Về tính ổn định hữu hạn thời gian đầu vào đầu ra cho lớp hệ phương trình vi phân phân thứ (LV thạc sĩ)

Về tính ổn định hữu hạn thời gian đầu vào đầu ra cho lớp hệ phương trình vi phân phân thứ (LV thạc sĩ)Về tính ổn định hữu hạn thời gian đầu vào đầu ra cho lớp hệ phương trình vi phân phân thứ (LV thạc sĩ)Về tính ổn định hữu hạn thời gian đầu vào đầu ra cho lớp hệ phương trình vi phân phân thứ (LV thạc sĩ)Về tính ổn định hữu hạn thời gian đầu vào đầu ra cho lớp hệ phương trình vi phân phân thứ (LV thạc sĩ)Về tính ổn định hữu hạn thời gian đầu vào đầu ra cho lớp hệ phương trình vi phân phân thứ (LV thạc sĩ)Về tính ổn định hữu hạn thời gian đầu vào đầu ra cho lớp hệ phương trình vi phân phân thứ (LV thạc sĩ)Về tính ổn định hữu hạn thời gian đầu vào đầu ra cho lớp hệ phương trình vi phân phân thứ (LV thạc sĩ)Về tính ổn định hữu hạn thời gian đầu vào đầu ra cho lớp hệ phương trình vi phân phân thứ (LV thạc sĩ)Về tính ổn định hữu hạn thời gian đầu vào đầu ra cho lớp hệ phương trình vi phân phân thứ (LV thạc sĩ)Về tính ổn định hữu hạn thời gian đầu vào đầu ra cho lớp hệ phương trình vi phân phân thứ (LV thạc sĩ)Về tính ổn định hữu hạn thời gian đầu vào đầu ra cho lớp hệ phương trình vi phân phân thứ (LV thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

NGUYỄN QUANG HUÂN

VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH HỮU HẠN THỜI GIAN

ĐẦU VÀO - ĐẦU RA CHO LỚP HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHÂN THỨ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2017

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

NGUYỄN QUANG HUÂN

VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH HỮU HẠN THỜI GIAN

ĐẦU VÀO - ĐẦU RA CHO LỚP HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHÂN THỨ

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Mã số : 60 46 01 12

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS Mai Viết Thuận

THÁI NGUYÊN - 2017

Mục lục

1.1 Giải tích phân thứ 11.1.1 Tích phân phân thứ 11.1.2 Đạo hàm phân thứ 21.2 Các định lí tồn tại duy nhất nghiệm của hệ phương trình vi

phân phân thứ Caputo 61.3 Công thức nghiệm của hệ phương trình vi phân phân thứ

Caputo 81.4 Một số bổ đề bổ trợ 10

2.1 Tiêu chuẩn ổn định hữu hạn thời gian đầu vào-đầu ra cho

lớp hệ phương trình vi phân tuyến tính phân thứ 112.2 Tính ổn định hóa được hữu hạn thời gian đầu vào-đầu ra

cho lớp hệ phương trình vi phân tuyến tính phân thứ 15

3.1 Tiêu chuẩn ổn định hữu hạn thời gian đầu vào-đầu ra cho

lớp hệ phương trình vi phân phân thứ có nhiễu phi tuyến 203.2 Tính ổn định hóa được hữu hạn thời gian đầu vào-đầu ra

cho lớp hệ phương trình vi phân phân thứ có nhiễu phi tuyến 24

3.3 Tính ổn định hóa được hữu hạn thời gian đầu vào-đầu ra

cho lớp hệ phương trình vi phân tuyến tính không chắc chắn

phân thứ 27

Trong những năm gần đây, giải tích phân thứ và hệ phương trình viphân phân thứ đã nhận được nhiều sự quan tâm nghiên cứu của các nhàkhoa học do những ứng dụng của chúng trên nhiều lĩnh vực của khoa học

kỹ thuật [7, 8, 11] Có nhiều loại đạo hàm phân thứ khác nhau tùy thuộcvào cách người ta tổng quát đạo hàm dxdnn cho trường hợp n không nguyên.Tuy nhiên, hai khái niệm được dùng phổ biến hơn cả là đạo hàm phânthứ Riemann–Liouville và đạo hàm phân thứ Caputo Đạo hàm phân thứRiemann–Liouville được phát triển bởi Abel, Riemann và Liouville trongnửa đầu thế kỉ 19 Xét theo tiến trình lịch sử, đây là khái niệm đạo hàmphân thứ đầu tiên được xây dựng Tuy nhiên, khi áp dụng khái niệm này

