CÔNG THỨC GIẢI NHANH TOÁN HÌNH 2018, BÙI BẢO CHÂU

e Thiét dién qua truc la tam gidc SAB cân tại S và Sap = Rh h là chiều cao , R bán kính đáy e _ Thiết diện qua đỉnh không chứa trục là tam giác cân SBC, thiết điện cắt đáy theo đây cung

BUI BAO CHAU - Sưu TAM

V= mR

Tam I là trung điểm của AC? (hoặc lấy trung điểm của đoạn thắng

nối tâm của 2 mặt đối diện)

Hình trụ cụt

s* Khoảng cách trong bài toán trụ :

Bài 1 : Vị =rR”h, S.„ = 2mrh, S„ = 2zR (R +h)

e_ Thiết diện vuông góc với trục là đường tròn bán kính R

e Thiết diện chứa trục là hình chữ nhật ABCD diện tích

S=2Rh

e Thiét điện song song với trục là hình chữ nhật AEFD có

khoảng cách giữa trục và thiết diện là d(OO',AEED) = OI

Bài 2 : A, B lần lượt là các điểm trên các đường tròn đáy của

hình trụ ta có:

e_ Góc giữa AB và trục OO': (AB,OO')= A'AB

e Khoảng cách giữa AB và OO”: d(AB,OO') =O'H

¢ Thé tich chop trong hinh tru :

se Gọi AB, CD là hai đường kính trên hai mặt đáy của hình

s* Bán kính mặt cầu ngoại tiép tru :

e Mặt cầu ngoại tiếp hình nón bán kính r đường cao h:

R= 124 va Veo =n Py

Vera 37V T4

e Trong các hình trụ nội tiếp mặt cầu thì hình trụ có thiết

diện qua trục lớn nhất khi

BUI BAO CHAU - Sưu TAM

mặt câu thì hình trụ có thê tích lớn nhất khi:

bh? =2r? oh=rv2

e Thiét dién qua truc la tam gidc SAB cân tại S và

Sap = Rh (h là chiều cao , R bán kính đáy)

e _ Thiết diện qua đỉnh không chứa trục là tam giác cân

SBC, thiết điện cắt đáy theo đây cung CB ta có: A 8

* Mặt cầu (S) tâm I bán kính R, ngoại tiếp hình nón bán

h”“+rˆ 2h e_ Trong các khối nón nội tiếp mặt cầu (S) tâm I, bán

kính không đôi R Khôi nón có thê tích lớn nhât khi

+ Mặt cầu (S) tâm I, bán kính r nội tiếp trong mặt nón (Ñ)

bán kính R, đường cao h, đường sinh I Ta có:

e Dung tam I:

Lay E € ACsao cho OC = OE

Qua E kẻ đường thẳng vuông góc với AC và cắt O tai I thi

I là tâm mặt cầu nội tiếp hình nón (N)

BUI BAO CHAU

BUI BAO CHAU - Sưu TAM

MOT SO CÔNG THỨC TÍNH THỂ TÍCH

HINH CHOP DAC BIET

% Dạng 1: Cho hình chóp S4BC với các mặt phang(SAB),(SBC ).(%4C) vuông góc với

nhau từng đôi một, diện tích các tam giác S4, SBC, S4C lần lượt là S,,5,,55

(S4B)và (SBC) vuông góc với nhau

Nên BC vuông góc (SAB) ` x^ <

Tam giác SBC vuông tại B nên BC = SB.tan Ø8 > 6, SBC = 5 SB.BC = 7 SB*.tan B

Kẻ AK vuông góc SB Lic nay SK sé la khoảng cách từ A đến SBC Do AK vuông góc

BUI BAO CHAU - Sưu TAM

Câu 2: Cho hình chop SABC véi các mặt phẳng (S48).(SBC).(S4C) vuông góc với nhau

từng đôi một, diện tích các tam giác Š4B, SBC, S4C lần lượt là 15a?,20a?,18a? Thể tích khối chóp là:

