những bài toán vận dụng cao luyện điểm 10 trong kỳ thi THPT quốc gia

Tìm m để đồ thị của hàm số I có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông cân.. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC bằng 2, góc giữa mặ

Những bài toán vận dụng cao luyện điểm 10 trong ky thi

TAI XUONG FILE WORD

Bai 1 Cho ham sé y=x° +2mx* —3x (1) và đường thẳng (A):y=2mx-2 (với m là

tham số) Tìm 7 để đường thang (A) và đồ thị hàm số (1) cắt nhau tại ba điểm phân

biệt A, B, C sao cho diện tích tam giác OBC bằng x17 (với A là điểm có hoành độ không

Khi đó, ba giao điểm là A(1;/2m-2), B(x,;2mx, —2), C(x,;2mx, —2), trong d6 x,;x, la

nghiệm phương trình (2) nén x, +x, =—2m—1,x,x, =—2

2 Tam giác OBC có diện tích $ = 1 BC.đ Trong đó d = d(O; A)=-———=

của tiếp tuyến của (C) tại A và B Có một giá tri m thỏa để P = (k,)}"*+(k,)””"” đạt giá trị

Xét phuong trinh (*), tacd: A>0,Vm ® và x = -2 không là nghiệm của (*) nên d luôn

cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B với mọi m

Hệ số góc của tiếp tuyến tại A, tại B lần lượt là

1 22014 —l

+) S.2013!= ——(2?"*~1) = § = 2014 2014!

Bai 4 Cho khối chóp S.ABC cé SA = 2a, SB = 3a, SC = 4a, ASB=SAC =90",

BSC =120° Goi M, N Ian lugt trén cdc doan SB va SC sao cho SM = SN = 2a Chitng

minh tam giác AMN vuông Tính khoảng cách từ điểm C đến mat phang (SAB) theo a

Giai:

S

Dung DL Cosin tinh dugc: MN = 2aV3 AM= 2aV2, AN=2a (Tam giác vuông SAC có

SC=2SA nén goc ZASC = 60°)=> tam giác AMN vuông tại A

Gọi H là trung điểm của MN, vì SA = SM = SN và tam giác AMN vuông tại A

Bai 5 Cho ttr dién déu ABCD canh a, hai diém M, N chay tuong tng trén cac doan AB

va CD sao cho BM = DN Tim nho nhat cua MN

B MA, =3 min 2 D MN vụn =av3

3/30

+) MN đạt giá trị nhỏ nhất bằng m2 khi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD

Bài 6 Cho hàm số y= x'°=2(m+1)x”+m”+L (1), với m là tham số thực Tìm m để đồ

thị của hàm số (I) có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông cân

Suy ra AB= (_Vm+1;—(m +) và AC= (Vm+1;—(m+1) }

Ta có AB = AC nên tam giác ABC vuông cân khi và chỉ khi 48.AC =0

©(m+ 1)" —(m+1)=0 Két hop với (*) ta được m=0

2x+3 x+2 cận của (C) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó cắt hai đường tiệm

can tai A va B sao cho JA = JB

Bài 7 Cho hàm số y = có đồ thị là (C) Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm

Giai:

l (x, — 2}

Tam giác AIB vuông cân tại I nên hệ số góc của tiếp tuyến k = 1 hoặc k = -1

e Số hạng trên chứa x” khi và chỉ khi k+l=6<>k=5§

Vậy hệ số của +x° trong khai triển của E là: 3.Cÿ

Xét @=x?(I-2x)”

e Số hạng tổng quát: x”.Cj(-2x) =(-2}'.C‡.x'? (0<k<9)

e _ Số hạng trên chứa x” khi và chỉ khi k+2=6<>k=4

Vậy hệ số của x° trong khai triển của G là: (-2)” Cÿ = 2!.Cÿ

Vậy hệ số của +° trong khai triển là: 3.Cj+2'.Cÿ =7119

Bài 9 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O cạnh bằng a Hình chiếu

vuông góc của đỉnh § lên mặt phăng (ABCD) là trung điểm của OC Góc giữa mặt

phẳng (SAB) va mat phẳng (ABCD) bằng 601 Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a