để mô tả các hiện tượng thực tế thì gặp hạn chế do điều kiện ban đầutrong các bài toán giá trị đầu không có nhiều ý nghĩa Vật lý Đạo hàmphân thứ Caputo được Caputo xây dựng năm 1969 So với đạo hàm phânthứ Riemann–Liouville, đạo hàm Caputo dễ áp dụng cho các bài toán thực

tế hơn vì điều kiện ban đầu của các mô hình sử dụng đạo hàm Caputo

có ý nghĩa Vật lý Những năm gần đây, hệ phương trình vi phân phânthứ Caputo đã nhận được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà khoahọc trong với nhiều bài toán khác nhau như nghiên cứu tính ổn định theonghĩa Lyapunov của hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo [9], nghiêncứu tính ổn định hữu hạn của hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo[10], giải số hệ phương trình phân thứ Caputo [14]

Trong các ứng dụng thực tế, ta luôn cần phải xem xét dáng điệu củavéc tơ trạng thái của hệ thống mô tả bởi hệ phương trình vi phân trongmột thời gian hữu hạn, khi đó các giá trị lớn của véc tơ trạng thái làkhông thể chấp nhận Để nghiên cứu các bài toán dạng này, năm 1953,Kamenkov đề xuất bài toán nghiên cứu tính ổn định hữu hạn thời gian(FTS) cho các hệ động lực mô tả bởi các hệ phương trình vi phân Khácvới bài toán ổn định theo nghĩa Lyapunov, nghiên cứu dáng điệu của véc

tơ trạng thái của hệ phương trình vi phân trên một khoảng thời gian vôhạn, khái niệm ổn định hữu hạn thời gian nghiên cứu dáng điệu của véc

tơ trạng thái trong một khoảng thời gian hữu hạn Cụ thể hơn, một hệphương trình vi phân được gọi là FTS nếu khi ta đưa ra một giới hạn cho

điều kiện ban đầu, véc tơ trạng thái của hệ không vượt ra khỏi ngưỡng

đã giới hạn trong suốt khoảng thời gian đã cho [2] Tuy nhiên, như bìnhluận của một số nhà khoa học [3, 13], đôi khi ta không biết được thôngtin của toàn bộ véc tơ trạng thái mà chỉ biết thông tin của một vài thànhphần của nó thông qua véc tơ quan sát đầu ra Trong trường hợp này,việc nghiên cứu tính ổn định hữu hạn thời gian đầu vào-đầu ra (IO-FTS)của một hệ thống là thật sự quan trọng Amato cùng các cộng sự [3] lànhững người đầu tiên đưa ra khái niệm IO-FTS và cũng là những ngườiđầu tiên nghiên cứu tính ổn định hữu hạn thời gian đầu vào-đầu ra cho hệđộng lực mô tả bởi hệ phương trình vi phân tuyến tính Từ đó, có nhiềutác giả mở rộng kết quả trong [3] để nghiên cứu tính ổn định hữu hạnthời gian đầu vào-đầu ra cho nhiều lớp hệ khác nhau như lớp hệ suy biếntuyến tính [16], lớp hệ chuyển mạch tuyến tính [12], lớp hệ phương trình

vi phân ngẫu nhiên [15] Chú ý rằng các kết quả trong [12, 16] nghiên cứutính ổn định hữu hạn thời gian đầu vào-đầu ra cho lớp hệ phương trình

vi phân có cấp nguyên (cấp một) Năm 2017, Ma và các cộng sự [13], lầnđầu tiên nghiên cứu tính ổn định hữu hạn thời gian đầu vào-đầu ra cholớp hệ phương trình vi phân cấp phân số (hệ phương trình vi phân phânthứ) Trong luận văn này, chúng tôi tập trung nghiên cứu bài toán ổn địnhhữu hạn đầu vào-đầu ra cho một số lớp hệ phương trình vi phân phân thứCaputo Trước tiên, chúng tôi trình bày một cách chi tiết kết quả của Macùng các cộng sự trong bài báo [13] để nghiên cứu tính ổn định hữu hạnthời gian đầu vào-đầu ra cho lớp hệ phương trình vi phân tuyến tính phânthứ Caputo Sau đó, chúng tôi mở rộng kết quả này để nghiên cứu tính ổnđịnh hữu hạn đầu vào-đầu ra cho lớp hệ phương trình vi phân phân thứ

có nhiễu phi tuyến Cụ thể, luận văn gồm 3 chương với những nội dung sau:

Chương 1 có tên “Một số kiến thức chuẩn bị” Trong chương này chúngtôi trình bày một số kiến thức cơ bản về giải tích phân thứ, các định lý tồntại duy nhất nghiệm của hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo, côngthức nghiệm của hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo Cuối chương

là một số bổ đề hỗ trợ được dùng để chứng minh các kết quả ở các chương

sau của luận văn.

Chương 2 có tiêu đề “Tính ổn định hữu hạn thời gian đầu vào – đầu

ra cho lớp hệ phương trình vi phân tuyến tính phân thứ” Nội dung chínhcủa Chương 2 là trình bày các tiêu chuẩn ổn định, tính ổn định hóa hữuhạn thời gian đầu vào – đầu ra cho lớp hệ phương trình vi phân tuyến tínhphân thứ Nội dung chương này được chúng tôi tham khảo trong [13] củadanh mục tài liệu tham khảo

Trong chương 3, chúng tôi nghiên cứu ổn định hữu hạn thời gian đầuvào – đầu ra cho lớp hệ phương trình vi phân phân thứ có nhiễu phi tuyếnbằng cách tiếp cận sử dụng bất đẳng thức ma trận tuyến tính Đây chính

là nội dung nghiên cứu của luận văn

Cuối cùng, tôi muốn gửi lời cảm ơn và biết ơn chân thành của mình tớitất cả những người đã hỗ trợ, giúp đỡ tôi về chuyên môn, vật chất và tinhthần trong quá trình thực hiện luận văn

Tôi xin chân thành cảm ơn thầy giáo TS Mai Viết Thuận trường Đạihọc Khoa học - Đại học Thái Nguyên, người đã hướng dẫn, nhận xét vàgiúp đỡ tôi rất nhiều trong suốt quá trình thực hiện luận văn

Tôi cũng xin cảm ơn các thầy cô giáo của trường Đại học Khoa học-Đạihọc Thái Nguyên, những người đã tham gia trực tiếp trong quá trình giảngdạy lớp Cao học Toán K9Y khóa 2015 - 2017, các phòng ban chức năng,khoa Toán Tin và trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đãgiúp đỡ tôi trong quá trình học tập tại trường

Tôi xin gửi lời cám ơn đến tập thể lớp K9Y, gia đình bạn bè và đồngnghiệp đã giúp đỡ, động viên tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiệnluận văn tốt nghiệp này

Thái Nguyên, tháng 10 năm 2017

Tác giả

Nguyễn Quang Huân

Danh mục ký hiệu

A > 0 ma trận A xác định dương, tức là hAx, xi > 0, ∀x ∈ Rn, x 6= 0

kxk chuẩn Euclide của véc tơ x = (x1, x2, , xn)T ∈ Rn

C([a, b], Rn) không gian các hàm liên tục trên [a, b], nhận giá trị trong Rn

Định nghĩa 1.1 ([8]) Cho α > 0 và [a, b] ⊂ R, tích phân phân thứRiemann-Liouville cấp α của hàm x : [a, b] −→ R được cho bởi

Định lí 1.1 ([5]) Giả sử x : [a, b] −→ R là một hàm khả tích trên [a, b].Khi đó, tích phân t0Itαx(t) tồn tại với hầu hết t ∈ [a, b] Hơn nữa, t 0Itαxcũng là một hàm khả tích.

Ví dụ sau đây cho ta tích phân phân thứ của một số hàm cơ bản

1.1.2 Đạo hàm phân thứ

Mục này trình bày một cách ngắn gọn về đạo hàm Riemann–Liouville

và đạo hàm Caputo Đây là hai loại đạo hàm được sử dụng rộng rãi trongnhiều lĩnh vực

Định nghĩa 1.2 ([7]) Cho trước một số thực dương α và một khoảng[a, b] ⊂ R Đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville cấp α của hàm x :[a, b] −→ R được cho bởi

Trước khi trình bày điều kiện cho sự tồn tại của đạo hàm phân thứRiemann–Liouville, chúng tôi nhắc lại một số kết quả sau.

