SKKN : Vận dụng các bất đẳng thức để giải các dạng bài tập đại số lớp 9

Trong nhà trường phổ thông , môn toán có vai trò quan trọng trong việc thực hiện mục tiêu của nền giáo dục , đó là cung cấp cho học sinh những nền tảng kiến thức toán học cơ bản , phát triển các năng lực trí tuệ chung như : Phân tích , tổng hợp , khái quát hoá , trừu tượng hoá , … phát triển khả năng độc lập , sáng tạo , rèn luyện tính chính xác , cần cù cho học sinh . Môn toán là môn nền tảng cho các môn khoa học khác .Với tinh thần đó , căn cứ vào tính bức thiết về tài liệu để giảng dạy , nhằm đáp ứng nguyện vọng của một số học sinh khá giỏi ; trước đây tôi đã viết chủ đề về thể loại nâng cao : “ Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức ứng dụng để giải bài toán cực trị đại số trong chương trình toán lớp 8 ”

A / LÝ DO CHỌN CHỦ ĐỀ :

Điểm nổi bật của việc đổi mới chương trình giáo dục phổ thông hiện nay là đổimới phương pháp dạy học , nhằm tăng cường tính chủ động , tích cực sáng tạo củangười học Thông qua quá trình học tập , người học đã có được cơ hội để rèn luyện

kĩ năng tự học , biết cách kiến tạo kiến thức dưới sự hướng dẫn của giáo viên

Cùng với việc đổi mới chương trình là đổi mới các hình thức dạy học Theoquyết định số 04 / 2002 / QĐ-BGD&ĐT ngày 08/3 / 2002 của bộ GD&ĐT đã nêu

rõ : “ … Đưa vào các tiết học tự chọn , một phần dành cho việc bám sát , nâng caokiến thức ; phần khác dành cho việc cung cấp một số nội dung mới theo yêu cầu củangười học và yêu cầu của cộng đồng Như vậy , dạy học tự chọn đã trở thành hìnhthức dạy học có tính pháp qui và nay đã đưa vào giảng dạy ở tất cả các khối lớp ởbậc trung học cơ sở

Trong điều kiện khó khăn về cơ sở vật chất , về thiết bị dạy học , về người dạycủa một huyện vùng nông thôn thì khó có thể đáp ứng được việc dạy tự chọn ở cácmôn năng khiếu như là Âm nhạc , mỹ thuật , … cho học sinh Do đó , việc học tựchọn ở bộ môn toán là sự lựa chọn số một của phụ huynh và học sinh Vì qua việchọc tập ở bộ môn này , học sinh được rèn luyện , củng cố kiến thức , nâng cao kiếnthức , chuẩn bị cho kì thi tuyển vào trung học phổ thông

Trong nhà trường phổ thông , môn toán có vai trò quan trọng trong việc thựchiện mục tiêu của nền giáo dục , đó là cung cấp cho học sinh những nền tảng kiếnthức toán học cơ bản , phát triển các năng lực trí tuệ chung như : Phân tích , tổng hợp, khái quát hoá , trừu tượng hoá , … phát triển khả năng độc lập , sáng tạo , rèn luyệntính chính xác , cần cù cho học sinh Môn toán là môn nền tảng cho các môn khoahọc khác

Với tinh thần đó , căn cứ vào tính bức thiết về tài liệu để giảng dạy , nhằm đápứng nguyện vọng của một số học sinh khá - giỏi ; trước đây tôi đã viết chủ đề về thể

loại nâng cao : “ Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức & ứng dụng để giải bài toán cực trị đại số trong chương trình toán lớp 8 ”

Nay , để góp phần làm phong phú thêm về tài liệu giảng dạy theo chương trình

tự chọn cho học sinh khá - giỏi lớp 9 ; tôi tiếp tục nghiên cứu sắp xếp kiến thức để

viết chủ đề ở thể loại nâng cao : “Ứng dụng các bất đẳng thức để giải các dạng bài tập nâng cao trong chương trình đại số lớp 9 ” Vì đây là các loại bài tập mà theo

chương trình sách giáo khoa thì các em không có điều kiện để rèn luyện kĩ năng giải

và nâng cao kiến thức nhưng lại hay có trong các đề thi học sinh giỏi , kì thi tuyểnvào lớp 10 PTTH

Việc biên soạn và giảng dạy theo chủ đề này với mục đích cung cấp cho các

em biết thêm một số bất đẳng thức mà các em chưa được làm quen trong chươngtrình Đồng thời rèn luyện cho các em kĩ năng vận dụng các bất đẳng thức một cáchsáng tạo vào việc giải các bài toán khó trong chương trình đại số đang học như là :

_Tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của một biểu thức , giải phương trình , hệphương trình

Bản thân đã cố gắng sắp xếp cho phù hợp trong từng tiết dạy ; nội dung chủ đềđược viết dưới dạng dễ hiểu , dễ đọc , người học có thể tự học được Nhưng chắcchắn rằng nội dung kiến thức , bố cục của từng tiết dạy chưa thật mạch lạc Rấtmong các bạn đồng nghiệp góp ý xây dựng , để tài liệu giảng dạy theo chương trình

tự chọn này ngày càng có chất lượng hơn !

Tiết 3 : Cách chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Cô-Si để tìm cực trị

Tiết 4 : Vận dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki để tìm cực trị

Phần II : Vận dụng các bất đẳng thức để giải phương trình & hệ phương trình

* Với thời lượng là 6 tiết :Tiết 1 : Các ví dụ minh hoạ cho cách giải 1

Tiết 2 : Các ví dụ minh hoạ cho cách giải 2

Tiết 3 : Vận dụng bất đẳng thức Cô-Si để giải phương trình

Tiết 4 : Vận dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki để giải phương trình

Tiết 5 : Vận dụng các bất đẳng thức để giải hệ phương trình

Tiết 6 : Kiểm tra tổng hợp

2 2 2 2

2 2 ( 2

x x x

Bất đẳng thức này còn được mở rộng cho n số không âm : Với a1 ;a2 , , an

n 1 2

Từ bất đẳng thức ( 1 ) ta suy ra :

* Nếu a + b = k ( Không đổi ) thì max ( ab ) =

4

2

k

( Khi và chỉ khi a = b )Kết quả trên còn được mở rộng đối với n số không âm :

* Nếu a1 a2 an = k ( Không đổi ) thì

* Nếu a1 + a2 + + an = k ( Không đổi ) thì

max ( a1 a2 an ) = Dấu “ = ” xảy ra < = > a1 = a2 = = an

1 1 ) 1 1 ( 2 1 1

x y x

Vậy min A = 4 ( Khi và chỉ khi x = y = 4 )

chiều ngược nhau :

2

b a

y

Tuy nhiên , không phải lúc nào ta cũng có thể dung trực tiếp bất đẳng thức

Cô-Si đối với các số đã cho trong đề bài Sau đây là một ví dụ minh hoạ :

Giải :

7 3 5 0 3 7

0 5 3

lấy căn có tổng không đổi ( Bằng 2 ) Vì vậy , nếu ta bình phương biểu thức A thì sẽ xuất hiện hạng tử là hai lần tích của hai căn thức Đến đay ta có thể vận dụng bất

Ví dụ 3 : Cho 0 < x < 2 Tìm GTNN của biểu thức A =

x x

7 1 9 2 1 2

2

9



2

z y

2

(1) Tương tự :

x z

2 )

z y

x ; y ; z để dấu đẳng thức xảy ra đồng thời , do đó không tìm được GTNN của P

III / Bài tập áp dụng :

Khi sử dụng bất đẳng thức Cô-Si để tìm cực trị , nhiều lúc học sinh không chú

ý đến điều kiện ( Miền xác định ) của bài toán nên thường dẫn đến lời giải sai Sau đây là một số ví dụ về cách chọn điểm rơi trong trong bất đẳng thức Cô-Si

a



Giải :

cho hai số dương

a

  2  2

a

b b

a

a

b b

a

a = bVậy min P = 2 khi và chỉ khi a = b

a

1

*Bình luận và lời giải :

cho hai số dương a và

min 2 1



a a P

a

a

Lời giải trên sai lầm ở chỗ :

1

1 2

a a

*Phân tích và tìm tòi lời giải :

1 4

Nhìn bảng biến thiên ta thấy khi a tăng thì P càng lớn và từ đó dẫn đến dự đoán khi a = 3 thì P nhận giá trị nhỏ nhất Để dễ hiểu và tạo sự ấn tượng ta sẽ nói

Do BĐT Cô-Si xảy ra dấu “ = ” tại điều kiện các tham số tham gia phải bằng

8 1 9

a

a a a

1

a

a 

*Bình luận và lời giải :

4

1 1

2 

8

2 4

2 8

7 1 8 2 8

7 1

a a

a a

a a

2 6 1 8

8

3 8

6 1 8

a a

Nhận xét : Khi giải bài toán tìm cực trị mà có sử dụng BĐT Cô-Si thì phải

biến đổi biểu thức sao cho sử dụng BĐT Cô-Si ta khử được hết biến số ở cả tư và mẫu

Tìm GTNN của P = a + b + c +

c b a

4 2

9 3

3 6 2 9 2

3 4 4 4 4

4 16 2 16

3 9 2 9

4 4 2 4

c c b b a a

c c c

c

b b b

b

a a a

a

8

4 2

9 3 4

1 2

1 4

4

3 2 4







c b a

Vậy với a = 2 , b = 3 , c = 4 thì minP = 13

15 1

t t

kb

ka

2 1

b a c b

4

3 4

1 4

1 4 1

c b a c

b a c b

4

3 4

1 4

1 4

1

1 4

27 3 3

1 4

9 3

1 4

9 3 3

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ( a1 ; a2 ; ; an ) và ( b1; b2 ; ; bn ) là hai bộ

a b

) (a2 b2 x2 y2

y b x

II / Các ví dụ :

y x

y x y x

y y

y x x y y x

y x

Vậy GTNNcủa A = x + y là

6

) 3 2

y x

V

Giải :

2 2

2

1 1

1

2 1

.

1 1

x x

x x

2 2 3 1 ) 1 2 ( ) 1

x x

1

1

2

2 2

2 25

5 3

5 3

với a = 2 , b = 3 , m = x , n = y thì ta có :

giải được bài toán !

Tóm lại , khi vận dụng Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki để giải bài toán cực trị ta cần phải biến đổi biểu thức một cách linh hoạt để xác định các bộ số ( a , b ) và

10

2 2







2 2

200

10 101

99 1

99 101 1000

x x

x x

x A

0 3 3 2 2

2 3 2 3

y x x y x

1

; 0 1

2 3

2

) ( ) (x3 y3 xy

) (

2 2

2

1 ) 2 (

2

2 2

1 2

x x

) 2 ( 8 4 4 4

4 2

1 2

2

2 2 2

hú ý x > 0 )

PHẦN II : VẬN DỤNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC

ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Ứng dụng của bất đẳng thức trong việc giải phương trình & hệ phương trình làmột trong các ứng dụng của bất đẳng thức Trong phần này chủ yếu là sử dụng các bất đẳng thức quen thuộc , đó là BĐT cô-Si và Bu-nhi-a-cốp-xki ,

*Cách 2 : Biến đổi phương trình về dạng h( x ) = m , ( m là hằng số ) mà ta

x làm cho dấu đẳng thức xảy ra

* Cách 3 : Áp dụng các BĐT quen thuộc Cô-Si ; Bu-nhi-a-cốp-xki ;

II / CÁC VÍ DỤ Tiết 1 :

Các ví dụ minh hoạ cho cách giải 1

Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất là x = -1

11 6

x x

(2)

Giải :

11 6

4 ) 11 6

x

x x

11 6

2 ) 3 (

Vậy phương trình (2) có nghiệm duy nhất là x = 3

2 / Bài tập áp dụng :

Hướng dẫn : Giải tương tự như ví dụ 1

) 2 ( 9 4 5 16 25

) 2 ( 3 16 )

2 ( 2 25 3

12 4 2

8 17

2 2

2 2

2 2

x x

x x x

6 11

0 )

3

x x

Điều này không thể có được ,Vậy phương trình vô nghiệm

0 1 0 1

x x

Hướng dẫn : Biến đổi phương trình :

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x = 2

Hướng dẫn : ĐK : x  2 (1)

Bình phương hai vế ta được :

1 2

5 2 2 1

x    

Từ (1) và (2) ta có x = 2 Giá trị này nghiệm đúng phương trình đã cho

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x = 2

2 3 2

) 1 2 ( ) 1 (

) 1 2

2 2 1 2

2 2

Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi :

mãn ĐK )

0 2

x x

x x

10

2  

Áp dụng BĐT Cô-Si cho hai số không âm , ta có :

x

x 2  10  =

2

4 ).

10 ( 2

4 ).

4 2

x x

Thử lại , ta thấy x = 3 đúng là nghiệm của phương trình

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x = 3

Nhận thấy vế trái dương , nên vế phải cũng dương Suy ra x > 0

2005

2006 2006

2006 x x 1 2006 1 (x ) 2006 x

x          



Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x = 1

2 )

2 4 (

) 3 2 (

2 0 1

y x y

3 6 3 2 x  x  x  x

3 3 )3 ( 0 3 1 0 1

3 1 1

2 2

x x x x x x x x

x x

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x = 3

2 2

2 2 2 2 2 2 2

2 b 2 (a b )(x y ) x y (a x) (b y)



2 2

2 2

2 2 2 2 2 2 2

* Bài toán trên là BĐT Min-côp-xki

Áp dụng BĐT trên ( BĐT Min-côp-xki ) ta có :

3 ) 1 ( 2 ) 1 ( 10 2 5

2

2 2

2 2 2

2 2

x x

x x x

x

3

2 1

2 0

4 4

x x

x x

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z

Áp dụng BĐT trên ta có :

xyz z y x xyz xy zx zx yz yz xy zx yz

xy z

1

; 3

16

3

y x y x

8 4

3

4 4 3

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : x = x =x =y = 2

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là ( 2 ; 2 )