Speen =A ABCD = 4 D> Vo s.aBcD ~ 3 ! app = — A —a 4 = —a 4

Bài 10 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC)

bằng 2, góc giữa mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng (ABCD) bằng œ Tìm giá trị của cos œ

x+l

của (C) tại điểm M cắt hai tiệm cận tại A và B Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận Tính

diện tích tam giác LAB

có đồ thị là (C) và điểm M tùy ý thuộc (C) Tiếp tuyến

Tiệm cận đứng A, có phương trinh x =—1

Tiệm cận ngang A; có phương trình y=l— ?(-I;])

A¬A,=A=A[-kS—), AOA;=B> B(2a+1;1)

q +

Sap = tad = 32-3) pa+j=+ © aja+i|=6 2 2 2 |a+I|

Bài 13 Tìm để hàm số y=9x4+mVx +9 có cực đại

y"(x%,) = ——— = <0 x; là điểm cực đại

f(t) =1006[1'%° —d—1)') ; ƒ0)=0œt=2

hay (1) sin? x= > cos2x =O x= 24k (k eZ)

Bai 15 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD 1a hinh vuéng canh a, SA = av3 va SA

vuông góc với mặt phẳng đáy

a) Mặt phẳng (P) đi qua điểm A và vuông góc với SC cắt SB, SC, SD lần lượt tại

B’, C’, D’ Tinh thé tich khéi chop S.AB’C’D’ theo a

BC L AB,BC Ì SA > BC 1 (SAB)> BC L AB'

SC L(P)=> SC L AB'=> AB' 1 (SBC) => AB' 1 SB

Tương tự AD'L SD

Vs ABCD’ = V5 ABC’ + Vs apc:

Ve arc _ SB’ SC’ _ SB'.SB SC'SC - SAˆ SA? _3

b) AI và N là hai điểm thay đổi lần lượt thuộc các cạnh BC va DC sao cho

MAN =45" Tìm giá trị nhỏ nhất của thể tích khối chóp S.AMN

A minV _ 2 — 2-1a’ _ 2 cai 2 +1)a

Trên tia đối của tia DC lấy điểm P sao cho DP = BM = x

AABM = AADP => AM = AP,BAM = DAP

MAN =

45° => BAM + DAN =45° => NAP = DAP + DAN = 45°

11/30

= AMAN = APAN => Syiy =Spay = 2AD.PN = sax +y) Œ)

Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông CMN ta được

MN’ = MC? +CN’? & (x+y) =(a—x)’ +(a- yy

x+y? +2xy=a +x -2axt+a’+y’ -—2ayeSaxyta(xty)=a

min, „„„y = khi MB = ND = a(V2 -1)

Bài 16 Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 lập các số chăn có 4 chữ số đôi một khác nhau.Lấy ngẫu

nhiên một số vừa lập.Tính xác suất để lấy được một số lớn hơn 2012

E\{d, a} cé A; =6 cach Dang nay cé 2.3.6=36 sd Lap dugc 24+36 =60 số

e Tính số các số chăn lập được không lớn hơn 2012, có dạng löcd :

Chọn d chan cé 3 cach, chon b va c thứ tự trong tập E\{I, đ} có A‡ =6 cách

Dạng này có: 3.6 =18 số Suy ra số lớn hơn 2012 có 60—18=42 số

Xác suất cần tính: P=““=-—

60 10

Bài 17 Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình chữ nhật có AB=a va BC =2a, mat phẳng

(SAB) vuông góc với đáy, các mặt phẳng (SBC) và (SCD) cùng tạo với đáy một góc bằng

a) Gọi H là hình chiếu của Š trên

(ABCD), suy ra H € AB (do

(SAB) | (ABCD))

CB L HB, suy ra góc giữa hai mặt phẳng

(SBC) va (ABCD) la SBH

Ha HE | CD (E€CD), suy ra goc gitra

hai mat phang (SCD) va (ABCD) la

SEH

Do do SBH =SEH => HB=HE=2a

Ta dugc BD// AE => BD/I(SAE) => d(SA, BD) = d(B,(SAE)) = d(H,(SAE)) (do A la trung

điểm HB) => d(H,(SAE)) = = Nhận xét rằng HA, HE, HS đôi một vuông góc, suy ra:

> = Lự _ _— ˆ ` _

BD// AE, suy ra g6c gitta hai dwong thang SA va BD la SAE

Ap dung dinh ly ham s6 césin cho tam gidc SAE, v6i AE=SA=\VSH* +HA® =av5 va

SA* + AE*-SE* 1

SE = SHV2 = 2V2a, ta cb: cos(SA, V2 =2V2a, ta c6: cos\ BD) = cos SAE = 29 tA" =" =F )= cos 2.SA.AE 5

<> SH = 2q

13/30

Bai 18 Voi mdi tham sé me R, goi (Cn) là đồ thị của hàm số:

y=+x`-(m—I1)x” +2m(m— ])x + nẺ (1) Khi thay đổi, đường thẳng (A»): y ==mx— mm” luôn cắt (C„) tại một điểm A có hoành

độ không đổi Tìm 1 dé (Am) con cat (Cm) tại hai điểm nữa khác A, mà các tiếp tuyến của

(C„) tại hai điểm đó song song với nhau

= giao điểm của (A„) và (C„) gồm A(-l;—m—m”), B@n:0) và C(@m;m”); trong số đó, A

là điểm đu nhất có hoành độ không đổi (khi m thay d6i)

Đặt ƒ„(x) =x`—(3m—l1)x” +2m(m—])x+mẺ Các tiếp tuyến của (C„) tại B và C lần lượt là

Bai 19 Cho khéi lang tru ABC.A'B'C' Mét mat phang (a) di động nhưng luôn đi qua

điểm C', song song với đường thắng A'' và chia khối lăng trụ đã cho thành hai

phần Đặt x= MA NB - (0;1) Hay xac dinh x?

Gọi V là thể tích của khối lăng trụ A8C.A'B'C' Theo giả thiết, mặt phẳng (ơœ) chia khối

lăng trụ đã cho thành hai phần Gọi V, là thể tích của phần chứa đỉnh C, V, =V -V, là

thể tích của phần còn lại Ta cần xác định vi tri cua (a) để

Gọi A1 và N tương ứng là giao điểm giữa (œ) với các cạnh AA' và 8B' Cũng theo giả

thiết, A4N//A'B' Theo đề x= ¬ € (0;1), ta co:

AA' BB' Vy_2 Vy — _2 ŠSwụg'A' ‹ = _ 2 X

cận của (H) và M là một điểm bất kì trên (H) Tiếp tuyến với (H) tại M cắt tiệm cận

đứng và tiệm cận ngang của (H) lần lượt tại £ và Z# Tính diện tích tam giác IEF

Bài 21 Cho hàm số y = 37 2x°+x+1 cd d6 thi la (C) Trong tất cả các tiếp tuyến với

đồ thị (C), hãy tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất

Goi M(x,;y,) 1a tiép diém= k = y'(x,) =x? —4x, +1=(x,-2) -32-3

Vậy k đạt giá trị nhỏ nhất bằng -3 khi x„ =2 Khi đó M|2-3] = PTTT:y= Km

Bai 22 Tap hop tat ca các số thực m là khoảng (z;b) thì phương trình sau có ba nghiệm

dương phân biệt: x` —30n+1)x” +3(2m+1)x+ 2m” —9m— 5 =0 Tính ø+b=?

suy ra yêu cầu bài toán được thỏa mãn nếu các điều kiện sau xảy ra đồng thời:

+ ƒ'{x)=0 có hai nghiệm đương phân biệt (1)

Bai 23 Cho ttr dién ABCD cé BAC = CAD = DAB = 60°, AB = 8(cm), AC = 9(cm),

BCD, ACD, ABD, ABC

a) Tinh khoang cach ttr diém B dén mat phang (ACD)

Trên các cạnh AC, AD lần lượt lấy các diém C’, D’ sao cho AC'= AD'=8 Khi do, tt

điện ABC'D' là tứ điện đều có cạnh bằng 8

Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên (AC'D'), H là tâm của tam giác đều AC'D'

Gọi I là trung điểm của C'D', IC'=4, AI=x AC ?—IC” = 4/3 |

He Al, an=2 41-83 ¢ d(B,(ACD)) = BH = V AB? - AH? = s6

b) Tính thể tích khối tứ điện A,B,C, D,

542 (em) C.V AiBiCiD, ~ 202 (cm) 9

A V ABCD, ~

17/30

Lại có: =a=4(A,(B,C,P, ))=4(B,„(BCD)) =a4(A,(BCP))

Suy ra: Visco, =4(A,(B,C,D, ))Ssc,n = es

Siacp = 5 AC.AD.sin CDA = 45/3

Vasco = > BH Sxrcp = 6002 => Vasc, = 2002 (oy )

Bai 24 Cho hinh chop S.ABC có day ABC la tam giac vudng taiB,AB=8, BC =6

Biét SA=6 và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) Tìm bán kính mặt cầu có tâm

thuộc phần không gian bên trong của hình chóp và tiếp xúc với tất cả các mặt của hình

Gọi I,r thứ tự là tâm và bán kính của mặt câu có tâm thuộc phân không gian bên trong

hình chóp và tính và tiếp xúc với tất cả các mat cua hinh chop S.ABC

rs

Vise =V I.SAB 3 Scar + 3 1S crc + 3 1Ssca + 3 rS ABC — 1 1 1 1

Với S,„ là điện tích toàn phân S,„ = -5A.BA.BC =48

Dễ chứng mình SB L BC > SB=SA”+ AB? =10= AC

V, Ste =Ssap + Sspc + Seca +S ape = 108 => 7 = SY ssc - Sop 3

Bai 25

a) Tìm tham số m để hàm số y= x`+3mx”+3(m+l)x+2 nghịch biến trên một

đoạn có độ dài lớn hơn 4

y =0x°+2mx+m+1=0 (1) Diéu kién cần và đủ để hàm số nghịch biến trên một

đoạn có độ dài lớn hơn 4 > y'<0trên đoạn có độ đài lớn hơn 4 © (I) có hai nghiệm

hai diém phan biét A,B Goi k,,k, lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến với (H) tai A

và ö Có một giá trị a thoa dé tong k,+k, đạt giá trị lớn nhất, khi đó:

19/30

Vay k, +k, dat gid trị lớn nhất bằng -2 khi a=-1

Bài 26 Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số abc thỏa mãn điều kiện a<b<c

Mỗi số abe là một tổ hợp chập 2 của chín phần tử {1,2 9} suy ra số các số abc thỏa

man a<b=c la CG

TH4 a=b=c

Số các số abe thỏa mãn a=b=c 1a C}

Vậy số các số thỏa mãn yêu cầu bài toán là Cÿ +7 +Cÿ +Œ) =165

Bài 27

Cho hình chóp S.ABCD thỏa mãn SA =x/5,SB = $C = SD = AB = BC =CD = DA =+J3 Gọi

M là trung điểm của cạnh 8C Tính:

Ta thay ABCD là hình thoi, tam giác SBD cân tại Š suy ra BD | (SAC)

Gọi Ø là giao điểm cua AC va BD, ta thay ASBD = AABD = ACBD (c.c.c)

21/30

Suy ra OA=OC =OS = 5 AC nên AS4AC vuông tại S

Xét ASAC tacéd AC =VSA2+SC? =2V2 > OC = V2,0D=VCD? -OC? =1=> BD =2

Goi N 1a trung diém cua ADnén CD//(SMN)

Vậy Soy = 2 OM -MN -sin SMN = vã (2)

Bai 28 Cho ham sO y=x° —(m+1)x* +x+2m+1, với m là tham số thực, có đồ thị là (C)

Có một giá trị z thỏa để đường thắng đ: y= x+z+1 cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt

A, B, C sao cho tổng hệ số góc của các tiếp tuyến với (C) tại A, B, C bằng 12 Khi đó:

d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt khác

A,B, Clà: y'(I)+y'(x)+ y'(x;)=12

©®4-2m+3(x¿ +x7)—2(m+1)(x, + x;,)=12

> 3(x,+x,) —6x,x,-2(m+1)(x, +x,)=8+2m (3)

Theo định lí Viet ta cé: x, +x, =m, x,x, =—m, thay vao (3) ta được ” +2m—8=0

Giải ra ta được m=~-4 (loai) hoac m=2 (thoa man) Vay m=2 la gia tri can tim

Bài 29 Cho hình chóp S.ABCD c6 day ABCD la hinh chir nhat, AB = 2a, tam giac SAB

cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi M là trung

điểm của SD, mặt phẳng (ABM) vuông góc với mặt phẳng (SCD) và đường thắng AM

vuông góc với đường thắng BD

Gọi H, N, L, E lần lượt là trung điểm của AB, CD, SC, HD

Gọi [= ANOBD, K =LM OSN ; Dé thay tứ giác AHND là hình chữ nhật và IN = =

Từ giả thiết ta có SH 1 (ABCD), ME//SH => ME L BD(I)

23/30

Lại do AM 1 BD(2) Tir (1)&(2)=> BD L(AMN)= BD L AN Trong tam giác AND ta

cé ND? = NI.NA= — = NA = NDV3 =av3 => AD = JNA? — ND? =av2

Dễ thấy CD L(SHN), do ML//CD > ML L (SHN) => ML L SN (3)

Do (ABLM) L (SCD),(ABLM )(SCD) = ML (4), nên từ (3) &(4) => SN L(ABLM)

= SN | HK Lai do K là trung điểm SN nên tam giác SHN vuông cân tại H suy ra

Bài 30 Tìm tất cả các giá trị của để hàm số y = 2x —(m—1)x” =(m—3)x+8m” đồng

biến trên khoảng (0:3)

A 0<m<3 C m>3

B -3<m<0 D m<2

Giai:

y'=x° —2(m-1)x—(m-3)

Do phương trinh y'=0 cé nhiéu nhất hai nghiém trén I, nén dé ham số đã cho đồng

bién trén khoang (0;3) <> y'>0, Vx €(0;3)

Vậy, m<2 thì hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (0:3)

Bài 31 Tìm tất cả các giá trị của tham số í để đồ thị hàm số y = —Y`+3mx? —3m>—l có

điểm cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị đó đối xứng với nhau qua đường thăng

y'=~—3x/ +6mx; y'=(Ú © * om’ Hàm số đã cho có cực đại và cực tiểu <> phuong

trình y'=0Ø có hai nghiệm phân biệt © rm z0

Tọa độ hai điểm cực trị A(0;— 3m1), B(2m;4m` ~3m~—1)= AB(2m;4m` và trung

Bai 32 Cho đa giác đều có 15 đỉnh Gọi Mí là tập tất cả các tam giác có ba đỉnh là ba đỉnh

của đa giác đã cho Chọn ngẫu nhiên một tam giác thuộc tập M, tính xác suất để tam

giác được chọn là một tam giác cân nhưng không phải tam giác đều

25/30