_v c »S; _ V2.15a 20a 18a? _ 60a V3 903 »J3 => Chon A

Câu 5: Cho hinh chép SABC véi cdc mat phang (S4), (SBC).(S4C) vuông góc với nhau từng

đôi một, diện tích các tam giác %4B,,SBC, S4C lần lượt là a?,4a?,9a? Thể tích khối chóp là:

11

3

A 20A3a B V22” C 2424! p 2°

6 Giai:

4{ 29,5, S

Ve asc = —z =2V/2a? > Chon C

Câu 6: Cho hình chóp S.ABC c6 5⁄4 vuông góc với (4BC), hai mặt phăng (S4B) và (SBC) vuông góc với nhau, S# = a3, 8S%C = 45°, ASB = 30° Thé tich khdi chép S.ABC là:

Câu 7: Cho hinh chop S.ABC cé SA vu6ng géc với (4BC), hai mặt phang (SAB) va

(SBC) vuông góc với nhau, SB = a, BSC = 60°, ASB = 30° Thé tích khối chóp S.ABC là:

Câu 8: Cho hình chóp S.4BC có Š⁄4 vuông góc với (48C), hai mặt phẳng (S48) và (SBC)

vuông góc với nhau, $B = 2ø, B$C = 459, ASB = 60° Tha tich khéi chép S.ABC 1a:

BUI BAO CHAU - suu TAM

Câu 9: Cho hình chóp S.4BC có Š⁄4 vuông góc với (48C), hai mặt phẳng (S48) và (SBC) vuông góc véi nhau, SB = 3a, BSC = 45°, ASB = 45° Thể tích khối chớp S.ABC là:

Câu 10: Cho hinh chép S.ABC cé SA vuéng géc véi (ABC), hai mặt phang (SAB) va (SBC)

vuông góc với nhau, ŠB = 2a, BSC = 60° ASB = 45° Thé tích khối chớp S.ABC là:

Câu 11: Cho hinh chop déu S.ABC có đáy 4BC là tam giác déu canh bang a, canh bén

bang a Thể tích khối chóp S.ABC la:

a=b>V, sac “TO Chon B

C4u 12: Cho hinh chop déu S.ABC c6 day ABC 1a tam gidc đều cạnh bang a, canh bén

bang 2a Thé tích khối chóp S.ABC 1a:

10 12 ANS eC

Giải: NV” VÀ

B

13

a’ 3b? —a? 42411

V5 anc = 12 3 2a =b=> Vs snc = —TT— => Chon D

Câu 13: Cho hình chóp déu S.ABC có đáy 4BC là tam giác đều cạnh bằng 34 , canh bén

bing sa Thể tích khối chóp S.ABC là:

Câu 14: Cho hinh chop déu S.ABC cé đáy 4BC là tam giác đều cạnh bằng ^/2z, cạnh bên

bang z Thể tích khối chóp S.ABC 1a:

Câu 15: Cho hình chóp đều S.4BC có đáy 4BC là tam giác đều cạnh bằng 2ø, cạnh bên

băng 2z Thể tích khối chop S.ABC là:

Vs apc = ( ( 12 ( = (2a) v2 _ 2a N2 12 v2 => Chon A 3 k | oe

Câu 16: Cho hình chóp tam giác đều $.48C có cạnh đáy bang a va mat bên tạo với mặt phẳng đáy góc 60° Thê tích khối chóp S.ABC la: Ạ

14

BUI BAO CHAU - Sưu TÂM

Câu 17: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC cé canh đáy bằng 2z và mặt bên tạo với mặt

phăng đáy góc 60° Thẻ tích khối chóp S.ABC là:

Giải: >a atan 45° a HẠ

Vo inn = —— — S.ABC 24 == — => Chọn B 24 v

| “—M

B

Câu 19: Cho hình chóp tam giác đều S.4B8C có cạnh đáy bằng 34/2a và cạnh bên tạo với mặt

phẳng đáy góc 45° Thẻ tích khối chóp S.ABC 1a:

Câu 20: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 34/4z và cạnh bên tạo với mặt

phẳng đáy góc 60° Thê tích khối chóp S.ABC 1a:

A

Vs apc = 3a sin 60" cos’ 60 33 => Chon B 4 32 B

Cau 22: Cho hình chóp tam giác đều S.4BC có các cạnh bên bằng a và cạnh bên tạo với mặt phăng đáy góc 45° Khi đó:

Ve me = V3(2a) = cos’ 30 _ ae a => Chon A B

Câu 24: Cho hình chóp tam giác déu S.ABC co cac canh bén bang 3a va canh bén tao voi mặt phẳng đáy góc 45° Khi do:

A

BUI BAO CHAU - Sưu TAM

Câu 25: Cho hình chóp tam giác đều S.48C có các cạnh bên bằng 2ø và cạnh bên tạo với

Câu 26: Cho hình chóp tứ giác đều S.4B8CD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng z, và

SA =SB=SC = SD =a Thé tich khéi chép S.ABCD là:

V S.ABCD _4 ¿a 6 —2a = v2a 6 => Chon C

Câu 27: Cho hinh chop tit gidc déu S.ABCD cé day ABCD 1a hinh vuéng canh bang a, va

SA =SB=SC = SD =2a Thé tich khéi chop S.ABCD 1a:

Câu 29: Cho hình chóp tứ giác đều S.4BCD có đáy 4BCD là hình vuông cạnh bằng a, va

SA=SB=SC =SD=~2a Thé tich khéi chóp S.4BCD là:

17

Câu 31: Cho hình chóp SABC voi cdc mat phang (SAB),(SBC),(SAC) vudng géc véi nhau

từng đôi một, diện tích các tam gide SAB, SBC,SAC lần lượt là 4(cm?),9(cm?)_ 18(em)

Câu 32: Cho hình chóp SABC véi cdc mat phang (SAB),(SBC),(SAC) vudng géc với nhau

timg ddi mot, dién tich cdc tam gidc S4B,SBC,SAC 1an luot 1a 15a(cm’),3a(cm’), 6a(cm’) Thể tích khối chớp là:

Câu 33: Cho hinh chép SABC véi cdc mat phang (S4B).(SBC).(S4C) vuông góc với nhau

từng đôi một Diện tích các tam giác S4B,SBC,SAC lần lượt la 2a(cm’),

2a(cm?);(2— a)cm?,(2— a)cm? Thê tích lớn nhất có thể của khối chóp là:

BUI BAO CHAU - Sưu TAM

Câu 34: Cho hình chóp S.4BC có $⁄4 vuông góc với (.4BC), hai mặt phẳng (SAB) va (SBC)

vuông góc với nhau, SB = 3, BSC =30°, 4B = 60° Thê tích khối chop S.ABC là:

Câu 35: Cho hình chớp S.ABC cé SA vuông góc với (4BC), hai mặt phăng (S48) và

(SBC) vuông góc với nhau, SB = a^/3, BSC = 45°, ASB = 30° Thé tich khéi chép S.ABC là:

Câu 36: Cho hình chóp S.4BC có SA vuông góc với (ABC), hai mặt phang (SAB) va

(S8C) vuông góc với nhau, SB =6(cm), BSC = 45° Tim géc ASC dé thé tich khéi chop

Cau 37: Cho hinh chop tam giac đều S.ABC cé cac canh bên bang 2 và cạnh bên tạo với mặt

phăng đáy góc 30° Thé tích khối chóp ,S.4BC là:

Câu 38: Người ta làm một cái hộp hình chóp tam giác đều có các cạnh bên bằng a (m) va canh

bên tạo với mặt phẳng đáy góc 60° Tìm ø để thể tích khối chóp là 6(m ) ?