Cho [a, b] là một khoảng hữu hạn trong R AC[a, b] là không gian cáchàm tuyệt đối liên tục trên [a, b] Kolmogorov và Fomin đã chỉ ra mối liên

hệ giữa các hàm tuyệt đối liên tục và các hàm khả tích Lebesgue như sau:

Với n ∈ N, ta định nghĩa lớp hàm ACn[a, b] như sau:

ACn[a, b] = {f : [a, b] −→ R, (Dn−1f )(t) ∈ AC[a, b]



dt

}.Mệnh đề sau đây cho ta một số đặc tính của lớp hàm ACn[a, b]

Định lí sau cho ta một tiêu chuẩn cho sự tồn tại của đạo hàm phân thứRiemann–Liouville

Định lí 1.2 ([8]) Cho α ≥ 0, n = [α] + 1 Nếu f (t) ∈ ACn[a, b], khi đóđạo hàm phân thứ RLt0 Dtαf (t) tồn tại hầu khắp nơi trên [a, b] và có thể đượcbiểu diễn dưới dạng sau

Kết quả sau đây được suy ra trực tiếp từ Định lí 1.2

Hệ quả 1.1 ([8]) Nếu 0 < α < 1 và f (t) ∈ AC[a, b] thì

Z t

t 0

f0(s)ds(t − s)α



Mệnh đề sau khẳng định toán tử đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville

C

t 0Dtαx(t) := t0Itn−αDnx(t),trong đó n := dαe là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng α và Dn = dxdnn

là đạo hàm thông thường cấp n

Đối với một hàm véc tơ x(t) = (x1(t), x2(t), , xd(t))T đạo hàm phânthứ Caputo của x(t) được định nghĩa theo từng thành phần như sau:

C

t 0Dtαx(t) := Ct0Dαtx1(t), Ct0Dαt x2(t), , Ct0Dαt xd(t)
T

Định lí sau cho ta một điều kiện đủ cho sự tồn tại đào hàm Caputo phânthứ cấp α

Định lí 1.3 ([8]) Cho α ≥ 0, n = [α] + 1 Nếu f (t) ∈ ACn[a, b], khi đóđạo hàm phân thứ Caputo Ct0Dαtf (t) tồn tại hầu khắp nơi trên [a, b] Hơnnữa, ta có

(i) Nếu α 6∈ N thì Ct 0Dαt x(t) biểu diễn dưới dạng sau:

Chứng minh Tương tự như chứng minh Mệnh đề 1.2

Giống với phép tính vi–tích phân cổ điển, đạo hàm phân thứ Caputo lànghịch đảo trái của toán tử tích phân phân thứ

Định lí 1.4 ([8]) Cho α > 0 và f (t) ∈ C[a, b] Khi đó ta có

C

t 0Dtα(t 0Itαf (t)) = f (t)

Tuy nhiên, đạo hàm phân thứ Caputo nói chung không là toán tử nghịchđảo phải của tích phân phân thứ Điều này được chỉ rõ trong định lí dướiđây

Định lí 1.5 ([8]) Cho α > 0, n = [α] + 1 Nếu f (t) ∈ ACn[a, b] thì

k

.Đặc biệt, nếu 0 < α ≤ 1 và f (t) ∈ AC[a, b] thì

trình vi phân phân thứ Caputo

Từ đây về sau nếu không giải thích gì thêm, chúng ta chỉ xét α ∈ (0, 1)

và luôn mặc định tham số α này là cấp phân thứ của phương trình Bâygiờ cho trước một hằng số T > 0, kí hiệu C([0, T ], Rn) là không gian cáchàm liên tục nhận giá trị véc tơ x : [0, T ] −→ Rn với chuẩn k.k∞ đượcđịnh nghĩa như sau

t∈[0,T ]kx(t)k,( trong đó k.k là chuẩn Euclide trong không gian Rn)

Trong mục này, chúng tôi sẽ trình bày các định lí tồn tại và duy nhấtnghiệm địa phương và toàn cục của hệ phương trình vi phân phân thứ.Xét hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo

C

với điều kiện ban đầu

trong đó f : [0, T ] × Rn −→ Rn

là một hàm liên tục trên [0, T ] × Rn.Bài toán (1.1) với điều kiện đầu (1.2) được gọi là có nghiệm trên đoạn[0, T ] nếu chúng ta tìm được một hàm thuộc lớp C([0, T ], Rn) thỏa mãn(1.1) và (1.2)

Mệnh đề sau đây cho ta một tiêu chuẩn về sự tương đương giữa nghiệmcủa hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo và hệ phương trình tíchphân

Mệnh đề 1.4 [5] Xét bài toán (1.1) Khi đó, với điều kiện đầu x0 ∈ Rn

tùy ý, một hàm ϕ(., x0) là nghiệm của bài toán giá trị đầu (1.1), (1.2) trênđoạn [0, T ] khi và chỉ khi nó thỏa mãn phương trình tích phân

cơ bản giữa phương trình vi phân thường và phương trình vi phân phân thứ.Tính tồn tại và duy nhất nghiệm địa phương và toàn cục của hệ phươngtrình vi phân phân thứ Caputo được được đảm bảo bởi các định lí sau:Định lí 1.7 ([5] Định lí tồn tại duy nhất nghiệm địa phương) Cho x0 ∈ Rn

và K > 0 tùy ý Đặt

G = {(t, x) ∈ R+× Rn : t ∈ [0, T ], kx − x0k ≤ K}

và giả sử f (t, x) là một hàm liên tục trên G theo biến thứ nhất và thỏa mãnđiều kiện Lipschitz theo biến thứ hai, tức là tồn tại một hằng số L > 0 saocho:

Khi đó, tồn tại duy nhất hàm x ∈ C([0, T∗], Rn) là nghiệm của bài toán(1.1) với điều kiện ban đầu thỏa mãn (1.2).

Định lí 1.8 ([1] Định lí tồn tại duy nhất nghiệm toàn cục) Xét bài toán(1.1), (1.2) Giả sử f : R+× Rn −→ Rn thỏa mãn

kf (t, x) − f (t, y)k ≤ L(t)kx − yk,

ở đây L : R+ −→ R+ là một hàm liên tục Khi đó, với điều kiện đầu tùy ý

x0 ∈ Rn, bài toán (1.1), (1.2) có nghiệm toàn cục duy nhất trên [0, ∞)

phân thứ Caputo

Trước hết, chúng tôi nhắc lại định nghĩa về hàm Mittag-Leffler

Nhận xét 1.2 Trong Định nghĩa 1.4, nếu cho α = 1, ta có

z

Do đó hàm Mittag-Leffler chính là mở rộng của khái niệm hàm mũ

Các tính chất của hàm Mittag-Leffler một tham số, hai tham số đã đượctrình bày chi tiết trong cuốn sách chuyên khảo của Kilbas A.A [8].

Trong phần còn lại của mục này, chúng ta chỉ xét α ∈ (0, 1) và luônmặc định tham số α này là cấp phân thứ của phương trình Xét hệ phươngtrình vi phân phân thứ Caputo tuyến tính hệ số hằng không thuần nhất:

(1.4)

trong đó x(t) ∈ Rn, g(t) ∈ Rn, A ∈ Rn×n là ma trận thực hằng số cho trước.Bằng cách chứng minh tương tự như trong Định lí 2.5, trang 31 trong tàiliệu tham khảo [7], ta thu được công thức tường minh của nghiệm của bàitoán (1.4) như sau:

ϕ(t, x0) = Φ0(t)x0+

Z t

0

Φ(t − τ )g(τ ) dτ,Trong đó

+∞

X

k=0

Akt(k+1)α−1Γ([k + 1]α).