2008 y 8 (xy)

x

xy x

y y x

Giải :

xy

xy x

y y

y x x

y y x

32

3 32

4

2 4

y x x

y x x

32

3 32

4

2 4

y x x

y x x

3 32

4

2 4

y x

x

y x x

Cộng hai phương trình vế theo vế ta được :

21 6 )

32 (

) 32

Theo BĐT Bu-nhi-a-cốp-xki ta có :

8 ) 32 )(

1 1 (

x

4 ) 32 )(

1 1 ( 2 ) 32 )(

1 1 ( 32

3 32

4 4

y y

x x

x x

Thử lại , ta thấy ( x ; y ) = ( 16 ; 3 ) nghiệm đúng hệ phương trình

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là ( 16 ; 3 )

2 2 2 2 2

2 2 2

) ( 1 ) (

3

z y x xyz x z z y y x

z y x

Hướng dẫn : Giải tương tự như ví dụ 1 ,bằng cách sử dụng BĐT

2 2

3 ) (

2

2 2

) (xyz

y x

y x

( 3 đ )

0 2

x

x x

) 10 ( ) 2 ( 2

Vậy phương trình có nghiệm x = 6

Bài 3 : Biết áp dụng BĐT Cô-Si để có :

1 2 2 2 2 2 2 2 2 2

y x

( 1.0 đ ) Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là : ( -1 ; -1 ) ( 0.5 đ )

* Nếu học sinh làm cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa !

C / LỜI KẾT :

Sau khi học xong chủ đề chủ , tôi nhận thấy nhiều học sinh đã vận dụng cácbất đẳng thức một cách linh hoạt , lời giải ngắn gọn Có em phát biểu rằng : “ Việcvận dụng các bất đẳng thức vào việc giải các bài tập khó của chương trình đại số lớp

9 đã giúp chúng em có được lời giải ngắn gọn , sáng sủa Trong đó BĐT Cô-Si cóứng dụng rất mạnh – là một công cụ ưu việc trong việc giải toán nói chung , giải toánđại số nói riêng ”

Chính vì nội dung từng tiết học được viết dưới dạng dễ hiểu , dễ đọc , cóhướng dẫn tỉ mỉ nên các em có thể tự nghiên cứu ; đúng với tinh thần viết các chủ đềdạy tự chọn mà bộ GD&ĐT yêu cầu

Qua việc học chủ đề , các em đã được bổ trợ thêm kiến thức ( Những kiến thức

mở rộng ) , có điều kiện để rèn luyện việc giải toán Thông qua việc giải toán bằngcách vận dụng các bất đẳng thức đã giúp các em rèn luyện óc tư duy , sáng tạo vàlinh hoạt

Qua kết quả kiểm tra chủ đề , tôi nhận thấy các em làm bài tương đối tốt :50% các em đạt điểm giỏi , còn lại đều đạt điểm trung bình trở lên

Điển hình là trong các kì thi học sinh giỏi toán lớp 9 , bao giờ các em cũng làmtốt phần bài tập đại số trong đề thi Hằng năm đều có học sinh đạt giải cấp tỉnh ;nhiều năm liền huyện nhà đều có học sinh đạt giải nhất môn toán lớp 9 toàn tỉnh :

- Năm học 2003 – 2004 : Em Nguyễn Minh Trưởng đạt giải nhất môn toán 9.Hiện đang học lớp 12 trường chuyên Lê Quí Đôn – Đà Nẵng

- Năm học 2004 – 2005 : Em Huỳnh Thị Xuân Trâm đạt giải nhất môn toán 9.Hiện đang học lớp 11 trường chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm – Quảng Nam

- Năm học 2005 – 2006 : Em Nguyễn Tấn Thông đạt giải nhất môn toán 9.Hiện đang học lớp 10 trường chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm – Quảng Nam

Là người được PGD phân công cùng các thầy - cô giáo có kinh nghiệm dạylớp bồi dưỡng học sinh giỏi toán 9 , nên tôi đã có điều kiện sưu tầm , nghiên cứu đểsắp xếp kiến thức theo nội dung từng tiết dạy Tuy nhiên , với khả năng có hạn nênnội dung chủ đề cũng không tránh khỏi những sai sót , bố cục của chủ đề có thể cònthiếu chặt chẽ ; hệ thống bài tập phần nhiều là sưu tầm từ các sách tham khảo Sự cốgắng của bản thân là cách làm , cách soạn với mong muốn cùng đồng nghiệp làm

phong phú thêm tài liệu giảng dạy tự chọn và bồi dưỡng học sinh giỏi nhằm mục

đích đáp ứng nguyện vọng học tập cho các đối tượng học sinh khá - giỏi Đồng thờinhằm phát hiện , bồi dưỡng nhân tài cho đất nước mai sau

Với suy nghĩ như trên , bản thân rất mong nhận được sự góp ý chân thành từcác đồng nghiệp !

Xin chân thành cảm ơn !