C4u 40: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC co canh day bang a và cạnh bên tạo với mặt

phăng đáy góc 60° Thẻ tích khối chóp S.ABC là:

Câu 42: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC c6 cdc canh day bang, canh bén tạo với mặt

phẳng đáy góc 30° Thẻ tích khối chóp S.ABC 1a:

BUI BAO CHAU - Sưu TAM

a’.tan B — a3

12-36

Câu 43: Cho hình chóp tứ giác đều S$.48CD có đáy 4BCD là hình vuông cạnh bằng 4, và

SA =SB=SC =SD =3 Thé tich khéi chép S.ABCD là:

Ta có: Vo aac = 6 = 6 == (om ) = Chon C

Câu 44: Cho hình chóp tứ giác đều S.4BCD có đây ABCD 1a hinh vuéng canh banga, va

SA = SB =SC = SD =a Thé tich khối chóp S.4BCD là:

Câu 47: Cho hình chóp đều S.4BC có đáy 4BC là tam giác đều cạnh băng 4 (cm ), cạnh bên bang 8 (cm ) Thể tích khối chóp S.4BC là:

Câu 48: Người ta làm một cái hộp hình chóp đều có đáy là tam giác đều cạnh bằng z (m)

cạnh bên băng 4 (z ) Thể tích lớn nhất có thể của hộp là:

BUI BAO CHAU - Sưu TAM

Câu 52: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài cạnh đáy là a, góc hợp giữa mặt bên

và mặt đáy băng 60” Tính thể tích hình chóp đã cho

SBC và SAC lần lượt là 4ø”, a” va 9a”

Giải:

V = 25) 5, 5; _ 12.4a”.a”.0a?

Cau 54: Cho hinh chép S.ABC có SA vuông góc voi day, hai mat bén (SAB) va (SBC)

vuông góc với nhau Tính thể tích hình chóp S.ABC, biét BSC = 60°, ASB = 30° va

Cau 56: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh bên băng 3a , cạnh bên tạo với mặt

3 os 2 V3 (v3a) sin 60 cos? 60 3

V = Vy” sin @.cos? a _ _ 8a`v3 y là độ dài cạnh bên

=> Chon D

Câu 57: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ đài cạnh đáy bằng 2ø, cạnh bên bằng

2/20 Tinh thé tich hinh chép S.ABCD

mặt đáy là 30° Tính thể tích hình chớp S.ABCD

Giải:

y - 4y* tana _ 4(2a) tan 30 _ 3203/7

3y(2 + tan” a) 3 (2 + tan” 30) “9

A

y là độ dài cạnh bên, ø c s2] = Chon B

2

BUI BAO CHAU -

¢ Dang 2: Tinh ban kin mat cau

Cau 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA vuông góc với mặt

phing day va SC = V3a Ban kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là:

Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA vuông góc với mat phang

đáy và SC = V2a Ban kinh mat cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD 1a:

với k là độ đài cạnh bên, h là chiều cao, x là độ dài cạnh đáy > Chọn A

Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình chữ nhật có độ dài đường chéo bằng NT ;

SA = 2a và vuông góc với mặt phẳng đáy Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là:

với z là độ dài đường chéo, Rạ là bán kính đáy của hình chóp, h là chiều cao, R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp > Chon D

Câu 5: Cho hình chóp S.ABC đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và vuông góc với mặt phẳng đáy Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là:

CÔNG THỨC GIẢI NHANH

MỘT SỐ BÀI TOÁN OXYZ

Ví dụ 1: Cho điểm M (1;2;3) va mat phang (P) :ø+2u+3z+4=0 Tìm tọa độ điểm đối xứng của M qua (P)

BUI BAO CHAU - Sưu TÂM

Với M? là điểm đối xứng của M qua (P) Suy ra u[-4:-2,-3} => Chon D

Bai tap ap dung

Cho diém M (2;1;3) va mat phang (P) :—1+z—1= 0 Tìm tọa độ điểm đối xứng của

M qua (P)

A M(-1,2;1) B 2⁄(0;3;—1) C M (0;1;-2) D M (0;3;1)

27

% Bài toán tính nhanh khoảng cách: ( Tác giả: Lương Đức

Trọng )

KHOẢNG CÁCH

TỪ ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG

A Tóm tắt lý thuyết:

Khoảng cách từ điểm A đến mặt phăng (SBC) là

d(A;SBC) được tính nhanh theo công thức sau:

4 Nếu H là trung điểm AB hoặc AC thì k= -

5 Nếu H là trong tam A ABC thi k = =,

B Cac dang bai tap:

Ví dụ 1: Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A”B°C”D' có cạnh đấy bằng a, khoảng cách từ

A đến mặt phẳng (A”BC) bằng 7 Tinh thé tich lang tru

BUI BAO CHAU - sưu TẦM

Ví dụ 2: Cho hình chóp tứ giác đều có độ dài cạnh bên và cạnh đáy đều bằng a Khoảng cách

giữa đường thăng AD và mặt phẳng (SBC) là:

Giai:

1 d(A,BC)=a

2 H là trực tâm của hình vuông ABCD nên H là trung điểm AC Do đó k= 2

3, AH =—AC="S2 = h= SA? — AH? =

— 2 +

[d(A,SBC)] a

Vị dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD vuông tại A và D có AB = 2AD =

2CD, SA vuông góc với đáy (ABCD), Góc giữa SC và đáy bằng 60” Biết khoảng cách từ

=> Vascp =Th§ „men =6 x(x+2x) == vs == vs => Chon C

Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Mặt bên SAB là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy ABCD Khoảng cách từ A đến (SBC) là:

A Tom tat ly thuyét:

Khoảng cách giữa SA và BC được tính nhanh theo công thức sau:

véi h = SH la dudng cao hinh chép va k = =

1.Néu H=A thik=0

2 Néu AH||BC thì k= 0

3 Néu H=I, thik=1

4 Nếu H là trung điểm AB hoặc AC thì k= *

5 Nếu H là trong tam A ABC thi k = =,

B Cac dang bai tap:

Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABC có SC L (ABC) và có đáy ABC là tam giác vuông tại B,

BC =av3 , AB=a Biết góc giữa SB và (ABC) bằng 60° Tính khoảng cách giữa SB và

BUI BAO CHAU - Sưu TAM

[d(SB, AC) ] [d(B, AC)] h? 3a* 9a? 9a? 13

Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a Tam giác SAB đều

và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Khoảng cách giữa SB và AD băng:

Ví dụ 7: Cho lăng trụ ABC.A°B°C' có đáy là tam giác đều cạnh a Hình chiếu vuông góc của A”

`2

2a v3

Giải:

31

Chon (SAB) 1L (ABC) thì hình chiếu của S xuống (ABC) là H, trung điểm AB

¢ Cong thirc tinh nhanh tam đường tròn nội tiếp tam giác

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có:

A(XA:YA;X4 )› B(X;;Yp:Z;s) C(ÍXc:Yc:Zc) -

Khi tâm I(x,;y,;z,) của đường tròn nội tiếp tam giác ABC được tính nhanh như sau:

¢* Céng thire tinh nhanh tìm hình chiếu của điểm trên mặt phẳng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) :Ax+By+Cz+D =0 và điểm

M(x 93 ¥o3Z, )- Goi H là hình chiếu của điểm M trên (P) thì tọa độ điểm H được xác định

Xu =Xự + At

Ax, + Byy, + CZ, 2)

bởi công thức: 4 y, =y, + Bt, trong dé t= -( A?+B?+Œ?

Zy =Zy +Ct

$* Công thức tính nhanh tìm điểm đối xứng qua mặt phang

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz„, cho mặt phẳng (P) : Ax+By+Cz+D =0 và điểm

M(%ạ;yạ;zạ) Gọi M' là điểm đối xứng của M qua (P) thì tọa độ điểm M? được xác định

Xụ: =Xụ +2At

Ax,, + Byy +Czy )

bởi công thức: + yụ, = yụ +2Bt(, trong đó t= -( A?2+B+Œ

Zw: =Z + 2Ct