Ứng dụng của phép tính tích phân trong toán sơ cấp

hỏi:họcsinhcóvìthếmàhiểusaikháiniệmtíchphânhaykhông?. Giáoviênnênchọnnộidunggiảngdạynhưthế nàochophùhợp?..... HàNội,ngày01tháng05năm2012 Sinhviên ĐàoThịHồngVân Chương 1... S nđ ượcgọilàt

HÀNỘI-2012

hỏi:họcsinhcóvìthếmàhiểusaikháiniệmtíchphânhaykhông?

Giáoviênnênchọnnộidunggiảngdạynhưthế nàochophùhợp?

Phéptínhtíchphâncórấtnhiềuứngdụng,chúngtacóthểsửdụngđểg i ả i quyếtmộtsốdạngtoántrongchươngtrìnhtoánTHPT.Vớimongmuốnđượcnghiêncứuvàtìmhiểusâuhơnvềvấnđềnàyvàbướcđầutiếpcậnvớiv i ệ c nghiêncứukh oa học,dưới

sựhướngdẫncủa thầyPhùngĐứcThắng,emđãchọnđềtài:“Ứngdụngcủaphéptí nhtíchphântrongtoánsơcấp”.

2 Mụcđíchnghiêncứu

Giúphọcsinhnắm

chắckiếnthứcvềtíchphânởbậcTHPTvàứngdụngtíchphânvàogiảiquyếtmộtsốdạngtoánkhácnhauởphổthôngnhư:chứngminhđẳngthức,chứngminhbấtđẳngthức,tìmcựctrị,chứngminhsựtồntạinghiệm,giảiphươngtrình,tínhg i ớ i hạnc ủ a t ổ n g dãy,

t í n h diệntíchhìnhphẳng,tínhthểtíchvậtthểtrònxoay

Quađóchohọcsinhthấyđượcmộtcáchtiếpcậnmớiđốivớicácdạngt o á n thườnggặpnàyvàtránhđượcmộtsốsailầmkhigiảitoántíchphân

3 Phươngphápnghiêncứu

Xuấtphấtt ừ cácđịnhnghĩavàc á c tínhchấtcủatíchphân,sácht h a m khảo,báoToánhọcvàtuổitrẻ,tổngkếtkinhnghiệmcủabảnthânvềnhữngthuậnlợivàkhókhănkhigiảiquyếtbàitoán

4 Nộidungcủakhoáluận

Chương1.Mộtsốkiếnthứccơbản

Trongchươngnàyemmuốnnêukháiniệmtíchphânvàcáctínhchấtcơbảncủatíchphânđểsửdụngtrongcácchươngsau:

Chương2.Ứngdụngcủaphéptínhtíchphântrongđạisố

Ứngdụngcủaphéptínhtíchphânđểgiảimộts ố d ạ n g toánở THPTnhư : chứngminhđ ẳ n g thức,chứngminhb ấ t đẳngthức,t ì m c ự c trị,chứngminhsựtồntạinghiệm,giảiphươngtrình,tínhgiớihạncủatổngdãy

Chương3.Ứngdụngcủaphéptínhtíchphântronghìnhhọc

Ứngdụngcủaphéptínhtíchphânđểtínhdiệntíchcủahìnhphẳngvàthểtíchcủavậtthểtrònxoay

Mặcdùđãrấtcốgắngnhưngdolầnđầutiêntiếpcậnviệcnghiêncứuk ho ahọc,doh ạ n chếv ề thờigianvà kiếnthứcn ê n trongnộidungv à cáchtrìnhbàyluậnvăncủaemkhôngtránhkhỏinhữngthiếusót.Emmongnhậnđượcsựchỉbảovàđónggópýkiếncủacácthầycôvàđọcđểluậnvănđượchoànthiệnhơn

EmxinchânthànhgửilờicảmơnsâusắctớithầyPhùngĐứcThắng,ngườiđãt

rựctiếphướngd ẫ n v à c h ỉ bảot ậ n tìnhđểemc ó t h ể hoànthànhk h o á luậnnày.Đồngthờiemcũngchânthànhcảmơncácthầycôgiáotrongt ổ Giảitích,banchủnhiệmkhoaToánđãtạođiềukiệnthuậnlợiđểemcócơhộilàm tốtcôngviệccủamình

HàNội,ngày01tháng05năm2012

Sinhviên

ĐàoThịHồngVân

Chương 1

S nđ ượcgọilàtổngtíchphâncủa hàmsố f(x) trênđoạn[a;b].

5 Thựchiệnp h é p chiađ o ạ n [a;b]

i1

vàgiớihạn

nàyk h ô n g p h ụ thuộcvàocáchchiađoạn[a;b]

k k k

M(ab) t

Vậyphươngtrình f(x)0

Tathấy

x F(x)

f(t)dt0

làmộtnguyênhàmcủa f(x) trên[a;b].

+Nếu x

0

cónghiệmduynhất x0.

Địnhl ý 1.3.2.Chob a s ố thực a,b(ab)

v à f(x) làm ộ t hàmsốliêntục, khôngdương(khôngâm,cóthểbằng0tạimộtsốhữuhạnđiểmtrên[a;b])t r ê n [a;b] Khiđóphươngtrình

cónghiệmduynhấtxc

x F(x)f(t)dt0

b thìd o f(x) nghịchb i ế n trên[0;b] nênv ớ i mọix t h o ả

mãnđiềukiện0a

xb tađềucó f(x) f(a).Suyra

Khoáluậntốtnghiệp 11

Chương2

MỘTSỐỨNGDỤNGCỦATÍCHPHÂNTRONG ĐẠI SỐ

2.1.Ứngdụngcủaphéptínhtíchphânđểchứngminhđẳngthức

2.1.1 Cơsởlýthuyết

- Đểchứngminhmộtđẳngthứcta cóthểvậnd ụ n g cáctínhchấtcủa tíchphân,cácphươngpháptínhtíchphânvàc á c phépbiếnđổiđồngnhấthoặctươngđươngcủacácđẳngthứcthôngthường

Vì2vếcủađẳngthứctrênlàcáchàmkhảtíchtrên□.Vớimỗit□ vàt0lấytíchphân2vếcủa(1.1),tađược

2



1

n

2



1

n

2

n1

2 2 3

 1

nx với xacó1.T xey .

GọiS 1l àdiệntíchhìnhgiớihạncácđường y0,x0,ya

1,xey v à

gọiS 2làd i ệ n tíchhìnhgiớihạnc á c đường

Bài2.Chứngminhrằng:x,y□ tacó:

a) arctanxarctany

b)1xlnx

nên f x0.Vậytacó

tann x



 / 8



sin

n

 2

x

c

os

Khoáluậntốtnghiệp 21

22

gt





làhàmnghịchbiếnvàliê

t 2

Khoáluậntốtnghiệp 22

22

xarcsinxt|2

2

arcsin

x



0

hoặc

x 2

Xéthàmsố

b 

b2 1

,x[0;),

nên

vàh à m s ố ngượccủa

f xlày

a

b1

tacó

cn

*, tìmgiátrịnhỏnhấtcủabiểuthức

3

x2;



b

2.4 Ứngdụngcủaphéptínhtíchphânđểch ứngminhsựtồntạinghiệm

2.4.1 Cơsởlýthuyết

DựavàocácĐịnhlý1.2,1.3,1.3.1,1.3.2vàkếthợpcáctínhchấtcủatíchphândểchứngminhphươngtrìnhcónghiệmvàgiảiphươngtrình

Chứngminhphươngtrình f x0cónghiệmtrên[a;

b]với

f xlà

hàmsốliêntụctrên[a;b]tathựchiệncácbướcsau:

-Xácđịnhtíchphân

b

If xdx a

f x2x2x2cos2x12xsin2x

 ;2 phươngtrìnhđ ã chođ ề u cóítnhấtmột

22nghiệm

Ví dụ 3 Giả sử a

b

c0 Chứng minh rằngphương trình

3 2

ax i

0cóítnhất1nghiệmthuộc0;1

2.4.2.Bàitậpápdụng

n  2 

liêntụctrên0; ,nên

Chương 3

ỨNGDỤNGCỦATÍCHPHÂNTRONGHÌNHHỌC

3.1 Ứngdụngcủaphéptínhtíchphânđểtínhdiệntíchmiềngiữahaiđ ư ờ n g con g

cónghiệmc ủ a phươngtrìnhf xg xvàđểtìmcácgiátrịnàytaphảigiảiphươngtrìnhtrên

Cácbướccầntiếnhànhđểtìmdiệntíchnhờphéplấytíchphân:

Bước1:Phácvẽmiềncầntìmdiệntích.Ghivàohìnhvẽphươngtrìnhcủ a biên

cácđườngcongvàtìmgiaođiểm củacácđườngcong

Bước2:Lựachọncácdảimỏngđứngvớibềrộngdxhaydảingangvớibềrộngd y vàvẽ dảiđạidiệntrênhìnhvẽ.

Bước3:Trên hìnhpháchoạghidiệntíchdScủa dảiđạidiện,đólàtíchc ủ a bềdàivớibềrộng.dSđượcbiểuthịquacácbiênx,hoặcytheo

bềrộngc ủ a dải

Bước4:LấytíchphândSgiữacáccậnthíchhợpxhoặcy,cáccậnnàydễtìm

thấytrênhìnhvẽ

Đặcbiệt:TrongmộtsốbàitoántínhdiệntíchtrựctiếpcủahìnhtrònhayhìnhE l i p , tac

óthểdựavàotínhchấtđốixứngcủahàmsốđóđểchiaphầnratínhdiệntíchdễdànghơn

n2x trênđoạn 0;

Lờigiải

 2



Nhậnxétrằng,đặcđiểmchínhtrongbàitoánnàylàcácđườngcongđanchéonhau.Đểgiảiquyếtvấnđềnày,trướchếttaphảitìmchínhxácđiểmđanchéocủahaiđườn

1(đvdt)

2

Vídụ3.Choparabol

yx2x1vàđườngthẳng

ym1x

2.Hãyxác

1

3

2 1 21

Mặtkháctacũngcó



x24xx

S4S1 R

4

Khoáluậntốtnghiệp 40

K34A-ToánĐàoThịHồngVân

Khoáluậntốtnghiệp 41

K34A-ToánĐàoThịHồngVân

Khoáluậntốtnghiệp 42

K34A-ToánĐàoThịHồngVân

Bâygiờtahìnhdungrằnghìnhkhốitrònxoayđượclấpđầybởimộtsốr ấ t lớncácđĩamỏngnhưvậy,chonênthểtíchtoànphầnbằngtổngtấtcảcácphầntửthểtíchkhic

hođĩađạidiệnquétquahìnhlậpthểtừtráisangphải,n g h ĩ a làchoxchạytừasangb

V dV

b b

Nhậnxétrằng,từtínhđốixứngcủahìnhcầu,tachỉcầntìmthểtíchtoàn

phầncủanóbằngviệclấytíchphândVt ừ với2 x

0

đếnx

a vàsauđónhâna

dV2xy dx2x22x2dx4 

xx3Vàdohaiđườngcongcắtnhautại x1,nêntacó

ứnglàA,Bvàa,b;cònchiềucaocủahìnhnóncụtbằngh(A>a,B>b).

Phéptínhtíchphânđãvàđangđượcứngdụngrộngrãitronglýthuyếthàm,lýthuyếtphươngtrình,vậtlý,thiênvănhọc,cơhọc,yhọc…

TrongcáckìthihọcsinhgiỏiToántoànquốc,OlympicToánsinhviêntoànquốcthìcác

b à i toánliênquanđ ế n tíchphâncũngh a y đ ư ợ c đềc ậ p đếnvàx e m nhưlàn h ữ n gdạngtoánkhó

Trêncơsởđịnhnghĩavàtínhchấtcơbảncủatíchphânemđãđưaravàchứngminhmộtsốđịnhlýđượcứngdụngvàocácdạngtoánkhácnhau.Từđóxâydựngphươngphápchungchocácứngdụngcủatíchphân.Đồngthờiđ ư a ranhiềuvídụvàbàitậpkhẳngđịnhcácứngdụngnày.Tuynhiên,dohạnc h ế vềthờigian,nêncònnhiềuứngdụngkháccủaphéptínhtíchphânchưađượcnghiêncứu

Emhyvọngrằngvớisựgiúpđỡ,chỉbảocủacácthầycôvàbạnđọc,khoá luậnsẽđượchoànthiệnhơnnữađểtrởthànhmộttàiliệuthamkhảohữuí c h chogiáoviênphổthôngvàcácbạnhọcsinh,sinhviênsưphạm

[1]LêHồngĐức-Lê BíchNgọc,Phươngphápgiảitoántíchphân,NXBĐạihọcQuốcgiaHàNội,2011 [2]NguyễnPhụHy,Giảngd ạ y tíchp h â n trongchươngtrìnhtoánl ớ p 12,NXBGiá

odục

[3]NguyễnVănMậu,Mộtsốvấnđềchọnlọcvềtíchphân,NXBGiáodục,2007 [4]TrầnPhương,Tuyểntậpcácchuyênđềvàkỹthuậttínhtíchphân,NXBtrithức,20

07

[5]NgôThúcLanh(chủbiên),Sáchgiáokhoagiảitíchlớp12,NXBGiáodục,2000.