Để kết thúc mục này, chúng tôi trình bày kết quả của Tuan H.T trong[1] về công thức nghiệm của hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo

có nhiễu phi tuyến thỏa mãn điều kiện Lipschitz toàn cục Xét hệ phươngtrình vi phân phân thứ Caputo có nhiễu phi tuyến

(1.5)

f : Rn −→ Rn là một hàm liên tục Lipschitz thỏa mãn f (0) = 0

Định lí 1.9 ([1]) Xét bài toán (1.5) Giả sử f là hàm liên tục Lipschitz

x0 ∈ Rn, bài toán giá trị đầu (1.5) có nghiệm toàn cục duy nhất x(., x0)

Hơn nữa, nghiệm này thỏa mãn công thức biến thiên hằng số:

đó ta có bất đẳng thức sau đúng

C

0 Dαt xT(t)P x(t) ≤ 2xT(t)P C0Dαt x(t), ∀t ≥ 0

Chương 2

Tính ổn định hữu hạn thời gian đầu vào-đầu ra cho lớp hệ phương trình vi phân tuyến tính phân thứ

Trong chương này, chúng tôi trình bày lại một cách chi tiết kết quả trongbài báo [13] về tính ổn định hữu hạn và ổn định hóa được hữu hạn đầuvào-đầu ra cho lớp hệ phương trình vi phân tuyến tính phân thứ Caputo.Trong cả chương này, chúng ta chỉ xét α ∈ (0, 1) và luôn mặc định tham

số α này là cấp phân thứ của hệ phương trình

ra cho lớp hệ phương trình vi phân tuyến tính phân thứ

Trước hết, chúng tôi nhắc lại khái niệm về không gian các hàm bị chặncốt yếu Không gian định chuẩn L∞([0, T ]) là không gian các hàm x(t) bịchặn cốt yếu trên [0, T ] với chuẩn trên L∞([0, T ]) cho bởi

kxk := vraisup|x(t)| < 0,trong đó vraisup|x(t)| là số λ bé nhất thỏa mãn đánh giá |x(t)| ≤ λ vớihầu hết t ∈ [0, T ] Còn L∞([0, T ], Rm) là không gian các hàm nhận giá trịtrong Rm bị chặn cốt yếu trên [0, T ] Tương tự như trong [3], ta xét tậpsau:

W∞ := W∞(T, R) = {u(.) ∈ L∞([0, T ], Rm) : uT(t)Ru(t) ≤ 1, t ∈ [0, T ]},

ở đó R ∈ Rn là một ma trận đối xứng, xác định dương cho trước.

Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính phân thứ Caputo

y(t) = Cx(t),

(2.1)

Trong đó x(t) ∈ Rn là véc tơ trạng thái, y(t) ∈ Rq là véc tơ đầu ra (outputvector), A ∈ Rn×n, B ∈ Rn×m, C ∈ Rq×n là các ma trận hằng số cho trước.Nhiễu đầu vào (disturbance input) ω(t) ∈ W∞

Định nghĩa 2.1 [13] Cho trước một số dương T > 0, một ma trận đốixứng, xác định dương Q ∈ Rq×q Hệ (2.1) được gọi là ổn định hữu hạn đầuvào-đầu ra tương ứng với (W∞, Q, T ) nếu

ω(.) ∈ W∞ =⇒ yT(t)Qy(t) < 1, ∀t ∈ [0, T ],Định lí sau cho ta một điều kiện đủ cho tính ổn định hữu hạn đầu vào-đầu ra cho lớp hệ phương trình vi phân tuyến tính phân thứ Caputo (2.1)thông qua bất đẳng thức ma trận tuyến tính Việc giải các bất đẳng thức

ma trận tuyến tính có thể được thực hiện bằng gói công cụ Matlab [4].Cách tiếp cận sử dụng bất đẳng thức ma trận tuyến tính đã được nhiềunhà nghiên cứu áp dụng trong các nghiên cứu của mình Cho đến nay đã

có hàng nghìn công trình nghiên cứu sử dụng cách tiếp cận này

Định lí 2.1 ([13]) Hệ phương trình vi phân tuyến tính phân thứ Caputo(2.1) là ổn định hữu hạn đầu vào-đầu ra tương ứng với (W∞, Q, T ) với

t ∈ [0, T ] nếu tồn tại một ma trận đối xứng xác định dương P ∈ Rn×n saocho các bất đẳng thức ma trận tuyến tính sau được thỏa mãn

Chứng minh Xét hàm Lyapunov sau

V (x(t)) = xT(t)P x(t)

Lấy đạo hàm đạo hàm phân thứ Caputo của hàm V (x(t)) và áp dụng Bổ

đề 1.3, ta thu được ước lượng sau: