Rèn luyện kỹ năng giải toán hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarít cho học sinh lớp 12 tỉnh sơn la

Trong nội dung chương trình Toán lớp 12 THPT thì hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit chiếm một khối lượng kiến thức và thời gian học của chương trình, xuất hiện trong các đề thi

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC

LÊ THU HUYỀN

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LÔGARÍT CHO HỌC SINH

LỚP 12 TỈNH SƠN LA

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

SƠN LA, NĂM 2017

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC

LÊ THU HUYỀN

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LÔGARÍT CHO HỌC SINH

LỚP 12 TỈNH SƠN LA

Chuyên ngành: Lí luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán

Mã số: 814.0111

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Người hướng dẫn khoa học: TS Vũ Quốc Khánh

SƠN LA, NĂM 2017

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được công bố trong bất

kì công trình nào khác Các số liệu trích dẫn trong luận văn đều được ghi rõ nguồn gốc

Tác giả luận văn

Lê Thu Huyền

Lời cảm ơn

Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu, phòng Sau đại học, Ban chủ nhiệm khoa Toán – Lý - Tin Trường Đại học Tây Bắc, các cán bộ, giảng viên Trường Đại học sư phạm Hà Nội, Trường Đại học Tây Bắc đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành khóa học và thực hiện thành công việ nghiên cứu và hoàn thiện luận văn

Đặc biệt, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới TS Vũ Quốc Khánh, người đã

trực tiếp hướng dẫn, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình nghiên cứu để hoàn thành luận văn

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu trường THPT Mộc Lỵ của tỉnh Sơn La đã quan tâm và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi thực hiện đúng kế hoạch học tập và nghiên cứu Xin cảm ơn gia đình, bạn bè các học viên trong lớp Cao học Toán Khóa 4 và các bạn đồng nghiệp đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thiện luận văn

Mặc dù bản thân rất cố gắng trong quá trình nghiên cứu đề tài và hoàn thiện luận văn, song luận văn khó tránh khỏi những thiếu xót Kính mong quý thầy cô giáo, các bạn đồng nghiệp quan tâm góp ý kiến để luận văn được hoàn thiện hơn

Sơn La, tháng 12 năm 2017

Tác giả luận văn

Lê Thu Huyền

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lí do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 2

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 2

4 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

5 Phương pháp nghiên cứu 2

6 Giả thuyết khoa học 3

7 Bố cục luận văn 3

CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 4

1.1 Lý luận về kĩ năng 4

1.1.1 Khái niệm kĩ năng 4

1.1.2 Đặc điểm của KN 5

1.1.3 Sự hình thành và phát triển KN 5

1.2 Kỹ năng giải toán 6

1.2.1 Đặc điểm của KN giải toán 6

1.2.2 Mục đích của Rèn luyện KN giải toán 7

1.2.3 Yêu cầu về rèn luyện KN giải toán 8

1.3 Bài toán và phương pháp chung để giải bài toán 10

1.3.1 Bài toán và phân loại bài toán 10

1.3.2 Vai trò của bài tập toán trong quá trình dạy học 12

1.3.3 Những yêu cầu của một lời giải bài toán 13

1.3.4 Phương pháp chung để giải bài toán 14

1.4 Điều tra thực trạng rèn luyện kỹ năng giải toán hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit cho học sinh lớp 12 15

1.4.1 Điều tra từ GV 15

1.4.2 Điều tra về việc dạy học chương “Hàm số lũy thừa- hàm số mũ -hàm số lôgarit” cho học sinh THPT 17

1.5 Kết luận 20

CHƯƠNG II: RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LÔGARIT THÔNG QUA TỪNG DẠNG TOÁN CỤ THỂ 22

2.1 Định hướng việc xây dựng và thực hiện các biện pháp rèn luyện kỹ năng cho học sinh 22

2.2 Rèn luyện KN giải toán: hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit cho học sinh lớp 12 tỉnh Sơn La 23

2.2.1 Rèn luyện kỹ năng giải một số bài toán sử dụng định nghĩa, định lý 23

2.2.2 Rèn luyện kĩ năng giải bài toán tìm đạo hàm, cực trị liên quan tới hàm số mũ, hàm số mũ lôgarit 38

2.2.3 Rèn luyện kĩ năng giải bài toán phương trình mũ và phương trình lôgarit 45

2.3 Kết luận chương II 87

CHƯƠNG III: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 88

3.1 Mục đích thử nghiệm 88

3.2 Nội dung thử nghiệm 88

3.3 Đối tượng thử nghiệm 88

3.3.1 Chọn lớp thử nghiệm 88

3.3.2 Biên soạn thử nghiệm 89

3.3.3 Bài kiểm tra đánh giá kết quả thực nghiệm qua đề kiểm tra 1 tiết 90

3.4 Kết quả thực nghiệm 90

3.4.1 Phân tích định lượng 90

3.4.2 Phân tích định tính 91

3.5 Kết luận chương III 92

KẾT LUẬN 93

DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 94 PHỤ LỤC

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Xuất phát từ sự phát triển kinh tế xã hội của thời đại, Việt Nam đang thực hiện chiến lược phát triển kinh tế xã hội giai đoạn 2011 – 2020 Tại đại hội XI của Đảng về lĩnh vực Giáo dục và đào tạo Đảng ta xác định: "Đổi mới căn bản và toàn diện giáo dục, đào tạo phải thực hiện đồng bộ các giải pháp phát triển và nâng cao chất lượng giáo dục, đào tạo Đổi mới chương trình, nội dung, phương pháp dạy và học, phương pháp thi; nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện, đặc biệt coi trọng giáo dục lý tưởng, giáo dục truyền thống lịch sử cách mạng, đạo đức, lối sống, năng lực sáng tạo, kỹ năng thực hành, tác phong công nghiệp, ý thức trách nhiệm xã hội"

Trong các môn học ở THPT thì Toán học là môn khoa học có vị trí quan trọng Nó là công cụ để học các môn học khác, đặc biệt là những môn khoa học tự nhiên, kỹ thuật và có nhiều ứng dụng vào thực tiễn hàng ngày Trong nội dung chương trình Toán lớp 12 THPT thì hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit chiếm một khối lượng kiến thức và thời gian học của chương trình, xuất hiện trong các đề thi THPT Quốc Gia

Qua thực tiễn dạy học Toán ở một trường phổ thông thuộc tỉnh Sơn

La-là một tỉnh khó khăn miền núi phía Bắc với chất lượng giáo dục chưa cao, tôi thấy học sinh còn rất lúng túng, khó khăn khi giải các bài toán về hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit Nhiều em chưa có kĩ năng vận dụng, phát huy kiến thức đã học và trong nhiều trường hợp chưa biết phân loại và nhận dạng bài toán, chưa đưa ra được phương pháp giải với từng dạng cụ thể

Xuất phát từ những lý do trên tôi chọn đề tài “Rèn luyện kĩ năng giải toán hàm số lũy thừa - hàm số mũ -hàm số lôgarit cho HS lớp 12 tỉnh Sơn La”

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu đề xuất các biện pháp rèn luyện kĩ năng giải toán hàm số

lũy thừa – hàm số mũ – hàm số lôgarit cho HS lớp 12 tỉnh Sơn La

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Quá trình dạy học về giải toán hàm số lũy thừa – hàm số mũ – hàm số lôgarit hướng tới rèn luyện kỹ năng cho HS lớp 12 trường THPT Mộc Lỵ, huyện Mộc Châu, tỉnh Sơn la

Phạm vi nghiên cứu: Dạy học chủ đề về giải toán hàm số lũy thừa – hàm số mũ – hàm số lôgarit

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu lý luận về: kĩ năng, kĩ năng giải toán, bài toán và phương pháp chung để giải bài toán: hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit

Tìm hiểu thực trạng rèn luyện kĩ năng giải toán hàm số lũy thừa, hàm

số mũ và hàm số lôgarit ở trường THPT Tỉnh Sơn La

Đề xuất một số biện pháp nhằm rèn luyện kĩ năng giải toán hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit cho HS lớp 12 Tỉnh Sơn La thông qua kỹ năng phân loại và tổng hợp bài toán về hàm số lũy thừa, hàm số mũ

và hàm số lôgarit

5 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu các tài liệu về giáo dục,

tìm hiểu một số tạp chí, báo cáo khoa học, luận văn thạc sĩ về các vấn đề liên quan đến đề tài; nội dung chủ đề hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit ở chương trình SGK môn Toán THPT

Phương pháp quan sát, điều tra: Điều tra việc giảng dạy của giáo viên

và việc học tập của HS trong quá trình sử dụng bài tập để rèn luyện kĩ năng giải toán hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit cho HS THPT Tỉnh Sơn La thông qua quan sát, phỏng vấn, trao đổi dự giờ đồng nghiệp

Phương pháp thử nghiệm sư phạm: Nhằm kiểm nghiệm tính khả thi và

hiệu quả của giải pháp đã đề xuất

6 Giả thuyết khoa học

Nếu thực hiện tốt giải pháp rèn luyện được các kĩ năng giải toán về hàm

số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit thông qua kỹ năng phân loại và tổng hợp bài toán về hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit như đã đề xuất trong luận văn thì tôi đã tăng cường tính tích cực, chủ động cho học sinh trong học tập môn Toán

7 Bố cục luận văn

Luận văn ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, nội dung chính của luận văn gồm ba chương

Chương I: Cơ sở lí luận và thực tiễn

Chương II: Rèn luyện kĩ năng giải toán hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit thông qua từng dạng toán cụ thể

Chương III: Thực nghiệm sư phạm

CHƯƠNG I

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Lý luận về kĩ năng

1.1.1 Khái niệm kĩ năng

Theo giáo trình Tâm lí học đại cương thì “Kĩ năng (KN) là năng lực sử dụng các dữ kiện, các tri thức hay khái niệm đã có, năng lực vận dụng chúng

để phát hiện những thuộc tính, bản chất của các sự vật và giải quyết thành công những nhiệm vụ lí luận hay thực hành xác định’’[1]

Theo [2] “KN là khả năng vận dụng tri thức khoa học vào thực tiễn, trong đó khả năng được hiểu là: Sức đã có (về một mặt nào đó) để thực hiện

Tôi thấy có nhiều cách định nghĩa khác nhau về KN Những định nghĩa này thường bắt nguồn từ góc nhìn chuyên môn và quan niệm theo xu hướng nghiên cứu của cá nhân tác giả

Vậy ta có thể hiểu về KN như sau:

KN là khả năng biết vận dụng những kiến thức, kinh nghiệm đã có một cách hợp lý, phù hợp với điều kiện thực tiễn cho phép để thực hiện có kết quả một hành động hay một hoạt động nào đó Nói đến KN là nói đến cách thức,

thủ thuật và trình tự thực hiện các thao tác hành động để đạt được mục đích đã định KN được hình thành và phát triển dựa trên kiến thức, nó tiếp tục giúp củng cố kiến thức và có thể phát triển thành kĩ năng mới phù hợp với sự phát triển trí tuệ và rộng hơn là phù hợp với yêu cầu của cuộc sống KN chính là kiến thức trong hành động, nó hình thành và phát triển trong hoạt động và bằng hoạt động

1.1.2 Đặc điểm của KN

“Bất cứ KN nào cũng phải dựa trên cơ sở lý thuyết, đó là kiến thức, bởi

vì cấu trúc của KN bao gồm: hiểu mục đích, biết cách thức đi đến kết quả, hiểu các điều kiện để triển khai các cách thức đó” [4]

Vậy muốn có KN về một hành động nào đó thì cần phải:

+ Có kiến thức: để hiểu được mục đích của hành động, biết được mục đích của hành động, biết được điều kiện, cách thức để đi đến kết quả, để thực hiện hành động

+ Tiến hành hành động đó với yêu cầu của nó

+ Đạt được kết quả phù hợp với mục đích đề ra

+ Có thể hành động có hiệu quả trong những điều kiện khác nhau

+ Có thể qua bắt chước, rèn luyện để hình thành KN nhưng phải trải qua thời gian đủ dài

1.1.3 Sự hình thành và phát triển KN

Sự hình thành KN: Để hình thành được KN trước hết cần có kiến thức

làm cơ sở cho việc hiểu biết, luyện tập từng thao tác riêng rẽ cho đến khi thực hiện được một hành động theo đúng mục đích, yêu cầu Có những KN hình thành không cần qua luyện tập, nếu biết tận dụng hiểu biết và KN tương tự đã

có để chuyển sang thực hiện các hành động, hoạt động mới

VD: Để hình thành cho HS KN giải bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit có thể thực hiện liên tiếp các biện pháp sau:

Xây dựng hệ thống câu hỏi và bài tập có phân bậc hoạt động về việc rèn luyện các KN về: nhận dạng, xác định các dạng bất phương trình cơ bản, biến đổi toán học để đưa các bất phương trình về dạng bất phương trình cơ bản

Sự phát triển KN: Rõ ràng KN được phát triển qua việc thực hành Để

thông thạo một KN đòi hỏi phải thực hành có trọng điểm với một thời lượng nhất định Trong quá trình thực hành cần thay đổi và định hình những gì mình

đã học được

1.2 Kỹ năng giải toán

1.2.1 Đặc điểm của KN giải toán

Giải một bài toán là tiến hành một hệ thống hành động có mục đích,

do đó chủ thể giải toán còn phải nắm vững các tri thức về hành động, thực hiện hành động theo các yêu cầu cụ thể của tri thức đó, biết hành động có kết quả trong những điều kiện khác nhau

KN giải toán là khả năng vận dụng các tri thức toán học để giải các bài tập toán (bằng suy luận, chứng minh)

KN giải toán có cơ sở là các tri thức toán học (bao gồm kiến thức, kỹ năng, phương pháp) KN giải toán thể hiện ở việc thực hiện giải bài toán có kết quả, lời giải bài toán phải đạt được ba yêu cầu cơ bản đó là: Kết quả đúng, lời giải đầy đủ, suy luận hợp lôgic

KN giải toán của học sinh là khả năng vận dụng có mục đích những tri thức và kinh nghiệm đã tích lũy vào giải những bài toán cụ thể, thực hiện có kết quả một hệ thống hành động giải toán để có lời giải bài toán Khả năng giải toán là thực hiện các chứng minh cũng như phân tích có phê phán các lời

giải và chứng minh nhận được theo một yêu cầu bài toán nào đó, trên cơ sở các tri thức toán học (kiến thức, kỹ năng, phương pháp) Học sinh sau khi nắm vững lý thuyết, trong quá trình luyện tập, củng cố, đào sâu kiến thức thì KN được hình thành và phát triển đồng thời góp phần cụ thể hóa tri thức toán học

1.2.2 Mục đích của Rèn luyện KN giải toán

Rèn luyện KN giải toán không chỉ giúp học sinh nắm vững kiến thức toán học mà còn góp phần rèn luyện năng lực giải toán, KN vận dụng tri thức toán học vào thực tiễn, phát triển tư duy toán học cho học sinh Tùy theo nội dung kiến thức truyền thụ cho học sinh mà GV có những yêu cầu rèn luyện tương ứng Khi rèn KN giải toán GV cần chú tới ba mức độ của KN trong giải toán như:

+ Biết giải những dạng toán cơ bản và những dạng toán tương tự

+ Giải thành thạo những dạng toán cơ bản và những dạng toán tương tự + Có những biểu hiện của việc giải toán sáng tạo

Việc rèn KN định hướng tìm lời giải đòi hỏi HS có khả năng đoán nhận được kiến thức cần thiết phải sử dụng đến thì mới giải được bài toán Từ những biến đổi phù hợp, HS tạo ra những bài tập tương tự hoặc những bài tập mới mà

đã có cách thức giải chúng, nhằm nâng cao năng lực giải toán của chính mình Rèn luyện định hướng tìm lời giải bắt buộc HS phải tự giác, tích cực, độc lập trong suy nghĩ, chủ động trong việc lựa chọn phương pháp giải toán Đó chính

là cơ sở quan trọng cho việc rèn luyện khả năng làm việc độc lập sáng tạo, HS

từ vai trò tiếp thu kiến thức trở thành chủ thể sáng tạo ra tri thức

Rèn luyện KN định hướng tìm lời giải không chỉ có tác dụng nâng cao năng lực giải toán mà qua đó giúp HS tự tìm kiếm được các phương thức giải

quyết vấn đề cho giải toán Như vậy rèn luyện KN định hướng tìm lời giải cho

HS là một yêu trong những yêu cầu rất quan trọng và cần thiết trong giảng dạy bộ môn Toán học

1.2.3 Yêu cầu về rèn luyện KN giải toán

Trong thực tế dạy học cho thấy, học sinh thường gặp khó khăn khi vận dụng kiến thức vào giải quyết các bài tập cụ thể là do học sinh không nắm vững kiến thức cơ bản về khái niệm, định lý, quy tắc chính vì thế sẽ không có

- Người GV cần phải tổ chức cho học sinh trong hoạt động và bằng hoạt động một cách tự giác, tích cực, sáng tạo để học sinh có thể nắm vững tri thức, có được KN từ đó vận dụng một cách linh hoạt trong những trường hợp

cụ thể, đồng thời kết hợp việc thực hiện: “Học đi đôi với hành, giáo dục kết

hợp với lao động sản xuất, nhà trường gắn liền với xã hội”.[4] Học là một

KN cụ thể đòi hỏi phải thỏa mãn những nhu cầu sau:

- Giải thích: HS cần phải hiểu vì sao thực hiện KN đó như vậy, cùng

với các thông tin cơ bản khác

- Làm chi tiết: HS cần phát hiện một cách chính xác cái mà ta trông chờ

các em phải làm và phải làm như thế nào, đây là cách làm chi tiết mà HS thường học tốt nhất khi được xem giới thiệu như qua trình diễn hoặc nghiên

cứu tình huống Cách đó cung cấp mô hình thức hành tốt để bắt chước hoặc tiếp thu một cách cụ thể

- Sử dụng: HS cần sử dụng, thực hành KN đó

- Kiểm tra và tự hiệu chỉnh: Tất nhiên việc thực hành của HS cần được

tự các em hiệu chỉnh và cũng thường được GV kiểm tra và hiệu chỉnh

- Ghi nhớ: HS cần có hỗ trợ để ghi nhớ, VD: Phiếu ghi, sách, băng ghi âm,

- Ôn lại và sử dụng lại: Đây là việc cần thiết để đảm bảo nội dung học

tập không bị quên

- Đánh giá: Việc học phải được kiểm tra trong điều kiện thực tế nếu

muốn để cả người học và người dạy yên tâm về nội dung học

- Thắc mắc: Người học luôn đòi hỏi có cơ hội để thắc mắc, nêu câu hỏi

Dù ta đang học một KN thực hành cụ thể hay một KN trí tuệ (kể cả một

KN ngôn ngữ) thì gần như phải trải qua những thành phần trên, nếu muốn việc học thành công

VD: Khi dạy học RLKN giải phương trình mũ, lôgarit thì các thành phần

kể trên có thể hiểu như sau:

- Giải thích: KN này được thực hiện dựa trên các kiến thức về hàm số

mũ, hàm số lôgarit, các kiến thức về phương trình đại số thông thường

- Làm chi tiết: HS cần phải tìm ra dạng của phương trình rồi mới có

được phương pháp giải thích hợp

- Sử dụng: HS cần đọc dạng phương trình, sử dụng KN biến đổi toán học

(mũ hóa, lôgarit, đặt ẩn phụ) để giải phương trình

- Kiểm tra và tự hiệu chỉnh: HS phải tự biết kiểm tra đánh giá trong quá

trình biến đổi phương trình và trình bày lời giải

- Ghi nhớ: Để hỗ trợ ghi nhớ thường phải dùng phiếu học tập, vở ghi,

dụng cụ học tập

- Ôn lại và sử dụng lại: Quá trình RLKN giải phương trình mũ, lôgarit

trên đã giúp HS ôn lại các KN cũ, RLKN mới, củng cố, khắc sâu kiến thức

- Đánh giá: Kết quả đúng sai giúp HS đánh giá việc học

- Thắc mắc: HS có thể thắc mắc khi chưa hiểu tường minh các bước

thực hiện giải phương trình

Khi dạy các KN, điều quan trọng là không dạy quá nhiều cùng một lúc

Sẽ tốt nhất nếu mỗi bài tập phức tạp được chia thành một chuỗi các bước đi, các bước đó được học một cách tách biệt nhau Rồi mỗi bước đó được thực hành chậm rãi, chính xác cho đến khi nào đạt được tốc độ cần thiết, sau đó các bước đi có thể xâu chuỗi lại để làm nên bài tập phức tạp

Để học được một KN, HS cần biết chúng ta cần ở các em có khả năng làm gì và làm như thế nào cho tốt Các em phải có cơ hội thực hành, được kiểm tra và hiệu chỉnh việc thực hành đó

1.3 Bài toán và phương pháp chung để giải bài toán

1.3.1 Bài toán và phân loại bài toán

Khái niệm bài toán

G.Polya cho rằng: “ Trong toán học, nắm vững bộ môn Toán quan trọng hơn rất nhiều so với một kiến thức thuần túy mà ta có thể bổ sung nhờ một cuốn sách tra cứu thích hợp Vì vậy cả trong trường trung học cũng như trong các trường chuyên nghiệp, ta không chỉ truyền thụ cho HS những kiến thức nhất định, mà quan trọng hơn nhiều là phải dạy cho họ đến mức độ nào đó nắm vững môn học Vậy thế nào là nắm vững môn Toán? Đó là biết giải toán” [5]

G.Polya cũng cho rằng: “ Bài toán đặt ra sự cần thiết phải tìm kiếm một cách có ý thức phương tiện thích hợp để đạt tới một mục đích rõ ràng nhưng không thể đạt được ngay”

Giải bài toán tức là tìm ra phương tiện đó

Có thể hiểu rằng: Nội dung bài toán là mâu thuẫn giữa cái đã biết và cái cần tìm, và cái này sẽ được tìm ra nhờ một hệ thống các hành động trí óc hay thực hành Khái niệm bài toán được gắn liền với hành động của chủ thể, không thể nghiên cứu bài toán mà tách rời hành động của chủ thể, hành động giải toán đòi hỏi chủ thể phải: phân tích bài toán; mô hình hóa và cụ thể hóa các mối quan hệ bản chất trong bài toán; phát hiện ra hướng giải và xây dựng

kế hoạch cụ thể để giải bài toán; thực hiện giải bài toán; kiểm tra, đánh giá quá trình giải bài toán; rút ra những kiến thức mới bài toán đem lại.\

Phân loại bài toán

Một sự phân loại tốt phải chia các bài toán thành những loại (kiểu, dạng) sao cho mỗi loại xác định được một phương pháp giải” Dựa vào mục đích của bài toán, G.Polya chia bài toán thành hai loại: Các bài toán về tìm tòi

và các bài toán về chứng minh Trong đó cần lưu ý đến các phần chính của từng loại và mối quan hệ giữa chúng để giải toán

- Bài toán tìm tòi: Bao gồm toán dựng hình, toán tính toán, toán tập hợp

điểm, toán giải phương trình, giải bất phương trình,… Trong đó, yêu cầu của bài toán thường thể hiện bằng các từ: tính, tìm, giải, xác định, dựng,…Các phần chính của bài toán bao gồm: cái phải tìm (còn gọi là ẩn), cái đã cho (còn gọi là dữ kiện và điều kiện ràng buộc ẩn với dữ kiện) Giải bài toán loại này là tìm ra một hoặc một số ẩn thỏa mãn các điều kiện ràng buộc ẩn với các dữ kiện của bài toán đó

- Bài toán chứng minh: Là bài toán mà yêu cầu của nó thường thể hiện

bằng các cụm từ: Chứng minh rằng, chứng tỏ rằng, tại sao, chỉ ra rằng,…Các phần chính của bài toán gồm: Cái đã cho (còn gọi là giả thiết) và cái phải tìm (còn gọi là kết luận) Giải bài toán này là khám phá ra mối liên hệ logic giữa cái đã cho và cái phải tìm

- Tuy nhiên, trong thực tế vẫn gặp bài toán mà trong đó có phần là bài toán tìm tòi, có phần là bài toán chứng minh Muốn tìm một đối tượng nào đó

ta phải làm các thao tác chứng minh và ngược lại Những bài toán như vậy thường được gọi là bài toán tổng hợp

1.3.2 Vai trò của bài tập toán trong quá trình dạy học

Môn Toán có vai trò quan trọng trong việc thực hiện mục tiêu chung của giáo dục phổ thông Môn Toán góp phần phát triển nhân cách, phát triển những phẩm chất trí tuệ chung như: phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa, rèn luyện những đức tính, phẩm chất của người lao động mới như tính cẩn thận, chính xác, kỉ luật, tính phê phán, sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mỹ Hơn nữa môn Toán còn là công cụ giúp cho việc dạy

và học các môn học khác

Bài tập toán học có vai trò quan trọng trong môn Toán, là “giá mang” hoạt động của HS Thông qua giải bài tập, HS phải thực hiện những hoạt động nhất định, bao gồm cả nhận dạng, thể hiện định nghĩa, định lí, qui tắc, phương pháp, những hoạt động toán học phức hợp, những hoạt động phổ biến trong toán học, những hoạt động trí tuệ chung và hoạt động ngôn ngữ Vai trò của bài tập thể hiện

ở ba bình diện:

a) Trên bình diện mục đích dạy học, bài tập toán ở nhà trường phổ thông là

“giá mang” những hoạt động mà việc thực hiện các hoạt động đó thể hiện múc độ đạt mục đích Bài tập toán học góp phần:

- Hình thành, củng cố tri thức kĩ năng, kĩ xảo ở những giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học, kể cá kĩ năng ứng dụng toán học vào thực tiễn

- Phát triển năng lực trí tuệ: Rèn luyện những thao tác tư duy, hình thành và phát triển những phẩm chất trí tuệ

- Bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng, hình thành và phát triển những phẩm chất đạo đức của người lao động mới

b) Trên bình diện nội dung dạy học, những bài tập toán học là “giá mang” những hoạt động liên hệ với những nội dung nhất định, làm cho bài tập đó trở thành một phương tiện để gieo mầm nội dung dưới dạng những tri thức hoàn chỉnh hay những yếu tố bổ sung cho những tri thức nào đó đã được trình bày trong phần lý thuyết

c) Trên bình diện phương pháp dạy học, bài tập toán học là “giá mang” những hoạt động để người học kiến tạo những nội dung nhất định và trên cơ sở đó thực hiện các mục đích dạy học khác Khai thác tốt những bài tập như vậy sẽ góp phần tổ chức cho HS học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực

và sáng tạo được thực hiện độc lập hoặc trong giao lưu

Trong thực tiễn dạy học, bài tập được sử dụng với các dụng ý khác nhau về phương pháp dạy học: Đảm bảo trình độ xuất phát, gợi động cơ làm việc với nội dung mới, củng cố kiến thức, ôn tập hay kiểm tra đánh giá kiến thức của HS, giúp

GV nắm được thông tin hai chiều trong quá trình dạy học

1.3.3 Những yêu cầu của một lời giải bài toán

Lời giải một bài toán cần đạt được các yêu cầu sau:

- Lời giải đầy đủ

- Lập luận chặt chẽ

- Ngôn ngữ chính xác, khoa học

- Trình bày rõ ràng, đảm bảo tính mĩ thuật

- Tìm ra nhiều cách giải, chọn cách ngắn gọn, hợp lý

1.3.4 Phương pháp chung để giải bài toán

Dựa trên những tư tưởng tổng quát cùng với những cách thức giải bài toán đã được kiểm nghiệm trong thực tiễn dạy học, có thể nêu phương pháp chung để giải bài toán như sau:

Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài (hay hiểu bài toán):

- Phát biểu đề bài với những dạng khác nhau để hiểu rõ nội dung bài toán

- Phân biệt cái đã cho và cái phải tìm, phải chứng minh

- Có thể dùng công thức, kí hiệu, hình vẽ để hỗ trợ cho việc diễn tả bài toán Bước 2: Tìm cách giải (hay xây dựng chương trình giải):

Tìm tòi phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán: biến đổi cái đã cho, biến đổi cái phải tìm hay phải chứng minh, liên hệ cái đã cho hoặc cái phải tìm với những tri thức đã biết, liên hệ bài toán cần giải với một bài toán cũ tương tự, một trường hợp riêng, một bài toán tổng quát hơn hay một bài toán nào đó có liên quan, sử dụng những phương pháp đặc thù với từng dạng toán như chứng minh phản chứng, quy nạp toán học, toán dựng hình, toán quỹ tích… Chẳng hạn với bài toán chứng minh ta có thể hướng dẫn, gợi ý HS tìm lời giải bằng phân tích suy xuôi hay suy ngược…

Kiểm tra lời giải bằng cách xem lại kĩ từng bước thực hiện hoặc đặc biệt hóa kết quả tìm được hay đối chiếu kết quả với một số tri thức có liên quan… Tìm tòi cách giải khác, so sánh chúng để chọn được kết quả hợp lí nhất Trả lời cho các câu hỏi hướng dẫn như: đã gặp bài toán này lần nào chưa? Xét kĩ cái chưa biết và thử nhớ lại một bài toán quen thuộc có cùng cái chưa biết hay có cái biết tương tự? Có thể áp dụng một định lý nào đó? Có thể

phát biểu bài toán bằng cách khác hay không? Nếu không giải được hãy thử giải một bài toán liên quan dễ hơn hay không? Hãy chọn một lời giải ngắn gọn hợp lý nhất?

Bước 3: Trình bày lời giải (hay thực hiện chương trình giải):

Từ cách giải đã phát hiện được, sắp xếp các việc phải làm thành một chương trình gồm các bước theo một trình tự thích hợp và thực hiện các bước đó

Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải:

- Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải

- Nghiên cứu giải các bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề,

từ đó có thể phát sinh những bài toán mới hay những lời giải khác

1.4 Điều tra thực trạng rèn luyện kỹ năng giải toán hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit cho học sinh lớp 12

Để khảo sát về rèn luyện kỹ năng giải toán về hàm số lũy thừa, hàm số

mũ và hàm số lôgarit cho học sinh lớp 12 ở trường phổ thông, luận văn đã sử dụng các phương pháp quan sát, điều tra: dự giờ, hỏi ý kiến các GV trong trường phổ thông, phiếu điều tra

- Hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit

- Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit

Với nội dung trên SGK được trình bày thành 8 mục với 18 tiết cụ thể như sau:

Stt Nội dung Số tiết Tiết

4 Hàm số mũ, hàm số lôgarit 3 tiết 29 - 31

5 Phương trình mũ, phương trình lôgarit 3 tiết 32 - 34

6 Bất phương trình mũ, bất phương trình lôgarit 2 tiết 35 - 36

Để biết được tình hình thực tế việc rèn luyện kỹ năng giải toán hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit cho học sinh lớp 12, tôi đã hỏi ý kiến của 7 thầy cô giáo trong tổ Toán-Tin trường THPT Mộc Lỵ, huyện Mộc Châu, tỉnh Sơn La

chọn

Tỉ lệ (%)

1 Chương Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số

lôgarit là một nội dung quan trọng?

2 Chương Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và

hàm số lôgarit là một nội dung dễ dạy?

2 28,5

3 Thầy cô có thường xuyên vận dụng những

biện pháp rèn luyện kĩ năng giải bài tập nội

dung hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số

lôgarit vào thực tế giảng dạy trên lớp?

4 HS yêu thích và ít gặp khó khăn khi giải bài

tập nội dung hàm số lũy thừa, hàm số mũ và

Kết quả điều tra đã phản ánh sát thực những đánh giá và nhận xét đã trình bày ở trên, phù hợp với những thuận lợi và khó khăn của GV và HS trường THPT Mộc Lỵ

1.4.2 Điều tra về việc dạy học chương “Hàm số lũy thừa- hàm số mũ -hàm

số lôgarit” cho học sinh THPT

- Về tài liệu hướng dẫn dạy học:

+) Chưa có nhiều tài liệu hướng dẫn giảng dạy chương này cho GV THPT +) SGK, SGV ít đề cập đến PPDH trong chương này

+) Tài liệu bồi dưỡng GV đã có nhưng chưa đủ, việc vận dụng cụ thể của nhiều GV còn có những hạn chế nhất định

- Thực tế dạy và học ở trường Phổ thông cho thấy:

+) Quá trình tiếp thu kiến thức và vận dụng kiến thức còn gặp khó khăn như: HS chưa nắm vững được khái niệm, khi sử dụng các hệ thức còn ít chú ý đến điều kiện liên quan, các bài toán về hàm số luỹ thừa, hàm số mũ và hàm

số lôgarit có mặt ở hầu hết các loại bài tập, HS phải có những kĩ năng biến đổi, đưa bài toán về dạng cơ bản, nhưng những phép biến đổi như biến đổi tương đương, biến đổi hệ quả HS, phân biệt còn chưa rõ ràng, chưa chú ý đến điều kiện liên quan, chưa sử dụng các phương pháp đặc biệt hóa, khái quát hóa, để giải toán, dẫn đến gặp khó khăn khi giải bài tập

Khi giải bài toán HS (kể cả HS khá giỏi) vẫn thường mắc phải nhiều sai lầm khác nhau và nguyên nhân dẫn đến những sai lầm cũng khác nhau Chính các sai lầm này làm hạn chế khả năng giải toán của HS Các em sẽ học kém đi nếu GV không chú ý giúp HS nhận ra được sai lầm (nếu có) sau mỗi bài tập, mỗi bài kiểm tra; cần phân tích được những nguyên nhân chính dẫn đến các

sai lầm đó Sai lầm ở HS rất phong phú, sau đây tôi xin nêu một số VD về

những khó khăn và sai lầm của HS trong việc giải toán hàm số lũy thừa, hàm

số mũ và hàm số lôgarit ở lớp 12 THPT

Tìm sai TXĐ của hàm số mũ và lôgarit: HS thường hay gặp khó khăn và mắc sai lầm trong quá trình tìm TXĐ của hàm số Nguyên nhân là HS chưa hiểu rõ bản chất vấn đề, chưa nắm được các bước biến đổi toán học cũng như khả năng kết hợp các điều kiện một cách triệt để và chính xác

Có HS giải như sau:

Vậy, với   3 m  1thoả mãn điều kiện đầu bài

- Sai lầm của HS trong bài toán này là phải chuyển điều kiện (1) có hai nghiệm trái dấu chuyển sang điều kiện cho phương trình (2) theo t sau đó tìm điều kiện của m

- Lời giải đúng phải là:

và phương tiện, thiết bị dạy học ở một số trường còn quá nghèo nàn, Do đó cũng không thuận lợi cho việc áp dụng PPDH mới, nên cũng ảnh hưởng đến thái độ học tập thụ động, tính tự giác không cao, của HS Để đánh giá về việc dạy - học nội dung này, tôi đã hỏi 358 HS lớp 12 ở trường THPT Mộc Lỵ huyện Mộc Châu, tỉnh Sơn La

Câu hỏi 1: Em có hiểu nội dung kiến thức chương: Hàm số lũy thừa, hàm

số mũ và hàm số lôgarit không ?

Câu hỏi 2: Em có thích giải các bài tập nội dung chương này không?

Câu hỏi 3: Có cần thiết phải điều chỉnh cách học và dạy nội dung trên để

các em có thể giải tốt các bài tập trong chương này không?

+) Kết quả thu được như sau:

Trong câu hỏi 1: Rất hiểu: 17 HS ( 4.3%) ; Bình thường: 126 HS

(32%); Khó hiểu: 215 HS(65.7%)

Trong câu hỏi 2: Rất thích: 15 HS (3.8%); Bình thường: 125 HS,

(31.2%); Không thích: 218 HS (65%)

Trong câu hỏi 3: Rất cần: 278 HS (70%); Không cần: 43

HS, (11%); Không quan tâm: 27HS (19%)

1.5 Kết luận

Chương I của luận văn đã trình bày về

1.Khái niệm về KN, đặc điểm và sự hình thành, phát triển của KN Theo đó, KN là khả năng biết vận dụng những kiến thức, kinh nghiệm đã có một cách hợp lý, phù hợp với điều kiện thực tiễn cho phép để thực hiện có kết quả một hành động hay một hoạt động nào đó

2 Đặc điểm của KN giải toán có cơ sở là các tri thức toán học (bao

gồm kiến thức, kỹ năng, phương pháp) Mục đích của Rèn luyện KN giải toán không chỉ giúp học sinh nắm vững kiến thức toán học mà còn góp phần rèn luyện năng lực giải toán.

3 Khái niệm bài toán Có thể hiểu rằng: Nội dung bài toán là mâu thuẫn giữa cái đã biết và cái cần tìm, và cái này sẽ được tìm ra nhờ một hệ thống các hành động trí óc hay thực hành

4 Tìm hiểu một số thực trạng dạy học bài toán hàm số lũy thừa, hàm số

mũ và hàm số lôgaritt ở lớp 12 THPT

Trên cơ sở đó ở chương II, chúng ta sẽ đề cập đến kỹ năng tổng hợp một số dạng bài tập cơ bản để giúp học sinh rèn luyện kĩ năng giải bài toán hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit ở lớp 12

CHƯƠNG II RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN:

HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LÔGARIT

THÔNG QUA TỪNG DẠNG TOÁN CỤ THỂ

2.1 Định hướng việc xây dựng và thực hiện các biện pháp rèn luyện kỹ năng cho học sinh

Chương II của luận văn tôi trình bày việc rèn luyện KN giải toán: hàm

số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit thông qua kỹ năng phân loại và tổng hợp một số dạng bài tập cơ bản

Các dạng toán được đề xuất dựa trên nguyên tắc: Bám sát chương trình SGK Toán lớp 12; phù hợp với lượng kiến thức trong từng giai đoạn; phù hợp với đối tượng HS mà luận văn hướng tới

Các dạng toán cụ thể được đề xuất trong luận văn phù hợp với đối tượng HS mà luận văn hướng tới chủ yếu là HS trường THPT Mộc lỵ huyện Mộc Châu - tỉnh Sơn La mà tôi đang công tác Đây là một trong các huyện miền núi phía Đông của tỉnh Sơn La với điều kiện kinh tế còn nhiều khó khăn, có nhiều HS là con em các dân tộc thiểu số Sau những giờ học tập trên lớp, các em phải giành khá nhiều thời gian phụ giúp gia đình công việc nhà, một số e đi làm thêm Do vậy, việc đầu tư cho học tập của các em còn ít, sức học của các em vì thế bi hạn chế nhiều Với những lí do đó, tôi phải cẩn trọng khi đề xuất các dạng toán trong luận văn để đạt được hiệu quả cao nhất khi luận văn được áp dụng trong thực tế giảng dạy

Mỗi dạng toán cụ thể tôi đề xuất đều có cấu trúc chung như sau:

1 Xác định các kiến thức cơ bản cho từng dạng toán

2 Xác định kĩ năng cơ bản của từng dạng toán

3 Phương pháp chung để giải từng dạng toán đó

4 Đưa ra các bài tập vận dụng

5 Cung cấp thêm một số bài tập để giáo viên rèn luyện cho HS

2.2 Rèn luyện KN giải toán: hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit cho học sinh lớp 12 tỉnh Sơn La

2.2.1 Rèn luyện kỹ năng giải một số bài toán sử dụng định nghĩa, định lý

a Dạng 1: Tìm tập xác định các hàm số mũ và hàm số lôgarit

- Kiến thức cơ bản:

+ Định nghĩa các hàm số luỹ thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit

+ Điều kiện xác định của các hàm số luỹ thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit và các hàm số đã biết



HD:

Bài tập tham khảo:

Bài 1 Tìm tập xác định của hàm số sau:

2 Tập xác định của hàm số log 2 1

3 2

x y

- GV cần lưu ý HS tránh một số sai lầm thường gặp, có thể những sai lầm

đó là do nó chỉ đúng với một số điều kiện nào đó Cũng đôi khi sai lầm là do hiểu sai công thức

Ví dụ : Có HS giải bài toán tìm tập xác định của hàm số 2

+) Lời giải đúng như sau:

+ Nắm được các biến đổi toán học thông thường

+ Nắm được các tính chất của hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số

lôgarit

- Kĩ năng cơ bản:

+ Thực hiện tốt các phép biến đổi toán học thông thường

+ Sử dụng các tính chất của hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit vào bài toán cụ thể một cách linh hoạt và chính xác

- Phương pháp chung: Sử dụng các tính chất của hàm số lũy thừa,hàm số mũ, hàm số lôgarit, đổi cơ số, kết hợp với các phép biến đổi một cách hợp lý

*) Chú ý: Bài toán rút gọn cũng có thể ở dưới dạng bài toán tính giá trị của một biểu thức lũy thừa, biểu thức mũ, biểu thức lôgarit Việc tính toán các biểu thức chứa hàm số lũy thừa, hàm số mũ, lôgarit, thường sử dụng các tính chất của hàm số này, kết hợp với phép biến đổi một cách hợp lý

3 6

A 1a B 1a C 2a D a

3 Cho lg2 = a TÝnh lg125

4 theo a?

A 3 - 5a B 2(a + 5) C 4(1 + a) D 6 + 7a

Bài tập tham khảo:

1 log 5 2

A = 16  4  là:

*) Chú ý:

- Với những bài toán vận dụng ở trên, rèn luyên cho HS kĩ năng sử dụng các tính chất của hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit vào bài toán cụ thể một cách linh hoạt và chính xác

- GV cần lưu ý HS tránh một số sai lầm thường gặp, có thể những sai lầm đó là nó chỉ đúng với một số điều kiện nào đó Cũng đôi khi sai lầm là do hiểu sai công thức

Ví dụ : Có HS giải bài toán rút gọn như sau:

Từ: log(10 )x  log10  logx

HS lại biến đổi thành: log (10 )2 x log 10 log2  2 x

Lời giải đúng như sau:

+ Nắm được các biến đổi toán học thông thường

+ Các tính chất của hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit

- Kĩ năng cơ bản:

+ Áp dụng linh hoạt các tính chất của hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit vào từng bài toán

+ Biến đổi các biểu thức một cách chính xác

- Phương pháp chung: Sử dụng các tính chất của hàm số lũy thừa,hàm số mũ, hàm số lôgarit, kết hợp với các phép biến đổi một cách hợp lý

2 Cho biết a3 a4và log 2 log 3

Bài tập tham khảo:

Bài 1 So sánh (Không sử dụng máy tính)

3 Số nào dưới đây nhỏ hơn 1?

A log (ln11)2 B

2

2 3

 

 

  C log 4 3 D e

*) Chú ý: Qua các bài tập trên, HS có thể tự rút ra được kĩ năng so sánh 2 biểu

thức, các em sẽ biết để so sánh ta có thể tìm cách đưa chúng về cùng cơ số

hoặc cùng số mũ, hoặc so sánh 2 đối tượng với 1 đối tượng thứ 3, đối với các

biểu thức chứa lôgarit ngoài việc sử dụng tính chất, công thức có thể sử dụng

phương pháp phản chứng hoặc tính chất bắc cầu

+ Sử dụng linh hoạt các phép biến đổi toán học, các tính chất của hàm

số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit vào bài toán cụ thể

+ Kiểm tra tính tương đương của các phép biến đổi

+ Khả năng ứng dụng các BĐT cơ bản vào bài toán chứa hàm số mũ,

hàm số lôgarit

- Phương pháp chung: