ H

Mệnh đề 1.4 Cho H là một không gian Hilbert thực Khi đó, với mọi x, y ∈ H

và mọi λ ∈ [0, 1], ta có

kλx + (1 − λ)yk2 = λkxk2+ (1 − λ)kyk2− λ(1 − λ)kx − yk2 (1.1)Chứng minh Ta có

kλx + (1 − λ)yk2 = λ2kxk2+ 2λ(1 − λ)hx, yi + (1 − λ)2kyk2

= λkxk2+ (1 − λ)kyk2− λ(1 − λ)(kxk2− 2hx, yi + kyk2)

= λkxk2+ (1 − λ)kyk2− λ(1 − λ)kx − yk2

Ta được điều phải chứng minh

Mệnh đề 1.5 Trong không gian Hilbert thực H, ta luôn có

kx + yk2 ≤ kxk2+ 2hy, x + yivới mọi x, y ∈ H

Chứng minh Với mọi x, y ∈ H, ta có

xn * x Tuy nhiên, điều ngược lại không đúng Chẳng hạn xét không gian

|hen, yi|2 < kyk2 < ∞.

Suy ra limn→∞hen, yi = 0, tức là en * 0 Tuy nhiên, {en} không hội tụ về 0, vì

Mệnh đề 1.7 Mọi không gian Hilbert thực H đều có tính chất Kadec-Klee, tức

là nếu {xn} ⊂ H là một dãy bất kỳ trong H thỏa mãn các điều kiện xn * x và

kxnk → kxk, thì xn → x, khi n → ∞

Chứng minh Ta có

kxn − xk2 = kxnk2− 2hxn, xi + kxk2

→ 0, n → ∞

Suy ra xn → x, khi n → ∞ Mệnh đề được chứng minh

Mệnh đề 1.8 Cho C là một tập con lồi và đóng của không gian Hilbert thực

H Khi đó, với mỗi x ∈ H, tồn tại duy nhất phần tử PCx ∈ C sao cho

kx − PCxk ≤ kx − yk với mọi y ∈ C

Chứng minh Thật vậy, đặt d = inf

u∈Ckx − uk Khi đó, tồn tại {un} ⊂ C sao cho

Ví dụ 1.2 Cho C = {x ∈ H : kx − ak ≤ R}, trong đó a ∈ H là một phần tửcho trước và R là một số dương Khi đó, ta có:

Mệnh đề 1.9 Cho C là tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian Hilbert

H Cho PC : H −→ C là một ánh xạ Khi đó, các phát biểu sau là tương đương:a) PC là phép chiếu mêtric từ H lên C;

b) hy − PCx, x − PCxi ≤ 0 với mọi x ∈ H và y ∈ C

Chứng minh Thật vậy, giả sử PC là phép chiếu mêtric từ H lên C, tức là kx −

PCxk = infu∈Ckx − uk Với mọi x ∈ H, y ∈ C và với mọi α ∈ (0, 1), đặt

yα = αy + (1 − α)PCx Vì C lồi nên yα ∈ C và do đó

Ngược lại, giả sử b) đúng Với mọi x ∈ H và mọi y ∈ C, ta có

Từ mệnh đề trên, ta có hệ quả dưới đây:

Hệ quả 1.1 Cho C là một tập con lồi đóng của không gian Hilbert H và PC làphép chiếu mêtric từ H lên C Khi đó, ta có các khẳng định sau:

a) với mọi x, y ∈ H, ta có

kPCx − PCyk2 ≤ hx − y, PCx − PCyi;

b) với mọi x ∈ H và y ∈ C, ta có

kx − yk2 ≥ kx − PCxk2+ ky − PCxk2.Chứng minh a) Với mọi x, y ∈ H, từ Mệnh đề 1.9, ta có

Hệ quả được chứng minh

Mệnh đề 1.10 Nếu C là một tập con lồi và đóng của không gian Hilbert H,thì C là tập đóng yếu

Chứng minh Trước hết, ta chỉ ra tồn tại một phần tử v ∈ H, v 6= 0 sao cho

sup

y∈C

hv, yi ≤ hv, xi − kvk2

Vì x /∈ C, nên v = x − PCx 6= 0 Từ Mệnh đề 1.9, ta có

hv, y − PCxi ≤ 0,với mọi y ∈ C Suy ra

hv, y − x + x − PCxi ≤ 0,với mọi y ∈ C Điều này tương đương với

hv, yi ≤ hv, xi − kvk2,với mọi y ∈ C Do đó

sup

y∈C

hv, yi ≤ hv, xi − kvk2.Bây giờ ta chỉ ra C là tập đóng yếu Giả sử ngược lại rằng C không là tậpđóng yếu Khi đó, tồn tại dãy {xn} trong C thỏa mãn xn * x, nhưng x /∈ C Vì

C là tập lồi và đóng, nên theo chứng minh trên, ta có

hv, zi < hv, xi − ε,với ε = kvk2/2 và mọi z ∈ C Đặc biệt

hv, xni < hv, xi − ε,với mọi n Cho n → ∞, ta nhận được

hv, xi ≤ hv, xi − ε,điều này là vô lý Do đó, C là tập đóng yếu

Chú ý 1.1 Nếu C là tập đóng yếu trong H thì hiển nhiên C là tập đóng

Từ định lý Banach-Alaoglu, ta có mệnh đề dưới đây:

Mệnh đề 1.11 Mọi tập con bị chặn của H đều là tập compact tương đối yếu

1.2 Bài toán tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn

Định nghĩa 1.2 Cho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gianHilbert thực H Ánh xạ T : C −→ H được gọi là một ánh xạ không giãn, nếuvới mọi x, y ∈ C, ta có

kT x − T yk ≤ kx − yk

Ta ký hiệu tập điểm bất động của ánh xạ không giãn T là F ix(T ), tức là

F ix(T ) = {x ∈ C : T x = x}

Mệnh đề dưới đây cho ta mô tả về tính chất của tập điểm bất động F ix(T ).Mệnh đề 1.12 Cho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gianHilbert thực H và T : C −→ H là một ánh xạ không giãn Khi đó, F ix(T ) làmột tập lồi và đóng trong H

Chứng minh Giả sử F ix(T ) 6= ∅

Trước hết, ta chỉ ra F ix(T ) là tập đóng Thật vậy, vì T là ánh xạ không giãnnên T liên tục trên C Giả sử {xn} là một dãy bất kỳ trong F ix(T ) thỏa mãn

xn → x, khi n → ∞ Vì {xn} ⊂ F ix(T ), nên

kT xn − xnk = 0,với mọi n ≥ 1 Từ tính liên tục của chuẩn, cho n → ∞, ta nhận được kT x − xk =

0, tức là x ∈ F ix(T ) Do đó, F ix(T ) là tập đóng

Tiếp theo, ta chỉ ra tính lồi của F ix(T ) Giả sử x, y ∈ F ix(T ), tức là T x = x

và T y = y Với λ ∈ [0, 1], đặt z = λx + (1 − λ)y Khi đó, từ Mệnh đề 1.4 và tínhkhông giãn của T ta có

Suy ra T z = z và do đó z ∈ F ix(T ) Vậy F ix(T ) là một tập lồi

Mệnh đề 1.13 (Nguyên lý nửa đóng) Cho C là tập con lồi, đóng và khác rỗngcủa không gian Hilbert thực H và T : C −→ C là một ánh xạ không giãn Khi

đó, nếu T có điểm bất động thì T là nửa đóng, tức là với mọi dãy {xn} ⊂ C thỏamãn xn * x ∈ C và xn − T xn → y, thì x − T x = y Đặc biệt, nếu y = 0 thì

x ∈ F ix(T )

Bài toán Cho T : C −→ C là một ánh xạ không giãn từ tập con lồi, đóng

và khác rỗng C của không gian Hilbert H vào chính nó với F ix(T ) 6= ∅ Tìmphần tử x∗ ∈ F ix(T )

Đã có nhiều phương pháp nổi tiếng được đề xuất để giải bài toán trên, nhưphương pháp lặp Mann, phương pháp lặp Ishikawa, phương pháp lặp Halpern,phương pháp xấp xỉ mềm, phương pháp đường dốc nhất

Chú ý 1.2 Nếu T là ánh xạ co trên C, thì dãy lặp Picard xác định bởi x0 ∈ C

và xn+1 = T (xn) hội tụ mạnh về điểm bất động duy nhất của T Tuy nhiên điềunày không còn đúng đối với lớp ánh xạ không giãn

là không gian Hilbert vô hạn chiều thì dãy lặp (1.3) chỉ cho sự hội tụ yếu.Phương pháp lặp Halpern

Năm 1967, Halpern B [5] đã đề xuất phương pháp lặp

(

x0 ∈ C là một phần tử bất kì,

xn+1 = αnu + (1 − αn)T xn, n ≥ 0 (1.4)

ở đây u ∈ C và {αn} ⊂ (0, 1) Dãy lặp (1.4) được gọi là dãy lặp Halpern Ông

đã chứng minh sự hội tụ mạnh của dãy lặp (1.4) về điểm bất động của ánh xạkhông giãn T với điều kiện αn = n−α, α ∈ (0, 1)

Phương pháp lặp xấp xỉ mềm

Năm 2000, Moudafi A.[9] đã đề xuất phương pháp xấp xỉ mềm, để tìm điểmbất động của ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert và đã chứng minhđược các kết quả sau:

x ∈ F (T ) sao cho h(I − f )(x), x − xi ≤ 0, ∀x ∈ F (T ),trong đó {εn} là một dãy số dương hội tụ về 0

(2) Với mỗi phần tử ban đầu z0 ∈ C, xác định dãy {zn} ⊂ C bởi:

1

εn+1 − 1

εn

= 0, thì {zn} hội tụmạnh về nghiệm duy nhất của bất đẳng thức biến phân:

x ∈ F (T ) sao cho h(I − f )(x), x − xi ≤ 0, ∀x ∈ F (T ),

ở đây, f : C → C là một ánh xạ co cho trước với hệ số co c ∈ [0, 1) Tức là

Ta sẽ xây dựng một dãy điểm x0, x1, x2, sao cho f (xk+1 < f (xk)) với mọi

k = 0, 1, 2, , dãy {xk} hội tụ tới x∗ khi k → ∞ và 5f (x∗) = 0 Giả sử ta cóđiểm xk thuộc lân cận của x∗, khi đó để giảm hàm mục tiêu ta sẽ dịch chuyển

từ xk theo hướng dk tạo với véctơ gradient 5f (xk) một góc tù, tức là xác định

xk+1= xk + αkdk,trong đó αk > 0 và h5f (xk), dki < 0

Thật vậy, khai triển hàm f (x) thành chuỗi Taylor tại điểm xk, ta được

xk+1= xk − αk5 f (xk), αk > 0, k = 0, 1, 2, (1.7)Vấn đề đặt ra là, trong phương pháp lặp (1.7) αk > 0 được xác định như thếnào Dưới đây, chúng tôi giới thiệu qui tắc Armijo để xác định αk tại mỗi bướclặp:

1 Chọn giá trị α tùy ý (như nhau với mọi bước lặp, chẳng hạn α = 1) và xácđịnh điểm x = xk− α 5 f (xk);

2 Tính f (x) = f [xk − α 5 f (xk)];

3 Kiểm tra bất đẳng thức

f (x) − f (xk) ≤ εαh5f (xk), dki = −εαk 5 f (xk)k2, (1.8)với 0 < ε < 1 là hằng số cho trước tùy ý và như nhau ở mỗi bước lặp;

4 Nếu (1.8) thỏa mãn thì α là giá trị cần tìm Nếu (1.8) không thỏa mãn, thì

ta giảm α, bằng cách nhân α với một số λ ∈ (0, 1), chẳng hạn thay α bởiα/2, cho đến khi bất đẳng thức (1.8) được thỏa mãn

Năm 2007, Alber [1] đã đề xuất phương pháp đường dốc cho bài toán tìmđiểm bất động của một ánh xạ không giãn T trên tập con lồi và đóng C củakhông gian Banach E, ở dạng sau:

xn+1 = PC(xn − µn(xn − T xn)), x0 ∈ C, (1.9)trong đó PC là ánh xạ co rút không giãn từ E lên C và đã chứng minh đượcrằng, nếu µn > 0 với mọi n và P∞

n=0µ2n < ∞ và {xn} bị chặn thì:

i) Tồn tại một điểm tụ yếu của {xn};

ii) Mọi điểm tụ yếu của {xn} đều thuộc F ix(T );

iii) Nếu F ix(T ) = {x∗}, thì {xn} hội tụ yếu về x∗

Nhận xét 1.1 Nếu C ≡ E, thì (1.9) trở thành

xn+1 = xn − µn(xn− T xn), n ≥ 0

Trong trường hợp này, thì dn := xn− T xn và theo phương pháp này thì phần tử

xn+1 sẽ gần tập điểm bất động của T hơn so với điểm xn Thật vậy, lấy bất kỳ

p ∈ F ix(T ), khi đó ta có

kxn+1− pk = kxn − µn(xn− T xn) − pk

= (1 − µn)kxn− pk + µnkT xn − T pk

≤ kxn− pk

1.3 Bài toán bất đẳng thức biến phân cổ điển

Trong mục này, chúng tôi đề cập đến bài toán bất đẳng thức biến phân trênkhông gian hữu hạn chiều Rn và một số bài toán liên quan

Cho C là một tập con lồi và đóng của Rn và F : C −→ Rn là một ánh xạliên tục Bài toán bất đẳng thức biến phân cổ điển của ánh xạ đơn trị được phát

biểu như sau:

Tìm x∗ ∈ C sao cho

hF x∗, x − x∗i ≥ 0, ∀x ∈ C (1.10)Tập hợp những điểm x∗ ∈ C thỏa mãn (1.10) được gọi là tập nghiệm của bàitoán và ký hiệu là V I(F, C)

Sự tồn tại nghiệm của bài toán (1.10) được cho bởi định lý dưới đây:

Định lí 1.1 Cho C là một tập lồi và compact trong Rn và F : C −→ Rn làmột ánh xạ liên tục Khi đó, bài toán (1.10) có ít nhất một nghiệm

Chứng minh Đặt PC là phép chiếu mêtric từ Rn lên C Khi đó, PC(I − γF )

là một ánh xạ liên tục từ C vào chính nó, với I là ánh xạ đồng nhất trên Rn

và γ > 0 Theo nguyên lý điểm bất động Brouwer, tồn tại x∗ ∈ C sao cho

PC(x∗− γF (x∗)) = x∗ Theo Mệnh đề 1.9, hF x∗, x − x∗i ≥ 0 với mọi x ∈ C hay

x∗ là nghiệm của bài toán (1.10)

Bất đẳng thức biến phân cổ điển (1.10) có mối quan hệ mật thiết với một sốbài toán khác như là: Hệ phương trình, bài toán tối ưu, bài toán bù và bài toánđiểm bất động

Hệ phương trình

Nhiều vấn đề cân bằng kinh tế cổ điển đã được mô hình như một hệ phươngtrình, vì điều kiện thanh toán bù trừ thị trường, nhất thiết phải có sự cân bằnggiữa cung và cầu Bài toán bất đẳng thức biến phân có thể xem như một hệphương trình thông qua mệnh đề dưới đây:

Bài toán tối ưu

Cho C là một tập lồi, đóng, khác rỗng của Rn và f : C −→ R là một phiếmhàm lồi trên C Xét bài toán sau:

Tìm x∗ ∈ C sao cho

f (x∗) = min{f (x)|x ∈ C} (1.11)Mệnh đề sau đây cho biết mối quan hệ giữa bài toán (1.11) và bất đẳng thứcbiến phân cổ điển

Mệnh đề 1.15 Cho C là một tập lồi, đóng, khác rỗng của Rn và f : C −→ R

là một phiếm hàm lồi, khả vi trên C Khi đó, x∗ ∈ C là nghiệm của bài toán(1.11) khi và chỉ khi x∗ là nghiệm của Bài toán (1.10), với F x = 5f (x)

Chứng minh Giả sử x∗ là nghiệm của Bài toán (1.11) Đặt ϕ(t) = f (x∗+ t(x −

x∗)) với t ∈ [0, 1] Khi đó, ϕ đạt cực tiểu tại t = 0, do đó 0 ≤ ϕ0(0) = h5f (x∗), x−

x∗i, hay x∗ là nghiệm của Bài toán (1.10), với F x = 5f (x)

Ngược lại, giả sử x∗ là nghiệm của Bài toán (1.10), với F x = 5f (x) Vì f làhàm lồi, nên

f (x) ≥ f (x∗) + h5f (x∗), x − x∗i,với mọi x ∈ C Từ đó suy ra f (x) ≥ f (x∗) với mọi x ∈ C, hay x∗ là nghiệm củaBài toán (1.11)

b là véc tơ cỡ n × 1, thì (1.12) được gọi là bài toán bù tuyến tính

Mối quan hệ giữa bài toán bù và bài toán bất đẳng thức biến phân được cho bởimệnh đề dưới đây:

Mệnh đề 1.16 Bài toán V I(F, Rn+) và Bài toán (1.12) có cùng tập nghiệm

hF x∗, x∗i ≥ 0, hF x∗, −x∗i ≥ 0 (1.14)Suy ra hF x∗, x∗i = 0 Do đó x∗ là một nghiệm của Bài toán (1.12).

Ngược lại, giả sử x∗ là nghiệm của Bài toán (1.12) Vì x ∈ Rn+ nên

hF x∗, x − x∗i = hF x∗, xi − hF x∗, x∗i ≥ 0,hay x∗ là nghiệm của bài toán V I(F, Rn+)

Bài toán điểm bất động

Mệnh đề sau đây cho biết mối quan hệ giữa bài toán điểm bất động với bấtđẳng thức biến phân cổ điển

Mệnh đề 1.17 Phần tử x∗ ∈ C là nghiệm của bài toán (1.10) khi và chỉ khi

x∗ là điểm bất động của ánh xạ PC(I − γF ), với mọi γ > 0 và I là ánh xạ đồngnhất trên Rn

Chứng minh Suy ra trực tiếp từ Mệnh đề 1.9

1.4 Bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian

Cho C là một tập con lồi và đóng của không gian Hilbert H và A : C −→ H

là một ánh xạ liên tục Bài toán bất đẳng thức biến phân được phát biểu nhưsau:

Tìm x∗ ∈ C sao cho

hAx∗, x − x∗i ≥ 0 với mọi x ∈ C (1.15)Tập hợp những điểm x∗ ∈ C thỏa mãn (1.15) được gọi là tập nghiệm của bàitoán và ký hiệu là V I(C, A)

Trước hết chúng ta nhắc lại một số khái niệm sau

Cho H là một không gian Hilbert thực, C là một tập lồi đóng khác rỗng của H

và A : C −→ H là một ánh xạ từ C vào H

a) Ánh xạ A được gọi là đơn điệu trên C nếu, với mọi x, y ∈ C ta có:

hAx − Ay, x − yi ≥ 0

b) Ánh xạ A được gọi là giả đơn điệu trên C nếu, với mọi x, y ∈ C ta có:

hAy, x − yi ≥ 0 suy ra hAx, x − yi ≥ 0

c) Ánh xạ A được gọi là α−đơn điệu mạnh trên C, nếu tồn tại một hằng số

α > 0 sao cho với mọi x, y ∈ C ta có:

hAx − Ay, x − yi ≥ αkx − yk2

d) Ánh xạ A được gọi là α-ngược đơn điệu mạnh trên C, nếu tồn tại một hằng

số α > 0 sao cho với mọi x, y ∈ C ta có:

hAx − Ay, x − yi ≥ αkAx − Ayk2

e) Ánh xạ A được gọi là h-liên tục trên C nếu A(x + ty) * A(x) khi t −→ 0+sao cho với mọi x, y ∈ C

f) Ánh xạ A được gọi là L-liên tục Lipschitz trên C, nếu tồn tại một hằng số

L > 0 sao cho với mọi x, y ∈ C ta có:

kAx − Ayk ≥ Lkx − yk

Chứng minh Giả sử x∗ ∈ V I(C, A), tức là hAx∗, y − x∗i ≥ 0 với mọi y ∈ C Khi

đó, từ tính đơn điệu của A, ta có

hAy, y − x∗i = hAy − Ax∗, y − x∗i + hAx∗, y − x∗i ≥ 0với mọi y ∈ C

Ngược lại, giả sử x∗ ∈ C thỏa mãn

Mệnh đề 1.20 Cho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gianHilbert H và cho A : C −→ H là một toán tử đơn điệu, h-liên tục Khi đó,

x∗ ∈ V I(C, A) khi và chỉ khi x∗ = PC(x∗− λAx∗) với mọi λ > 0

Chứng minh Suy ra trực tiếp từ Mệnh đề 1.9

1.5 Một số bổ đề bổ trợ

Bổ đề 1.1 Cho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian Hilbert

H và cho A : C −→ H là một toán tử α-ngược đơn điệu mạnh Khi đó, với

λ ∈ [0, 2α], ánh xạ Sλ : H −→ H xác định bởi Sλx = PC(I − λA)x là khônggiãn và F ix(Sλ) = V I(C, A)

Chứng minh Giả sử λ ∈ [0, 2α], khi đó từ tính không giãn của PC và tính ngược đơn điệu mạnh của A, với mọi x, y ∈ H ta có

α-kSλx − Sλyk2 = kPC(I − λA)x − PC(I − λA)yk2

≤ k(I − λA)x − (I − λA)yk2

= kx − yk2− 2λhx − y, Ax − Ayi + λ2kAx − Ayk2+ λ(λ − 2α)kAx − Ayk2

≤ kx − yk2.Suy ra, kSλx − Sλyk ≤ kx − yk với mọi x, y ∈ H Do đó, Sλ là ánh xạ khônggiãn Phần còn lại của chứng minh được suy ra từ Mệnh đề 1.20

Nhận xét 1.3 Trong Bổ đề 1.1 nếu thay PC bởi ánh xạ không giãn T : C −→ Cthì ta cũng nhận được T (I − λA) là một ánh xạ không giãn

Bổ đề 1.2 Cho A : H −→ H là một toán tử η-đơn điệu mạnh, κ-Lipschitz vàcho µ ∈ (0, 2η/κ2) Với mỗi λ ∈ [0, 1], xác định ánh xạ T(λ,µ) : H −→ H bởi

T(λ,µ)x = x − λµAx, với mọi x ∈ H Khi đó,

kT(λ,µ)x − T(λ,µ)yk ≤ (1 − λτ )kx − ykvới mọi x, y ∈ H, trong đó τ = 1 −p1 − µ(2η − µκ2)

Bổ đề 1.3 Cho {an} là một dãy bị chặn các số thực không âm và {bn} là dãycác số thực thỏa mãn lim supn→∞bn ≤ 0 Khi đó, lim supn→∞anbn ≤ 0

Chứng minh Vì {an} là dãy bị chặn các số thực không âm, nên tồn tại hằng số

a > 0 sao cho 0 ≤ an ≤ a với mọi n ≥ 0 Vì lim supn→∞bn ≤ 0, nên với ε > 0bất kỳ, tồn tại n0 ∈ N sao cho bn < ε với mọi n ≥ n0 Từ đó suy ra

Vì ε > 0 là bất kỳ, nên khi cho ε → 0, ta nhận được lim supn→∞anbn ≤ 0

Bổ đề 1.4 Cho {an} là một dãy số các số thực không âm thỏa mãn tính chất

an+1 ≤ (1 − sn)an + sntn+ vn, ∀n ≥ 0 (1.16)trong đó {sn}, {sn} và {vn} thỏa mãn các điều kiện

Khi đó {an} hội tụ đến 0 khi n → ∞

Chứng minh Với ε > 0 bất kỳ (cho trước), lấy số tự nhiên N đủ lớn sao cho

Từ các điều kiện i)-iii) và đánh giá trên, ta nhận được lim supn→∞an ≤ 2ε Vì

ε > 0 là bất kỳ nên lim supn→∞an ≤ 0 Do đó limn→∞an = 0

2.1 Phát biểu bài toán

Một lớp bất đẳng thức biến phân hai cấp quan trọng và có nhiều ứng dụngtrong các lĩnh vực khác nhau của toán học, vật lý, y học hay kinh tế là bàitoán bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động của ánh xạ không giãn.Xét bài toán dưới đây:

Bài toán 2.1 Cho A : H −→ H là một toán tử đơn điệu, liên tục và cho

T : H −→ H là một ánh xạ không giãn Tìm phần tử x∗ ∈ V I(F ix(T ), A), tức

là x∗ thỏa mãn

hAx∗, v − x∗i ≥ 0, ∀v ∈ F ix(T )

Năm 2001, Yamada I.[10] đã đề xuất phương pháp đường dốc nhất để giảiBài toán 2.1 cho trường hợp A là toán tử Lipschitz và đơn điệu mạnh Kết quảcủa Yamada được cho bởi định lý dưới đây:

Định lí 2.1 [10] Cho T : H −→ H là một ánh xạ không giãn với F ix(T ) 6= ∅.Giả sử ánh xạ A : H −→ H là L-Lipchitz và η-đơn điệu mạnh trên T (H) Khi

Một lớp bất đẳng thức biến phân hai cấp quan trọng có nhiều ứng dụngtrong lĩnh vực khác toán học, vật lý, y học hay kinh tế bàitoán bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động... pk

1.3 Bài toán bất đẳng thức biến phân cổ điển

Trong mục này, đề cập đến toán bất đẳng thức biến phân trênkhông gian hữu hạn chiều Rn số toán liên quan

Cho... 0,hay x∗ nghiệm toán V I(F, Rn+)

Bài toán điểm bất động

Mệnh đề sau cho biết mối quan hệ toán điểm bất động với bất? ?ẳng thức biến phân cổ điển

Mệnh